2021_2021学年新教材高中数学第八章成对数据的统计分析十七一元线性回归模型及其应用课时素养评价含解析新人教A版选择性必修第三册.doc

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1、十七一元线性回归模型及其应用(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共20分)1.甲、乙、丙、丁四位同学在建立变量x,y的回归模型时,分别选择了4种不同模型,计算可得它们的相关指数R2分别如表:甲乙丙丁R20.980.780.500.85哪位同学建立的回归模型拟合效果最好()A.甲B.乙C.丙D.丁【解析】选A.相关指数R2越大,表示回归模型的效果越好.2.2020年初,新型冠状病毒引起的肺炎疫情暴发以来,各地医疗机构采取了各种针对性的治疗方法,取得了不错的成效,某地开始使用中西医结合方法后,每周治愈的患者人数如表所示:周数(x)12345治愈人数(Y)21736103142由表格可得Y关于

2、x的非线性经验回归方程为=6x2+a,则此回归模型第4周的残差(实际值与预报值之差)为()A.5B.-13C.13D.0【解析】选C.因为=(1+4+9+16+25)=11,=(2+17+36+103+142)=60,所以a=60-611=-6,则Y关于x的非线性经验回归方程为=6x2-6.取x=4,得=642-6=90,所以此回归模型第4周的预报值为90,则此回归模型第4周的残差为103-90=13.3.为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系,随机调查了该社区5户家庭,得到如下统计数据表:收入x/万元8.28.610.011.311.9支出Y/万元6.27.58.08.59.8根据上表可

3、得经验回归方程=x+,其中=0.76,=-.据此估计,该社区一户年收入为15万元的家庭的年支出为()A.11.4万元B.11.8万元C.12.0万元D.12.2万元【解析】选B.由题意可得=(8.2+8.6+10.0+11.3+11.9)=10,=(6.2+7.5+8.0+8.5+9.8)=8,所以=8-0.7610=0.4,所以线性经验回归方程为=0.76x+0.4,把x=15代入,可得=0.7615+0.4=11.8.【加练固】已知具有线性相关关系的变量x,Y满足一组数据如表所示.若Y关于x的经验回归方程为=3x-1.5,则m的值为()x0123Y-11m8A.4B.C.5D.6【解析】选

4、A.由题意可知,样本点的中心一定在回归直线上,所以代入方程可得m=4.4.已知x与Y之间的几组数据如表:x123456Y021334假设根据上表数据所得经验回归方程为=x+,若某同学根据上表中的前两组数据(1,0)和(2,2)求得的直线方程为y=bx+a,则以下结论正确的是()A.b,aB.b,aC.aD.b,a.二、填空题(每小题5分,共10分)5.已知具有线性相关的变量x,y,设其样本点为Pi(xi,yi)(i=1,2,6),经验回归方程为=2x+,若+=(12,18)(O为坐标原点),则=_.【解析】由题意可得,=(x1+x2+x3+x4+x5+x6)=2,=(y1+y2+y6)=3.经

5、验回归方程为=2x+,所以3=22+,解得=-1.答案:-16.已知n组成对样本数据确定的经验回归方程为=-x+2且=4,通过残差分析,发现两组成对样本数据(-1.7,2.9),(-2.3,5.1)误差较大,除去这两组成对样本数据后,重新求得经验回归直线的斜率估计值为-1.5,则当x=-4时,=_.【解析】由样本数据点集(xi,yi)|i=1,2,n求得的经验回归方程为=-x+2,且=4,所以=-2,故数据的样本中心点为(-2,4),去掉(-1.7,2.9),(-2.3,5.1),重新求得的经验回归直线的斜率估计值为-1.5,经验回归方程设为:=-1.5x+,代入(-2,4),求得=1,所以经

6、验回归直线的方程为:y=-1.5x+1,将x=-4代入经验回归方程,求得y的估计值为-1.5(-4)+1=7.答案:7三、解答题(每小题10分,共20分)7.某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价,将该产品按事先拟定的价格进行试销,得到如表数据:单价x(元)88.28.48.68.89销量Y(件)908483807568(1)求经验回归方程=x+,其中=-20,=-;(2)预计在今后的销售中,销量与单价仍然服从(1)中的关系,且该产品的成本是4元/件,为使工厂获得最大利润,该产品的单价应定为多少元?(利润=销售收入-成本)【解析】(1)=(8+8.2+8.4+8.6+8.8+9)=8.5.=

7、(90+84+83+80+75+68)=80.=+20=80+208.5=250,所以经验回归方程为=-20x+250.(2)工厂获得的利润z=(x-4)y=-20x2+330x-1 000,由二次函数知识可知当x=时,zmax=361.25(元).故该产品的单价应定为8.25元.8.在一段时间内,某淘宝网店一种商品的销售价格x(元)和日销售量Y(件)之间的一组数据为:价格x(元)2220181614日销售量Y(件)3741435056求出Y关于x的经验回归方程,并说明该方程拟合效果的好坏.参考数据:xiyi=3 992,=1 660.【解析】作出散点图(此处略),观察散点图,可知这些点散布在

8、一条直线的附近,故可用线性回归模型来拟合数据.因为=18,=45.4.所以=-2.35,=45.4-(-2.35)18=87.7.所以经验回归方程为=-2.35x+87.7.yi-i与yi-的值如表:yi-i10.3-2.4-0.11.2yi-8.4-4.4-2.44.610.6计算得(yi-i)2=8.3,(yi-)2=229.2,所以R2=1-0.964.因为0.964很接近于1,所以该模型的拟合效果比较好.(15分钟30分)1.(5分)若一函数模型为y=sin2+2sin +1,为将y转化为t的经验回归方程,则需作变换t等于()A.sin2B.(sin +1)2C.D.以上都不对【解析】

9、选B.因为y是关于t的经验回归方程,实际上就是y是关于t的一次函数,又因为y=(sin +1)2,若令t=(sin +1)2,则可得y与t的函数关系式为y=t,此时变量y与变量t是线性相关关系.2.(5分)在生物学上,有隔代遗传的现象.已知某数学老师的体重为62 kg,他的曾祖父、祖父、父亲、儿子的体重分别为58 kg、64 kg、58 kg、60 kg.如果体重是隔代遗传,且呈线性相关,根据以上数据可得解释变量x与预报变量的回归方程为=x+,其中=0.5,据此模型预测他的孙子的体重约为()A.58 kgB.61 kgC.65 kgD.68 kg【解析】选B.由于体重是隔代遗传,且呈线性相关,

10、则取数据(58,58),(64,62),(58,60),得=60,=60,即样本点的中心为(60,60),代入=x+,得=60-0.560=30,则=0.5x+30,取x=62,可得=0.562+30=61 kg.故预测他的孙子的体重约为61 kg.3.(5分)对某台机器购置后的运行年限x(x=1,2,3,)与当年利润Y的统计分析知x,Y具备线性相关关系,经验回归方程为=10.47-1.3x,估计该台机器最为划算的使用年限为_年.【解析】当年利润小于或等于零时应该报废该机器,当y=0时,令10.47-1.3x=0,解得x8,故估计该台机器最为划算的使用年限为8年.答案:84.(5分)以模型y=

11、cekx去拟合一组数据时,为了求出非经验回归方程,设z=ln y,其变换后得到经验回归方程=0.3x+4,则c=_.【解析】由题意,得ln(cekx)=0.3x+4,所以ln c+kx=0.3x+4,所以ln c=4,所以c=e4.答案:e45.(10分)如表为收集到的一组数据:x21232527293235Y711212466115325试建立Y与x之间的回归方程.【解析】作出散点图,如图.从散点图中可以看出x与Y不具有线性相关关系,根据已有知识可以发现样本点分布在某一条指数函数曲线的周围.令Z=ln Y,则变换后的样本点分布在直线=x+的周围,这样就可以利用线性经验回归模型来建立非线性经验

12、回归方程了,数据可以转化为:x21232527293235Z1.9462.3983.0453.1784.1904.7455.784求得经验回归方程为=0.272x-3.849,所以=e0.272x-3.849.5 G网络是一种先进的高频传输技术,我国的5 G技术发展迅速,已位居世界前列.华为公司2019年8月初推出了一款5 G手机,现调查得到该款5 G手机上市时间x和市场占有率Y(单位:%)的几组相关对应数据.如图所示的折线图中,横轴1代表2019年8月,2代表2019年9月,5代表2019年12月,根据数据得出Y关于x的经验回归方程为=0.042x-.若用此方程分析并预测该款手机市场占有率的变化趋势,则最早何时该款5 G手机市场占有率能超过0.5%(精确到月)()A.2020年6月B.2020年7月C.2020年8月D.2020年9月【解析】选C.根据表中数据,得=3,=(0.02+0.05+0.1+0.15+0.18)=0.1,所以0.1=0.0423-,=0.026,所以经验回归方程为y=0.042x-0.026,由0.042x-0.0260.5,得x13,预计上市13个月时,即最早在2020年8月,市场占有率能超过0.5%.