2021_2021学年高中数学第二章平面向量2.1平面向量的实际背景及基本概念课时素养评价含解析新人教A版必修.doc

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1、平面向量的实际背景及基本概念 (15分钟30分)1.若a,b为非零向量且ab,则下列说法错误的是()A.a=bB.a,b方向相同或相反C.a,b共线D.a,b都与零向量共线【解析】选A.因为两个非零向量平行,即它们的方向相同或相反,也叫共线向量,但它们的长度不一定相等,故两向量不一定相等,它们都与零向量共线.2.如图,在四边形ABCD中,=,则相等的向量是()A.与B.与C.与D.与【解析】选D.由=知四边形ABCD是平行四边形.由平行四边形的性质知,|=|,且方向相同.3.如图,ABC和ABC是在各边的处相交的两个全等的等边三角形,设ABC的边长为a,图中列出了长度均为的若干个向量,则(1)

2、与向量相等的向量有.(2)与向量共线,且模相等的向量有.(3)与向量共线,且模相等的向量有.【解析】向量相等向量方向相同且模相等.向量共线表示与有向线段所在的直线平行或重合.答案:(1) ,(2) ,(3) ,4.已知A,B,C是不共线的三点,向量m与向量是平行向量,与是共线向量,则m=.【解析】因为A,B,C三点不共线,所以与不共线,又因为m且m,所以m= 0 .答案: 0 【补偿训练】 在四边形ABCD中,=且|=|,则四边形的形状为.【解析】因为=,所以AB􀱀DC.所以四边形ABCD是平行四边形.又|=|,即AB=AD,所以该四边形是菱形.答案:菱形5.如图所示,在长、

3、宽、高分别为AB=3,AD=2,AA1=1的长方体ABCD-A1B1C1D1的八个顶点的两点为起点和终点的向量中:(1)单位向量共有多少个?(2)试写出模为的所有向量.(3)试写出与相等的所有向量.【解析】(1)由于长方体的高为1,所以向量,都是单位向量,而其他向量的模均不为1,故单位向量共有8个.(2)由于长方体的左右两侧的对角线长均为,故模为的向量有,共8个.(3)与向量相等的所有向量(除它自身之外)共有,及共3个. (20分钟40分)一、选择题(每小题5分,共20分)1.在平面内,已知点O固定,且|=2,则A点构成的图形是()A.一个点B.一条直线C.一个圆D.不能确定【解析】选C.由于

4、|=2,所以A点构成一个以O为圆心,2为半径的圆.2.如图所示,在菱形ABCD中DAB=120,则以下说法错误的是()A.与相等的向量只有一个(不含)B.与的模相等的向量有9个(不含)C.的模恰为的模的倍D.与不共线【解析】选D.与相等的向量只有;在菱形ABCD中,AC=AB=BC=CD=DA,每一条线段可得方向相反的两个向量,它们的模都相等,故有52-1=9(个);计算得DO=DA,所以BD=DA,即|=|;由ADBC知与共线,故D错误.3.已知D为平行四边形ABPC两条对角线的交点,则的值为()A.B.C.1D.2【解析】选C.因为四边形ABPC是平行四边形,D为对角线BC与AP的交点,所

5、以D为PA的中点,所以的值为1.4.已知在边长为2的菱形ABCD中,ABC=60,则|=()A.1B.C.2D.2【解析】选D.易知ACBD,且ABD=30,设AC与BD交于点O,则AO=AB=1.在RtABO中,易得|=,则|=2|=2.【补偿训练】下列说法中正确的是()A.| |=|B.对任一向量a,|a|0总是成立的C.| |与线段BA的长度不相等D.若ab,且|a|=1 009,|b|=1 011,则|a+b|=2 020【解析】选A.A正确;|0|=0,对任一向量a,|a|0总成立,所以B不正确;|与线段BA的长度相等,所以C不正确;对于D,当a与b方向相反时,|a+b|=2,故D不

6、正确.二、填空题(每小题5分,共10分)5.有下列说法:若ab,则a一定不与b共线;若a=b,b=c,则a=c;共线向量是在一条直线上的向量.其中,正确的说法是.【解析】对于,两个向量不相等,可能是长度不相等,方向相同或相反,所以a与b有共线的可能,故不正确;对于,a=b,则|a|=|b|,且a与b方向相同;b=c,则|b|=|c|,且b与c方向相同,所以a与c方向相同且模相等,故a=c,故正确;对于,共线向量可以是在一条直线上的向量,也可以是所在直线互相平行的向量,故不正确.答案:6.如图,四边形ABCD和四边形ABDE都是平行四边形.(1)与向量相等的向量有.(2)若|=3,则向量的模为.

7、【解析】(1)在平行四边形ABCD和ABDE中,=,=,所以=. (2)由(1)知=,所以|=|+|=2|=6.答案:(1),(2)6【补偿训练】如果在一个边长为5的正ABC中,一个向量所对应的有向线段为(其中D在边BC上运动),则向量长度的最小值为.【解析】根据题意,在正ABC中,有向线段AD长度最小时,AD应与边BC垂直,有向线段AD长度的最小值为正ABC的高,为.答案:三、解答题7.(10分)设在平面内给定一个四边形ABCD,E,F,G,H分别为AB,BC,CD,DA的中点,求证:=.【证明】如图所示,连接AC.在ABC中,由三角形中位线定理知,EF=AC,EFAC,同理HG=AC,HGAC.所以|=|且和同向,所以=.