2019年清华附中新高一分班考试数学试题-真题-含详细解析.docx

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1、 2019 年清华附中新高一分班考试数学试题 真题一、选择题（本大题共 12 小题，共 36 分）1. 下表为小洁打算在某电信公司购买一支手机与搭配一个号码的两种方案此公司每个月收取通话费与月MAT租费的方式如下：若通话费超过月租费，只收通话费；若通话费不超过月租费，只收月租费若小洁每个月的通话费均为 元， 为 400 到 600 之间的整数，则在不考虑其他费用并使用两年的情况下， 至少为多少才xxx会使得选择乙方案的总花费比甲方案便宜？( )号码的月租费(元)手机价格(元)1500013000MAT注意事项：以上方案两年内不可变更月租费A.B.C.D.600500516517.2. 如图，矩

2、形中， 、 、 三点在 上， 是矩形两对角线的交点若M E F NABCD=.24，= 32，= 16，= 8，则下列哪一条直线是 、 两点的对= 7 A C称轴？( )A.B.C.D.直线直线中，直线直线DNMNENFN3. 如图，在正方形= 3，点 ， 分别在边E F，AB CD上，= 60.若将ABCD四边形沿EBCF EF折叠，点 恰好落在B边上，则BE的长度为( )ADA.B.C.D.21234. 如图，抛物线 = 0；+ 的对称轴是 = 1，下列结论： 0； + 0，2正确的有( )A.B.C.D.4 个3 个2 个1 个第 1 页，共 35 页 5. 如图，中， 点在D上，将 点

3、分别以 、 为对称轴，画出对称点 、 ，并连接 AE、 根据D AB AC E FBC图中标示的角度，求的度数为何？( )A.B.C.D.1341131241296. 如图，有一三角形的顶点 、 皆在直线 上，且其内心为 今固定 点，将此三角形依顺时针方向旋B C L CABC转，使得新三角形的顶点 落在 上，且其内心为 若L 0；当 = 2时，函数最小值为6；若点(8, )，点(8, )在二次函数图象上，则 2)与抛物线及(3)中的点 所在曲线都有两个交点，交点从左到右依次为 ， ，12， ，请根据图象直接写出线段 1 2，3 4之间的数量关系_34第 6 页，共 35 页 23. 已知直线

4、 ： =+ 10交 轴于点 ，交 轴于点 ，二次函数的图象过 ， 两点，交 轴于另一点 ，yAxBA BxC1= 4，且对于该二次函数图象上的任意两点(1)求二次函数的表达式；, )，, )，当 5时，总有 1112221212(2)若直线 ： =+ 10)，求证：当 = 2时，1；22为线段上不与端点重合的点，直线 ： =+ 过点 且交直线于点 ，求与面BC积之和的最小值CAEF324. 已知的两边分别与 相切于点 ， ， 的半径为 A Br(1)如图 ，点 在点 ， 之间的优弧上，= 80，求的度数；最大时，要使四边形 为菱形，APBC1CA B(2)如图 ，点 在圆上运动，当的度数应为多

5、少？请说明理2CPC由；(3)若交 于点 ，求第(2)问中对应的阴影部分的周长(用含 的式子表示)D rPC第 7 页，共 35 页 25. 某数学课外活动小组在学习了勾股定理之后，针对图 中所示的“由直角三角形三边向外侧作多边形，它们1的面积 ， ， 之间的关系问题”进行了以下探究：123类比探究(1)如图 ，在 中，BC 为斜边，分别以 ， ， 为斜边向外侧作 AB AC BC， ， 2，若1 = 2 = 3，则面积 ， ， 之间的关系式为_；123推广验证(2)如图 ，在 中，BC 为斜边，分别以 ， ， 为边向外侧作任意AB AC BC，3满足1 = 2 = 3，立，请说明理由；拓展应

6、用=，则(1)中所得关系式是否仍然成立？若成立，请证明你的结论；若不成(3)如图 ，在五边形中，= 105，= 90，= 2 3，= 2，点 在4ABCDEPAE上，= 30，= 2，求五边形的面积ABCDE第 8 页，共 35 页 26. 如图 1，在平面直角坐标系中，点 的坐标是(0, 2)，在 轴上任取一点 ，连接，分别以点 和点AMAxMAM为圆心，大于1的长为半径作弧，两弧相交于 ， 两点，作直线G H，过点 作 轴的垂线 交直线GHMxlGH2于点 根据以上操作，完成下列问题探究：(1)线段与 的数量关系为_，其理由为：_PA PM(2)在 轴上多次改变点 的位置，按上述作图方法得

7、到相应点 的坐标，并完成下列表格：xMP的坐标(2,0)_(0,0)(2,0)(2, 2)(4,0)_MP的坐标(0, 1)猜想：(3)请根据上述表格中 点的坐标，把这些点用平滑的曲线在图 2 中连接起来；观察画出的曲线 ，猜想曲线PL的形状是_L验证：(4)设点 的坐标是，根据图 1 中线段与 的关系，求出 关于 的函数解析式PA PM y xP应用：(5)如图 3，点范围3)，3)，点 为曲线 上任意一点，且 27400，解得： 516 ，即 x 至少为 51723故选 C由 x 的取值范围，结合题意找出甲、乙两种方案下两年的总花费各是多少，再由乙方案比甲方案便宜得出关于x 的一元一次不等

8、式，解不等式即可得出结论本题考查了一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是结合题意找出关于x 的一元一次不等式本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据数量关系列出不等式(方程或方程组)是关键2.【答案】C【解析】解： 、C 两点的对称轴是线段 AC 的垂直平分线，连接 AC，过点 N 作 AC 的垂直平分线 PN 交 AD 于点 P，= 24，= 32，= 24 + 32 = 402= 20，=2，=，= ，20即 = ，3240解得，= 25， 、E、F 三点在 AD 上，= 32，= 16，= 8，= 7，= 32 7 = 25，点 P 与点 F 重合故选 C根据题意可

9、知 A、C 两点的对称轴是线段 AC 的垂直平分线，画出合适的辅助线，然后根据题意可以求得AC 和 AN的长，然后根据三角形相似的知识可以求得AP 的长，从而可以得到 P 与哪一个点重合，本题得以解决第 11 页，共 35 页 本题考查轴对称的性质、矩形的性质，解题的关键是明确题意，作出合适的辅助线，找出所求问题需要的条件3.【答案】D【解析】解：四边形 ABCD 是正方形，= 90，= 60，=将四边形 EBCF 沿 EF 折叠，点 B 恰好落在 AD 边上，= 60，=，= 180 = 60，=，设= ，则= ，= 3 ， 2(3 = ，解得 = 2故选：D由正方形的性质得出= 60，由折

10、叠的性质得出= 60，=，设= ，则= ， = 3 ，由直角三角形的性质可得：2(3 = ，解方程求出 x 即可得出答案本题考查了正方形的性质，折叠的性质，含30角的直角三角形的性质等知识点，能综合性运用性质进行推理是解此题的关键4.【答案】B【解析】解：由抛物线的开口向下可得： 0，根据抛物线与 y 轴的交点在正半轴可得： 0， 0，故正确；直线 = 1是抛物线 =由图象可知，当 = 2时， 0，即 2 + 0，2+ 0)的对称轴，所以 = 1，可得 =，2+ 0，即 + 0；当 = 1时， = + 0，两式相加得， + + 0，故正确；第 12 页，共 35 页 结论正确的是3个，故选：B

11、根据抛物线的开口方向、对称轴、与坐标轴的交点判定系数符号及运用一些特殊点解答问题本题考查的是二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的性质、灵活运用数形结合思想是解题的关键，解答时，要熟练运用抛物线上的点的坐标满足抛物线的解析式5.【答案】D【解析】解：连接 AD， 点分别以 AB、AC 为对称轴，画出对称点 E、F，= 62，=，=，= 51，+= 180 62 51 = 67，= 134，故选：D连接 AD，利用轴对称的性质解答即可此题考查轴对称的性质，关键是利用轴对称的性质解答6.【答案】C【解析】解：作 于 D， 于 E，于 F，如图所示：则，的内心为 I，= ，的内心为 ，121=，=

12、，2四边形是矩形， 和不平行，故选：C第 13 页，共 35 页 于 D， 于 E，于 F，由内心的性质得出 = ，IC=12，=作 12，证出四边形是矩形，得出，证出 ，得出和不平行，即可得出结论本题考查了三角形的内心、平行线的判定、旋转的性质；熟练掌握三角形的内心性质和平行线的判定是解题的关键7.【答案】D【解析】解：四边形 ABCD 是矩形，=，= 90，=，=，=，= 90，中，=在和，=，=，=，故正确；=在和中，=，=，=，=，故正确；，即 ，=，四边形 NEMF 是平行四边形，故正确；=，=，四边形 DEBF 是平行四边形，=，=，是等边三角形，= 60，第 14 页，共 35

13、页 = 90 = 30，= 30，=，=，四边形 DEBF 是菱形；故正确；正确结论的个数是 4 个，故选：D证，得出，故正确；证四边形 NEMF 是平行四边形，得出，则 ，得出四边形 DEBF 是菱形；故正确；即可得出结论=，=，故正确；证，得出=，=，故正确；证四边形 DEBF 是平行四边形，证出=本题考查了矩形的性质、菱形的判定、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定等知识；熟练掌握矩形的性质和菱形的判定，证明三角形全等是解题的关键8.【答案】B【解析】解：如图，点 C 为坐标平面内一点， = 1， 在 的圆上，且半径为 1，取= 2，连

14、接 CD，=，=，是的中位线，1=，2当 OM 最大时，即 CD 最大，而 D，B，C 三点共线时，当 C 在 DB 的延长线上时，OM 最大，= 2， = 90，第 15 页，共 35 页 = 22，= 22 + 1，1= 2 + ，即 OM 的最大值为2 + ；11=222故选：B根据同圆的半径相等可知：点 C 在半径为 1 的 上，通过画图可知，C 在 BD 与圆 B 的交点时，OM 最小，在DB 的延长线上时，OM 最大，根据三角形的中位线定理可得结论本题考查了坐标和图形的性质，三角形的中位线定理等知识，确定OM 为最大值是点 C 的位置是关键，也是难点9.【答案】A【解析】解：设正六

15、边形的中心为 O，连接 OA，OB由题意，= 4，2383 43，= 4 =2弓形扇形360148= 6 ) = 6 ( 2 + 43) = 243 ，2阴半圆弓形23故选：A设正六边形的中心为 O，连接 OA，OB 首先求出弓形 AmB 的面积，再根据= 6 )求解即可阴半圆弓形本题考查正多边形和圆，扇形的面积，弓形的面积等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题10.【答案】D【解析】解：如图，设，平行四边形 DEGF 的面积分别为 ， ， 和 S，123过点 D 作 ，则由 DFGE 为平行四边形，易得四边形 DHCE 也为平行四边形，从而，= ，3，= 3，= 7，9= ，

16、149第 16 页，共 35 页 = 14，9= 14，1491： = ( 4)：3 = 2：3，22= ，3239+ = 14 14，4948 = 7故选：D如图，设过点 D 作，平行四边形 DEGF 的面积分别为 ， ， 和 S，123，则由 DFGE 为平行四边形，易得四边形 DHCE 也为平行四边形，从而，利用面积比等于相似比的平方可求本题是巧求面积的选择题，综合考查了平行四边形，相似三角形的性质等，难度较大11.【答案】B【解析】解：设2)，+2)， 0) 点坐标为(3,0)，=，为正三角形，=，= 60，233 =2+ 3, 2)3设抛物线解析式 =+ 3) ，2233，+ 3)

17、= 223 = ，23 =+ 3) ，2227当 = 0时， = ；2第 17 页，共 35 页 故选：B2设2)，+2)， 0)，可知=，再由等边三角形的性质可知+ 3, 2)，设抛物线3解析式 =+ 3) ，将点 C 代入解析式即可求 a，进而求解；2本题考查二次函数的图象及性质，等边三角形的性质；结合函数图象将等边三角形的边长转化为点的坐标是解题的关键12.【答案】C【解析】解：如图，连接 PF，QF，PC，QC， 、Q 两点分别为、的内心，的角平分线，是的角平分线，FQ 是= 30，1212= 30，= 30，同理，=，是等边三角形，；=易得，且内角是30，60，90的三角形，= 2，

18、 = 4， = 2 23 = 23，= 23，=121=2过点 P 作点 P 是，PQ 交 CF 于 G，的内心，= ，=+121112=+211= 2 2+ 23 + 4 22= (1 + 3 +第 18 页，共 35 页 = (3 += 23，23= 3 13 + 3= 2(3 1)= 23 2故选： C先判断出，再求出 = 2 3，= 2，= 4，利用的面积的两种算法即可求出 PG，然后计算出即可PQ此题是三角形的内切圆与内心，主要考查了三角形的内心的特点，三角形的全等，解本题的关键是知道三角形的内心的意义13.【答案】13【解析】解：由题意得，阴影扇形的半径为 1 ，圆心角的度数为12

19、0，m则扇形的弧长为：，180而扇形的弧长相当于围成圆锥的底面周长，因此有：=，1801解得， = ，31故答案为： 3求出阴影扇形的弧长，进而可求出围成圆锥的底面半径本题考查圆锥的有关计算，明确扇形的弧长相当于围成圆锥的底面周长是解决问题的关键14.【答案】2 5 2【解析】解：如图，连接 ， BE BD由题意，= 2 + 4 = 2522= 90，= 4，=，第 19 页，共 35 页 12= 2，点 的运动轨迹是以 为圆心，2 为半径的圆，EB当点 落在线段上时，DE 的值最小，BDE的最小值为2 5 2故答案为2 5 2如图，连接 BE，求出 ， ，根据BE BD求解即可本题考查点与圆

20、的位置关系，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型15.【答案】【解析】解：如图，过点 任意作两条直线分别交反比例函数的图象于 ， ， ， ，得到四边形 ABCDO A C B D由对称性可知，=，=，四边形是平行四边形，ABCD当=时，四边形是矩形ABCD反比例函数的图象在一，三象限，直线 与直线 不可能垂直，AC四边形BD不可能是菱形或正方形，ABCD故选项正确，故答案为，如图，过点 任意作两条直线分别交反比例函数的图象于 ， ， ， ，得到四边形O A C B D证明四边形是ABCD平行四边形即可解决问题本题考查反比例函数的性质，平行四边形

21、的判定，矩形的判定，菱形的判定，正方形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型16.【答案】43厘米或43厘米或8 433第 20 页，共 35 页 【解析】解：当当= 30时，= 43；34= 43；= 30时，= 15时，33= 30，延长交于 ，如下图所示，AD F设= ，则= ，= 2 ，343，3=+=243，= +33 = 8 43，= 8 43故答案为：43厘米或4 3厘米或8 4 3厘米3根据翻折可得=，分 3 种情况讨论：当= 30时或当= 30时或当= 30时求的AE长本题考查了翻折变换、矩形的性质，解决本题的关键是掌握矩形性质17.【答案】【解

22、析】解：将(4,0)(0, 4)(2,6)代入 =+ 得，2 = 4+ = 0= 1，解得， = 3 ，= 4+ = 6抛物线的关系式为 =+ 4，2= 1 0，因此正确；33对称轴为 = ，即当 = 时，函数的值最小，因此不正确；22把(8, )(8, )代入关系式得， = 64 24 4 = 36， = 64 + 24 4 = 84，因此正确；2121方程+ = 5，也就是 + 4 = 5，即方 + 1 = 0，由 = 9 4 = 5 0可得 +22222+ 1 = 0有两个不相等的实数根，因此正确；正确的结论有：，故答案为：任意取表格中的三组对应值，求出二次函数的关系式，再根据二次函数的

23、图象与系数之间的关系进行判断即可第 21 页，共 35 页 本题考查二次函数的图象和性质，理解和掌握二次函数的图象与系数的关系是正确判断的关键18.【答案】【解析】解：把沿折叠，使点 恰好落在 边上的 处，D ABAD AE= 90 =是矩形，=，=，四边形又= 3，四边形是正方形，= 3，= = 6，= 45，= 2，点 是中点，F= 1，=+= 3 + 1 = 2，22将绕点 顺时针旋转 ，E= 6，= ，= 45，= 6 2，故正确；13，3=3= 30 = 30 + 45 = 75，弧的长度=3 = 53 ，故正确；18012=，= 75，= 52.5，= 7.5，= 120 ，与，不

24、全等，故错误；=，=，=+= 105，= 52.5 =，又，故正确，第 22 页，共 35 页 故答案为：由折叠的性质可得= 90 =，=，可证四边形= 45，由勾股定理可求 EF 的长，由旋转的性质可得= 45，可求 = 6 2，可判断；由锐角三角函数可求= 52.5，= 52.5，可证是正方形，可得= 3，= = 6，= 6，= ，=30，由弧长公式可求弧的长度，可判断；由等腰三角形的性质可求=7.5，可判断；由“ ”可证 HL，可得=，可判断，即可求解本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数，弧长公式，等腰三角形的在，旋转的性质，相似

25、三角形的判定和性质等知识，灵活运用这些性质进行推理证明是本题的关键19.【答案】解：(1)设每个 类摊位的占地面积为 平方米，则每个 类摊位占地面积为 + 2)平方米，BxA60603根据题意得：解得： = 3，= ，5经检验 = 3是原方程的解，所以3 + 2 = 5，答：每个 类摊位占地面积为 平方米，每个 类摊位的占地面积为 平方米；A 5 B 3(2)设建 摊位 个，则建 摊位(90 个，AaB由题意得：90 ，解得 22.5，建 类摊位每平方米的费用为 元，建 类摊位每平方米的费用为 元，A40 B 30要想使建造这 个摊位有最大费用，所以要多建造 类摊位，即 取最大值 时，费用最大，90 A a 22此时最大费用为：22 40 5 + 30 (90 22) 3 = 10520，答：建造这 个摊位的最大费用是90元10520【解析】(1)设每个 类摊位的占地面积为 平方米，则每个 类摊位占地面积为 + 2)平方米，根据用 平方60BxA3米建 类摊位的个数恰好是用同样面积建 类摊位个数的 这个等量关系列出方程即可AB5(2)设建 摊位 个，则建 摊位(90 个，结合“ 类摊位的数量不少于 类摊位数量的 倍”列出不等式并AaBBA3解答本题考查了分式方程的应用和一元一次不等式的应用解决本题的关键是读懂