2022年【高二数学】新课程高中数学训练题组含答案 .pdf

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1、新课程高中数学测试题组（数学选修2-2 ）第一章导数及其应用 基础训练 A组 一、选择题1若函数( )yfx在区间( , )a b内可导，且0( , )xa b则000()()limhf xhf xhh的值为（）A0()fxB02()fxC02()fxD02一个物体的运动方程为21tts其中s的单位是米，t的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是（）A7米/秒B6米/秒C5米/秒D8米/秒3函数3yxx=+的递增区间是（）A), 0(B)1 ,(C),(D), 1 (432( )32f xaxx,若( 1)4f,则a的值等于（）A319B316C313D3105函数)(xfy在一点的导数值为0

2、是函数)(xfy在这点取极值的（）A充分条件B必要条件C充要条件D必要非充分条件6函数344xxy在区间2,3上的最小值为（）A72B36C12D0二、填空题1若30( ),()3f xxfx，则0 x的值为 _；2曲线xxy43在点(1, 3)处的切线倾斜角为_；3函数sin xyx的导数为 _；4曲线xyln在点( ,1)M e处的切线的斜率是_，切线的方程为_；名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 29 页 - - - - - - - -

3、 - 5函数5523xxxy的单调递增区间是_。三、解答题1求垂直于直线2610 xy并且与曲线3235yxx相切的直线方程。2求函数()()()yxaxbxc的导数。3求函数543( )551f xxxx在区间4, 1上的最大值与最小值。4已知函数23bxaxy，当1x时，有极大值3；（1）求,a b的值；（2）求函数y的极小值。新课程高中数学测试题组（数学选修2-2 ）第一章导数及其应用 综合训练 B组 一、选择题1函数()323922yxxxx=-对于任何实数都恒成立4D 210( )36 ,( 1)364,3fxaxx faa5D 对于32( ),( )3,(0)0,f xxfxxf不

4、能推出( )f x在0 x取极值，反之成立6D 3344,0,440,1,1,0;1,0yxyxxxyxy令当时当时得1|0,xyy极小值而端点的函数值23|27,|72xxyy，得m i n0y二、填空题112000()33,1fxxx23421334 ,|1, t a n1,4xyxky32cossinxxxx22(sin)sin( )cossinx xxxxxxyxx41,0 xeye1111,|,1(),xeykyyxeyxxeee55(,),(1,)3253250,13yxxxx令得或三、解答题1解：设切点为( , )P a b，函数3235yxx的导数为236yxx切线的斜率2|3

5、63xakyaa，得1a，代入到3235yxx得3b，即( 1, 3)P，33(1),360yxxy。2解：() ()()()() ()()()()yxaxbxcxaxbxcxa xb xc() ()() ()() (xbxcxaxcxaxb名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 15 页，共 29 页 - - - - - - - - - 3解：) 1)(3(515205)(2234xxxxxxxf, 当0)(xf得0 x，或1x，或3x，0 1,4，1 1

6、,4，3 1,4列表 : 又(0)0,( 1)0ff；右端点处(4)2625f；函数155345xxxy在区间 1,4上的最大值为2625，最小值为0。4解：（1）232,yaxbx当1x时，11|320,|3xxyabyab，即320,6,93ababab（2）32269,1818yxxyxx，令0y，得0,1xx或0|0 xyy极小值（数学选修 2-2）第一章导数及其应用 综合训练 B组 一、选择题1C 23690,1,3yxxxx得，当1x时，0y；当1x时，0y当1x时，5y极大值；x取不到3，无极小值2D 0000000()(3 )()(3 )lim4lim4()124hhf xhf

7、 xhf xhf xhfxhh3C 设切点为0( , )P a b，22( )31,( )314,1fxxkfaaa，把1a， 代入到3( )2f xxx=+-得4b； 把1a， 代入到3( )2f xxx=+-得0b， 所以0(1,0)P和( 1, 4)4B ( )f x,( )g x的常数项可以任意5C 令3222181180,(21)(421)0,2xyxxxxxxx6A 令22(ln)ln1ln0,x xx xxyxexx，当xe时，0y；当xe时，0y，1( )yf ee极大值，x1( 1,0)0(0, 4)( )fx0+ 0+ ( )f x01名师归纳总结 精品学习资料 - - -

8、 - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 16 页，共 29 页 - - - - - - - - - 在定义域内只有一个极值，所以max1ye二、填空题13612 s i n0 ,6yxx，比较0 ,62处的函数值，得m a x36y23723()34 ,(1 )7 ,( 1)1 0 ,1 07 (1 ) ,0,7fxxffyxyx时32(0,)32(,0),(,)322320,0,3yxxxx或420,3abac且2( )320fxaxbxc恒成立，则220,0,34120aabacbac且54

9、, 1122()32,(1)230 ,(1)11 0fxxa xb fabfaab22334,3119abaabbaab或，当3a时，1x不是极值点三、解答题1解：002210202 ,|2;3,|3xxxxyx kyxyx kyx331200361,61,6k kxx。2解：设小正方形的边长为x厘米，则盒子底面长为82x，宽为52x32(82 )(52 )42640Vxx xxxx210125240,0,1,3VxxVxx令得或，103x（舍去）(1)1 8VV极大值，在定义域内仅有一个极大值，18V最大值3解：（1）cbxaxxf24)(的图象经过点(0,1)，则1c，3( )42,(1)

10、421,fxaxbx kfab切点为(1, 1)，则cbxaxxf24)(的图象经过点(1, 1)得591,22abcab得4259( )122f xxx（2）33 103 10( )1090,0,1010fxxxxx或单调递增区间为3 103 10(,0),(,)1010名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 17 页，共 29 页 - - - - - - - - - 4解：由13( 3,1),(,)22ab得0,2,1a bab22222(3) ()0,

11、(3)(3)0atbkatbkata bk ta bt tb33311430,(3 ),( )(3 )44kttkttf ttt233( )0,1,144ftttt得或；2330,1144tt得所以增区间为(, 1),(1,)；减区间为( 1,1)。（数学选修 2-2）第一章导数及其应用 提高训练 C组 一、选择题1A ( )sin ,( )sinfxx f2A 对称轴0,0,( )22bbfxxb，直线过第一、三、四象限3B 2( )3210fxxax在),(恒成立，2412033aa4C 当1x时，( )0fx，函数( )f x在(1,)上是增函数；当1x时，( )0fx，( )f x在(

12、,1)上是减函数，故( )f x当1x时取得最小值，即有(0)(1),(2)(1),ffff得(0)(2)2(1)fff5 A 与直线480 xy垂直的直线l为40 xym， 即4yx在某一点的导数为4， 而34yx， 所以4yx在(1,1)处导数为4，此点的切线为430 xy6A 极小值点应有先减后增的特点，即( )0( )0( )0fxfxfx二、填空题16222( )34,( 2)81 20 ,2 ,6fxxc xcfccc或，2c时取极小值2(,)2co s0yx对于任何实数都成立36( )sin( 3)( 3)3sin(3)fxxxx()()2 c o s (3)3fxfxx要使(

13、)( )f xfx为奇函数，需且仅需,32kkZ，即：,6kkZ。又0，所以k只能取0，从而6。4(7,)2, 1x时，m a x()7f x5122n/11222 ,:222(2 )nnnxynynx切线方程为，令0 x，求出切线与y轴交点的纵坐标为01 2nyn，所以21nnan，则数列1nan的前n项和名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 18 页，共 29 页 - - - - - - - - - 12 122212nnnS三、解答题1解：3236(

14、1 cos2 )(2cos)8cosyxxx5548cos(cos )48cos( sin )yxxxx548sincosxx。2解：函数的定义域为 2,)，1111242324412yxxxx当2x时，0y，即 2,)是函数的递增区间，当2x时，min1y所以值域为 1,)。3解：（1）322( ),( )32f xxaxbxc fxxaxb由2124()0393fab，(1)320fab得1,22ab2( )32(32)(1)fxxxxx，函数( )f x的单调区间如下表：x2(,)3232(,1)31(1,)( )fx00( )f x极大值极小值所以函数( )f x的递增区间是2(,)3

15、与(1,),递减区间是2(,1)3；（2）321( )2, 1,22f xxxxc x，当23x时，222()327fc为极大值，而(2)2fc，则(2)2fc为最大值，要使2( ), 1,2f xcx恒成立，则只需要2(2)2cfc，得1,2cc或。4解：设2( )xaxbg xx( )f x在(0,1)上是减函数，在1,)上是增函数( )g x在(0,1)上是减函数，在1,)上是增函数 . 3) 1(0) 1( gg3101bab解得11ba经检验，1,1ab时，( )f x满足题设的两个条件. （数学选修 2-2）第二章推理与证明 基础训练 A组 一、选择题1B 523,1156,201

16、19,推出2012,32xx名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 19 页，共 29 页 - - - - - - - - - 2D 1116abcbca，三者不能都小于23D BCCDECBDECAEECAC；2BCDCADDCACF EE DF DA C；2E DF AF CF AA C，都是对的4D 242T， 0 ,2已经历一个完整的周期，所以有最大、小值5B 由1845aaaa知道 C 不对，举例1845,1,8,4,5nan aaaa6C 323

17、4344log log (log)0,log (log)1,log3,464xxxx4342422log log (log)0,log (log)1,log4,216xxxx423233log log (log)0,log (log)1,log2,9xxxx89xyz7D 1322(4)11111,216224 4yxyxyxxx二、填空题12*1.212.32(21) ,nnnnnnnN注意左边共有21n项2121( )2f xaxxaa有最小值，则0a，对称轴1xa，min1( )( )1f xfa即2211112()()20,1,20,(0)1faaaaaaaaaaaa3xy22222

18、()()()22ababyababx4155*5 1 2 l g 25 12 l g 21, 15 4. 1 1 21 5 5. 1 1 2,1 5 5mmmNm51000前10项 共 使 用 了1234.1 05个 奇 数 ，10a由 第46个 到 第55个 奇 数 的 和 组 成 ， 即1010(91109)(2461)(2471).(2551)10002a三、解答题1. 若,都不是090，且090，则t ant a nt a nt a nt a nt a n2证明：假设0)(xf有整数根n，则20, ()a nb ncnZ而)1 (),0(ff均为奇数，即c为奇数，ab为偶数，则, ,a

19、 b c同时为奇数或,a b同时为偶数，c为奇数，当n为奇数时，2a nb n为偶数；当n为偶数时，2a nb n也为偶数，即2a nb nc为奇数，与20a nb nc矛盾。名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 20 页，共 29 页 - - - - - - - - - ()0f x无整数根。3证明：要证原式，只要证3,1abcabccaabbcabbc即即只要证2221,bccaababbacbc而02222,6 0 ,ACB Bbaca c22222

20、2222221b ccaa bb ccaa bb ccaa ba bba cb ca baca ca cb ca bacb c4解：（1）由对称轴是8x，得si n ()1,4424kk，而0，所以34（2）33( )sin(2), 2224242f xxkxk588kxk，增区间为5, , ()88kkkZ（3）33( )sin(2),( )2cos(2)244f xxfxx，即曲线的切线的斜率不大于2，而直线025cyx的斜率522，即直线025cyx不是函数)(xfy的切线。（数学选修 2-2）第二章推理与证明 综合训练 B组 一、选择题1C 0(1)1,( )1fef a，当0a时，1

21、( )11af aea；当10a时，2212( )sin1,22f aaaa2B 令cos( sin )cossin0yxxxxxxx，由选项知0,sin0,2xxx3C 令6cos ,3sin,3sin()3abab4B (0,)x，B 中的0 xxyexe恒成立5B 2,2 ,2acbabx bcy，2222acacacabbcxyabbc22422422abacbcabacbcabbbcacabacbcac6A 1011110166146ABE二、填空题13, 5, 6211(1)()222nn ndddSnanan，其常数项为0，即30,p3p，2211132() ,3,6,2,522

22、22nddddSnnnandaa名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 21 页，共 29 页 - - - - - - - - - 242222lg()lg(2 ) ,(2 ) ,540,4xyxyxyxyxxyyxyxy或而220,4 ,log44xyxy33 211112( )(1)22222222 2xxxxxf xfx22222222222222 2xxxxx( 5)( 4)(0)(5)(6)( 5)(6)( 4)(5). (0)(1)263 22f

23、ffffffffff40(0)0,(1)(0)0,(2)( 1)0,(3)( 2)0fffffff(4)( 3)0,(5)( 4)0ffff，都是050( )()()()()()(),( )()()fxxb xcxa xcxa xbfaab ac，( )()(),( )()()fbba bcfcca cb，/( )( )( )()()()()()()abcabcfafbfcab acba bcca cb()()()0()()()a bcb acc ababac bc三、解答题1解：一般性的命题为2223sin (60 )sinsin (60 )2证明：左边001cos(2120 )1cos21

24、cos(2120 )222003cos(2120 )cos2cos(2120 )232所以左边等于右边2解：211.122.211.1 1011.122.2nnnnnn11.1 1011.111.1(101)nnnnn11.1 9 11.13 11.133.3nnnn3解：221111,3333abVb aab b Va bab a名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 22 页，共 29 页 - - - - - - - - - 211(),33cababV

25、cabcc因为cba，则ababccbaVVV4证明：假设cba,都不大于0，即0,0,0abc，得0abc，而222(1)(1)(1)330abcxyz，即0abc，与0abc矛盾，, ,a b c中至少有一个大于0。（数学选修 2-2）第二章推理与证明 提高训练 C组 一、选择题1B 令10,10 xy，1xy不能推出221xy；反之2222111212xyxyxyxy2C 函数32( )f xxbxcxd图象过点(0,0),(1,0),(2,0)，得0,10,dbc4280bc，则3,2bc，22( )32362fxxbxcxx，且12,x x是函数32( )f xxbxcxd的两个极值

26、点，即12,x x是方程23620 xx的实根22212121248()2433xxxxx x3B 1111111111log2log3log4log 5log 120P，1111111log 11log 120log 1212，即21P4D 画出图象，把x轴下方的部分补足给上方就构成一个完整的矩形5B 12(),()()ABACABACOPOAAPeeABACABACAP是A的内角平分线6D ()()( 1),()()()()2()()2,()2ababa ababab f abababb ab7D 令23,(01)xtt，则原方程变为240tta，方程2294 30 xxa有实根的充要条件

27、是方程240tta在(0,1t上有实根再令2( )4f ttta，其对称轴21t，则方程240tta在(0,1t上有一实根，另一根在(0,1t以外，因而舍去，即(0)0030(1)030faafa名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 23 页，共 29 页 - - - - - - - - - 二、填空题135123134569101,2,0,1,4,1,6,.,1,10aaaaaaaaaa101214 161 81 1035S2(1, ),e e设切点(

28、,)tt e，函数xey的导数xye，切线的斜率|1,ttx tekyetket切点(1, )e322(1,1)22231,0212xxkk，即2232123202kkkk2212022112223202kkkkkkR，221122k42(2 )2nnf52( )22nf nn222111( )(1)(1)123(1)f nn111111(1)(1)(1)(1)(1)(1)2233111324322.223341122nnnnnnnn三、解答题1证明：acacabbcabbcabbcabbc2224bcabbcababbcabbc，()abc1144 ,.acacabbcabbcac2证明：假

29、设质数序列是有限的，序列的最后一个也就是最大质数为P，全部序列为2,3,5,7,11,13,17,19,., P再构造一个整数2 3 5 7 11 .1NP，显然N不能被2整除，N不能被3整除， N不能被P整除，即N不能被2,3,5,7,11,13,17,19,., P中的任何一个整除，所以N是个质数，而且是个大于P的质数，与最大质数为P矛盾，即质数序列2,3,5,7,11,13,17,19, 是无限的名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 24 页，共 2

30、9 页 - - - - - - - - - 3证明：sinsinsinsin2sincos2sin()cos()3222626ABABCCABC2 s i n2 s i n ()4 s i n () c o s()22641 241 2ABCABCABC4 s i n ()41 24 s i n()4 s i n41 23ABC当且仅当c o s12c o s ()126cos()1412ABCABC时等号成立，即33ABCABC所以当且仅当3ABC时，sin3T的最大值为4sin3所以m a x3 33sin32T4证明：01当1n时，左边1，右边(11) ( 21)16，即原式成立02假设

31、当nk时，原式成立，即2222(1)(21)1236k kkk当1nk时，222222(1 ) ( 21)123(1 )(1)6k kkkkk22(1)(21)6(1)(1)(276)66(1)(2)(23)6k kkkkkkkkk即原式成立2222(1)(21)1236n nnn，（数学选修 2-2）第三章复数 基础训练 A组 一、选择题1A (1) 0比i大，实数与虚数不能比较大小；（2）两个复数互为共轭复数时其和为实数，但是两个复数的和为实数不一定是共轭复数；（3）1xyii的充要条件为1xy是错误的，因为没有表明, x y是否是实数；（4）当0a时，没有纯虚数和它对应2D 21 333

32、33112()()()()(2 )8iiiiiiiii，虚部为83B zzzR；zzzR，反之不行，例如2z；2z为实数不能推出zR，例如zi；对于任何z，zz都是实数名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 25 页，共 29 页 - - - - - - - - - 4A 49444 5 6 7 . 127212(1)(1)1,111iiiiziziiii5C 20202 102 1010101010(1)(1)(1) (1) (2 )( 2 )(2 )(2

33、 )0iiiiiiii6B 00122331(0)0,(1)2 ,(2)0,(3)2fiifiiii fiifiiii二、填空题14,5,32, , ,z z z z四个为虚数；22,zz z z zz五个为实数；2,zz zz z zz三组相等2三35a，22815(3)(5)0,514(2)(7)0aaaaaaaa3,2kkZsin 20,1cos20,22,2kkkZ41522222233log (33)2log (3)10,log1(3)mmmmmm22331,1 5 ,3,1 5(3)2mmmmmm而51252236(2)( 5)125z zzi6i1 0 05 01 0 05 02

34、111,1()()11222iiizzzi5 02 55 02 5222()()11122iiiiiii71 0 0 01 0 0 0i记232 0 0232 0 0 0Siiii2342 0 0 02231 9 9 92 0 0 0i Siiiii2000234200020012001(1)(1)2000200020001iii Siiiiiiiii2000100010001iSii三、解答题1解：设,(,)zabia bR，由1z得221ab；(34 )(34 )()34(43 )iziabiabab i是纯虚数，则340ab名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - -

35、- - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 26 页，共 29 页 - - - - - - - - - 2244155,3334055aaababbb或，4343,5555zii或2解：设,(,)zabia bR，而13,ziz即221 30abiabi则22410,43330aabazibb22(1) (34 )2 ( 724 )2473422( 43 )4iiiiiizii（数学选修 2-2）第三章复数 综合训练 B组 一、选择题1B 121212,( , , ,),()()()()zabi zcdia b c dRz

36、zz zabicdiabicdi22acbdR2B 222()(,0 )mmXb ibbRb且3D 33336(13 )213(2) (12 )1315()() ( )(1)122525iiiiiiiiiii2iii4C 13133310,2213izizizii，221zz5A 333313222 32 3iizii6C 2222121212122 ()3 ,3zzzzzzzz7B 4221108C 二、填空题1528331i42i506二7312i8196102高中数学联赛几何定理梅涅劳斯定理一直线截 ABC 的三边 BC,CA,AB 或其延长线于D,E,F 则1BDCDECAEFABF。

37、逆定理：一直线截 ABC的三边 BC,CA,AB或其延长线于D,E,F 若1BDCDECAEFABF，则 D,E,F 三点共线。名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 27 页，共 29 页 - - - - - - - - - 塞瓦定理在 ABC内任取一点O,直线 AO 、BO 、CO分别交对边于D、 E、F，则FBAFEACEDCBD=1。逆定理：在ABC 的边 BC ，CA ，AB 上分别取点D，E，F，如果FBAFEACEDCBD=1，那么直线 AD

38、，BE，CF 相交于同一点。托勒密定理ABCD 为任意一个圆内接四边形，则BDACBCADCDAB。逆定理：若四边形ABCD 满足BDACBCADCDAB，则 A、B、 C 、D四点共圆西姆松定理过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边的垂线，则三垂足共线。（此线常称为西姆松线）。西姆松定理的逆定理为：若一点在三角形三边所在直线上的射影共线，则该点在此三角形的外接圆上。相关的结果有：（1）称三角形的垂心为H。西姆松线和PH 的交点为线段PH 的中点，且这点在九点圆上。（2）两点的西姆松线的交角等于该两点的圆周角。(3）若两个三角形的外接圆相同，这外接圆上的一点P对应两者的西姆松线的交角，

39、跟P的位置无关。（4）从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的充要条件是该点落在三角形的外接圆上。斯特瓦尔特定理设已知 ABC及其底边上B、C两点间的一点D，则有 AB2DC+AC2BD-AD2BCBC DC BD 。三角形旁心1、旁切圆的圆心叫做三角形的旁心。2、与三角形的一边及其他两边的延长线都相切的圆叫做三角形的旁切圆。费马点在一个三角形中，到3 个顶点距离之和最小的点叫做这个三角形的费马点。(1)若三角形ABC 的 3 个内角均小于120 ，那么 3 条距离连线正好平分费马点所在的周角。所以三角形的费马点也称为三角形的等角中心。(2)若三角形有一内角不小于120 度，则此钝角的顶点就是

40、距离和最小的点。判定（ 1）对于任意三角形ABC ，若三角形内或三角形上某一点E,若 EA+EB+EC 有最小值 ,则 E 为费马点。费马点的计算（2）如果三角形有一个内角大于或等于120 ，这个内角的顶点就是费马点；如果3 个内角均小于120 ，则在三角形内部对 3 边张角均为120 的点，是三角形的费马点。九点圆：三角形三边的中点,三高的垂足和三个欧拉点（连结三角形各顶点与垂心所得三线段的中点）九点共圆。通常称这个圆为九点圆（nine-point circle ） ，欧拉线：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心，依次位于同一直线上，这条直线就叫三角形的欧拉线。几何不等式1 托勒密不等式 :

41、任意凸四边形ABCD ，必有 AC BD AB CD+AD BC ，当且仅当ABCD 四点共圆时取等号。名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 28 页，共 29 页 - - - - - - - - - 2 埃尔多斯莫德尔不等式:设 P 是 ABC 内任意一点，P 到 ABC 三边BC,CA,AB的距离分别为PD=p,PE=q,PF=r ，记 PA=x,PB=y,PC=z 。则 x+y+z2(p+q+r) 3 外森比克不等式 :设ABC 的三边长为a、b、c

42、,面积为 S,则 a2+b2+c24S34 欧拉不等式 :设ABC 外接圆与内切圆的半径分别为R、 r，则 R2r,当且仅当 ABC 为正三角形时取等号。圆幂假设平面上有一点P，有一圆 O，其半径为R，则 OP2-R2 即为 P 点到圆 O 的幂；可见圆外的点对圆的幂为正，圆内为负，圆上为0；根轴1 在平面上任给两不同心的圆，则对两圆圆幂相等的点的集合是一条直线，这条线称为这两个圆的根轴。2 另一角度也可以称两不同心圆的等幂点的轨迹为根轴。相关定理1，平面上任意两圆的根轴垂直于它们的连心线；2，若两圆相交，则两圆的根轴为公共弦所在的直线；3，若两圆相切，则两圆的根轴为它们的内公切线；4，蒙日定理（根心定理）：平面上任意三个圆心不共线的圆，它们两两的根轴或者互相平行，或者交于一点，这一点叫做它们的根心；名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 29 页，共 29 页 - - - - - - - - -