潍坊市2021届高三上学期期中考试-数学试题(含答案).docx

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1、 潍坊市 2021 届高三上学期期中考试数学试题第卷(选择题 共 60 分)一、 单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分1. 已知集合 Ax|2x4，Bx|5x3，则 AB(A. x|5x4 B. x|5x2)C. x|2x3 D. x|3x1”是“(a1)(a2)y，则下列判断正确的是()1 1x y1212A. B. x y C. ( ) ( ) D. ln(xy1)033xy251211. 已知函数 f(x)cos(x)(0，0 )的最小正周期为，其图象的一条对称轴为 x，则()3A. B. 函数 yf(x)的图象可由 ysin 2x 的图象向左平移 个单位长度得到

2、3232C. 函数 f(x)在0， 上的值域为1， 2D. 函数 f(x)在区间， 上单调递减124 x ， 0x1，af（x1），212. 已知函数 f(x)其中 aR.下列关于函数 f(x)的判断正x1，确的是()3A. 当 a2 时，f( )42B. 当|a|0 时，不等式 f(x)2ax 在0，)上恒成立第卷(非选择题 共 90 分)三、 填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分2x13. (x ) 的展开式中 x 的系数为_2542 14. 若一直角三角形的面积为 50，则该直角三角形的斜边的最小值为_15. 已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数，满足 f(1x)f

3、(1x)若 f(1)1，则 f(1)f(2)f(3)f(2 021)_16. 已知菱形 ABCD 边长为 3，BAD60，点 E 为对角线 AC 上一点，AC6AE.将ABD 沿 BD翻折到ABD 的位置，E 记为 E，且二面角 ABDC 的大小为 120，则三棱锥 ABCD 的外接球的半径为_；过 E作平面 与该外接球相交，所得截面面积的最小值为_四、 解答题：本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17. (本小题满分 10 分)已知正三棱柱 ABCA B C 的底面边长为 2，点 E，F 分别为棱 CC 与 A B 的中点11111 1(1) 求证：直线 E

4、F平面 A BC；1(2) 若该正三棱柱的体积为 2 6，求直线 EF 与平面 ABC 所成角的余弦值18. (本小题满分 12 分)AB在 csin Bbsin， cos B 21； bcos Ccsin Ba 这三个条件中任选一个，补充在下面27问题中的横线处，并完成解答问题：ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，A ，点 D 是边 AB 上一点，AD5，CD37，且_，试判断 AD 和 DB 的大小关系注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分3 19. (本小题满分 12 分)已知函数 f(x)x 3x 3bxc 在 x0 处取得极大值 1.32(1) 求函数 yf

5、(x)的图象在 x1 处的切线的方程；(2) 若函数 f(x)在t，t2上不单调，求实数 t 的取值范围20.(本小题满分 12 分)在四棱锥 PABCD中，底面 ABCD 为直角梯形，CDAB，ABC90，AB2BC2CD4，侧面PAD平面 ABCD，PAPD2.(1) 求证：BDPA；13(2) 已知平面 PAD与平面 PBC 的交线为 l，在 l 上是否存在点 N，使二面角 PDCN 的余弦值为 ？若存在，请确定点 N 位置；若不存在，请说明理由4 21. (本小题满分 12 分)2020年10月16日是第40个世界粮食日中国工程院院士袁隆平海水稻团队迎来了海水稻的测产收割，其中宁夏石嘴

6、山海水稻示范种植基地 YC801 测产，亩产超过 648.5 公斤，通过推广种植海水稻，实现亿亩荒滩变粮仓，大大提高了当地居民收入某企业引进一条先进食品生产线，以海水稻为原料进行深加工，发明了一种新产品，若该产品的质量指标为 m(m70，100)，其质量指标等级划分如下表：质量指标值75，80)80，85)85，90)90，100m质量指标等级良好优秀良好合格废品为了解该产品的经济效益并及时调整生产线，该企业先进行试生产现从试生产的产品中随机抽取了 1000 件，将其质量指标值 m 的数据作为样本，绘制如图所示的频率分布直方图：(1) 若将频率作为概率，从该产品中随机抽取 3 件产品，记“抽出

7、的产品中至少有 1 件不是废品”为事件 A，求事件 A 发生的概率；(2) 若从质量指标值 m85 的样本中利用分层抽样的方法抽取 7 件产品，然后从这 7 件产品中任取 3件产品，求质量指标值 m90，95)的件数 X 的分布列及数学期望；(3) 若每件产品的质量指标值 m 与利润 y(单位：元)的关系如下表(1t4)：70，75)75，80)80，85)85，90)90，100m53利润 y(元)6t8t4t2t et试分析生产该产品能否盈利？若不能，请说明理由；若能，试确定t 为何值时，每件产品的平均利润达到最大(参考数值：ln 20.7，ln 51.6)5 22. (本小题满分 12

8、分)已知函数 f(x)xe a(ln xx)x(1) 当 a0 时，求 f(x)的最小值；(2) 若对任意 x0 恒有不等式 f(x)1 成立求实数 a 的值；求证：x e (x2)ln x2sin x.2 x6 参考答案1. C 2. B 3. C 4. C 5. B 6. B 7. D 8. A 9. ABD 10. BD 11. BC 12. ACD21 913. 40 14. 10 2 15. 1 16.4(第一空 2 分，第二空 3 分)217. (1) 证明：取 BB 中点 D，连接 ED，FD，(1 分)1在平行四边形 BCC B 中，点 E 为 CC 的中点，点 D 为 BB

9、的中点，1111所以 EDCB.在B BA 中，点 F 为 A B 的中点，点 D 为 BB 的中点，11111所以 FDA B.(3 分)1又 ED，FD平面 EFD，EDFDD，所以平面 EFD平面 A BC.1又 EF平面 EFD，所以 EF平面 A BC.(5 分)134(2) 解：设 AA h，VABCA B C Sh 4h，ABC1111所以 3h2 6，即 h2 2.(6 分)因为平面 ABC平面 A B C ，11 1所以 EF 与平面 ABC 所成的角即为 EF 与平面 A B C 所成的角11 1因为 CC 平面 A B C ，111 1所以 EF 在平面 A B C 上的

10、射影为 C F，1111所以EFC 为 EF 与平面 A B C 所成的角(8 分)111 1因为 EC 2，FC 3，所以 EF 5，11所以 cosEFC 15，即 EF 与平面 ABC 所成角的余弦值为 15.(10 分)35515318. 解：设 ACx，在ACD 中，由余弦定理可得 49x 252x5cos ，(2 分)2即 x 5x240，解得 x8 或 x3(舍去)，所以 AC8.(3 分)2选择条件：AB由正弦定理得 sin Csin Bsin Bsin.(4 分)2AB因为 B(0，)，所以 sin B0，所以 sin Csin.(5 分)2C2C2C2因为 ABC，所以 s

11、in C2sin cos cos .(6 分)C22C2因为 C(0，)，所以 (0， )，所以 cos 0，C 12 2C 2 63所以 sin ，即 ，C .(10 分)又 A ，所以ABC 是等边三角形，所以 AB8，(11 分)37 所以 DB3，故 ADDB.(12 分)选择条件：由 cos B 21，得 sin B2 77.(5 分)7因为 ABC，所以 sin Csin(AB)sin Acos Bcos Asin B3221 1 2 7 5 7 .(8 分)72714ABsin C sin BAC，即AB8在ABC 中，由正弦定理得，(10 分)5 7 2 7147解得 AB10

12、.(11 分)又 AD5，故 ADDB.(12 分)选择条件：因为 bcos Ccsin Ba，由正弦定理得 sin Bcos Csin Csin Bsin A(4 分)因为 ABC，所以 sin Bcos Csin Csin Bsin(BC)sin Bcos Csin Ccos B，所以 sin Csin Bsin Ccos B.因为 sin C0，所以 sin Bcos B(7 分)因为 B(0，)，故 B ，45所以ACB .(8 分)12ABsin C sin BACAB6 248在ABC 中，由正弦定理得，即 ，(10 分)22解得 AB4( 31)10.(11 分)因为 AD5，所

13、以 ADDB.(12 分)19. 解：(1) 因为 f(x)3x 6x3b，(1 分)2由题意可得 f（0）0，f（0）1，解得 b0，c1，(3 分)所以 f(x)x 3x 1；32经检验，适合题意又 f(1)1，f(1)3，(5 分)所以函数 yf(x)图象在 x1 处的切线的方程为 y(1)3(x1)，即 3xy20.(6 分)(2) 因为 f(x)3x 6x，2令 3x 6x0，得 x0 或 x2.(8 分)2当 x0 时，f(x)0，函数 f(x)为增函数；当 0x2 时，f(x)0，函数 f(x)为减函数；当 x2 时，f(x)0，函数 f(x)为增函数(9 分)因为函数 f(x)

14、在t，t2上不单调，所以 t0t2 或 t2t2，(11 分)所以2t0 或 0t2.(12 分)20. (1) 证明：连接 BD，BD CD CB 2 2，AD2 2，22所以 BD AD AB ，所以 ADBD.(2 分)2228 因为平面 PAD平面 ABCD，平面 PAD平面 ABCDAD，BD平面 ABCD，所以 BD平面 PAD.因为 PA平面 PAD，所以 BDPA.(4分)(2) 解：延长 AD，BC 相交于点 M，连接 PM，因为 M平面 PAD，M平面 PBC，所以 Ml.又 Pl，所以 PM 即为交线 l.(5 分)取 AB 中点 Q，连 DQ，则 DQDC，过 D 在平

15、面 PAD内作 AD 的垂线 DH，则 DH平面 ABCD.分别以 DQ，DC，DH 所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，(6 分)则 P(1，1， 2)，C(0，2，0)，M(2，2，0)，D(0，0，0)，所以DP(1，1， 2)，DC(0，2，0)设平面 PDC 的法向量为 m(x，y，z)，则 m DC0，mDP0，所以 y0，x 2z0，取 m( 2，0，1)(8 分)设 N(x ，y ，z )，PNPM，111则(x 1，y 1，z 2)(3，3，2 2)，111所以 x 13，y 13，z 2 2，111PN(13，13， 2 2)，DC(0，2，0)

16、设平面 NDC 的法向量为 n(x ，y ，z )，则 nDC0，nPN0，222所以 y 0，（13）x （ 2 2）z 0，取 n( 2 2，0，31)，(10 分)222|（ 2） 2（1）31| 1所以|cosm，n| ，33 2（1） （31）22所以 8 1030，2123434所以 或 ，经检验 时，不合题意，舍去所以存在点 N，点 N 为 PM 的中点(12 分)21. 解：(1) 设事件 A 的概率为 P(A)，则由频率分布直方图，可得 1 件产品为废品的概率为 P(0.040.02)50.3，则 P(A)1C (0.3) 10.0270.973.(2 分)333(2) 由频

17、率分布直方图可知，质量指标值大于或等于85 的产品中，m85，90)的频率为 0.0850.4；m90，95)的频率为 0.0450.2；9 m95，100的频率为 0.0250.1.故利用分层抽样抽取的 7 件产品中，m85，90)的有 4 件，m90，95)的有 2 件，m95，100的有1 件(4 分)从这 7 件产品中任取 3 件产品，质量指标值 m90，95)的件数 X 的所有可能取值为 0，1，2，C 2 C C 4 C C 131221P(X0) 3 ，P(X1) 2 5 ，P(X2) 2 5 ，C 7C7C3733777所以 X 的分布列为X012274717P(7 分)274

18、71 67 7所以 E(X)0 1 2 .(8 分)(3) 由频率分布直方图可得该产品的质量指标值m 与利润 y(元)的关系如下表所示(1t4)：质量指标值75，80)80，85)85，90)90，100m利润 yP6t8t4t2t et0.050.10.150.40.3故每件产品的利润 y0.3t0.8t0.6t0.8t0.5e 2.5t0.5e (1t4)(10 分)tt则 y2.50.5e ，令 y2.50.5e 0，得 tln 5，tt故当 t(1，ln 5)时，y0，函数 y2.5t0.5e 单调递增；t当 t(ln 5，4)时，y0，函数 y2.5t0.5e 单调递减t所以当 tl

19、n 5 时，y 取得最大值，为 2.5ln 50.5e 1.5.ln 5所以生产该产品能够盈利，当 tln 51.6 时，每件产品的利润取得最大值 1.5 元(12 分)22. (1) 解：(解法 1)f(x)的定义域为(0，)(1 分)axxe ax由题意 f(x)(x1)(e )(x1)，xx令 xe a0，得 axe ，xx令 g(x)xe ，g(x)e xe (x1)e 0，xxxx所以 g(x)在 x(0，)上为增函数，且 g(0)0，所以 axe 有唯一实根，即 f(x)0 有唯一实根，设为 x ，即 ax ex ，(3 分)x000所以 f(x)在(0，x )上为减函数，在(x

20、，)上为增函数，00所以 f(x) f(x )x ex a(ln x x )aaln a(5 分)min00000(解法 2)f(x)xe a(ln xx)e a(ln xx)(x0)xln x x设 tln xx，则 tR.记 (t)e at(tR)，故 f(x)最小值即为 (t)最小值(3 分)t(t)e a(a0)，t当 t(，ln a)时，(t)0，(t)单调递减，当 t(ln a，)时，(t)0，(t)单调递增，所以 f(x) (ln a)e aln aaaln a，ln amin所以 f(x)的最小值为 aaln a(5 分)10 (2) 解：当 a0 时，f(x)单调递增，f(x

21、)值域为 R ，不适合题意；(6 分)当 a0 时，由(1)可知 f(x) aaln a.min设 (a)aaln a(a0)，所以 (a)ln a，当 a(0，1)时，(a)0，(a)单调递增，当 a(1，)时，(a)0，(a)单调递减，所以 (a) (1)1，即 aaln a1.(7 分)max由已知 f(x)1 恒成立，所以 aaln a1，所以 aaln a1，所以 a1.(8 分)证明：由可知 xe ln xx1，因此只需证 x x2ln x2sin x.x2因为 ln xx1，只需证 x x2x22sin x，即 x x22sin x(10 分)22当 x1 时，x x222sin

22、 x，结论成立；2当 x(0，1时，设 g(x)x x22sin x，2g(x)2x12cos x，当 x(0，1时，g(x)显然单调递增g(x)g(1)12cos 10，故 g(x)单调递减，g(x)g(1)22sin 10，即 x x22sin x.2综上，结论成立(12 分)11m95，100的频率为 0.0250.1.故利用分层抽样抽取的 7 件产品中，m85，90)的有 4 件，m90，95)的有 2 件，m95，100的有1 件(4 分)从这 7 件产品中任取 3 件产品，质量指标值 m90，95)的件数 X 的所有可能取值为 0，1，2，C 2 C C 4 C C 131221P

23、(X0) 3 ，P(X1) 2 5 ，P(X2) 2 5 ，C 7C7C3733777所以 X 的分布列为X012274717P(7 分)27471 67 7所以 E(X)0 1 2 .(8 分)(3) 由频率分布直方图可得该产品的质量指标值m 与利润 y(元)的关系如下表所示(1t4)：质量指标值75，80)80，85)85，90)90，100m利润 yP6t8t4t2t et0.050.10.150.40.3故每件产品的利润 y0.3t0.8t0.6t0.8t0.5e 2.5t0.5e (1t4)(10 分)tt则 y2.50.5e ，令 y2.50.5e 0，得 tln 5，tt故当 t

24、(1，ln 5)时，y0，函数 y2.5t0.5e 单调递增；t当 t(ln 5，4)时，y0，函数 y2.5t0.5e 单调递减t所以当 tln 5 时，y 取得最大值，为 2.5ln 50.5e 1.5.ln 5所以生产该产品能够盈利，当 tln 51.6 时，每件产品的利润取得最大值 1.5 元(12 分)22. (1) 解：(解法 1)f(x)的定义域为(0，)(1 分)axxe ax由题意 f(x)(x1)(e )(x1)，xx令 xe a0，得 axe ，xx令 g(x)xe ，g(x)e xe (x1)e 0，xxxx所以 g(x)在 x(0，)上为增函数，且 g(0)0，所以

25、axe 有唯一实根，即 f(x)0 有唯一实根，设为 x ，即 ax ex ，(3 分)x000所以 f(x)在(0，x )上为减函数，在(x ，)上为增函数，00所以 f(x) f(x )x ex a(ln x x )aaln a(5 分)min00000(解法 2)f(x)xe a(ln xx)e a(ln xx)(x0)xln x x设 tln xx，则 tR.记 (t)e at(tR)，故 f(x)最小值即为 (t)最小值(3 分)t(t)e a(a0)，t当 t(，ln a)时，(t)0，(t)单调递减，当 t(ln a，)时，(t)0，(t)单调递增，所以 f(x) (ln a)e

26、 aln aaaln a，ln amin所以 f(x)的最小值为 aaln a(5 分)10 (2) 解：当 a0 时，f(x)单调递增，f(x)值域为 R ，不适合题意；(6 分)当 a0 时，由(1)可知 f(x) aaln a.min设 (a)aaln a(a0)，所以 (a)ln a，当 a(0，1)时，(a)0，(a)单调递增，当 a(1，)时，(a)0，(a)单调递减，所以 (a) (1)1，即 aaln a1.(7 分)max由已知 f(x)1 恒成立，所以 aaln a1，所以 aaln a1，所以 a1.(8 分)证明：由可知 xe ln xx1，因此只需证 x x2ln x2sin x.x2因为 ln xx1，只需证 x x2x22sin x，即 x x22sin x(10 分)22当 x1 时，x x222sin x，结论成立；2当 x(0，1时，设 g(x)x x22sin x，2g(x)2x12cos x，当 x(0，1时，g(x)显然单调递增g(x)g(1)12cos 10，故 g(x)单调递减，g(x)g(1)22sin 10，即 x x22sin x.2综上，结论成立(12 分)11