2021_2021学年新教材高中数学第六章平面向量及其应用6.2.4向量的数量积课时素养检测含解析新人教A版必修第二册.doc

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1、课时素养检测 五向量的数量积(30分钟60分)一、选择题(每小题4分,共24分,多选题全部选对得4分,选对但不全对的得2分,有选错的得0分)1.若|a|=4,|b|=6,a与b的夹角为135,则a(-b)等于()A.12B.-12C.12D.-12【解析】选C.因为a(-b)=-ab=-|a|b|cos 135=-46(-)=12.【补偿训练】1.在ABC中,BC=5,AC=8,C=60,则=()A.20 B.-20 C.20 D.-20【解析】选B.=|cos 120=58=-20.2.已知ABC中,=a,=b,若ab0,则ABC是()A.钝角三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.任意三角形

2、【解析】选A.由ab0易知向量a与b的夹角为钝角.2.(2019全国卷)已知非零向量a,b满足|a|=2|b|,且(a-b)b,则a与b的夹角为()A.B.C.D.【解析】选B.设夹角为,因为(a-b)b,所以(a-b)b=ab-b2=0,所以ab=b2,所以cos =,又0,所以a与b的夹角为.【补偿训练】若非零向量a、b满足|a|=|b|,且(a-b)(3a+2b),则a与b的夹角为()A.B.C.D.【解析】选A.由条件,得(a-b)(3a+2b)=3a2-2b2-ab=0,即ab=3a2-2b2.又|a|=|b|,所以ab=3-2b2=b2,所以cos =,所以向量a与b的夹角为.3.

3、若向量a与b的夹角为60,|b|=4,(a+2b)(a-3b)=-72,则|a|=()A.2B.4C.6D.12【解析】选C.因为(a+2b)(a-3b)=-72,所以a2-ab-6b2=-72.所以|a|2-|a|b|cos 60-6|b|2=-72.所以|a|2-2|a|-24=0.又因为|a|0,所以|a|=6.4.已知|a|=|b|=1,a与b的夹角是90,c=2a+3b,d=ka-4b,c与d垂直,则k的值为()A.-6B.6C.3D.-3【解析】选B.因为cd=0,所以(2a+3b)(ka-4b)=0,所以2ka2-8ab+3kab-12b2=0,所以2k=12,所以k=6.5.P

4、是ABC所在平面上一点,若=,则P是ABC的()A.外心B.内心C.重心D.垂心【解析】选D.由=得(-)=0,即=0,所以PBCA.同理PABC,PCAB,所以P为ABC的垂心.6.(多选题)已知a,b,c为非零向量,下列说法不正确的是()A.若|ab|=|a|b|,则abB.若ac=bc,则a=bC.若|a|=|b|,则|ac|=|bc|D.(ab)|c|=|a|(bc)【解析】选BCD.|ab|=|a|b|cos |=|a|b|,所以cos =1,即=0或180,此时ab;A正确;选项B中,设a与c的夹角为1,b与c的夹角为2,因为ac=bc,所以|a|c|cos 1=|b|c|cos

5、2,即|a|cos 1=|b|cos 2,B不一定正确;C项中,a与c的夹角和b与c的夹角不相等时,结论不成立;D项中,a与b的夹角,b与c的夹角不一定相等,所以不一定成立.【补偿训练】对于向量a、b、c和实数,下列命题中真命题是()A.若ab=0,则a=0或b=0B.若a=0,则=0或a=0C.若a2=b2,则a=b或a=-bD.若ab=ac,则b=c【解析】选B.A中,若ab=0,则a=0或b=0或ab,故A错;C中,若a2=b2,则|a|=|b|,C错;D中,若ab=ac,则可能有ab,ac,但bc,故只有选项B正确.二、填空题(每小题4分,共8分)7.设向量a,b满足:|a|=1,ab

6、=,|a+b|=2,则|b|=_.【解析】因为(2)2=8=|a+b|2=a2+b2+2ab,所以b2+4=8,|b|=2.答案:28.已知e1、e2是夹角为的两个单位向量,a=e1-2e2,b=ke1+e2,若k=1,则ab=_;若ab=0,则实数k的值为_.【解析】当k=1时ab=(e1-2e2)(e1+e2)=-e1e2-2=-.由ab=0得(e1-2e2)(ke1+e2)=0.整理,得k-2+(1-2k)cos=0,解得k=.答案:-三、解答题(每小题14分,共28分)9.如图,在平行四边形ABCD中,|=4,|=3,DAB=60.求:(1);(2);(3).【解析】(1)=|2=9.

7、(2)=-|2=-16.(3)=|cos(180-60)=43=-6.【补偿训练】已知|a|=10,|b|=12,a与b的夹角为120,求:(1)ab;(2)(3a);(3)(3b-2a)(4a+b).【解析】(1)ab=|a|b|cos =1012cos 120=-60.(2)(3a)=(ab)=(-60)=-36.(3)(3b-2a)(4a+b)=12ba+3b2-8a2-2ab=10ab+3|b|2-8|a|2=10(-60)+3122-8102=-968.10.已知|a|=4,|b|=3,a与b的夹角为120,且c=a+2b,d=2a+kb.当k为何值时, (1)cd.(2)cd.【解

8、析】cd=(a+2b)(2a+kb)=8+12k.(1)当cd时,8+12k=0,解得k=-.(2)当cd时,根据题意知,c,d都为非零向量且共线,所以存在x,使d=xc,即2a+kb=xa+2xb,所以所以k=4.(35分钟70分)一、选择题(每小题4分,共16分,多选题全部选对得4分,选对但不全对的得2分,有选错的得0分)1.已知向量a,b满足|a|=2,|b|=1,ab=1,则向量a与a-b的夹角为()A.B.C.D.【解析】选A.|a-b|=,设向量a与a-b的夹角为,则cos =,又0,所以=.【补偿训练】已知向量a,b满足|a|=1,|b|=3,且|2a+b|=,则a与b的夹角为(

9、)A.B.C.D.【解析】选B.因为|2a+b|2=4+9+4ab=7,所以ab=-,cos =-.又0,所以=.2.在ABC中,M是BC的中点,AM=1,点P在AM上且满足=2,则(+)等于()A.B.C.-D.-【解析】选A.因为AM=1,且=2,所以|=.如图,(+)=(2)=.【补偿训练】在ABC中,C=90,CB=3,点M满足=2,则=_.【解析】因为=+=+=+(-)=+,又C=90,=0,所以=3.答案:33.在ABC中,=a,=b,ab0,B为锐角,但三角形不一定为锐角三角形.【补偿训练】已知ABC中,若=+,则ABC是()A.等边三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.钝角三角

10、形【解析】选C.由-=+,得(-)=(-),即=,所以+=0,所以(+)=0,则=0,即,所以ABC是直角三角形.4.(多选题)已知向量a,b的夹角为120,|a|=|b|=1,c与a+b同向,则|a-c|的值可以为()A.1B.C.D.【解析】选AD.因为|a|=|b|=1,c与a+b同向,所以a与c的夹角为60.又|a-c|=,故|a-c|min=.由选项可知|a-c|的值可以为1或.二、填空题(每小题4分,共16分)5.(2019全国卷)已知a,b为单位向量,且ab=0,若c=2a-b,则cos􀎯=_.【解析】因为c2=(2a-b)2=4a2+5b2-4ab=9,所以|

11、c|=3,因为ac=a(2a-b)=2a2-ab=2,所以cos􀎮a,c􀎯=.答案:【补偿训练】设向量a,b满足|a+b|=,|a-b|=,则ab=_.【解析】因为|a+b|=,所以(a+b)2=10,即a2+b2+2ab=10.因为|a-b|=,所以(a-b)2=6,即a2+b2-2ab=6.由可得ab=1.答案:16.已知ab,|a|=2,|b|=1,且3a+2b与a-b垂直,则等于_.【解析】因为(3a+2b)(a-b),所以(a-b)(3a+2b)=0,所以3a2+(2-3)ab-2b2=0.又因为|a|=2,|b|=1,ab,所以12+(2-3)2

12、1cos 90-2=0,所以12-2=0,所以=.答案:7.已知|a|=|b|=|c|=1,且满足3a+mb+7c=0,其中a与b的夹角为60,则实数m=_.【解析】因为3a+mb+7c=0,所以3a+mb=-7c,所以(3a+mb)2=(-7c)2,化简得9+m2+6mab=49.又ab=|a|b|cos 60=,所以m2+3m-40=0,解得m=5或m=-8.答案:5或-88.已知向量a、b满足:|a|=1,|b|=6,a(b-a)=2,则a与b的夹角为_;|2a-b|=_.【解析】由于a(b-a)=ab-a2=ab-1=2,则ab=3.设a与b的夹角为,则cos =,又0,所以=.因为|

13、2a-b|2=4a2-4ab+b2=28,所以|2a-b|=2.答案:2【补偿训练】已知非零向量a,b,满足ab,且a+2b与a-2b的夹角为120,则=_.【解析】(a+2b)(a-2b)=a2-4b2,因为ab,所以|a+2b|=,|a-2b|=.所以cos 120=-.所以=.所以=.答案:三、解答题(共38分)9.(12分)已知e1与e2是两个互相垂直的单位向量,k为何值时,向量e1+ke2与ke1+e2的夹角为锐角?【解析】因为e1+ke2与ke1+e2的夹角为锐角,所以(e1+ke2)(ke1+e2)=k+k+(k2+1)e1e2=2k0,所以k0.但当k=1时,e1+ke2=ke

14、1+e2,它们的夹角为0,不符合题意,舍去.综上可知,k(0,1)(1,+)时,向量e1+ke2与ke1+e2的夹角为锐角.10.(12分)已知平面上三个向量a,b,c的模均为1,它们相互之间的夹角为120.(1)求证:(a-b)c;(2)若|ka+b+c|1(kR),求k的取值范围.【解析】(1)因为|a|=|b|=|c|=1且a,b,c之间的夹角均为120,所以(a-b)c=ac-bc=|a|c|cos 120-|b|c|cos 120=0,所以(a-b)c.(2)因为|ka+b+c|1,所以(ka+b+c)(ka+b+c)1,即k2a2+b2+c2+2kab+2kac+2bc1.因为ac

15、=ab=bc=cos 120=-,所以k2-2k0,解得k2.即k的取值范围是k2.【补偿训练】已知:如图,两个长度为1的平面向量和,它们的夹角为,点C是以O为圆心的劣弧的中点.求:(1)|+|的值.(2)的值.【解析】(1)因为和的长度为1,夹角为,所以=|cos =-,所以|+|=1.(2)因为点C是以O为圆心的劣弧的中点,所以AOC=BOC=,所以=,所以=(-)(-)=-+=-+1=.11.(14分)已知a,b均是非零向量,设a与b的夹角为,是否存在这样的,使|a+b|=|a-b|成立?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.【解析】假设存在满足条件的,因为|a+b|=|a-b|,所以(a+b)2=3(a-b)2.所以|a|2+2ab+|b|2=3(|a|2-2ab+|b|2).所以|a|2-4ab+|b|2=0.所以|a|2-4|a|b|cos +|b|2=0.所以解得cos .又因为0,所以.故当时,|a+b|=|a-b|成立.