江苏省无锡市2017-2018学年高一上学期期末考试数学试题.docx

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1、 2017-2018 学年江苏省无锡市高一（上）期末数学试卷一、填空题（本大题共 14 小题，共 70.0 分）1.已知集合【答案】【】，则_，点睛：1.用描述法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其他的集合2求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解2._【答案】【】【分析】直接利用诱导公式化简求解即可【详解】故答案为：【点睛】本题考查诱导公式的应用，考查了特殊角的三角函数值的求法，是基础题3.若幂函数【答案】4【】的图象过点，则_【分析】根据已知求出函数的式，将【详解】设幂函数代入可得答案，幂函数的图象过点，解得：

2、 ，故答案为：4【点睛】本题考查的知识点是幂函数的式，函数求值，难度不大，属于基础题4.若向量【答案】【】，且，则|_【分析】利用向量共线定理即可得出【详解】，解得则故答案为：【点睛】本题考查了向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题5.函数【答案】【】的单调增区间是_【分析】根据题意，将函数的式写成分段函数的形式，结合函数的定义域分段讨论函数的单调性，综合即可得答案【详解】根据题意，即当时，令，在上，时，此时为增函数，也为增函数，则函数为减函数，则函数为增函数；为减函数；当令，在上，此时为增函数，故函数故答案为：的单调增区间是； 【点睛】本题考查分段函数的单调性的判断，注意分段函数

3、要分段分析，属于基础题6.计算：=_【答案】【】【分析】利用对数的运算性质即可得出【详解】原式=3+4+=7+4=11故答案为：11【点睛】本题考查了对数的运算性质，属于基础题7.已知圆心角是 的扇形的面积是，则该圆心角所对的弧长为_cm【答案】【】【分析】利用扇形的面积求出扇形的半径，然后由弧长公式求出弧长的值【详解】设扇形的弧长为 l，圆心角大小为，半径为 r，扇形的面积为 S，则：解得，可得：扇形的弧长为故答案为： cm【点睛】本题考查扇形面积、扇形的弧长公式的应用，考查计算能力，属于基础题8.已知函数是周期为 2 的奇函数，且时，则_【答案】【】【分析】 根据题意，由函数的周期性可得，

4、综合即可得答案，结合函数的奇偶性与式可得分析可得【详解】根据题意，函数是周期为 2 的函数，则，又由则为奇函数，则；，故答案为：【点睛】本题考查函数的奇偶性与周期性的综合应用，涉及函数的表示方法，属于基础题9.将函数值，则向右平移_个单位所得函数记为，当时取得最大【答案】【】【分析】利用函数值的图象变换规律求得的式，再根据正弦函数的最大值，求得 的【详解】将函数向右平移个单位，所得函数记为，当时取得最大值，则，令，可 得，故答案为： 【点睛】本题主要考查函数的图象变换规律，正弦函数的最大值，属于中档题10.若，_【答案】【】【分析】由已知展开倍角公式及两角和的正弦可得，两边平方得答案 【详解】

5、，即，两边平方得：，故答案为： 【点睛】本题考查三角函数的化简求值，考查倍角公式及两角和的正弦的应用，是基础题11.若，且，则实数 的取值范围是_【答案】【】【分析】讨论在和的单调性，可得在 R 上递减，进而可得 a 的不等式，解不等式即可得到所求范围【详解】，可得时，递减；时， 递减，且，可得在 R 上递减，可得，解得，故答案为：【点睛】本题考查分段函数的单调性的判断和运用：解不等式，考查运算求解能力，属于中档题12.在中，已知，点 M 在边 BC 上，则 _【答案】【】【分析】由向量加法及减法的三角形法则可得，结合已知即可求解【详解】，故答案为： 【点睛】本题主要考查了向量的基本运算及向量

6、的数量积的基本运算，属于基础题13.函数，若，且，则的取值范围是_【答案】【】【分析】作出的图象，求得，m 的范围及的式，运用二次函数的单调性，可得所求范围 【详解】作出函数的图象，可得，则在递增，可得的范围是故答案为：【点睛】本题考查分段函数的图象和运用，考查二次函数的单调性的运用，以及运算能力，属于中档题14.函数【答案】【】在 R 上有 4 个零点，则实数 m 的取值范围是_【分析】根据题意，设，则，作 出的草图，据此分析可得方程在区间有 2 个根，结合一元二次函数的性质可得，解可得 m 的取值范围，即可得答案【详解】根据题意，对于函数，设，则，的图象如图： 若函数则方程在 R 上有 4

7、 个零点，有 2 个不同的根，在区间则有，解可得：，即 m 的取值范围为；故答案为：【点睛】本题考查函数的零点，注意利用换元法分析，属于综合题二、解答题（本大题共 6 小题，共 80.0 分）15.设集合，全集（1）若（2）若，求；，求实数 a 的取值范围【答案】（1）【】或；（2）【分析】（1）求定义域得集合 A，求出时集合 B，再根据集合的定义计算即可；（2）由得出，由此列不等式求出实数 a 的取值范围【详解】（1）集合，时，又全集，或，；或 （2），又，解得实数 a 的取值范围是【点睛】本题考查了集合的定义与运算问题，也考查了求函数的定义域和值域问题，是中档题16.在ABC 中，已知 =

8、（1，2）， =（4，m）（m0）（1）若（2）若，求 m 的值；，且 ，求（2）的值【答案】（1）【】【分析】（1）由题意可知（2）由，结合向量的数量积的性质即可求解 m，结合向量数量积的性质可求 m，然后结合即可求.，及向量夹角公式【详解】（1）若，则，（2），而， 【点睛】本题主要考查了向量数量积的性质的综合应用，解题的关键是熟练掌握基本公式并能灵活应用17.如图，在平面直角坐标系中，角 的始边均为 x 轴正半轴，终边分别与圆 O 交于 A，B 两点，若，且点 A 的坐标为（1）若，求实数 m 的值；，若 的值（2）（2）若【答案】（1）【】【分析】（1）由题意利用二倍角的正切公式求得的

9、值，再利用任意角的三角函数的定义求得 m 的值（2）利用同角三角函数的基本关系，求得和的值，再利用两角和的正弦公式求得的值【详解】（1）由题意可得，或，即，（2）， ，【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，二倍角的正弦公式，用两角和的正弦公式的应用，属于中档题18.某公司对营销人员有如下规定：（i）年销售额 x（万元）不大于 8 时，没有年终奖金；（）年销售额 x（万元）大于 8 时，年销售额越大，年终奖金越多此时，当年销售额 x（万元）不大于 64 时，年终奖金 y（万元）按关系式 ylog x+b，（a0，且 a1）发放；当年a销售额 x（万元）不小于64 时

10、，年终奖金y（万元）为年销售额x（万元）的一次函数经测算，当年销售额分别为 16 万元，64 万元，80 万元时，年终奖金依次为 1 万元，3 万元，5 万元（1）求 y 关于 x 的函数式；（2）某营销人员年终奖金高于 2 万元但低于 4 万元，求该营销人员年销售额 x（万元）的取值范围【答案】（1）（2）【】【分析】（1）由已知可得得函数式；又在上是增函数，再结合已知列关于a，b 的方程组，求解可时，y 是 x 的一次函数，设时， ，则函数式可求；，再由已知可得关于 m，k 的方程组求解可得（2）当时，不合题意；然后分类求解不等式得答案，年销售额越大，奖金越多，【详解】（1）在上是增函数，

11、解得时，；又时，y 是 x 的一次函数，设， 由题意可得：时，解得y 关于 x 的函数式为；（2）当时，不合题意；当时，解得，当时，解得综上，所以该营销人员年终奖金高于 2 万元但低于 4 万元，其年销售额的取值范围是大于 32 万元且小于 72 万元【点睛】本题考查函数式的求解及常用方法，考查简单的数学建模思想方法，训练了不等式的解法，是中档题19.已知奇函数，函数， ，（1）求 b 的值；（2）判断函数在上的单调性，并证明；（3）当时，函数的最小值恰为的最大值，求 m 的取值范围【答案】（1）0（2）在递增（3）【】【分析】（1）由奇函数的性质可得，解方程即可得到 b；（2） 在 单调递增

12、，运用单调性的定义证明，注意取值、作差和变形、定符号和下结论等步骤；（3）由（2）可得质，可得所求范围的最大值，即可得到的最小值，运用换元法和余弦函数的图象和性 【详解】（1）奇函数 f（x）即 b0；，可得 f（0）0，（2）f（x）在0，1单调递增，证明：设 x ，x 是0，1上任意两个值，且 x x ，1212f（x ）f（x ）（），21由 x ，x 0，1，且 x x ，1212可得 x x 0，1x x 0，1+x 0，1+x 0，22211212即有 f（x ）f（x ）0，即 f（x ）f（x ），2121可得 f（x）在0，1递增；（3）由（2）可得 f（x）在0，1递增，可

13、得 f（x） f（1），max可得 g（t）的最小值为 ，令 scost，所以 ss +2s 的最小值为 ，2所以 s ，即 cost1，tm， ，由 ycost 的图象可得m 【点睛】本题考查函数的奇偶性和单调性的判断和运用，考查换元法和定义法的运用，考查化简整理的运算能力，属于中档题20.已知向量，函 数，的最小正周期为 （1）求的单调增区间；在（2）方程上有且只有一个解，求实数 n 的取值范围；+m（ -（3）是否存在实数 m 满足对任意 x -1，1，都存在 x R，使得 +）+112f（x ）成立若存在，求 m 的取值范围；若不存在，说明理由2【答案】（1），（2）或（3）存 在，且

14、 m 取值范围为【】【分析】 （1）函数，的最小正周期为 可得 ，即可求解的单调增区间（2）根据 x 在上求解的值域，即可求解实数 n 的取值范围；（3）由题意，求解即可求解 m 的范围的最小值，利用换元法求解的最小值，【详解】（1）函数 f（x）12sin （ x）cos（2 x）12sin（2 x）cos（2 x）2sin（2 x ）f（x）的最小正周期为 0， 1那么 f（x）的式 f（x）2sin（2x ）令2x，kZ得：xf（x）的单调增区间为，kZ（2）方程 f（x）2n+10；在0， 上有且只有一个解，转化为函数 yf（x）+1 与函数 y2n 只有一个交点x 在0， 上，（2x

15、 ）那么函数 yf（x）+12sin（2x ）+1 的值域为函数 yf（x）+1 与函数 y2n 只有一个交点，2，结合图象可知那么可得2n1 或 2n2，或 n1（3）由（1）可知 f（x）2sin（2x ）f（x ） 2min2实数 m 满足对任意 x 1，1，都存在 x R，12 使得即m（m（）+1f（x ）成立2）+12 成立）+1令 y设m（t，那么（） +2t +22 2x 1，1，1t ， ，可得 t +mt+50 在 t ， 上成立2令 g（t）t +mt+50，2其对称轴 tt ， 上，当当时，即 m3 时，g（t） g（ ），解得0，解得3m3；0，解得 m3；min，即

16、3m3 时，g（t） g（）min当，即 m3 时，g（t） g（ ）min综上可得，存在 m，可知 m 的取值范围是（， ）【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键同时考查了二次函数的最值的讨论和转化思想的应用属于难题 使得即m（m（）+1f（x ）成立2）+12 成立）+1令 y设m（t，那么（） +2t +22 2x 1，1，1t ， ，可得 t +mt+50 在 t ， 上成立2令 g（t）t +mt+50，2其对称轴 tt ， 上，当当时，即 m3 时，g（t） g（ ），解得0，解得3m3；0，解得 m3；min，即3m3 时，g（t） g（）min当，即 m3 时，g（t） g（ ）min综上可得，存在 m，可知 m 的取值范围是（， ）【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键同时考查了二次函数的最值的讨论和转化思想的应用属于难题