2022年一元二次不等式恒成立中求参数范围的优化策略 .pdf

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1、学习必备欢迎下载一元二次不等式恒成立中求参数范围的优化策略1 程序化思维过程1.1 解题案例 :一道高考题的四种解法例 1 (20XX 年全国理科题 ) 已知函数32( )1f xxaxx， aR 设函数( )f x在区间2133，内是减函数，求a的取值范围解法 1 (直接求最值 ) 题 意 等 价 于 导 函 数01232axxxf对31,32x恒 成 立 , 即0maxxf因为二次函数xf开口向上 , xfmax只可能是32f或31f由032f和031f,解得 a2 解法 2 (分离参数法 ) 01232axxxf,31,32x,解出xxa1321而xxxg13在33,32x时递增 , 3

2、1,33x时递减41,2732gg所以21211321maxgxx2a解法 3 (分类讨论求二次函数xf的最大值 ) 二次函数xf开口向上 ,对称轴是3ax当2,323aa时, xf在31,32x上递增 ,故,031maxfxf2a当21 ,31332aa时, xfmax只可能是32f或31f名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 6 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载由032f和031f,解得 a2,而2, 1a,故取2a

3、当1,313aa时,xf在31,32x上递减 , ,032maxfxfa综上所述2a解法 4 (转换为一元二次方程根的分布) 导 函 数01232axxxf对31,32x恒 成 立 , 即 对 应 方 程0 xf的 两 根 一 根 比31大 , 一 根 比32小 , 由 根 的 分 布032f和031f,解得 a2 1.2 案例分析 :程序化的解答策略追求解题过程的简单 ,追求思维过程的经济 ,是解题研究的一项基本任务,通过对解答充分地探讨总结 ,明确优化的解题途径 ,以利于解同类问题时能节省解题能量,缩短解题时间 ,提高解题效率 . 解法 1 和解法 3 都是把求出xf的最大值作为解题目标

4、.但解法 1 抓住二次函数开口向上最大值只能在端点处取到的特点,节省了解题时间 ;而解法 3 则拘泥于依对称轴与区间的不同位置关系,按部就班来分类探求最大值,解法相对冗长 . 解法 2 则采用 ” 分离参数 ” 转换为求xg的最值手段 ,这是解恒成立问题中最常用的方法 ,但不如解法 1 快捷. 解法 4 则利用二次函数图象过渡 ,将不等式恒成立转换为方程根的分布,充分体现了三个二次之间的联系因此,处理一元二次不等式恒成立问题,其程序化的思维过程应当是:首先考虑能否直接求最值 (譬如二次函数开口向上时只考虑最大值;而开口向下时只考虑最小值 ,这两种情形的最值只可能出现在端点处);再考虑用分离参数

5、转换或者用分类讨论直接求函数的最值显然,言必谈分离不是解法排行榜上的首选,至少不是思维过程的第一步所想2 合理化的转换 :三类函数的最值探求是求解的终点名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 6 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载例 2 (20XX 年全国改编 )已知13)(23xxaxxf（）在 R 上是减函数，求a的取值范围 . （II）在,21x上是减函数，求a的取值范围 . 解：函数 f(x)的导数：.163)(2x

6、axxf（）当0)(xf（Rx）时，)(xf是减函数 . )(01632Rxxax.3012360aaa且所以，当)(,0)(,3Rxxfxfa知由时是减函数；（II）0163)(2xaxxf在,21x恒成立 ,分离参数得xxa61312令33131613122xxxxg,而,21x,2, 01x故21x时,3838minaxg例3 (20XX年湖北省高考题) 已知向量baxftxbxxa)(),1(),1,(2若函数在区间（ 1，1）上是增函数，求 t 的取值范围 . 解：依定义,)1()1()(232ttxxxxtxxxf.23)(2txxxf则.0)() 1 , 1(,) 1 , 1()

7、(xfxf上则在上是增函数在若,31)(,23)(,)1 , 1(,230)(22xxgxxxgxxtxf的图象是对称轴为由于考虑函数上恒成立在区间开 口 向 上 的抛 物 线 ， 故 要 使xxt232在 区 间 （ 1， 1） 上 恒 成 立.5),1(tgt即5tt的 取 值 范 围 是故. 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 6 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载结合前面例题 ,可以看到解答02cbxax时通常转

8、换为三类常见的函数的最值若不等式在Rx上恒成立 ,只要0,0 cba或0, 0a(见例 2) 若cba,三个字母中只有一个是参数,另两个是常数时 , 常转换为三类常见的函数当a为 参 数 时 ,分 离 参 数 为xbxca112, 问 题 转 换 为 二 次 函 数btcttg2的最值问题 ,xt1当b 为参数时 ,则转换为0 xxcaxb,或者0 xxcaxb(见例 1) 而其中0ac(ca同号 )时,对应函数xacxaxcaxxg,即为常见的” 对勾函数 ” ,其单调区间分别是ac,0和,ac(因其为奇函数 ,只考虑了,0的情形 ) 若0ac(ca异号 )时,对应函数xacxaxcaxxg

9、也是奇函数 ,其在,0和,0上都单调 . 当c为参数时 ,则转换为bxaxc2,还是求二次函数bxaxy2的最值问题因 此 , 对 三 类 函 数 : 二 次 函 数 , 对 勾 函 数)0(mxmxy及 函 数)0(mxmxy的单调性如能了如指掌 ,会大大提高解题速度 . 3 解一元二次不等式恒成立要注意的两个问题3.1 分清主元和参数 ,主元的一次函数可直接求最值名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 6 页 - - - - - - - -

10、- 学习必备欢迎下载例 4 (20XX 年四川高考文科题 ) 已知函数5, 133axxfxgaxxxf其中xf是的 f(x) 的导函数。对满足11a的一切a的值， 都有0 xg求实数x的取值范围；解：由题意2335g xxaxa令axaxa,5332是a的 一次函数，11a对 11a，恒有0g x，即0a1010即22320380 xxxx解得213x故2,13x时，对满足11a的一切a的值，都有0g x可见在程序化思维中还要加在直接求最值中加上是否为主元的一次函数这种情形3.2 若参数不能直接分离例 5 (20XX年全国卷文史类 ) 设a为实数，函数3221fxxaxax在,0 和 1,都

11、是增函数，求a的取值范围。解12322aaxxxf,题意等价于0 xf在,0 和 1,上恒成立. 其中2812a当,2626,0 a时,0 xf,xf在 R上递增 ,满足条件当0时,转换为方程0 xf的两根在1 ,0内,则01,00, 130,0ffa,解得26, 1a综上所述 ,126,a本题中参数a在xf中不是齐次情形 ( 含有a和2a), 故不便分离参数 , 但三名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 6 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载个二次总可以通过二次函数的图象来转换.1 徐加生关注一元二次不等式中的范围问题中学数学2008.11.P19 2 吴文尧确定参数范围的若干对策数学通讯2008.2.P89 3 罗增儒数学解题学引论陕西师范大学1997.6 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 6 页 - - - - - - - - -