2021_2022学年新教材高中数学第一章直线与圆测评训练含解析北师大版选择性必修第一册.docx

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1、第一章测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2020北京大兴高二期中)圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是()A.(x-1)2+(y-1)2=1B.(x+1)2+(y+1)2=1C.(x+1)2+(y+1)2=2D.(x-1)2+(y-1)2=2答案D解析设圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=m(m0),圆过原点,(0-1)2+(0-1)2=m(m0),解得m=2,所以圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=2.故选D.2.已知直线l过点(2,-1),且在y轴上的截距为3,则直线l的方程为

2、()A.2x+y+3=0B.2x+y-3=0C.x-2y-4=0D.x-2y+6=0答案B解析由题意直线过(2,-1),(0,3),故直线的斜率k=3+10-2=-2,故直线的方程为y=-2x+3,即2x+y-3=0.3.经过圆x2+2x+y2=0的圆心C,且与直线x+y=0垂直的直线方程是()A.x+y+1=0B.x+y-1=0C.x-y+1=0D.x-y-1=0答案C解析圆x2+2x+y2=0的圆心C为(-1,0),而待求直线与x+y=0垂直,所以待求直线的斜率为1,设待求直线的方程为y=x+b,将点C的坐标代入可得b=1,待求直线的方程为x-y+1=0.故选C.4.(2020福建莆田一中

3、高二月考)平行于直线2x+y+1=0且与圆x2+y2=5相切的直线的方程是()A.2x+y+5=0或2x+y-5=0B.2x+y+5=0或2x+y-5=0C.2x-y+5=0或2x-y-5=0D.2x-y+5=0或2x-y-5=0答案A解析设所求直线方程为2x+y+b=0,所以|b|5=5,所以b=5,所以所求直线方程为2x+y+5=0或2x+y-5=0,故选A.5.已知直线l1:xcos2+3y+2=0,若l1l2,则l2倾斜角的取值范围是()A.3,2B.0,6C.3,2D.3,56答案C解析设直线l2的斜率是k,倾斜角是.l1:xcos2+3y+2=0的斜率k1=-cos23-33,0,

4、由于l1l2,当cos=0时,即k1=0时,k不存在,此时=2;当cos0时,即k10时,k=-1k13,此时的取值范围为3,2,综上可得,l2倾斜角的取值范围是3,2.故选C.6.若直线ax+by+2=0(a0,b0)截得圆(x+2)2+(y+1)2=1的弦长为2,则1a+2b的最小值为()A.4B.6C.8D.10答案A解析由题意,圆心坐标为(-2,-1),半径为1,所以圆心到直线的距离为d=|-2a-b+2|a2+b2,所以弦长2=21-(|-2a-b+2|a2+b2)2,整理,得2a+b=2,a0,b0,所以1a+2b=1a+2b12(2a+b)=122+2+ba+4ab124+2ba

5、4ab=4,当且仅当ba=4ab,即a=13,b=43时,等号成立.所以1a+2b的最小值为4.7.过原点O作直线l:(2m+n)x+(m-n)y-2m+2n=0的垂线,垂足为点P,则点P到直线x-y+3=0的距离的最大值为()A.2+1B.2+2C.22+1D.22+2答案A解析(2m+n)x+(m-n)y-2m+2n=0整理,得(2x+y-2)m+(x-y+2)n=0,由题意得2x+y-2=0,x-y+2=0,解得x=0,y=2,所以直线l过定点Q(0,2).因为OPl,所以点P的轨迹是以OQ为直径的圆去掉点(0,0)后的图形,圆心为(0,1),半径为1.因为圆心(0,1)到直线x-y+3

6、=0的距离为d=22=2,所以点P到直线x-y+3=0的距离的最大值为2+1,此时点P不是点(0,0).故选A.8.在一个平面上,机器人在以点C(3,-3)为圆心,以8为半径的圆上运动,它在运动的过程中到经过点A(-10,0)与B(0,10)的直线的最短距离为()A.82-8B.82+8C.82D.122答案A解析由题意知机器人运动的轨迹方程为(x-3)2+(y+3)2=64,直线AB的方程为x-10+y10=1,即为x-y+10=0,则圆心C到直线AB的距离为d=|3+3+10|1+1=828,即直线与圆相离,故机器人与直线AB的最短距离为82-8.二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共2

7、0分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分.9.(2020江苏如皋中学高二期中)下列说法正确的是()A.若两条直线互相平行,那么它们的斜率相等B.方程(x2-x1)(y-y1)=(y2-y1)(x-x1)能表示平面内的任何直线C.圆x2+y2+2x-4y=0的圆心为(1,-2),半径为5D.若直线(2t-3)x+2y+t=0不经过第二象限,则t的取值范围是0,32答案BD解析对于A,若两条直线均平行于y轴,则两条直线斜率都不存在,A错误;对于B,若直线不平行于坐标轴,则原方程可化为y-y1y2-y1=x-x1x2-x1,为直线方程的两点式

8、;当直线平行于x轴,则原方程可化为y=y1;当直线平行于y轴,则原方程可化为x=x1;综上所述,方程(x2-x1)(y-y1)=(y2-y1)(x-x1)能表示平面内的任何直线,B正确;对于C,圆的方程可整理为(x+1)2+(y-2)2=5,则圆心为(-1,2),C错误;对于D,若直线不经过第二象限,则-2t-320,-t20,解得0t32,D正确.故选BD.10.(2020山东枣庄高二月考)已知P,Q分别为圆M:(x-6)2+(y-3)2=4与圆N:(x+4)2+(y-2)2=1上的动点,A为x轴上的动点,则|AP|+|AQ|的值可能是()A.7B.8C.9D.10答案CD解析圆N:(x+4

9、)2+(y-2)2=1关于x轴对称的圆为圆N:(x+4)2+(y+2)2=1,即N(-4,-2),又M(6,3),则|AP|+|AQ|的最小值为|MN|-1-2=102+52-3=55-3,又55-3(8,9),故选CD.11.若P是圆C:(x+3)2+(y-3)2=1上任一点,则点P到直线y=kx-1距离的值可以为()A.4B.6C.32+1D.8答案ABC解析直线y=kx-1恒过定点A(0,-1),当直线与AC垂直时,点P到直线y=kx-1距离最大,等于AC+r,圆心坐标为(-3,3),所以为(-3-0)2+(3+1)2+1=6,当直线与圆有交点时,点P到直线的距离最小为0,所以点P到直线

10、y=kx-1距离的取值范围为0,6,故选ABC.12.已知A(1,0),B(4,0),圆C:x2+y2=4,则以下选项正确的有()A.圆C上到点B的距离为2的点有两个B.圆C上任意一点P都满足|PB|=2|PA|C.若过点A的直线被圆C所截得的弦为MN,则|MN|的最小值为23D.若点D满足过D作圆C的两条切线互相垂直,则|BD|的最小值为4-22答案BCD解析对于A,以点B为圆心,半径为2的圆与圆C:x2+y2=4外切,即圆C上到点B的距离为2的点只有一个,则A错误;对于B,设P(a,b),满足a2+b2=4,|PA|=b2+(a-1)2=b2+a2+1-2a=5-2a,|PB|=b2+(a

11、-4)2=b2+a2+16-8a=20-8a=25-2a=2|PA|,则B正确;对于C,过点A的直线被圆C所截得的弦为MN,则OAMN时,|MN|最小,|MN|min=2OM2-OA2=222-12=23,则C正确;对于D,设过点D的两条直线与圆C的切点分别为E,F,则OEDE,OFDF,且DEDF,|OE|=|OF|=2,则四边形OEDF为正方形,即|OD|=22,设点D(x,y),则有x2+y2=8,即点D的轨迹为圆心为原点,半径为22的圆,由此当点D在x轴的正半轴时,|BD|最小,为4-22,则D正确.故选BCD.三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.经过点P(1,4),

12、且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是.答案y=4x或x-y+3=0解析根据题意,分2种情况讨论:当直线经过原点时,则直线l的方程为y=4x;当直线不经过原点时,设直线方程为x-y=a,把点P(1,4)代入,可得1-4=a,解得a=-3,即直线的方程为x-y+3=0.综合可得,直线的方程为y=4x或x-y+3=0.14.已知向量OA=(k,12),OB=(4,5),OC=(10,k),且A,B,C三点共线,当k0时,若k为直线的斜率,则过点(2,-1)的直线方程为.答案2x+y-3=0解析由题意可得AB=(4-k,-7),BC=(6,k-5),由于AB和BC共线,故有(4-k)(k-5)+

13、42=0,解得k=11或k=-2.k0)相交于A,B两点.若|AB|=6,则r的值为.答案5解析因为圆心(0,0)到直线x-3y+8=0的距离d=81+3=4,由|AB|=2r2-d2可得6=2r2-42,解得r=5.16.已知圆O:x2+y2=1,过点P向圆O引两条切线PA,PB,切点为A,B,若点P的坐标为(2,1),则直线AB的方程为;若点P为直线x+2y-4=0上一动点,则直线AB经过定点.答案2x+y-1=014,12解析由题意,圆O:x2+y2=1的圆心坐标为O(0,0),则以O(0,0)和P(2,1)为直径的圆的圆心为1,12,半径为r=12OP=52.可得以OP为直径的圆的方程

14、为(x-1)2+y-122=54,即x2+y2-2x-y=0,两圆的方程相减可得2x+y-1=0,即直线AB的方程为2x+y-1=0.因为点P为直线x+2y-4=0上一动点,设P(4-2m,m),因为PA,PB是圆O的切线,所以OAPA,OBPB.所以AB是圆O与以PO为直径的两圆的公共弦,可得以PO为直径的圆的方程为x-(2-m)2+y-m22=(2-m)2+m24,又由圆O的方程为x2+y2=1,两圆的方程相减,则AB的方程为2(2-m)x+my=1,即m(-2x+y)+4x-1=0,可得14,12满足上式,即AB过定点14,12.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证

15、明过程或演算步骤.17.(10分)求满足下列条件的直线的方程.(1)直线过点(-1,2),且与直线x+y-2=0平行;(2)直线过(0,1)点,且与直线3x+y+1=0垂直.解(1)设所求直线的方程为x+y+m=0,点(-1,2)在直线上,-1+2+m=0,m=-1,故所求直线的方程为x+y-1=0.(2)所求直线与直线3x+y+1=0垂直,设所求直线的方程为x-3y+m=0.点(0,1)在直线x-3y+m=0上,0-3+m=0,解得m=3.故所求直线的方程为x-3y+3=0.18.(12分)已知ABC三个顶点的坐标分别为A(2,4),B(0,-5),C(10,0),线段AC的垂直平分线为l.

16、(1)求直线l的方程;(2)点P在直线l上运动,当|AP|+|BP|最小时,求点P的坐标.解(1)直线AC的斜率为kAC=4-02-10=-12,所以直线l的斜率为k=2.因为直线AC的中点为(6,2),所以直线l的方程为y-2=2(x-6),即2x-y-10=0.(2)由(1)得点A关于直线l的对称点为点C,所以直线BC与直线l的交点P即为使|AP|+|BP|的值最小的点.由B(0,-5),C(10,0)得直线BC的方程为x10+y-5=1,即x-2y-10=0,联立方程x-2y-10=0,2x-y-10=0,解得x=103,y=-103,所以点P的坐标为103,-103.19.(12分)已

17、知直线l:ax-y-3a+1=0恒过定点P,过点P引圆C:(x-1)2+y2=4的两条切线,设切点分别为A,B.(1)求直线AB的一般式方程;(2)求四边形PACB的外接圆的标准方程.解(1)直线l:y-1=a(x-3),直线l恒过定点P(3,1).由题意可知直线x=3是其中一条切线,且切点为A(3,0).由圆的性质可知ABPC,kPC=1-03-1=12,kAB=-2,所以直线AB的方程为y=-2(x-3),即2x+y-6=0.(2)由题意知|PC|=(3-1)2+(1-0)2=5.PAAC,PBBC,所以四边形PACB的外接圆是以PC为直径的圆,PC的中点坐标为2,12,所以四边形PACB

18、的外接圆为(x-2)2+y-122=54.20.(12分)已知圆C1:x2+y2=1与圆C2:x2+y2-6x+m=0.(1)若圆C1与圆C2外切,求实数m的值;(2)在(1)的条件下,若直线l被圆C2截得的弦长为23,且过点(2,1),求直线l的方程.解(1)圆C1:x2+y2=1,则C1(0,0),其半径r1=1,由圆C2:x2+y2-6x+m=0,得(x-3)2+y2=9-m,由题意9-m0,即m9,C2(3,0),其半径r2=9-m,圆C1与圆C2外切,|C1C2|=r1+r2.3=1+9-m,解得m=5,m=51,两条切线分别交y轴于点A,B,记四边形PMON的面积为S1,三角形PA

19、B的面积为S2,求S1S2的最小值.解(1)当切线斜率不存在时,有切线x=1;当切线斜率存在时,设切线方程为y-4=k1(x-1),即k1x-y-k1+4=0.由题意,得|4-k1|k12+1=1,解得k1=158,切线方程为158x-y-158+4=0,即15x-8y+17=0.综上,切线为x=1,15x-8y+17=0.(2)点M,N在以点P为圆心,切线长PM为半径的圆上,即在圆P:(x-t)2+(y-4)2=t2+15上,由圆O与圆P的方程得两者公共弦所在直线的方程为tx+4y-1=0,所以直线lMN:tx+4y-1=0过定点0,14.(3)S1=2SPMO=212|PM|OM|=t2+

20、15.设lPM:y-4=k1(x-t),lPN:y-4=k2(x-t),得A(0,4-k1t),B(0,4-k2t),|AB|=|k1-k2|t.SPAB=12|AB|t=12|k1-k2|t2.当t1时,过点P的圆O的切线设为y-4=k(x-t),即kx-y-kt+4=0,由题意,得|4-kt|k2+1=1,整理,得(t2-1)k2-8tk+15=0,显然k1,k2是这个关于k的一元二次方程的根,所以|k1-k2|=(k1+k2)2-4k1k2=2t2+15t2-1,所以S2=t2+15t2t2-1,则S1S2=t2(t2+15)t2-1(t1),记m=t2-1(m0),y=(m+1)(m+16)m=m+16m+172m16m+17=25,当且仅当m=16m,即m=4时,等号成立,即当t=5时,(S1S2)min=25.9