2021年中考数学压轴题提升训练图形规律探索题含解析.docx

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1、图形规律探索题【例1】如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形OA1A2的直角边OA1在y轴的正半轴上，且OA1=A1A2=1，以OA2为直角边作第二个等腰直角三角形OA2A3，以OA3为直角边作第三个等腰直角三角形OA3A4，依此规律，得到等腰直角三角形OA2017A2018，则点A2017的坐标为【答案】（0，21008）.【解析】解：由题意知：A1(0,1)，A2(1,1)，OA2=A2A3=，OA3=2，A3(2,0),同理，A4(2,2)，A5(0,4)，A6(4,4)，A7(8,0)，A8(8,8)，A9(0,16)每隔8个点恰好处于同一坐标系或象限内，20178=2521，即点A

2、2017在y轴正半轴上，横坐标为0，各点纵坐标的绝对值为：20,20,21,21,22,22,23,23，20172=10081，可得点A2017的纵坐标为：21008，故答案为（0，21008）.【变式1-1】如图，在一个单位为 1 的方格纸上，A1A2A3，A3A4A5，A5A6A7，是斜边在 x 轴上、斜边长分别为 2，4，6，的等腰直角三角形若A1A2A3的顶点坐标分别为A1(2，0)，A2(1，-1)，A3(0，0)，则依图中所示规律，A2019的横坐标为（ ）A-1008 B2C1D1011【答案】A.【解析】解：观察图形可知，奇数点在x轴上，偶数点在象限内，所以A2019在x轴上

3、，A1，A5，A9，A13，A4n3在x正半轴，4n3=2019，n=505.5，所以A2019不在x正半轴上；A3（0,0），A7（2,0），A11（4,0），A15（8,0），3=40+3，7=41+3，11=42+3，15=43+3，2019=4504+3，2504=1008，即A2019的坐标为（1008，0），故答案为：A.【变式1-2】如图，在平面直角坐标系中，将正方形 OABC 绕点 O 逆时针旋转 45后得到正方形 OA1B1C1，称为一次旋转，依此方式，绕点 O 连续旋转 2 019 次得到正方形 OA2 019B2 019C2 019，如果点 A 的坐标为(1，0)，那么点

4、B2 019 的坐标为.【答案】（,0）.【解析】由旋转及正方形性质可得：B(1,1),B1(0, )，B2(1, 1)，B3(,0)，B4(1, 1)，B5(0, )，B6(1, 1)，B7(, 0)，B8(1, 1)，36045=8，20198=2523，点B2019落在x轴负半轴上，即B2019(,0)，故答案为：（,0）.【例2】如图，在平面直角坐标系中，将ABO绕点A顺指针旋转到AB1C1的位置，点B、O分别落在点B1、C1处，点B1在x轴上，再将AB1C1绕点B1顺时针旋转到A1B1C2的位置，点C2在x轴上，将A1B1C2绕点C2顺时针旋转到A2B2C2的位置，点A2在x轴上，依

5、次进行下去，若点A（，0），B（0，4），则点B2016的横坐标为（ ）A5B12C10070D10080【答案】D【解析】解：由图象可知点B2016在第一象限，OA=，OB=4，AOB=90，在RtBOA中，由勾股定理得：AB=，可得：B2（10，4），B4（20，4），B6（30，4），点B2016横坐标为10080故答案为：D【变式2-1】我们将如图所示的两种排列形式的点的个数分别称作“三角形数”（如1，3，6，10）和“正方形数”（如1，4，9，16），在小于200的数中，设最大的“三角形数”为m，最大的“正方形数”为n，则m+n的值为（ ）A33B301C386D571【答案】C【解

6、析】解：由图形知：第n个三角形数为1+2+3+n，第n个正方形数为n2，当n19时，190200，当n20时，210200，所以最大的三角形数：m190；当n14时，n2196200，当n15时，n2225200，所以最大的正方形数：n196，则m+n386，所以答案为：C1.如图，边长为1的菱形ABCD中，DAB=60连接对角线AC，以AC为边作第二个菱形ACC1D1，使D1AC=60；连接AC1，再以AC1为边作第三个菱形AC1C2D2，使D2AC1=60；，按此规律所作的第n个菱形的边长为 【答案】【解析】解：四边形ABCD是菱形，DAB=60，AB=BC=1，ACB=CAB=30，AC

7、=AB=，同理可得：AC1=AC=（）2，AC2=AC1=3=（）3，第n个菱形的边长为：，故答案为：2.如图，在平面直角坐标系中，AOB=30，点A的坐标为（2，0），过点A作AA1OB，垂足为点A1，过A1作A1A2x轴，垂足为点A2；再过点A2作A2A3OB，垂足为点A3；再过点A3作A3A4x轴，垂足为点A4；这样一直作下去，则A2017的横坐标为（）A （）2015B （）2016C （）2017D （）2018【答案】B【解析】解：AOB=30，点A坐标为（2，0），OA=2，OA1=OA=，OA2=OA1=2，OA3=OA2=2，OAn=（）nOA=2（）nOA2018=2（）2

8、018=（）2016故答案为：B3.如图，函数的图象记为C1，它与x轴交于点O和点A1，将C1绕点A1选择180得C2，交x轴于点A2，如此进行下去，若点P(103，m)在图象上，则m的值是（）A. -2B. 2C. -3D. 4【答案】A【解析】解：由图可知：横坐标每间隔8个单位，函数值相同，即函数图象重复周期为8，1038=125，当x=5时，y=2，即m=2，故答案为：A.4.如图，弹性小球从点 P(0，1)出发，沿所示方向运动，每当小球碰到正方形DABC 的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第 1 次碰到正方形的边时的点为 P1(-2，0)，第 2 次碰到正方形的边时的点为 P2

9、，第 n 次碰到正方形的边时的点为 Pn，则点 P2 019 的坐标是（ ）A(0，1)B(-4，1)C(-2，0)D(0，3)【答案】D【解析】解：根据图象可得：P1(-2,0)，P2(-4,1)，P3(0,3)，P4(-2,4)，P5(-4,0)，P6(0,1)，P7（2,0）20196=3363，即P2019（0,3），故答案为：D.5.如图，在坐标系中放置一菱形 OABC，已知ABC=60，点 B 在 y 轴上，OA=1，先将菱形 OABC 沿 x 轴的正方向无滑动翻转，每次翻转 60，连续翻转2019次，点 B 的落点依次为 B1，B2，B3，则 B2 019 的坐标为（ ）A. (

10、1010,0)B.(1310.5, ) C. (1345, )D. (1346,0)【答案】D.【解析】解：连接AC，如图所示四边形OABC是菱形，OA=AB=BC=OCABC=60，ABC是等边三角形AC=ABAC=OAOA=1，AC=1由图可知：每翻转6次，图形向右平移42019=3366+3，点B3向右平移1344（即3364）到点B2019B3的坐标为（2，0），B2019的坐标为（1346，0），故答案为：D6.如图，在直角坐标系中，已知点A（3，0），B（0，4），对OAB连续作旋转变换，依次得到1，2，3，4，则2019的直角顶点的坐标为（）A（8076，0）B（8064，0）C

11、（8076， ）D（8064， ）【答案】A【解析】解：点A（3，0）、B（0，4），由勾股定理得：AB5，由图可知，三个三角形为一个循环，经历一次循环前进的水平距离为：12，20193673，直角顶点在x轴上，673128076，2019的直角顶点的坐标为（8076，0）故答案为：A7.如图，在平面直角坐标系中，函数y=2x和y=x的图象分别为直线l1，l2，过点（1，0）作x轴的垂线交l1于点A1，过点A1作y轴的垂线交l2于点A2，过点A2作x轴的垂线交l1于点A3，过点A3作y轴的垂线交l2于点A4，依次进行下去，则点A2017的坐标为 【答案】（21008，21009）【解析】解：由

12、图可知：A1（1，2），A2（2，2），A3（2，4），A4（4，4），A5（4，8），2017=5044+1，点A2017在第一象限，2017=10082+1，A2n+1（2）n，2（2）n）（n为自然数）A2017的坐标为（2）1008，2（2）1008）=（21008，21009）故答案为：（21008，21009）8.如图，在平面直角坐标系中，将正方形OABC绕点O逆时针旋转45后得到正方形OA1B1C1，依此方式，绕点O连续旋转2018次得到正方形OA2018B2018C2018，如果点A的坐标为（1，0），那么点B2018的坐标为（） A（1，1）B（0，）C（，0）D（1，1）【

13、答案】D【解析】解：四边形OABC是正方形，OA1，B（1，1），连接OB，在RtOAB中，由勾股定理得：OB，由旋转性质得：OBOB1OB2OB3，B1（0，），B2（1，1），B3（，0），36045=8，每8次一循环，201882522，点B2018的坐标为（1，1）.故答案为：D9.将直角三角形纸板OAB按如图所示方式放置在平面直角坐标系中，OB在x轴上，OB4，OA2 将三角形纸板绕原点O逆时针旋转，每秒旋转60，则第2019秒时，点A的对应点A的坐标为（）A（3，）B（3，）C（3，）D（0，2 ）【答案】A【解析】解：36060=6，即每6秒一循环，20196=3363，即201

14、9秒时， 点A与其对应点A关于原点O对称，OA4，AOB30，可得：A(3, )，第2019秒时，点A的对应点A的坐标为(3, )，故答案为：A.10.正方形ABCD的位置在坐标中如图所示，点A、D的坐标反别为（1，0）、（0，2），延长CB交x轴于点A1，作正方形A1B1C1C，延长C1B1交x轴于点A2，作正方形A2B2C2C1，按这样的规律进行下去，第2017个正方形的面积为【答案】【解析】解：四边形ABCD是正方形，AD=AB，DAB=ABC=ABA1=90=DOA，ADO+DAO=90，DAO+BAA1=90，ADO=BAA1，DOA=ABA1，DOAABA1，由勾股定理得：AB=A

15、D=，BA1=，第2个正方形A1B1C1C的边长A1C=A1B+BC=，面积=，同理，第3个正方形的面积为：，第4个正方形的面积为：，第2017个正方形的面积为：.即答案为：.11.如图所示，一动点从半径为 2 的O 上的 A0 点出发，沿着射线 A0O 方向运动到O 上的点 A1 处，再向左沿着与射线 A1O 夹角为 60的方向运动到O 上的点 A2 处；接着又从 A2 点出发，沿着射线 A2O 方向运动到O 上的点 A3 处，再向左沿着与射线 A3O 夹角为 60的方向运动到O 上的点 A4 处； 按此规律运动到点 A2 017 处，则点 A2 017 与点 A0 间的距离是【答案】4.

16、【解析】解：由图分析可知，A6点与A0点重合，20176=3361，即点A2 017 与A1重合，O的半径为 2 ，点 A2 017 与点 A0 间的距离是4.12.如图，由一些点组成形如正多边形的图案，按照这样的规律摆下去，则第n（n0）个图案需要点的个数是 【答案】n2+2n.【解析】解：由图知，第1个图形点数为3+03，第2个图形点数为4+14；第3个图形点数为5+25；第4个图形点数为6+36第n个图形点数为：（n+2）+（n1）（n+2）=n2+2n，即答案为：n2+2n.13.如图所示的坐标系中放置一菱形OABC，已知ABC=60，点B在y轴上，OA=1，先将菱形OABC沿x轴的正

17、方形无滑动翻转，每次翻转60，连续翻转2017次，点B的落点分别是B1，B2，B3，则B2017的坐标为【答案】（1345.5，）. 【解析】解：由题意知：OB=OA=，即B(0, )，B1的纵坐标为：，横坐标为：=，即B1(，)，由图可知，每翻折6次，图形向右平移4个单位，2017=3366+1，求得：B2017（3364+ ，），即B2017（1345.5，），故答案为：（1345.5，）.14.如图，在平面直角坐标系中，点A1，A2，A3，和点B1，B2，B3，分别在直线和x轴上，OA1B1，B1A2B2，B2A3B3都是等腰直角三角形，若点A1(1,1)，则点A2019的纵坐标是【答案

18、】. 【解析】解：如图，分别过A1，A2，A3作x轴的垂线，点A(1,1)在直线上，b=，由OA1B1是等腰直角三角形，得：OB1=2，设A2(x,y)，则B1C2=x2，y= x2,x2=，解得：x=，y=，即A2的纵坐标为：；同理可得：A3的纵坐标为：，即An的纵坐标是An1纵坐标的倍，即A2019的纵坐标为：.15.在平面直角坐标系中，正方形 ABCD 的位置如图所示，点 A 的坐标为(1，0)，点 D 的坐标为(0，2)，延长CB交x轴于点A1，作正方形 A1CC1B1；延长 C1B1 交 x 轴于点 A2，作正方形 A2C1C2B2；，按照这样的规律作正方形，则点B2 019 的纵坐标为 【答案】. 【解析】解：过B作BHx轴于H，由一线三直角模型，可知ADOBAH，即BH=OA=1，即B点纵坐标为1，同理得：B1点纵坐标为，B2点纵坐标为，B3点纵坐标为，B2019点纵坐标为，即答案为：.