2021年初中数学突破中考压轴题几何模型之中点模型-教案.doc

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1、2021年初中数学突破中考压轴题几何模型之中点模型 教案中点模型 授课日期 主 题 时 间 中点模型 教学内容 学习过中位线之后，你能否总结一下，目前我们学习了哪些定理或性质与中点有关？ 直角三角形中点你想到了什么，等腰三角形中点你想到了什么，一般三角形中点你又想到了什么？ 1. 直角三角形斜边中线定理： 如图，在Rt?ABC中，?ACB?90?，D为AB中点，则有：CD?AD?BD?C1AB。 2BDA 2. 三线合一： 在?ABC中:（1）AC?BC；（2）CD平分?ACB；（3）AD?BD，（4）CD?AB. “知二得二”：比如由（2）（3）可得出（1）（4）.也就是说，以上四条语句，任

2、意选择两个作为条件，就可以推出余下两条。 CADB 3. 中位线定理：如图，在?ABC中，若AD?BD，AE?CE，则DE/BC且DE?A1BC。 2DEBC 4. 中线倍长(倍长中线)： 如图（左图），在?ABC中，D为BC中点，延长AD到E使DE?AD，联结BE，则有：?ADC?EDB。 作用：转移线段和角。 AABMBDEC CD 例1： 如图所示，已知D为BC中点，点A在DE上，且AB?CE，求证：?BAD?CED. EABDC 提示：用倍长中线法，借助等腰三角形和全等三角形证明 试一试：如图，已知在?ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE?AC，延长BE交AC于F，求

3、证：AF?EF。 AFEBDC 证明：延长DE至点G，使得ED=DG，联结CG 类比倍长中线易得：BDECDG 所以BED=DGC，BE=CG 因为BE=AC，所以AC=GC 所以EAC=DGC， 因为BED=AEF AFEBGDC所以AEF=FAE 所以AF=EF 例2：如图,已知?ABC中，BD,CE为高线，点M是BC的中点，点N是DE的中点.求证： MN?DE。 AENDB证明：联结EM、DM MC 11BC，在RtBDC中DM?BC 22所以EM=DM，又因为EN=ND，所以MN?DE 在RtBEC中EM? 例3：如图，在?ABC中，AD为?A的平分线，M为BC的中点，AD/ME， 求

4、证：BE?CF?1?AB?AC?。 2EAFB证明：延长FM至点G，使得FM=MG，联结BG 类比倍长中线易得：BMGCMF 所以G=CFM，BG=CF 因为ADEM，所以BAD=E，DAF=EFA 因为BAD=DAC，AFE=CFM 所以E=AFE=CFM=G DMC 所以BE=BG=CF，AE=AF 因为AB+AC=AB+AF+FC=AB+AE+BE=BE+BE=2BE 所以BE?CF?1?AB?AC? 2EAFBDMCG M为BC的中点，AD是?BAC的平分线，AC?AB，试一试：如图所示，在?ABC中，若CF?AD且交AD的延长线于F，求证：MF?1(AC?AB)。 2ABF提示：延长

5、AB，CF交于点E，证明出BE=AC-AB，再根据中位线的性质就可得证 DMC ABEFDMC 1. 在梯形ABCD中，AD/BC，AB?AD?BC，E为CD的中点，求证：AE?BE ADEB提示：延长AE、BC交于点F， 易证ADEFCE，得AD=CF，AE=EF。 因为AB?AD?BC，所以AB=BF， 所以AEBE C 2222. 如图，已知：?ABC中，?A?90?,D是BC的中点，DE?DF。求证：BE?CF?EF AFEBDC 证明：延长ED至点G，使得ED=DG，联结CG、FG ?BD?DC?因为?EDB?CDG ，所以BDECDG ?ED?DG?所以B=DCG，BE=CG 因为

6、?A?90，所以B+ACB=DCG+ACB=90 AFEB所以CG?CF?BE?CF?FG 因为DE?DF，ED=DG，所以EF=FG 22222DGC 所以BE?CF?EF 3. 如图，在正方形ABCD中，F是AB中点，联结CF，作DE?CF交BC于点E，交CF于点M， 求证：AM?AD。 222ADFMB EC GADFMB提示：延长DA、CF交于点G 易证：AFGBFC，所以AG=BC=AD 因为DE?CF，所以AM?EC 1GD?AD 2E,F分别是BC,AD的中点，BA、CD的延长线分别交EF4. 如图，在四边形ABCD中，AB?CD，的延长线G,H。 求证：?BGE?CHE. GH

7、AFGHDAFDBEC BM证明：联结BD，取BD的中点M，再分别联结ME、MF， E、F分别是DC、AB边的中点， ECMECD， EM=11CD， MFBA，MF=BA 22AB=CD，EM=MF， MEF=MFE EMCH，MEF=CHE FMBG，MFE=BGE CHF=BGE； 【巩固练习】 1. 如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD?2AD，E、F、G分别是OC、OD、AB 的中点。求证：（1）BE?AC（2）EG?EF. AFGOEB提示：（1）等腰三角形三线合一可得 （2）中位线性质和直角三角形斜边中线性质可得 DC 2. 已知：?ABD和?ACE都是直

8、角三角形，点C在AB上，且?ABD?ACE?90，如图，联结?DE，设M为DE的中点，联结MB,MC。求证：MB?MC。 ACMD证明：延长CM、DB交于点F 因为?ABD?ACE?90，所以?ABD?ECB 所以CEDB，所以?BDE?CED，?F?ECF 因为DM=ME，所以DMFEMC，所以CM=MF 因为?CBF?90?，所以BM=CM 【预习思考】 1. 角平分线的性质定理： 2. 角平分线的性质定理逆定理： 3. 还有哪些性质或定理与角平分线有关？ 学习过中位线之后，你能否总结一下，目前我们学习了哪些定理或性质与中点有关？ ?EB ACMDBFE直角三角形中点你想到了什么，等腰三角形中点你想到了什么，一般三角形中点你又想到了什么？ 2 / 2