2020年湖南省普通高中学业水平考试数学试题(解析版).docx

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1、 一、单选题1如图所示的几何体是（）B棱锥C圆台【解析】分析几何体的结构，可得出合适的选项.故选：D.,2已知向量，若）xa = 2,1 b = -1,1 a + b = 1,2 = x,2 ，因此，x =1.， ，则故选：B.）pABCD242第 1 页 共 11 页 【详解】由圆的方程知：圆 的半径为1，所以面积 = p 2 = p ，CSr故选：C【点睛】本题考查了圆的标准方程，由圆的方程求面积，属于简单题.4盒子里装有大小相同的2 个红球和1 个白球，从中随机取出1 个球，取到白球的概率是（）1A32312BCD1【答案】A【解析】直接由古典概型的概率公式求解即可【详解】解：由题意可知

2、盒子里装有大小相同的红球和白球共3 个，其中1 个白球，1所以从中随机取出1 个球，取到白球的概率是 ,3故选：A【点睛】此题考查古典概型的概率的计算，属于基础题5要得到函数 =1+sin 的图象，只需将函数 =sin 的图象（）yxyxA向上平移1 个单位长度C向右平移1 个单位长度【答案】AB向下平移1 个单位长度D向左平移1 个单位长度【解析】由函数图象平移原则即可知如何平移 =sin 的图象得到 =1+sin 的图象.yxyx【详解】根据“左加右减，上加下减”的原则，将函数 =sin 的图象向上平移 1 个单位可得yxy=1+sin x 的图象，故选：A.【点睛】本题考查了由平移前后的

3、函数解析式描述图象变换过程，属于简单题.6已知数列 满足 =1，=2 ，则 =（）anaan+1aa14nA4B8C16D32【答案】B2n1 ，即可求 的值.a【解析】由已知可得通项公式a4n【详解】第 2 页 共 11 页 由题意an+1a a=2 可知，数列 是首项为 1，公比为 2 的等比数列，nn2n故可得数列的通项公式为a1 ，n= 2 = 8，a34故选：B.【点睛】本题考查了等比数列，由定义法求等比数列通项公式，进而求项，属于简单题.x +2, x 0, x 0(x) =7已知函数 f，若 (0)= ，则 ( )=（）faf a xA4B2CD02【答案】C= 2【解析】先由

4、(0)= ，可得a，从而可求出 ( )的值f afa【详解】解：因为 (0)= ，代入分段函数中可得0+ 2 = a ，得a = 2，fa所以 f (a) = f (2) = 2，故选：C【点睛】此题考查分段函数求值问题，属于基础题( )= 2sin xcos x 的最小正周期是（8函数 f x）pBpC p2D4pA2【答案】B( )f x【解析】利用二倍角的正弦公式化简函数的解析式，利用正弦型函数的周期公式可求得结果.【详解】( )( )f x2pf x = 2sin xcos x = sin 2x= p .，所以，函数的最小正周期为T =2故选：B.【点睛】本题考查正弦型函数周期的求解，

5、同时也考查了二倍角正弦公式的应用，考查计算能力，属于基础题.9用12cm 长的铁丝折成一个面积最大的矩形，则这个矩形的面积是（）第 3 页 共 11 页 【解析】由已知可得x + y = 6，而矩形的面积S = xy，应用基本不等式即可求矩形的最大面积.【详解】设矩形的长、宽分别为x, y，= 9 cm2，当且仅当x= y = 3时等号成立，S4【点睛】本题考查了基本不等式的应用，由和定求积的最大值，属于简单题.上的函数 = ( )的图象如图所示.下述四个结论:y f x函数 = ( )的单调递减区间为y f xf (a) + f (-a) = 0其中所有正确结论的编号是（ ）ABCD【答案】

6、D第 4 页 共 11 页 x【解析】由图像直接得其最小值和最大值，单调区间，由图像与 轴交点的个数可得其f (a) + f (-a) = 0零点的个数，当a =1时，可得【详解】解：由图像可知函数的最大值大于2，最小值小于-2 ，所以错误；-1,1，所以正确；由图像可知函数 = ( )的单调递减区间为y f xx由图像可知其图像与 轴交点的个数为3，所以函数有3 个零点，所以错误；(a) + f (-a) = f (1)+ f (-1) = -2 + 2 = 0 ，所以正确，当 =1时，有 fa故选：D【点睛】此题考查函数图像的应用，考查函数的零点，单调性，考查数形结合的思想，属于基础题二、

7、填空题a=_.= x | x =1, B = x | x = a11已知集合A，若 ，则A B2【答案】1【解析】由A B ，得到1 是方程x = a 是方程的根，代入即可求解.2【详解】由题意，集合A= x | x =1, B = x | x = a，2因为A B ，所以1B，即1 是方程x = a 是方程的根，解得a =1，2 b = -1,1当 =1，可得集合,此时满足A B ，a所以 =1.a1故答案为： .【点睛】本题主要考查了根据集合间的关系求解参数问题，其中解答中熟记集合件的包含关系，结合元素与集合的关系，列出方程求解是解答的关键，属于基础题.12某班视力近视的学生有15 人，视

8、力正常的学生有30 人.为了解该班学生近视形成的原因，拟采用分层抽样的方法抽取部分学生，调查相关信息，则抽取的学生中视力近视与视力正常的人数之比为_1【答案】2第 5 页 共 11 页 【解析】利用分层抽样的定义直接求解即可【详解】解：因为某班视力近视的学生有15 人，视力正常的学生有30 人，15 1=所以用分层抽样的方法抽取部分学生中，视力近视与视力正常的人数之比为，30 21故答案为：2【点睛】此题考查分层抽样的应用，属于基础题13已知直线 : = ， : = .若 ，则 =_.l y x l y kx l lk1212【答案】-1【解析】由两直线垂直有斜率之积为-1，即可求 值.k【详

9、解】由 ，知：kl l= -1，12故答案为：-1.【点睛】本题考查了根据直线垂直求斜率，属于简单题.14已知等差数列 满足 =1， =2，则 的前5 项和 = _.aaaaS125nn【答案】15n(a + a )a = n ，结合S=【解析】由题意可得等差数列通项公式可得前 项和公n1n2nn式，进而求S 即可.5【详解】由等差数列 满足 =1， =2，知：公差d=1，anaa12a = a + (n -1)d = n 是首项为1，公差为1 的等差数列，故通项公式为，ann1n(a + a ) n(n +1)=由等差数列前 项和公式S，n1n22n5(5+1)=15，即可得S25故答案为：

10、15.【点睛】本题考查了求等差数列前 项和，属于简单题.n15已知角 的终边经过点(3，4)，则cos=_.第 6 页 共 11 页 3解：因为角的终边经过点(3，4)，3=所以r23 + 423【点睛】此题考查任意角的三角函数的定义的应用，属于基础题三、解答题（1）求该校学生学习的周均时长的众数的估计值;【解析】（1）根据直方图，频率最大的区间中点横坐标为众数即可求众数；（2）由学习，它们的频率之和，即为该校学生学习的周均时长不少于30 小时的概率.【详解】（1）根据直方图知：频率最大的区间中点横坐标即为众数，由频率最大区间为20,30)，则众数为2第 7 页 共 11 页 ，.【点睛】17

11、如图所示，ABC 中， = =2， =2 3 .AB AC BC（1）求内角 的大小;B（2）设函数 ( )=2sin( + )，求 ( )的最大值，并指出此时 的值.xpp【答案】（1） = ，（2）( )的最大值为 2，此时xf xB36【解析】（1）利用余弦定理求解即可；（2）利用正弦函数的性质直接求其最大值【详解】3 .AB ACBCAB + BC - AC2 + (2 3) - 23222222=，222 32p(0, )，所以 = ，B6（2）由（1）可知 f，6p( )时， f x 取最大值 2，即318如图所示，三棱锥 -P ABC的中点.第 8 页 共 11 页 （1）求证:

12、 EF/平面PAB;（2）已知= =4， =6，求三棱锥 -的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）4.【解析】（1）连接EF 有中位线EF/ /PB ，结合EF, PB 与面的关系，由线面平PAB/ /FG / /PA交AC 于G 易知行的判定即可证EF 面PAB；（2）过F 作是三棱锥FGS=的高，结合已知有S即可求三棱锥 - 的体积.F AEC（1）连接EF ，在中EF 为中位线，故EF/ /PB ，交AC 于G ，如下图示：第 9 页 共 11 页 平面ABC，PAFG 平面ABC，即FG 是三棱锥 -F AEC的高，又 为FPC 的中点，PA= 3，由 =6，则FGPA244S又=

13、=4， 为AB AC的中点且 ，知：AB ACS=ABC= 4，EBC24AEC1= FGS= 4.三棱锥 -F AEC的体积V3AEC【点睛】本题考查了应用线面平行的判定证明线面平行，应用三棱锥体积公式求体积，属于简单题.，其中a 0，且a 1.(x) = a ，g(x) = a19已知函数 fx- x(x) 的奇偶性，并说明理由;（ ）判断 f1f (x) g(x) x对R都成立，求 的取值范围;a（ ）若不等式2(1)= 2 ，直线y t=与y = f (x)的图象交于A B，=y t两点，直线 与（ ）设 f312y = g(x) 的图象交于C，D，两点，得到四边形ABCD.证明 存在

14、实数t t ，使四边形:12ABCD 为正方形.【答案】（1）偶函数，理由见解析；（2） 1；（3）证明见解析a【解析】（1）利用函数的奇偶性做出判断;(x) g(x) a a对x R 都成立，可求出 的范围a（2） fx- x（3）由f (1)= 2 ，求出a = 2=2，由已知AB BC 得到 x2- 2- x0=1得，求得t t=x001 2证.【详解】(x) 是偶函数(1)f f (x)是偶函数=a = f (x) ,f (x) = a ， f (-x) = ax-xx(x) = a ，g(x) = a f (x) g(x) a a（2） fx- xx- xx - x x 0 xR当

15、1时满足题意，a当0 a 1a第 10 页 共 11 页 f (x) = 2 ，g(x) = 2x因为四边形ABCD为正方形，所以AB = BC,设C x t( , )则01022x = t - t，又tx0121202 12 2log t + log t = 0 t t =12 1221 2当121 2题.第 11 页 共 11 页 平面ABC，PAFG 平面ABC，即FG 是三棱锥 -F AEC的高，又 为FPC 的中点，PA= 3，由 =6，则FGPA244S又= =4， 为AB AC的中点且 ，知：AB ACS=ABC= 4，EBC24AEC1= FGS= 4.三棱锥 -F AEC的体

16、积V3AEC【点睛】本题考查了应用线面平行的判定证明线面平行，应用三棱锥体积公式求体积，属于简单题.，其中a 0，且a 1.(x) = a ，g(x) = a19已知函数 fx- x(x) 的奇偶性，并说明理由;（ ）判断 f1f (x) g(x) x对R都成立，求 的取值范围;a（ ）若不等式2(1)= 2 ，直线y t=与y = f (x)的图象交于A B，=y t两点，直线 与（ ）设 f312y = g(x) 的图象交于C，D，两点，得到四边形ABCD.证明 存在实数t t ，使四边形:12ABCD 为正方形.【答案】（1）偶函数，理由见解析；（2） 1；（3）证明见解析a【解析】（1

17、）利用函数的奇偶性做出判断;(x) g(x) a a对x R 都成立，可求出 的范围a（2） fx- x（3）由f (1)= 2 ，求出a = 2=2，由已知AB BC 得到 x2- 2- x0=1得，求得t t=x001 2证.【详解】(x) 是偶函数(1)f f (x)是偶函数=a = f (x) ,f (x) = a ， f (-x) = ax-xx(x) = a ，g(x) = a f (x) g(x) a a（2） fx- xx- xx - x x 0 xR当 1时满足题意，a当0 a 1a第 10 页 共 11 页 f (x) = 2 ，g(x) = 2x因为四边形ABCD为正方形，所以AB = BC,设C x t( , )则01022x = t - t，又tx0121202 12 2log t + log t = 0 t t =12 1221 2当121 2题.第 11 页 共 11 页