2021_2022学年高中数学第一章解三角形习题课_正弦定理和余弦定理的综合应用课后巩固提升含解析新人教A版必修5.docx

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1、第一章解三角形习题课正弦定理和余弦定理的综合应用课后篇巩固提升基础巩固1.在ABC中,AB=3,BC=,AC=4,则边AC上的高为()A.B.C.D.3解析由BC2=AB2+AC2-2ABACcosA,可得13=9+16-234cosA,得cosA=.A为ABC的内角,A=,边AC上的高h=ABsinA=3.答案B2.已知ABC的内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,设向量m=(a+b,sin C),n=(a+c,sin B-sin A),若mn,则角B的大小为()A.30B.60C.120D.150解析mn,(a+b)(sinB-sinA)-sinC(a+c)=0.由正弦定理,得(a+b)

2、(b-a)=c(a+c),即a2+c2-b2=-ac.由余弦定理的推论,得cosB=-.又B为ABC的内角,B=150.故选D.答案D3.已知在ABC中,sin A+sin B=(cos A+cos B)sin C,则ABC的形状是()A.锐角三角形B.钝角三角形C.等腰三角形D.直角三角形解析根据正弦定理,原式可变形为c(cosA+cosB)=a+b,所以c=a+b,整理得a2+b2=c2,可得C=90.故选D.答案D4.在ABC中,BAC=,AB=3,AC=3,点D在边BC上,且CD=2DB,则AD=()A.B.C.5D.2解析设AD=x.因为BC2=AB2+AC2-2ABACcosBAC

3、=27+9-233=9,所以BC=3,所以BD=1,CD=2.解法一因为cosADB=cos(-ADC),即cosADB=-cosADC,所以=-,所以x=,即AD=.解法二因为AC=BC=3,BAC=,所以BCA=,所以x2=AC2+CD2-2ACCDcosBCA=32+22-232cos=19,故x=,即AD=.答案A5.已知ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2bcos C=2a+c,若b=3,则ABC的外接圆面积为()A.B.C.12D.3解析2bcosC=2a+c,若b=3,cosC=,可得a2+c2-b2=-ac,cosB=-,由B(0,),可得B=,设ABC的外接圆半

4、径为R,由正弦定理可得2R=,解得R=,可得ABC的外接圆面积为S=R2=3.故选D.答案D6.设ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若b+c=2a,且3sin A=5sin B,则角C=.解析由3sinA=5sinB结合正弦定理,得3a=5b.因为b+c=2a,所以b=a,c=a.由余弦定理的推论,得cosC=-,故C=120.答案1207.在ABC中,B=60,a=1,c=2,则=.解析由余弦定理得,b2=a2+c2-2accosB=3,b=,由正弦定理得,=2.答案28.已知ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若acos B=5bcos A,asin A-bsin

5、 B=2sin C,则边c的值为.解析acosB=5bcosA,由余弦定理的推论可得a=5b,整理可得3(a2-b2)=2c2.又asinA-bsinB=2sinC,由正弦定理可得a2-b2=2c,6c=2c2,解得c=3.答案39.在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且bcosC=3acos B-ccos B.(1)求cos B的值;(2)若=2,且b=2,求a和c的值.解(1)由正弦定理,得a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC,其中R为ABC外接圆半径,则2RsinBcosC=6RsinAcosB-2RsinCcosB,即sinBcosC=3sinAcosB-s

6、inCcosB,可得sinBcosC+sinCcosB=3sinAcosB,即sin(B+C)=3sinAcosB,可得sinA=3sinAcosB.又sinA0,因此cosB=.(2)由=2,得accosB=2.由(1)知cosB=,故ac=6,由b2=a2+c2-2accosB,得a2+c2=12,所以(a-c)2=0,即a=c,所以a=c=.能力提升1.在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且ccos A+acos C=2c,若a=b,则sin B等于()A.B.C.D.解析ccosA+acosC=2c,由正弦定理可得sinCcosA+sinAcosC=2sinC,sin(A

7、+C)=2sinC,sinB=2sinC,b=2c.又a=b,a=2c.cosB=,B(0,),sinB=.答案A2.如图,在ABC中,B=45,D是BC边上一点,AD=5,AC=7,DC=3,则AB的长为()A.B.5C.D.5解析在ADC中,由余弦定理的推论,得cosADC=-,所以ADC=120,则ADB=60.在ABD中,由正弦定理,得AB=.答案C3.在ABC中,三边上的高依次为,则ABC为()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等边三角形解析设ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,分别为a,b,c上的高.因为SABC=abc,所以可设a=13k,b=5k,c=1

8、1k(k0).由余弦定理的推论,得cosA=-0,则A,所以ABC为钝角三角形,故选C.答案C4.在ABC中,A,B,C所对的边分别为a,b,c,B=-2,且满足sin A+sin C=2sin B,则该三角形的外接圆的半径R为()A.B.C.D.2解析因为=accos(-B)=-ac=-2,所以ac=4.由余弦定理得b2=a2+c2-2accosB.又因为sinA+sinC=2sinB,所以a+c=2b.所以=(a+c)2-3ac,所以=12,所以(a+c)2=16,所以a+c=4,所以b=2,所以2R=,所以R=.答案B5.在ABC中,B=,AC=,且cos2C-cos2A-sin2B=-

9、sin Bsin C,则BC=.解析cos2C-cos2A-sin2B=-sinBsinC,(1-sin2C)-(1-sin2A)-sin2B=-sinBsinC,-sin2C+sin2A-sin2B=-sinBsinC,由正弦定理可得a2-c2-b2=-bc,cosA=,A=.由正弦定理可得=2,BC=2.答案6.在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=,则b+2c的最大值等于.解析原等式可化为,整理,得a2=b2+c2-bc,故cosA=,由A(0,),可得A=.因为=2,可得b+2c=2sinB+4sinC=2sinB+4sin=4sinB+2cosB=2sin(B+),

10、其中为锐角,tan=.由于B,故当B+=时,b+2c取得最大值为2.答案27.在ABC中,内角A,B,C对应的边分别为a,b,c,且满足cacos B-b=a2-b2.(1)求角A的大小;(2)若a=,求b+c的取值范围.解(1)cacosB-b=a2-b2,a2+c2-b2-bc=2a2-2b2,即a2=b2+c2-bc.a2=b2+c2-2bccosA,cosA=.又A(0,),A=.(2)由正弦定理,得=2,b=2sinB,c=2sinC,b+c=2sinB+2sinC=2sinB+2sin(A+B)=2sinB+2sinAcosB+2cosAsinB=3sinB+cosB=2sinB+

11、.B0,B+,sinB+,1,b+c(,2.8.在ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且2asin A=(2b-c)sin B+(2c-b)sin C.(1)求角A的大小;(2)若sin B+sin C=,试判断ABC的形状.解(1)2asinA=(2b-c)sinB+(2c-b)sinC,2a2=(2b-c)b+(2c-b)c,即bc=b2+c2-a2,cosA=.0A180,A=60.(2)A+B+C=180,B+C=180-60=120,由sinB+sinC=,得sinB+sin(120-B)=,sinB+sin120cosB-cos120sinB=,sinB+cosB=,即sin(B+30)=1.又0B120,30B+30150,B+30=90,即B=60,A=B=C=60,ABC为等边三角形.5