2021_2022学年新教材高中数学第三章空间向量与立体几何3.1空间向量基本定理课后篇巩固提升训练含解析北师大版选择性必修第一册.docx

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1、第三章空间向量与立体几何3空间向量基本定理及空间向量运算的坐标表示3.1空间向量基本定理课后篇巩固提升合格考达标练1.在四面体O-ABC中,G1是ABC的重心,G是OG1上的一点,且OG=3GG1,若OG=xOA+yOB+zOC,则(x,y,z)为()A.14,14,14B.34,34,34C.13,13,13D.23,23,23答案A解析如图所示,连接AG1并延长交BC于点E,则E为BC的中点,AE=12(AB+AC)=12(OB-2OA+OC),AG1=23AE=13(OB-2OA+OC).因为OG=3GG1=3(OG1-OG),所以OG=34OG1.则OG=34OG1=34(OA+AG1

2、)=34OA+13OB-23OA+13OC=14OA+14OB+14OC.所以(x,y,z)为14,14,14.2.已知O,A,B,C为空间不共面的四点,且向量a=OA+OB+OC,向量b=OA+OB-OC,则不能与a,b构成空间的一个基的向量是()A.OAB.OBC.OCD.OA或OB答案C解析a=OA+OB+OC,b=OA+OB-OC,OC=12(a-b),OC与向量a,b共面,OC,a,b不能构成空间的一组基.3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,设AB=a,AD=b,AA1=c,A1C1与B1D1的交点为E,则BE=.答案-12a+12b+c解析如图,BE=BB1+B1E=AA1+

3、12(B1C1+B1A1)=AA1+12(AD-AB)=-12a+12b+c.4.若a=e1+e2,b=e2+e3,c=e1+e3,d=e1+2e2+3e3,若e1,e2,e3不共面,当d=a+b+c时,+=.答案3解析由已知d=(+)e1+(+)e2+(+)e3,所以+=1,+=2,+=3,故有+=3.5.如图所示,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,MA=-13AC,ND=13A1D,设AB=a,AD=b,AA1=c,试用a,b,c表示MN.解连接AN,则MN=MA+AN.由已知可得四边形ABCD是平行四边形,从而可得AC=AB+AD=a+b,MA=-13AC=-13(a+b),又A

4、1D=AD-AA1=b-c,故AN=AD+DN=AD-ND=AD-13A1D=b-13(b-c),所以MN=MA+AN=-13(a+b)+b-13(b-c)=13(-a+b+c).等级考提升练6.a,b,c为空间向量的一组基,则下列各选项中,能构成空间向量的一组基的是()A.a,a+b,a-bB.b,a+b,a-bC.c,a+b,a-bD.a+b,a-b,a+2b答案C解析对于选项A,因为(a+b)+(a-b)=2a,所以a,a+b,a-b共面,不能构成基,排除A;对于选项B,因为(a+b)-(a-b)=2b,所以b,a+b,a-b共面,不能构成基,排除B;对于选项D,a+2b=32(a+b)

5、-12(a-b),所以a+b,a-b,a+2b共面,不能构成基,排除D;对于选项C,若c,a+b,a-b共面,则c=(a+b)+(a-b)=(+)a+(-)b,则a,b,c共面,与a,b,c为空间向量的一组基相矛盾,故c,a+b,a-b不共面,可以构成空间向量的一组基,故选C.7.如图,在三棱锥O-ABC中,点D是棱AC的中点,若OA=a,OB=b,OC=c,则BD等于()A.12a-b+12cB.a+b-cC.a-b+cD.-12a+b-12c答案A解析由题意可知BD=BO+OD,BO=-b,OD=12OA+12OC=12a+12c,所以BD=12a-b+12c.故选A.8.(多选题)已知a

6、,b,c是空间的一组基,下列向量中,可以与2a-b,a+b构成空间的一组基的向量是()A.2aB.-bC.cD.a+c答案CD9.(多选题)若a,b,c是空间的一组基,则下列选项中能构成空间的一组基的是()A.a,2b,3cB.a+b,b+c,c+aC.a+2b,2b+3c,3a-9cD.a+b+c,b,c答案ABD解析由于a,b,c不共面,根据空间向量基本定理可判断A,B,D中三个向量也不共面,可以构成空间的一组基.对于C,有3(2b+3c)+(3a-9c)=3(a+2b),故这三个向量是共面的,不能构成空间的一组基.10.(多选题)给出下列命题,其中正确命题有()A.空间任意三个不共面的向

7、量都可以作为一组基B.已知向量ab,则a,b与任何向量都不能构成空间的一组基C.A,B,M,N是空间四点,若BA,BM,BN不能构成空间的一组基,那么点A,B,M,N共面D.已知向量a,b,c是空间的一组基,若m=a+c,则a,b,m也是空间的一组基答案ABCD解析选项A中,根据空间向量的基的概念,可得任意三个不共面的向量都可以构成空间的一组基,所以A正确;选项B中,根据空间的基的概念,可得B正确;选项C中,由BA,BM,BN不能构成空间的一组基,可得BA,BM,BN共面,又由BA,BM,BN过相同点B,可得A,B,M,N四点共面,所以C正确;选项D中,由a,b,c是空间的一组基,则基向量a,

8、b与向量m=a+c一定不共面,所以可以构成空间的另一组基,所以D正确.故选ABCD.11.已知S是ABC所在平面外一点,D是SC的中点,若BD=xSA+ySB+zSC,则x+y+z=.答案-12解析如图,根据条件BD=12(BC+BS)=12(SC-SB-SB)=-SB+12SC,又BD=xSA+ySB+zSC,由空间向量基本定理得x+y+z=0-1+12=-12.12.平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,向量AB,AD,AA1两两的夹角均为60,且|AB|=1,|AD|=2,|AA1|=3,则|AC1|等于.答案5解析由题可得AC1=AB+AD+AA1,AC12=AB2+AD2+AA12

9、+2ABAD+2ABAA1+2ADAA1=12+22+32+2cos60(12+13+23)=25,|AC1|=AC12=5.13.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,已知E,F,G,H分别是CC1,BC,CD和A1C1的中点.证明:(1)AB1GE,AB1EH;(2)A1G平面EFD.证明(1)设正方体棱长为1,AB=i,AD=j,AA1=k,则i,j,k构成空间的一组基.AB1=AB+BB1=i+k,GE=GC+CE=12i+12k=12AB1,AB1GE.EH=EC1+C1H=12k+-12(i+j)=-12i-12j+12k,AB1EH=(i+k)-12i-12j+12k=-12|i

10、|2+12|k|2=0,AB1EH.(2)A1G=A1A+AD+DG=-k+j+12i,DF=DC+CF=i-12j,DE=DC+CE=i+12k,A1GDF=-k+j+12ii-12j=-12|j|2+12|i|2=0,A1GDF.A1GDE=-k+j+12ii+12k=-12|k|2+12|i|2=0,A1GDE.又DEDF=D,A1G平面EFD.新情境创新练14.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是BB1,D1B1的中点,求证:EF平面B1AC.证明设AB=a,AD=c,AA1=b,有ab=0,ac=0,bc=0,则EF=EB1+B1F=12(BB1+B1D1)=12(AA1+BD)=12(AA1+AD-AB)=12(-a+b+c),AB1=AB+BB1=AB+AA1=a+b.EFAB1=12(-a+b+c)(a+b)=12(|b|2-|a|2)=0.EFAB1,即EFAB1.同理EFB1C.AB1B1C=B1,EF平面B1AC.5