2021_2021学年新教材高中数学第四章概率与统计4.2.5正态分布课时素养检测含解析新人教B版选择性必修第二册.doc

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1、课时素养检测十六正 态 分 布(30分钟60分)一、选择题(每小题5分，共30分，多选题全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)1.(多选题)已知三个概率密度函数i(x)=(xR，i=1，2，3)的图像如图所示，则下列结论正确的是()A.1=2B.13C.1=2D.23【解析】选AD.根据正态曲线关于x=对称，且越大图像越靠近右边，所以12=3，B，C错误；又越小数据越集中，图像越瘦长，所以1=20)，试卷满分150分，统计结果显示数学成绩优秀(高于120分)的人数占总人数的，则此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为()A.150B.200C.300D.400【解析】选C

2、.因为P(X120)=，P(90X120)=1-=，所以P(90X105)=，所以此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为1 000=300.3.已知某市高三一次模拟考试数学成绩XN(90，2)，且P(70X110)=0.8，则从该市任取3名高三学生，恰有1名学生成绩不低于110分的概率是()A.0.2B.0.1C.0.243D.0.027【解析】选C.由XN(90，2)，且P(70X110)=0.8，可知成绩不低于110分的概率是0.1，则3名高三学生，恰有1名学生成绩不低于110分的概率是P=(0.1)(0.9)2=0.243.4.已知随机变量服从正态分布N(2，2)，且P(4)=

3、0.8，则P(02)=()A.0.2B.0.3C.0.4D.0.6【解析】选B.因为随机变量服从正态分布N(2，2)，=2，即对称轴是x=2，P(4)=0.8，所以P(4)=P(0)=0.2，所以P(04)=0.6，所以P(0110)=0.1，所以估计该班学生数学成绩在110分以上的人数为0.1100=10.6.某校1 000名学生的某次数学考试成绩X服从正态分布，其正态曲线如图所示，则成绩X位于区间52，68的人数大约是()A.997B.954C.683D.341【解析】选C.由题图知XN(，2)，其中=60，=8，所以P(-X+)=P(52X68)0.683.所以人数大约为0.6831 0

4、00=683.二、填空题(每小题5分，共10分)7.已知离散型随机变量服从正态分布N(2，2)，且P(3)=0.968，则P(13)=_.【解析】因为随机变量X服从正态分布N(2，2)，所以=2，得对称轴是x=2.因为P(3)=0.968，所以P(23)=P(3)-0.5=0.468，所以P(13)=0.4682=0.936.答案：0.9368.一年时间里，某校高一学生经常利用课余时间参加社区志愿者公益活动，据统计，他们参加社区志愿者公益活动时长X(单位：时)近似服从正态分布N(50，2)，且P(30X70)=0.7，该校高一学生中参加社区志愿者公益活动超过30小时的人数有1 275，估计该校

5、高一年级学生人数为_.【解析】由P(30X30)=1-0.15=0.85.所以估计该校高一年级学生人数为1 2750.85=1 500.答案：1 500三、解答题(每小题10分，共20分)9.设随机变量XN(2，9)，若P(Xc+1)=P(Xc+1)=P(Xc-1)，所以2-(c-1)=(c+1)-2，解得c=2.(2)由XN(2，9)得=2，=3，所以P(-4X8)=P(2-23X2+23)=P(-2X+2)95.4%=0.954.10.某厂包装白糖的生产线，正常情况下生产出来的白糖质量服从正态分布N(500，52)(单位：g).(1)求正常情况下，任意抽取一包白糖，质量小于485 g的概率

6、约为多少？(2)该生产线上的检测员某天随机抽取了两包白糖，称得其质量均小于485 g，检测员根据抽检结果，判断出该生产线出现异常，要求立即停产检修，检测员的判断是否合理？请说明理由.附：XN(，2)，则P(-X+)68.3%，P(-2X+2)95.4%，P(-3X+3)99.7%.【解析】(1)设正常情况下，该生产线上包装出来的白糖质量为X g，由题意可知XN(500，52).由于485=500-35，所以根据正态分布的对称性与“3原则”可知P(X485)=1-P(500-35X500+35)0.003=0.001 5.(2)检测员的判断是合理的.因为如果生产线不出现异常的话，由(1)可知，随

7、机抽取两包检查，质量都小于485 g的概率约为0.001 50.001 5=0.000 002 25=2.2510-6，几乎为零，但这样的事件竟然发生了，所以有理由认为生产线出现异常，检测员的判断是合理的.(30分钟60分)一、选择题(每小题5分，共20分，多选题全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)1.已知随机变量XN(6，1)，且P(5X7)=a，P(4X8)=b，则P(4X7)=()A.B.C.D.【解析】选B.由于P(4X7)=P(4X5)+P(5X7)=+a=.2.已知某随机变量服从正态分布N(1，2)，且P(01)=0.3，则P(2)=()A.0.8B.0.75C.

8、0.7D.0.6【解析】选A.因为N(1，2)，且P(01)=0.3，所以P(2)=P(0)=P(1)-P(01)=0.5-0.3=0.2.所以P(0，下列等式成立有()A.(-x)=1-(x)B.(2x)=2(x)C.P(|x)=2-(x)【解析】选AC.因为随机变量服从标准正态分布N(0，1)，所以正态曲线关于x=0对称，因为(x)=P(x)(x0)，根据曲线的对称性可得：A.(-x)=(x)=1-(x)，所以A正确；B.(2x)=(2x)，2(x)=2(x)，所以(2x)2(x)，所以B错误；C.P(|x)=P(-xx)=P(x或-x)=1-(x)+(-x)=1-(x)+1-(x)=2-

9、2(x)，所以D错误.二、填空题(每小题5分，共10分)5.某镇农民年平均收入服从=5 000元，=200元的正态分布，则该镇农民年平均收入在5 0005 200元间人数的百分比约为_.【解析】设X表示此镇农民的年平均收入，则XN(5 000，2002).由P(5 000-200X5 000+200)68.3%，得P(5 000135)=P(x+2)=0.023，本次考试数学成绩特别优秀的大约有5050.02312人.答案：0.158 512三、解答题(每小题10分，共30分)7.一投资者在两个投资方案中选择一个，这两个投资方案的利润X(万元)分别服从正态分布N(8，32)和N(7，12)，投

10、资者要求“利润超过5万元”的概率尽量大，那么他应该选择哪一个方案？【解析】对于第一个方案有XN(8，32)，其中=8，=3，P(X5)=；对于第二个方案有XN(7，12)，其中=7，=1，P(X5)=.显然第二个方案“利润超过5万元”的概率比较大，故他应该选择第二个方案.8.生产工艺工程中产品的尺寸误差XN(0，1.52)(单位：mm)，如果产品的尺寸与规定的尺寸偏差的绝对值不超过1.5 mm为合格品，求：(1)X的概率密度函数；(2)生产的5件产品的合格率不小于80%的概率.【解析】(1)由题意知XN(0，1.52)，即=0，=1.5，故概率密度函数(x)=.(2)设Y表示5件产品中的合格品

11、数，每件产品是合格品的概率为P(|X|1.5)=P(-1.5X1.5)0.683，从而YB(5，0.683)，合格率不小于80%，即Y50.8=4，故P(Y4)=P(Y=4)+P(Y=5)=0.6834(1-0.683)+0.68350.494.9.某公司生产某种产品，一条流水线年产量为10 000件，该生产线分为两段，流水线第一段生产的半成品的质量指标会影响第二段生产成品的等级，具体见下表：第一段生产的半成品质量指标xx74或x8674x78或82x867886)=0.25，P(74x78或82x86)=0.45，P(78x82)=0.3，设生产一件产品的利润为X元，则P(X=100)=0.

12、20.25+0.40.45+0.60.3=0.41，P(X=60)=0.30.25+0.30.45+0.30.3=0.3，P(X=-100)=0.50.25+0.30.45+0.10.3=0.29，所以生产一件成品的平均利润是1000.41+600.3-1000.29=30元，所以一条流水线一年能为该公司带来利润的估计值是30万元.(3)需购买该设备.因为-3=74，-=78，+=82，+3=86，设引入该设备后生产一件成品利润为Y元，则P(Y=100)=0.0030.2+0.3140.4+0.6830.6=0.536，P(Y=60)=0.0030.3+0.3140.3+0.6830.3=0.3，P(Y=-100)=0.0030.5+0.3140.3+0.6830.1=0.164，所以引入该设备后生产一件成品平均利润为1000.536+600.3-1000.164=55.2元，所以引入该设备后一条流水线一年能为该公司带来利润的估计值是55.2万元，增加收入55.2-30-20=5.2万元，综上，应该购买该设备.