2022年七大函数-七大性质 .pdf

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1、精品资料欢迎下载七大函数 1、一次函数 2、二次函数 3、反比例函数 4、指数函数 5、对数函数 6、幂函数 7、三角函数七大性质 1、定义域 2、值域 3、最值 4、周期性 5、奇偶性 6、单调性 7、对称性壹 一次函数（正比例函数）1、定义与定义式：自变量 x 和因变量 y 有如下关系： y=kx+b 则此时称 y 是 x 的一次函数。特别地，当 b=0时，即： y=kx （k 为常数， k0）则此时称 y 是 x 的正比例函数。2、一次函数的性质：（1）在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式： y=kx+b。（2）一次函数与 y 轴交点的坐标总是（ 0，b)，与 x 轴总是交于（

2、 -b/k ，0）正比例函数的图像总是过原点。（3) k ，b 与函数图像所在象限：当 k0 时，直线必通过一、三象限，y 随 x 的增大而增大；当 k0 时，直线必通过二、四象限，y 随 x 的增大而减小。当 b0 时，直线必通过一、二象限；当 b0 时，直线必通过三、四象限。当 b=0时，直线通过原点。(4) 特别地，当 b=O时，直线通过原点O （0，0）表示的是正比例函数的图像。这时，当 k0 时，直线只通过一、三象限；当k0 时，直线只通过二、四象限。3、一次函数和正比例函数的图象和性质贰 二次函数名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -

3、精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 17 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载1函数)0(2acbxaxy叫做一元二次函数。其图象是一条抛物线。2根与系数的关系 - 韦达定理（1）若一元二次方程002acbxax中，两根为1x，2x。求根公式242bbacxa，补充公式axx21。韦达定理abxx21，acxx ?21。（2）以1x，2x为两根的方程为021212?xxxxxx（3）用韦达定理分解因式2122xxxxaacxabxacbxax3任何一个二次函数)0(2acbxaxy都可配方为顶点式：abac

4、abxay44)2(22，性质如下：（1）图象的顶点坐标为)44,2(2abacab，对称轴是直线abx2。（2）最大（小）值 当0a，函数图象开口向上，y有最小值，abacy442min，无最大值。 当0a，函数图象开口向下，y有最大值，abacy442max，无最小值。（3）当0a，函数在区间)2,(ab上是减函数，在),2(ab上是增函数。当0a，函数在区间上),2(ab是减函数，在)2,(ab上是增函数。4二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系：判别式24bac000名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归

5、纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 17 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载二次函数2yaxbxc0a的图象一元二次方程20axbxc0a的根有两个相异实数根1,22bxa12xx有两个相等实数根122bxxa没有实数根不等式的解集20axbxc0a12x xxxx或2bx xaR20axbxc0a12x xxx叁 反比例函数1、定义：一般地，形如xky（k 为常数，0k）的函数称为反比例函数，它可以从以下几个方面来理解：（1）x 是自变量， y 是 x 的反比例函数；（2）自变量 x 的取值范围是0 x的一切实数

6、，函数值的取值范围是0y；（3）反比例函数有三种表达式：xky（0k） ，1kxy（0k） ，kyx（定值） （0k） 。（4）函数xky（0k）与ykx（0k）是等价的，所以当 y 是 x 的反比例函数时， x 也是 y 的反比例函数。2、反比例函数解析式的特征：反比例函数xky（0k）k的符号0k0k图像定义域和值域0 x，0y；即（ ，0）U（0，+ ）0 x，0y即（ ， 0）U（0，+ ）单调性图像的两个分支分别在第一、第三象限，在每个象限内，y 随 x 的增大而减小。图像的两个分支分别在第二、第四象限， 在每个象限内， y 随 x 的增大而增大。肆 指数函数（一）指数与指数幂的运算

7、1根式的概念：一般地，如果axn，那么 x叫做 a的 n次方根，其中 n1，且 nN*2实数指数幂的运算性质名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 17 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载（1）rasrraa（2）rssraa )(（3）srraaab)(均满足), 0(Rsra（二）指数函数及其性质1、指数函数的概念：一般地，函数)1, 0(aaayx且叫做指数函数，其中定义域为xR 2、指数函数的图象和性质注意：利用函数

8、的单调性，结合图象还可以看出：（1）在a ，b 上，) 1a0a(a)x(fx且值域是)b(f),a(f 或)a(f),b(f ；（2）若0 x，则1)x(f；)x(f取遍所有正数当且仅当Rx；（3）对于指数函数) 1a0a(a)x(fx且，总有a)1(f；伍 对数函数（一）对数1对数的概念：一般地，如果Nax)1, 0(aa，那么数 x叫做以a为底N的对数，记作：Nxalog（ a 底数，N 真数，Nalog 对数式）xNNaaxlog；2两个重要对数：1常用对数：以 10 为底的对数Nlg；2自然对数：以无理数71828. 2e为底的对数Nln（二）对数的运算性质如果0a，且1a，0M，0

9、N，那么：1Ma(log)NMalogNalog；2NMalogMalogNalog；3naMlognMalog)(Rn注意：换底公式abbccalogloglog（0a，且1a；0c，且1c；0b） 利用换底公式推导下面的结论（1）bmnbanamloglog； （2）abbalog1log（三）对数函数1、对数函数的概念：函数0(logaxya，且) 1a叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+） 注意：对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义， 注意辨别。 如：xy2log2，5log5xy都不是对数函数，而只能称其为对数型函数条件a1 0a1 0a1 图像32.521.5

10、10.5-0.5-1-1.5-2-2.5-11234567801132.521.510.5-0.5-1-1.5-2-2.5-112345678011定义域x0 x 0 值域R R 单调性在 R上递增在 R上递减奇偶性非奇非偶函数非奇非偶函数特性过定点（ 1， 0）过定点（ 1，0）名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 17 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载当10时，幂函数的图象上凸；（3）0时，幂函数的图象在区间),0(

11、上是减函数在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在y 轴右方无限地逼近y轴正半轴，当 x趋于时，图象在 x轴上方无限地逼近x轴正半轴3、幂函数的图像幂函数（ 1) 幂函数（ 2) 幂函数（ 3) 函数的应用一、方程的根与函数的零点 1 、函数零点的概念： 对于函数)(Dxxfy， 把使0)(xf成立的实数 x叫做函数)(Dxxfy的零点。 2 、函数零点的意义： 函数)(xfy的零点就是方程0)(xf实数根，亦即函数)(xfy的图象与 x轴交点的横坐标。即：方程0)(xf有实数根函数)(xfy的图象与 x轴有交点函数)(xfy有零点 3 、函数零点的求法：1（代数法）求方程0)(xf的实数根

12、；2（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数)(xfy的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点二、二次函数的零点：二次函数)0(2acbxaxy（1），方程02cbxax有两不等实根，二次函数的图象与x轴有两个交点，二次函数有两个零点（2），方程02cbxax有两相等实根，二次函数的图象与x轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点（3），方程02cbxax无实根，二次函数的图象与x 轴无交点，二次函数无零点柒 三角函数正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：sinyxcosyxtanyx函数性质名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - -

13、 -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 17 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载三角函数（记忆）1、同角三角函数的基本关系式：tancossin，cotsincos，1cottan，1cossin22图象1、定义域RR,2x xkk2、值域1,11,1R3、最值当22xkk时 ，max1y；当22xkk时，min1y当2xkk时，max1y；当2xkk时，min1y既无最大值也无最小值4、周期性225、奇偶性奇函数偶函数奇函数6、单调性在 2,222kkk上，是增函数；在32,222kkk上，是减函数在

14、2,2kkk上，是增函数；在 2,2kkk上，是减函数在,22kkk上，是增函数7、对称性对称中心,0kk对称轴2xkk对称中,02kk对称轴 xkk对称中心,02kk无对称轴名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 17 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载1sincsc，1cossec，1tansec22，1cotcsc22注意：提高解题速度。勾股数（ 3，4，5） ； （6，8，10） ； （5，12，13） ； （8，1

15、5，17）2、诱导公式：2k把的三角函数化为的三角函数，概括为：“奇变偶不变，符号看象限” 。公式组二公式组三公式组四公式组五公式组六xxkxxkxxkxxkcot)2cot(tan)2tan(cos)2cos(sin)2sin(xxxxxxxxcot)cot(tan)tan(cos)cos(sin)sin(xxxxxxxxcot)cot(tan)tan(cos)cos(sin)sin(xxxxxxxxcot)2cot(tan)2tan(cos)2cos(sin)2sin(xxxxxxxxcot)cot(tan)tan(cos)cos(sin)sin(3、三角函数公式：三角恒等变换：（1）角的

16、变换：在三角化简，求值，证明中，表达式中往往出现较多的相异角，可根据角与角之间的和差，倍半，互补，互余的关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使问题获解，对角的变形如：两角（和与差）的三角函数关系sin()=sin coscos sincos()=cos cossin sintantan1tantan)tan(倍角公式sin2=2sin coscos2=cos2-sin2=2cos2-1 =1-2sin22tan1tan22tan积化和差公式sin cos=21sin(+)+sin(-)，cos sin=21sin(+)-sin(-) cos cos=21cos(+)+cos(-)，s

17、in sin= -21cos(+)-cos(-) 半角公式2cos12sin，2cos12coscos1cos12tan=和差化积公式sin+sin= 2cos2sin2sin- sin=2sin2cos2cos+cos=2cos2cos2cos- cos= -2sin2sin2tan+ cot=2sin2cossin1tan- cot= -2cot2，1 sin=(2cos2sin)21+cos=2cos22， 1-cos=2sin22升幂 公式1+cos=2cos22，1-cos=2sin221sin=(2cos2sin)2 1=sin2+ cos2，sin=2cos2sin2降幂公式si

18、n222cos1，cos222cos1sin2+ cos2=1，sin cos=2sin21三倍角公式3sin4sin33sin；cos3cos43cos3；名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 17 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载2是的二倍；4是2的二倍；是2的二倍；2是4的二倍；3是23的二倍；3是6的二倍；22是4的二倍。2304560304515oooooo；)(；)4(24；)4()4()()(2；等等（2）

19、函数名称变换：三角变形中，常常需要变函数名称为同名函数。如在三角函数中正余弦是基础，通常化切、割为弦，变异名为同名。（3）常数代换：在三角函数运算，求值，证明中，有时需要将常数转化为三角函数值，例如常数“1”的代换变形有：oo45tan90sincottantanseccossin12222（4）幂的变换：降幂是三角变换时常用方法，对次数较高的三角函数式，一般采用降幂处理的方法。（5）公式变形：三角公式是变换的依据，应熟练掌握三角公式的顺用，逆用及变形应用。（6）三角函数式的化简运算通常从：“角、名、形、幂”四方面入手；基本规则是：切割化弦，异角化同角，复角化单角，异名化同名，高次化低次，无理

20、化有理，和积互化，特殊值与特殊角的三角函数互化。常用形式转换（1）)4tan(tan1tan1a；)4tan(tan1tan1a（ 2）)tantan1)(tan(tantana（3）sinsin1=|cos|sin1（4）|2cos2sin|sin1（5）2sin2cossin1cottan（6）xxxxxxctgxtgx2sin2cos2cossincossin22（7）sincos1sincos12cos2sin22sin22cos2sin22cos2222cot)2cos2(sin2sin2)2sin2(cos2cos2（8） cos20 cos40 cos80 = 20sin80co

21、s40cos20cos20sin20sin80cos40cos40sin218120sin160sin8120sin80cos80sin41（9）22sincossin，其中tan1、正弦函数、余弦函数、正切函数的图像名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页，共 17 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载1-1y=sinx-32-52-727252322-2-4-3-2432-oyx1-1y=cosx-32-52-727252322

22、-2-4-3-2432-oyxy=tanx322-32-2oyxy=cotx3222-2oyx2、函数BxAy)sin(），（其中00A最大值是BA，最小值是AB，周期是2T，频率是2f，相位是x，初相是；其图象的对称轴是直线)(2Zkkx，凡是该图象与直线By的交点都是该图象的对称中心。图像的平移1、对函数yAsin( x) k (A0, 0, 0, k0) , 其图象的基本变换有：(1) 振幅变换（纵向伸缩变换）：是由A的变化引起的A1, 伸长；A1, 缩短(2) 周期变换 ( 横向伸缩变换) ：是由的变化引起的1，缩短；1, 伸长(3) 相位变换 ( 横向平移变换) ：是由的变化引起的0

23、, 左移；0，右移(4) 上下平移 ( 纵向平移变换): 是由k的变化引起的k0, 上移；k0, 下移由 ysinx 的图象变换出ysin(x)的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换。利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现.无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母x 而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少。途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换 )先将 ysinx 的图象向左 (0)或向右 (0平移个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的1倍(0)，便得 ysin(x)的图象 .途径二：先周期变换(伸缩变换 )再平移变

24、换。先将 ysinx 的图象上各点的横坐标变为原来的1倍(0)，再沿 x 轴向左 (0)或向右 (0平移|个单位，便得ysin(x)的图象。2、由 yAsin(x)的图象求其函数式：给出图象确定解析式y=Asin（x+）的题型，有时从寻找“五点”中的第一零点（，0）作为突破口，要从图象的升降情况找准第一个零点的位置。3、对称轴与对称中心：对于sin()yAx和cos()yAx来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系。名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -

25、第 10 页，共 17 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载4、求三角函数的单调区间：一般先将函数式化为基本三角函数的标准式，要特别注意A、的正负 .利用单调性三角函数大小一般要化为同名函数,并且在同一单调区间；5、求三角函数的周期的常用方法：经过恒等变形化成“sin()yAx、cos()yAx”的形式，在利用周期公式，另外还有图像法和定义法。6、五点法作y=Asin（x+）的简图：五点取法是设x=x+，由 x 取 0、2、23、2来求相应的x 值及对应的y 值，再描点作图。正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质：xAysin（A、0）定义域R R R 值域1,1 1,1R

26、RAA,周期性222奇偶性奇函数偶函数奇函数奇函数当,0 非奇非偶当,0 奇函数单调性22,22kk上为增函数；223,22kk上为减函数（Zk）2,12kk；上为增函数12,2kk上为减函数（Zk）kk2,2上为增函数（Zk）1, kk上为减函数（Zk）)(212),(22AkAk上为增函数；)(232),(22AkAk上为减函数（Zk）1、角度与弧度的互换关系：360 =2180 =1 =0.01745 1=57.30 =57 18注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零.、弧度与角度互换公式：1rad180 57.30=571811800.01745（rad）2、弧

27、长公式：rl|. 扇形面积公式：211| |22slrr扇形3、三角函数：设是一个任意角，在的终边上任取（异于原点的）一点 P （ x,y ）P与原点的距离为r ，则rysin；rxcos；xytan；yxcot；xrsec；yrcsc.4、三角函数在各象限的符号：（一全二正弦，三切四余弦）ZkkxRxx,21|且ZkkxRxx,|且xycotxytanxycosxysinroxya的终边P（ x,y )名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 11 页，共

28、17 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载正切、余切余弦、正割-+-+正弦、余割oooxyxyxy5、三角函数线正弦线： MP; 余弦线： OM; 正切线： AT. 6、注意要点：xysin与xysin的单调性正好相反；xycos与xycos的单调性也同样相反.一般地，若)(xfy在,ba上递增（减），则)(xfy在,ba上递减（增）. xysin与xycos的周期是. )sin( xy或)cos( xy（0）的周期2T. 2tanxy的周期为2（2TT，如图，翻折无效）. )sin( xy的对称轴方程是2kx（Zk） ，对称中心（0 ,k） ；)cos( xy的对称轴方程

29、是kx（Zk） ，对称中心（0 ,21k） ；)tan( xy的对称中心（0,2k）. xxyxy2cos)2cos(2cos原点对称当tan, 1tan)(2Zkk； tan, 1tan)(2Zkk. xycos与kxy22sin是同一函数 ,而)( xy是偶函数，则)cos()21sin()(xkxxy. 函数xytan在R上为增函数。 （错误说法）只能在某个单调区间单调递增. 若在整个定义域，xytan为增函数，同样也是错误的. 定义域关于原点对称是)(xf具有奇偶性的必要不充分条件. （奇偶性的两个条件：一是定义域关于原点对称（奇偶都要），二是满足奇偶性条件，偶函数：)()(xfxf，

30、奇函数：)()(xfxf）奇偶性的单调性：奇同偶反. 例：xytan是奇函数，)31tan(xy是非奇非偶（定义域不关于原点对称）奇函数特有性质：若x0的定义域，则)(xf一定有0)0(f.（x0的定义域，则无此性质）xysin不是周期函数；xysin为周期函数（T） ；xycos是周期函数（如图） ；TMAOPxy(3) 若 ox2,则sinxx|cosx|cosx|sinx|cosx|sinx|sinx|cosx|sinxcosxcosxsinx16. 几个重要结论:OOxyxyOyx名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学

31、习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 12 页，共 17 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载xycos为周期函数（T） ；212cos xy的周期为（如图）。注：并非所有周期函数都有最小正周期。三角函数的图象变换有振幅变换、周期变换和相位变换等函数 yAsin（ x ）的振幅 |A| ，周期2|T，频率1|2fT，相位;x初相（即当 x0 时的相位） （当 A0， 0 时以上公式可去绝对值符号），由 y sinx 的图象上的点的横坐标保持不变，纵坐标伸长（当|A|1）或缩短（当0|A|1）到原来的|A|倍，得到 yAsinx 的图象，叫做

32、振幅变换或叫沿 y 轴的伸缩变换 （用 y/A 替换 y）由 y sinx 的图象上的点的纵坐标保持不变，横坐标伸长（0 |1）或缩短（ |1）到原来的1|倍，得到y sin x 的图象，叫做周期变换或叫做沿 x 轴的伸缩变换(用 x 替换 x) 由 y sinx 的图象上所有的点向左（当 0）或向右（当 0）平行移动 个单位，得到 y sin（x ）的图象，叫做相位变换或叫做沿 x 轴方向的平移(用 x替换 x) 由 y sinx 的图象上所有的点向上（当b0）或向下（当b0）平行移动b个单位，得到 y sinx b 的图象叫做沿y 轴方向的平移 （用 y+(-b) 替换 y）由 y sin

33、x 的图象利用图象变换作函数y Asin（ x ） （A0， 0） （xR）的图象，要特别注意：当周期变换和相位变换的先后顺序不同时，原图象延x 轴量伸缩量的区别。三角函数解三角形常用公式1、正弦定理：在C中，a、b、c分别为角、C的对边，R为C的外接圆的半径，则有2sinsinsinabcRC2、正弦定理的变形公式：2 sinaR，2 sinbR，2sincRC；:sin:sin:sina b cC；sin2aR，sin2bR，sin2cCR；sinsinsinsinsinsinabcabcCC3、三角形面积公式：111sinsinsin222CSbcabCac4、余弦定理：在C中，有222

34、2cosabcbc，2222cosbacac，2222coscababC5、余弦定理的推论：222cos2bcabc，222cos2acbac，222cos2abcCab6、设a、b、c是C的角、C的对边，则：若222abc，则90Co；若222abc，则90Co；若222abc，则90Co高中数学函数知识点梳理yxy= cos|x|图象1/2yxy=| cos2 x+1/2 |图象名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 13 页，共 17 页 - - -

35、- - - - - - 精品资料欢迎下载1.函数的单调性(1) 设2121,xxbaxx那么1212()()()0 xxf xf xbaxfxxxfxf,)(0)()(2121在上是增函数；1212()()()0 xxf xf xbaxfxxxfxf,)(0)()(2121在上是减函数 . (2) 设函数)(xfy在某个区间内可导，如果0)(xf，则)(xf为增函数；如果0)(xf，则)(xf为减函数 . 注： 如果函数)(xf和)(xg都是减函数 , 则在公共定义域内, 和函数)()(xgxf也是减函数； 如果函数)(ufy和)(xgu在其对应的定义域上都是减函数, 则复合函数)(xgfy是

36、增函数 . 2.奇偶函数的图象特征奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称；反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数注：若函数)(xfy是偶函数，则)()(axfaxf；若函数)(axfy是偶函数，则)()(axfaxf. 注：对于函数)(xfy(Rx),)()(xbfaxf恒成立 , 则函数)(xf的对称轴是函数2bax；两个函数)(axfy与)(xbfy的图象关于直线2bax对称 . 注：若)()(axfxf, 则函数)(xfy的图象关于点)0 ,2(a对称；若)()(axfxf, 则函数)(xfy为周

37、期为a2的周期函数 . 3.多项式函数110( )nnnnP xa xaxaL的奇偶性多项式函数( )P x是奇函数( )P x的偶次项 (即奇数项 ) 的系数全为零. 多项式函数( )P x是偶函数( )P x的奇次项 (即偶数项 ) 的系数全为零. 函数( )yf x的图象的对称性(1) 函数( )yf x的图象关于直线xa对称()()f axf ax(2)( )faxf x. (2) 函数( )yf x的图象关于直线2abx对称()()f amxf bmx()()f abmxf mx. 4.两个函数图象的对称性(1) 函数( )yf x与函数()yfx的图象关于直线0 x( 即y轴) 对

38、称 . (2) 函数()yf mxa与函数()yf bmx的图象关于直线2abxm对称 . (3) 函数)(xfy和)(1xfy的图象关于直线y=x 对称 . (4) 若将函数)(xfy的图象右移a、上移b个单位，得到函数baxfy)(的图象；若将曲线0),(yxf的图象右移a、上移b个单位，得到曲线0),(byaxf的图象 . 5.互为反函数的两个函数的关系abfbaf)()(1. 若函数)(bkxfy存在反函数 , 则其反函数为)(11bxfky, 并不是)(1bkxfy, 而函数)(1bkxfy是)(1bxfky的反函数 . 6.几个常见的函数方程(1) 正比例函数( )f xcx,()

39、( )( ),(1)fxyf xf yfc. 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 14 页，共 17 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载(2) 指数函数( )xf xa,()( )( ),(1)0f xyf x fyfa. (3) 对数函数( )logaf xx,()( )( ),( )1(0,1)f xyf xfyf aaa. (4) 幂函数( )f xx,()( )( ),(1)f xyf x fyf. (5) 余弦函数( )c

40、osf xx, 正弦函数( )sing xx，()( ) ( )( ) ( )f xyf x f yg x g y，0( )(0)1,lim1xg xfx. 7.几个函数方程的周期(约定 a0) （ 1）)()(axfxf，则)(xf的周期 T=a；（ 2）0)()(axfxf，或)0)()(1)(xfxfaxf，或1()( )f xaf x( ( )0)f x, 或21( )( )(),( )0,1 )2f xfxf xafx, 则)(xf的周期 T=2a；(3)0)()(11)(xfaxfxf，则)(xf的周期 T=3a；(4)()(1)()()(212121xfxfxfxfxxf且121

41、2( )1( ()()1,0|2 )f af xf xxxa，则)(xf的周期 T=4a；(5)( )()(2 ) (3 )(4 )f xf x af xa f xaf xa( ) () (2 ) (3 ) (4 )f x f x a f xa f xa f xa, 则)(xf的周期 T=5a；(6)()()(axfxfaxf，则)(xf的周期 T=6a. 8.分数指数幂(1)1mnnmaa（0,am nN，且1n）. (2)1mnmnaa（0,am nN，且1n）. 9.根式的性质（ 1）()nnaa. （ 2）当n为奇数时，nnaa；当n为偶数时，,0|,0nna aaaa a. 10.有

42、理指数幂的运算性质(1)(0, ,)rsrsaaaar sQ. (2)()(0, ,)rsrsaaar sQ. (3)()(0,0,)rrraba babrQ. 注：若 a0，p 是一个无理数， 则 ap 表示一个确定的实数上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用. 指数式与对数式的互化式logbaNbaN(0,1,0)aaN.对数的换底公式logloglogmamNNa (0a, 且1a,0m, 且1m,0N). 推论loglogmnaanbbm(0a, 且1a,0m n, 且1m,1n,0N). 11.对数的四则运算法则若 a0，a1，M 0，N0，则(1)log ()loglog

43、aaaMNMN; (2)logloglogaaaMMNN; (3)loglog()naaMnM nR. 注： 设函数)0)(log)(2acbxaxxfm, 记acb42. 若)(xf的定义域为R, 则0a，且0;若)(xf的值域为R, 则0a，且0. 对于0a的情形 , 需要单独检验 . 12.对数换底不等式及其推论若0a,0b,0 x,1xa, 则函数log()axybx名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 15 页，共 17 页 - - - - -

44、- - - - 精品资料欢迎下载(1) 当ab时 , 在1(0,)a和1(,)a上log()axybx为增函数 . (2) 当ab时 , 在1(0,)a和1(,)a上log()axybx为减函数 . 推论：设1nm，0p，0a， 且1a，则 （ 1）log()logmpmnpn. （2）2logloglog2aaamnmn. 函数的性质（奇偶性、单调性、周期性、对称性）“定义域优先”的思想是研究函数的前提，在求值域、奇偶性、单调性、周期性、换元时易忽略定义域，所以必须先考虑函数的定义域，离开函数的定义域去研究函数的性质没有任何意义。1. 奇偶性奇偶性的判定法：首先考察定义域是否关于原点对称，再

45、计算f(-x)与 f(x) 之间的关系：f(-x)=f(x)为偶函数； f(-x)=-f(x)为奇函数；f(-x)-f(x)=0为偶； f(x)+f(-x)=0为奇；f(- x) f(x)=1是偶；f(x) f( -x)=-1为奇函数 . （1）若定义域关于原点对称（2）若定义域不关于原点对称非奇非偶例如：3xy在) 1, 1上不是奇函数常用性质： 10)(xf是既奇又偶函数； 2奇函数若在0 x处有定义，则必有0)0(f； 3 偶函数满足)()()(xfxfxf； 4奇函数图象关于原点对称，偶函数图象关于y 轴对称； 50)(xf除外的所有函数的奇偶性满足：（ 1）奇函数奇函数=奇函数偶函数

46、偶函数=偶函数奇函数偶函数=非奇非偶（ 2）奇函数奇函数=偶函数偶函数偶函数=偶函数奇函数偶函数=奇函数6任何函数)(xf可以写成一个奇函数2)()()(xfxfx和一个偶函数2)()()(xfxfx的和。2. 单调性定义：函数定义域为A，区间，若对任意且 总有则称在区间 M上单调递增 总有则称在区间 M上单调递减应用：（一）常用“定义法”来证明一个函数的单调性一般步骤：（ 1）设值（ 2）作差（ 3）变形（ 4）定号（ 5）结论（二）求函数的单调区间定义法、图象法、复合函数法、导数法( 以后学 ) 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理

47、归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 16 页，共 17 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载注：常用结论（1）奇函数在对称区间上的单调性相同（2）偶函数在对称区间上的单调性相反（3）复合函数单调性-同增异减（右图） 3. 周期性（1）一般地对于函数，若存在一个不为0 的常数 T，使得内一切值时总有，那么叫做周期函数，T叫做周期，kT（T的整数倍）也是它的周期（2）如果周期函数在所有周期中存在一个最小正数，就把这个最小正数叫最小正周期。注：常用结论（1）若)()(bxfaxf，则)(xf是周期函数，ab是它的一个周期（自己证明）

48、（2）若定义在R上的函数y = f (x) 图像同时关于直线x = a 和直线 x = b成轴对称（ab），则 y = f (x)是周期函数，且2| a b| 是其一个周期。（自己证明）（推论）若定义在R 上的偶函数)(xf的图象关于直线ax)0(a对称，则)(xf是周期函数，a2是它的一个周期（3）若)()(xfaxf；)(1)(xfaxf；)(1)(xfaxf；则)(xf是周期函数，2a是它的一个周期4对称性一、函数自身的对称性1、函数 y = f (x)的图像关于原点O对称的充要条件是 f (x) + f (x) = 0 2、函数 y = f (x)的图像关于直线x = a对称的充要条件

49、是 f (a +x) = f (ax) 即 f (x) = f (2ax) 3、函数 y = f (x)的图像关于y 轴对称的充要条件是 f (x) = f (x) 4、若函数y = f (x) 图像同时关于直线x = a 和直线 x = b成轴对称（ab），则 y = f (x)是周期函数，且 2| a b| 是其一个周期。二不同函数对称性1、函数 y = f (a+x)与 y = f (bx) 的图像关于直线x = (b-a)/2 成轴对称2、互为反函数的两个函数关于直线y=x 对称名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 17 页，共 17 页 - - - - - - - - -