2022年一元二次方程-韦达定理的应用及答案 .pdf

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1、精品资料欢迎下载一元二次方程韦达定理的应用知识点：一元二次方程根的判别式：当0 时_方程 _，当=0 时_方程有 _ ，当2 时,原方程永远有两个实数根. 例 2.已知关于x 的方程22(1)10kxxxk有两个不相等的实数根. (1)求 k 的取值范围 ; (2)是否存在实数k， 使此方程的两个实数根的倒数和等于0?若存在，求出k 的值 ;若不存在，说明理由. 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 14 页 - - - - - - - - -

2、 精品资料欢迎下载例 3.已知关于x 的方程222(3)410 xkxkk(1)若这个方程有实数根，求 k 的取值范围 ;(2)若这个方程有一个根为1， 求 k 的值 ; 例 4.已知关于x 的一元二次方程21(2)302xmxm(1)求证：无论 m 取什么实数值，这个方程总有两个不相等的实数根。(2)若这个方程的两个实数根12,x x满足1221xxm， 求 m 的值。例 5.当 m 为何值时，方程28(1)70 xmxm的两根：(1) 均为正数 ; (2) 均为负数 ; (3) 一个正数，一个负数 ; (4) 一根为零 ; (5) 互为倒数 ; (6) 都大于2. 例 6.已知a,b,c,

3、 是 ABC 的三边长，且关于x 的方程22(1)2(1)0b xaxc x有两个相等的实根，求证：这个三角形是直角三角形。例 7.若 n0 ，关于x 的方程21(2 )04xmn xmn有两个相等的正的实数根，求mn的值。名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 14 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载课堂练习：1.下列一元二次方程中，没有实数根的是（）A. 2210 xxB. 22 220 xxC. 2210 xxD. 2

4、20 xx2.已知12,x x是方程2310 xx的两个根，则1211xx的值是（）A.3 B.-3 C C. 13D .1 3.关于 x 的二次方程22(1)230mxxmm的一个根为0， 则 m 的值为（）A.1 B.-3 C.1 或 3 D.不等于1 的实数4.方程22(25)(2)0 xkxk的两根互为相反数，k 的值为（）A. k =5 或 - 5 B. k =5 C. k = -5 D.以上都不对5.若方程240 xmx的两根之差的平方为48， 则 m 的值为（）A.8 B.8 C.-8 D.46.已知关于x 的方程210(3)70 xmxm， 若有一个根为0， 则 m=_ ， 这

5、时方程的另一个根是_； 若两根之和为35， 则 m=_ ， 这时方程的两个根为_ 7.已知方程210 xpx的一个根为25， 可求得p=_ 8.若23是关于x 的方程2280 xxk的一个根，则另一个根为_ ， k = _ 。9.方程22650 xx两根为 ，则222_,() = _。10.要使2469nna与3na是同类项，则 n=_ 11.解下列方程：(1) 2(21)16x(2) 2430 xx(3) 25320 xx12.关于x 的方程2(21)(3)0axaxa有实数根，求 a 的取值范围。名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理

6、归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 14 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载13.设12,x x是方程22410 xx的两根，利用根与系数关系求下列各式的值：(1) 12(1)(1)xx；(2) 1221xxxx；(3) 2212xx . 14.关于x 的方程2(21)(3)0 xaxa， 试说明无论a 为任何实数，方程总有两个不等实数根。15.已知关于x 的方程222(1)3110 xmxm，（ 1） m 为何值时，方程有两个相等的实数根？（ 2） 是否存在实数m， 使方程的两根1221+1xxxx?若存在，求

7、出方程的根；若不存在，请说明理由。16.关于x 一元二次方程2()2()0cb xba xab有两个相等的实数根,其中 a, b, c 是三角形三边的长 ,试判断这个三角形的形状。17.已知Rt ABC 中， 两直角边长为方程2(27)4(2)0 xmxm m的两根，且斜边长为13 ， 求S ABC的值 . 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 14 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载韦达定理的应用测试题日期： _月_日

8、满分： _ 100 分 姓名： _ 得分： _ 1.关于 x 的方程2210axx中，如果 a0 ， 那么根的情况是（）A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根C.没有实数根D.不能确定2.将方程2410 xx的左边变成平方的形式是( ) A. 2(2)1xB. 2(2)1xC. (x - 2) 2 =5 D. 2(2)5x3.设12,x x是方程222630 xx的两根，则2212xx的值是（）名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 14

9、 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载A.15 B.12 C.6 D.3 4.已知 x 方程20(0)mxnxkm有两个实数根，则下列关于判别式的判断正确的是（）A. 240nmk240nmkC. 240nmkD. 240nmk5.若关于x 的一元二次方程2690kxx有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围为（）A. k0 D. k1 且 k06.关于 x 的方程2(2)210axaxa有两个不相等的实数根，a 的值为（）A. a-2 B. - 2a-2 且 a 2 D. a -2 且 a 27.设 n 为方程20(0)xmxnn的一个根，则mn等于 _ 8.如果一元二次

10、方程2240 xxk有两个相等的实数根，那么k=_ 9. 如果关于x 的方程222(41)210 xkxk有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是_ 10.已知12,x x是方程2520 xx的两根，则：(1) 12xx=_ ； (2) 12xx=_ ； (3) 212()xx=_ 11.解下列一元二次方程：(1) 22310 xx(2) 27430 xx(3) 2620 xx12.已知关于x 的方程22(1)10 xmxm的一个根为4， 求 m 值及此方程的另一个根。13.已知：关于x 的一元二次方程222(23)41480 xmxmm， 若 m0， 求证：方程有两个不相等的实数根。名师归

11、纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 14 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载14.若规定两数a, b 通过“ ” 运算 , 得到4ab, 即 ab=4ab. 例如26=426=48.(1) 求 35 的值；(2) 求 xx+2 x -24=0 中 x 的值。15.求证：不论k 取什么实数，方程2(6)4(3)0 xkxk一定有两个不相等的实数根. 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - -

12、- -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 14 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载一元二次方程韦达定理的应用参考答案名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 14 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载知识点：一元二次方程根的判别式：当0 时240bac方程有 两个不相等的实数根，当=0 时240bac方程有有 两个相等的实数根，当2 时,原

13、方程永远有两个实数根. 分析：224( 2)4 1 (84)bacmm配方法论证例 2.已知关于x 的方程22(1)10kxkxk有两个不相等的实数根. (1)求 k 的取值范围 ; (2)是否存在实数k， 使此方程的两个实数根的倒数和等于0?若存在，求出k 的值 ;若不存在，说明理由. （1）13k且0k（2）不存在， k=-1 时无实数根例 3.已知关于x 的方程222(3)410 xkxkk(1)若这个方程有实数根，求 k 的取值范围 ;(2)若这个方程有一个根为1， 求 k 的值 ; (1)k 5 （2）33k名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - -

14、- - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页，共 14 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载例 4.已知关于x 的一元二次方程21(2)302xmxm(1)求证：无论 m 取什么实数值，这个方程总有两个不相等的实数根。(2)若这个方程的两个实数根12,x x满足1221xxm， 求 m 的值。（1）222214(2)4(3)616(3)702bacmmmmm（2）121121221xxxxxxmm，121xm121xm，代入方程求m 的值，12120,17mm例 5.当 m 为何值时，方程28(1)70 xmx

15、m的两根：(2) 均为正数 ; (2) 均为负数 ; (3) 一个正数，一个负数 ; (4) 一根为零 ; (5) 互为倒数 ; (6) 都大于2. 分析：224(1)48(7)0bacmm两根之和和两根之积去判断。例 6.已知a,b,c, 是 ABC 的三边长，且关于x 的方程22(1)2(1)0b xaxc x有两个相等的实根，求证：这个三角形是直角三角形。证明：22444()()0bacabc bc222acb例 7.若 n0 ，关于x 的方程21(2 )04xmn xmn有两个相等的正的实数根，求mn的值。分析：2(2 )()(4 )0mnmnmn mn1,4mn课堂练习：1.下列一元

16、二次方程中，没有实数根的是（C）名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 10 页，共 14 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载A. 2210 xxB. 22 220 xxC. 2210 xxD. 220 xx2.已知12,x x是方程2310 xx的两个根，则1211xx的值是（A ）A.3 B.-3 C C. 13D .1 3.关于 x 的二次方程22(1)230mxxmm的一个根为0， 则 m 的值为（ B ）A.1 B.-3 C.

17、1 或 3 D.不等于1 的实数4.方程22(25)(2)0 xkxk的两根互为相反数，k 的值为（C ）A. k =5 或 - 5 B. k =5 C. k = -5 D.以上都不对5.若方程240 xmx的两根之差的平方为48， 则 m 的值为（A ）A.8 B.8 C.-8 D.46.已知关于x 的方程210(3)70 xmxm， 若有一个根为0， 则 m=_7 _ ， 这时方程的另一个根是 _0_； 若两根之和为35， 则 m=_ -9_,这时方程的两个根为_ 7.已知方程210 xpx的一个根为25， 可求得p=_128,15xx_ 8.若23是关于x 的方程2280 xxk的一个根

18、，则另一个根为23，k = _2_ 。9.方程22650 xx两根为 ，则222_14 _,() = _19 _。10.要使2469nna与3na是同类项，则 n=_2 或 3_ 11.解下列方程：(1) 2(21)16x(2) 2430 xx(3) 25320 xx1253,22xx121,3xx122,15xx12.关于x 的方程2(21)(3)0axaxa有实数根，求 a 的取值范围。18a且0a13.设12,x x是方程22410 xx的两根，利用根与系数关系求下列各式的值：(1) 12(1)(1)xx；(2) 1221xxxx；(3) 2212xx . 名师归纳总结 精品学习资料 -

19、 - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 11 页，共 14 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载（1）72(2)6 (3)3 14.关于x 的方程2(21)(3)0 xaxa， 试说明无论a 为任何实数，方程总有两个不等实数根。分析：22(21)4(3)411aaa15.已知关于x 的方程222(1)3110 xmxm，（ 1） m 为何值时，方程有两个相等的实数根？（ 2） 是否存在实数m， 使方程的两根1221+1xxxx?若存在，求出方程的根；若不存在，请说明理

20、由。(1) 2224(1)4(311)88480mmmm，122,3mm（2）221121212()21xxxxxxx x，可得23470mm，解得17,13mm16.关于x 一元二次方程2()2()0cb xba xab有两个相等的实数根,其中 a, b, c 是三角形三边的长 ,试判断这个三角形的形状。解答：24()4()()4()()0baab cbab ac，ab或ac等腰三角形17.已知Rt ABC 中， 两直角边长为方程2(27)4(2)0 xmxm m的两根，且斜边长为13 ， 求S ABC的值 . 答案：5,30mS ABC名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - -

21、 - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 12 页，共 14 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载韦达定理的应用测试题日期： _月_日 满分： _ 100 分 姓名： _ 得分： _ 1.关于 x 的方程2210axx中，如果 a0 ， 那么根的情况是（C ）A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根C.没有实数根D.不能确定2.将方程2410 xx的左边变成平方的形式是( D) A. 2(2)1xB. 2(2)1xC. (x - 2) 2 =5 D. 2(2)5x3.设12,x x是方程

22、222630 xx的两根，则2212xx的值是（ C ）A.15 B.12 C.6 D.3 4.已知 x 方程20(0)mxnxkm有两个实数根，则下列关于判别式的判断正确的是（D ）A. 240nmk240nmkC. 240nmkD. 240nmk5.若关于x 的一元二次方程2690kxx有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围为（D）A. k0 D. k1 且 k06.关于 x 的方程2(2)210axaxa有两个不相等的实数根，a 的值为（ C ）A. a-2 B. - 2a-2 且 a 2 D. a -2 且 a 27.设 n 为方程20(0)xmxnn的一个根，则mn等于 _-1_

23、8.如果一元二次方程2240 xxk有两个相等的实数根，那么k=_ 2_ 9. 如果关于x 的方程222(41)210 xkxk有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是_名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 13 页，共 14 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载98k_ 10.已知12,x x是方程2520 xx的两根，则：(1) 12xx=_-5_ ； (2) 12xx=_2_ ； (3) 212()xx=_17_ 11.解下列一

24、元二次方程：(1) 22310 xx(2) 27430 xx(3) 2620 xx( 21) (1)0 xx(73)(1)0 xx372x121,12xx123,17xx12.已知关于x 的方程22(1)10 xmxm的一个根为4， 求 m 值及此方程的另一个根。1296,55mx13.已知：关于x 的一元二次方程222(23)41480 xmxmm， 若 m0， 求证：方程有两个不相等的实数根。14.若规定两数a, b 通过“ ” 运算 , 得到4ab, 即 ab=4ab. 例如26=426=48.(1) 求 35 的值；(2) 求 xx+2 x -24=0 中 x 的值。（1） 4x3x5=60 （2）124,2xx15.求证：不论k 取什么实数，方程2(6)4(3)0 xkxk一定有两个不相等的实数根. 分析：224(6)16(3)0backk名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 14 页，共 14 页 - - - - - - - - -