2022年一元二次不等式高次不等式分式不等式解法 .pdf

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1、学习必备欢迎下载课题：一元二次不等式、高次不等式、分式不等式解法目标：1巩固一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系，掌握掌握简单的分式不等式和特殊的高次不等式的解法；2培养数形结合的能力，一题多解的能力，培养抽象概括能力和逻辑思维能力；3激发学习数学的热情，培养勇于探索的精神，勇于创新精神，同时体会从不同侧面观察同一事物思想。重点： 简单的分式不等式和特殊的高次不等式的解法。难点： 正确串根。过程：一、复习引入1一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系。2一元二次不等式的解法步骤。引言： 今天我们来研究一元二次不等式的另外解法，以及特殊的高次不等式、分式不等式的解法。二、新课 一元二

2、次不等式与特殊的高次不等式解法例 1 解不等式0)1)(4(xx. 分析一：利用前节的方法求解；分析二：由乘法运算的符号法则可知，若原不等式成立，则左边两个因式必须异号，原不等式的解集是下面两个不等式组：0401xx与0401xx的解集的并集，即x|0401xx0401|xxx= x|-4x1=x|-4x1.书写时可按下列格式：解二：(x-1)(x+4)00401xx或0401xxx或-4x1-4x1，名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 7

3、页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载原不等式的解集是 x|-4x1. 小结： 一元二次不等式)a()cbxax(cbxax00022或的代数解法：设一元二次不等式)a(cbxax002相应的方程)a(cbxax002的两根为2121xxxx且、，则00212)xx)(xx(acbxax；若.xx,xx,xx,xx.xx,xx,xx,xx,a2121212100000或或则得当21xx时，得1xx或2xx；当21xx时，得1xx,Rx且. 若.xx,xx,xx,xx.xx,xx,xx,xx,a2121212100000或或则得当21xx时，得21xxx；当21xx时，得x.

4、分析三：由于不等式的解与相应方程的根有关系，因此可求其根并由相应的函数值的符号表示出来即可求出不等式的解集. 解：求根：令 (x-1)(x+4)=0，解得 x（从小到大排列）分别为-4，1，这两根将 x 轴分为三部分：（-，-4） （-4，1） （1，+） ；分析这三部分中原不等式左边各因式的符号（-，-4）（-4，1）（1，+）x+4 - + + x-1 - - + (x-1)(x+4) + - + 由上表可知，原不等式的解集是x|-4x0 ；解：检查各因式中x 的符号均正；求得相应方程的根为：-2，1，3；列表如下：-2 1 3 x+2 - + + + x-1 - - + + x-3 -

5、- - + 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 7 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载各因式积- + - + 由上表可知，原不等式的解集为：x|-2x3. 小结：此法叫列表法，解题步骤是：将不等式化为 (x-x1)(x-x2)(x-xn)0(0. x|-1x0 或 2x3. 思考：由函数、方程、不等式的关系，能否作出函数图像求解例 2 图练习图直接写出解集： x|-2x3. x|-1x0 或 2x0(0”,则找“线”在

6、x 轴上方的区间；若不等式是“ 0”,则找“线”在 x 轴下方的区间 . 注意：奇穿偶不穿名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 7 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载例 3 解不等式： (x-2)2(x-3)3(x+1)0. 解：检查各因式中x 的符号均正；求得相应方程的根为：-1，2，3（注意： 2 是二重根， 3 是三重根）；在数轴上表示各根并穿线，每个根穿一次（自 右上方开始） ，如下图：原不等式的解集为：x|-1x

7、2 或 2x3. 说明：3 是三重根，在 C 处穿三次， 2 是二重根，在 B 处穿两次，结果相当于没穿 .由此看出，当左侧f(x)有相同因式 (x-x1)n时，n 为奇数时，曲线在x1点处穿过数轴； n 为偶数时，曲线在 x1点处不穿过数轴，不妨归纳为“奇穿偶不穿” . 练习：解不等式： (x-3)(x+1)(x2+4x+4)0. 解：将原不等式化为： (x-3)(x+1)(x+2)20；求得相应方程的根为：-2（二重） ，-1，3；在数轴上表示各根并穿线，如图：原不等式的解集是 x|-1x3 或 x=-2. 说明：注意不等式若带“ =”号，点画为实心，解集边界处应有等号；另外，线虽不穿 -

8、2 点，但 x=-2 满足“ =”的条件，不能漏掉 . 2分式不等式的解法例 4 解不等式：073xx. 错解：去分母得03x原不等式的解集是3x|x. 解法 1：化为两个不等式组来解：073xx07030703xxxx或x或37x37x，原不等式的解集是37x|x. 解法 2：化为二次不等式来解：073xx070)7)(3(xxx37x，名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 7 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载原不等式

9、的解集是37x|x说明：若本题带“ =” ，即(x-3)(x+7)0，则不等式解集中应注意x-7 的条件，解集应是 x| -7x3. 小结：由不等式的性质易知：不等式两边同乘以正数，不等号方向不变；不等式两边同乘以负数，不等号方向要变；分母中有未知数x，不等式两边同乘以一个含 x 的式子，它的正负不知，不等号方向无法确定，无从解起，若讨论分母的正负，再解也可以，但太复杂.因此， 解分式不等式，切忌去分母. 解法是 ：移项，通分，右边化为0，左边化为)x(g)x(f的形式 . 例 5 解不等式：0322322xxxx. 解法 1：化为不等式组来解较繁 . 解法 2：0322322xxxx0320

10、)32)(23(222xxxxxx0) 1)(3(0) 1)(3)(2)(1(xxxxxx，原不等式的解集为 x| -1x1 或 2x3. 练习：1.课本 P21练习： 3； 2.解不等式253xx. 答案：1.x|-5x8 ；x|x-1/2 ；2.x|-13x-5. 练习：解不等式：123422xxxx.（答： x|x0 或 1x0(或)x(g)x(f0)的形式，转化为：)0)(0)()(0)(0)()(xgxgxfxgxgxf或，即转化名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - -

11、 - - - - 第 5 页，共 7 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载为一次、二次或特殊高次不等式形式. 3一次不等式，二次不等式，特殊的高次不等式及分式不等式，我们称之为有理不等式 . 4注意必要的讨论 . 5一次、二次不等式组成的不等式组仍要借助于数轴. 四、布置作业五、思考题：1 解关于 x 的不等式： (x-x2+12)(x+a)0，相应方程的根为： -3，4，-a，现 a的位置不定，应如何解？讨论：当-a4，即 a-4 时，各根在数轴上的分布及穿线如下：原不等式的解集为 x| -3x-a. 当-3-a4，即-4a3 时，各根在数轴上的分布及穿线如下：原不等式的

12、解集为 x| -3x4. 当-a3时，各根在数轴上的分布及穿线如下：原不等式的解集为 x| -ax4. 0当-a=4，即 a=-4时，各根在数轴上的分布及穿线如下：原不等式的解集为 x| x-3. 当-a=-3，即 a=3时，各根在数轴上的分布及穿线如下：原不等式的解集为 x| x4. 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 7 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载2 若不等式13642222xxkkxx对于 x 取任何实数均成立， 求 k 的取值范围 .(提示：4x2+6x+3 恒正)（答： 1k3）名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 7 页 - - - - - - - - -