2022年一次函数详细讲义 .pdf
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1、精品资料欢迎下载1 变量和函数一、变量1. 变量:在一个变化过程中,我们称数值发生变化的量为变量. 2. 常量:在一个变化过程中,数值始终不变的量为常量。注意:(1)变量和常量是相对的,前提条件是在一个变化过程中;(2)常数也是常量,如圆周率要作为常量二、函数1. 函数:一般的,在一个变化过程中,如果有两个变量x 和 y,并且对于x 的每一个确定的值,y 都有惟一确定的值与其对应,那么我们就说x 是自变量, y 是 x 的函数。如果当x=a 时, y=b,那么 b 叫做当自变量的值为a 时的函数值。注意:函数是相对自变量而言的,如对于两个变量x,y,y 是 x 的函数,而不能简单的说出y 是函
2、数。判断一个关系式是否为函数关系:一看是否在一个变化过程中,二看是否只有两个变量,三看对于一个变量没取到一个确定的值时,另一个变量是否有唯一的值与其对应。函数不是数,它是指在一个变化过程中两个变量之间的关系,函数本质就是变量间的对应关系 “y有唯一值与x对应 ” 是指在自变量的取值范围内,x每取一个确定值,y都唯一的值与之相对应,否则y不是x的函数判断两个变量是否有函数关系,不仅要有关系式,还要满足上述确定的对应关系x取不同的值,y的取值可以相同例如:函数2(3)yx中,2x时,1y;4x时,1y2. 函数的三种表示形式(1)解析法:用数学式子表示函数的方法叫做解析法(2)列表法:通过列表表示
3、函数的方法(3)图象法:用图象直观、形象地表示一个函数的方法3 确定函数解析式的步骤(1)根据题意列出两个变量的二元一次方程(2)用汉字变量的式子表示函数4 确定自变量的取值范围(1)分母不为0 (2)开平方时,被开方数非负性(3)实际问题对自变量的限制。注意:(1)整式型:一切实数(2)根式型:当根指数为偶数时,被开方数为非负数(3)分式型:分母不为0(4)复合型:不等式组(5)应用型:实际有意义即可2.函数图象名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1
4、页,共 9 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载一、函数图象的概念一般地,对于一个函数,如果把自变量与函数的每对对应诃子分别作为点的横、纵坐标,那么坐标平面内由这些点组成的图形,就是这个函数的图象。注意:函数解析式与函数图象的关系(1)满足函数解析式的有序实数对为坐标的点一定在函数图象上;(2)函数图象上点的坐标满足函数解析式二、描点法画函数图象的步骤(1)列表;(2)描点;(3)连线2.1 正比例函数1、正比例函数的定义:一般地,形如y=kx(k 是常数, k0) 的函数叫做正比例函数,其中k 叫做比例系数注意:注意 k 是常数, k0 的条件,当k=0 时,无论x 为何
5、值, y 的值都为0,所以它不是正比例函数。自变量x 的指数只能为12、正比例函数图象和性质一般地,正比例函数y=kx( k 为常数, k0 )的图象是一条经过原点和(1,k)的一条直线,我们称它为直线 y=kx. 当 k0 时,直线y=kx 经过第一、三象限,从左向右上升,即随着x 的增大, y 也增大;当 k0 时,图像经过一、三象限;k0,y 随 x 的增大而增大;k0,y 随 x 增大而减小倾斜度: |k|越大,越接近y 轴; |k|越小,越接近x 轴3、正比例函数解析式的确定确定一个正比例函数,就是要确定正比例函数定义式y=kx(k 0) 中的常数k,其基本步骤是:(1)设出含有待定
6、系数的函数解析式y=kx(k 0) ;(2)把已知条件(自变量与函数的对应值)代入解析式,得到关于系数k 的一元一次方程;(3)解方程,求出待定系数k;(4)将求得的待定系数的值代回解析式. 2.2 一次函数一、一次函数的定义一般地,形如ykxb( k , b 是常数,0k)的函数,叫做一次函数,当0b时,即 ykx,这时即是前一节所学过的正比例函数注意:一次函数的解析式的形式是ykxb,要判断一个函数是否是一次函数,就是判断是否能化成以上形式当0b,0k时, ykx 仍是一次函数当0b,0k时,它不是一次函数一次函数的自变量取值范围是全体实数。正比例函数是一次函数的特例,一次函数包括正比例函
7、数二、一次函数的图象及其画法1、图象:一次函数ykxb (0k, k , b 为常数)的图象是一条直线名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页,共 9 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载2、画法:由于两点确定一条直线,所以在平面直角坐标系内画一次函数的图象时,只要先描出两个点,再连成直线即可如果这个函数是正比例函数,通常取00, 1k,两点;如果这个函数是一般的一次函数(0b) ,通常取0b,0bk,即直线与两坐标轴的交点注意:由
8、函数图象的意义知,满足函数关系式ykxb的点xy,在其对应的图象上,这个图象就是一条直线l,反之,直线l上的点的坐标xy,满足 ykxb,也就是说,直线l与 ykxb是一一对应的,所以通常把一次函数ykxb的图象叫做直线l: ykxb,有时直接称为直线ykxb三、一次函数的性质当0k时,一次函数ykxb的图象从左到右上升,y随 x 的增大而增大;当0k时,一次函数ykxb的图象从左到右下降,y随 x 的增大而减小注意:一次函数ykxb的图象、性质与k、b的符号一次函数0kkxb kk , b符号0k0k0b0b0b0b0b0b图象OxyyxOOxyyxOOxyyxO性质y随 x的增大而增大y随
9、 x的增大而减小字母 k,b 的作用: k 决定函数趋势,b 决定直线与y 轴交点位置,也称为截距倾斜度: |k| 越大,越接近y 轴; |k| 越小,越接近x 轴图像的平移:b0 时,将直线ykx 的图象向上平移b 个单位,对应解析式为:y kxb b0 时,将直线ykx 的图象向下平移b个单位,对应解析式为:ykxb 口诀: “上下”将直线 ykx 的图象向左平移m个单位,对应解析式为:yk( xm )将直线 ykx 的图象向右平移m个单位,对应解析式为:yk( xm )口诀: “左右”直线 y=kx b(k 0) 与坐标轴的交点(1)直线 y=kx 与 x 轴、 y 轴的交点都是(0,0
10、);(2)直线 y=kx b 与 x 轴交点坐标为(,0)与 y 轴交点坐标为(0,b)四、用待定系数法求一次函数的解析式1、定义:先设出函数解析式,再根据条件确定解析式中未知的系数,从而具体写出这个式子的方法,叫做名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页,共 9 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载待定系数法2、用待定系数法求函数解析式的一般步骤:根据已知条件写出含有待定系数的解析式;将xy,的几对值,或图象上的几个点的坐标代入上
11、述的解析式中,得到以待定系数为未知数的方程或方程组;解方程(组) ,得到待定系数的值;将求出的待定系数代回所求的函数解析式中,得到所求的函数解析式注意:直线11bxky(01k)与22bxky(02k)的位置关系(1)两直线平行21kk且21bb(2)两直线相交21kk(3)两直线重合21kk且21bb(4)两直线垂直121kk3 用函数观点看方程和不等式一、一次函数与一元一次方程的关系:直线 ybk0kx() 与x轴交点的横坐标,就是一元一次方程b0(0)kxk的解。 求直线 ybkx与x轴交点时,可令0y,得到方程b0kx,解方程得xbk,直线 ybkx交x轴于 (,0)bk,bk就是直线
12、 ybkx与x轴交点的横坐标。二、一次函数与一元一次不等式的关系:任何一元一次不等式都可以转化为ab0 x或ab0 x(ba、为常数,0a) 的形式,所以解一元一次不等式可以看作:当一次函数值大(小)于0 时,求自变量相应的取值范围。三、一次函数与二元一次方程(组)的关系:一次函数的解析式ybk0kx() 本身就是一个二元一次方程,直线ybk0kx() 上有无数个点,每个点的横纵坐标都满足二元一次方程ybk0kx() ,因此二元一次方程的解也就有无数个。(1)以二元一次方程ax+by=c 的解为坐标的点组成的图象与一次函数y=bcxba的图象相同 . (2)二元一次方程组222111cybxa
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