2022年不等式的性质 .pdf

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1、学习必备欢迎下载6.1.1 教学目的：( 一) 能力训练要求：1. 掌握差值比较法. ；2. 会用差值比较法比较两个实数的大小 .( 二) 德育渗透目标：1. 培养学生转化的数学思想和逻辑推理能力；2. 培养学生数形结合的数学思想和灵活应变的解题能力；3. 培养学生分类讨论的数学思想和思考问题严谨周密的习惯.教学重点：理解在两个实数a、b之间具有以下性质：abab0；abab 0；abab0。这是不等式这一章内容的理论基础，是不等式性质证明、证明不等式和解不等式的主要依据. 教学难点：比较两个代数式的大小，实际上是比较它们的值的大小，而这又归结为判断它们的差的符号( 注意是指差的符号，至于值是

2、多少，在这里无关紧要).差值比较法是比较实数大小的基本方法，通常的步骤是：作差变形判断差值的符号.教学过程一、课题导入在客观世界中，不等关系具有普遍性、绝对性，是表述和研究数量取值范围的重要工具 . 研究不等关系，反映在数学上就是证明不等式与解不等式. 实数的差的正负与实数的大小的比较有着密切关系，这种关系是本章内容的基础，也是证明不等式与解不等式的主要依据. 因此，本节课我们有必要来研究探讨实数的运算性质与大小顺序之间的关系. ( 一)师数轴的三要素是什么?生原点、正方向、单位长度.师把下列各数在数轴上表示出来，并从小到大排列：213,5 ,0,-4,23生213-4023 . 师生共析在数

3、轴上不同的两点中，右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大 . (二)请同学们预习课本，解决下列问题：师若 ab，则 ab 0；若 ab，则 ab 0；若 ab，则 ab 0. 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 37 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载生若ab，则ab0；若ab，则ab0；若ab，则ab0，反之亦然 . 师 “ab”与“ ab0”等价吗 ? 生显然，“ab”与“ ab0”等价. 师生共析abab0 ab

4、ab0 abab0 此等价关系提供了比较实数大小的方法：即要比较两个实数的大小，只要考查它们的差就可以了 . ( 三)例 1比较 ( a3)（a）与（ a2） （a4）的大小 . 师 比较两个实数 a 与 b的大小， 可归纳为判断它们的差ab 的符号 (注意是指差的符号， 至于差的值究竟是多少， 在这里无关紧要 ). 由此，把比较两个实数大小的问题转化为实数运算符号问题.本题知识点：整式乘法，去括号法则，合并同类项. 生由题意可知：（a3） （a）（ a2） （a4）（a22a1）（ a22a） 0 （a3） （a）（ a2） （a4）例 2已知 x0，比较（ x21）2与 x4x21 的大小

5、. 师同例 1 方法类似，学生在理解基础上作答. 本题知识点：乘法公式，去括号法则，合并同类项.生由题意可知：（x21）2（x4x21）（ x42x21）（ x4x21）x42x21 x4x21x2x0 x20 x21）2（x4x21）0（x21）2x4x21. 例 2 引伸：在例 2 中，如果没有x0 这个条件，那么两式的大小关系如何? 师此题意在培养学生分类讨论的数学思想，提醒学生在解决含字母代数式问题时， 不要忘记代数式中字母的取值范围，一般情况下， 取值范围是实数集的可以省略不写 . 生在例 2 中，如果没有 x0 这个条件，那么意味着x 可以全取实数，在解决问题时，应分x0 和 x0

6、 两种情况进行讨论，即：当x0 时，名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 37 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载（x21）2x4x21；当x0 时， （x21）2x4x21 师生共析例 1，例 2 是用作差比较法来比较两个实数的大小，其一般步骤是：作差变形判断符号. 这样把两个数的大小问题转化为判断它们差的符号问题，至于差本身是多少，在此无关紧要.( 四)例 1当 x1x20 时，比较211x与221x . 师 作差法适

7、用于任何两实数的大小比较，但是要注意恒等变形彻底后，才能作出差是大于零或小于零，然后判定两个数的大小.本题知识点：因式分解，分子有理化.222111xx=222121212221222111)(11xxxxxxxxxxx1x20 x1x20，x1x20 且0112221xx222111xx0 即222111xx. 师此题解答时，学生若在第一步就根据函数y21x的单调性对211x与221x进行比较，就失去了作差比较的意义；通过有理化、因式分解后再加以判断，这是作差比较的实质.例 2若 0ab，c0，试比较 ac 与 bc 的大小 . 师此题用作差法比较最好，但也可用作商法比较，若用作商比较法应特

8、别注意，两数必须是均正的. 生方法一 (作差法 ) ： ；acbcc（ab）0abab0。又 c0 当 c0 时 c（ab）0 即 acbc；当 c0 时 c（ab）0 即 acbc. 方法二 (作商法 ) ：c0babcac0ab ba1 acbc师这一结论显然是错误的，其原因主要在于ac0，bc0，两负数作商比较是没有根据的 .( 下一节我们具体研究作商比较法的依据) 师生共析此题用作商法作答其正确步骤如下：0ab0ba1 c0 babcac0bcac1 当 c0 时，ac0，bc0 acbc名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳

9、 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 37 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载当 c0 时，ac0，bc0 又bcac1 acbc(不等式基本性质3) 故当 c0 时 acbc；c0 时，acbc. 三、课堂练习1. 在以下各题的横线处适当的不等号：(1) （32）226；（2） （32）2（61）2；（3）251561；(4) 当ab0 时，log21a log21b. 答案： (1) （2）（3）（4）2. 选择题若 a0，1b0，则有 ( ) A.aabab2 B.ab2abaC.abaab2 D.abab2a分

10、析：利用作差比较法判断a，ab，ab2的大小即可 . a0，1b0 ab0，b10，1b0，0b21，1b20 abaa（b1）0abaabab2ab（1b）0abab2aab2a（1b2）0aab2故 abab2a. 答案： D 3. 比较大小：(1) （x） （x）与（ x）2；(2)log2131与 log2131. 解：(1) （x） （x）（ x)2（x212x3）（ x212x3）10 （x） （x）（ x）2(2) 解法一： ( 作差法 ) log2131log21313lg2lg2lg3lg3lg2lg2lg3lg31lg21lg21lg31lg22名师归纳总结 精品学习资料

11、- - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 37 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载3lg2lg)2lg3)(lg2lg3(lg0 log2131log2131解法二： ( 中介法，常以“ 1，0，1”作中介 ) 函数 ylog21x 和 ylog31x 在（0，）上是减函数且2131log2131log21211，log3121log31311 log2131log3121. 4. 如果 x0，比较（x1）2与（x1）2的大小 . 解： （x1）2（x1

12、）2 （x1）（x1） （x1）（x1）或 （x2x1）（ x2x1） 4xx0 x0 4x0 （x1）2（x1）25. 已知 a0，比较（ a22a1） （a222a1）与（ a2a1） （a2a1）的大小 . 解： （a22a1） （a22a1）（ a2a1） （a2a1） （a21）2（2a）2 （a21）2a2 a2a0，a20 a20 故（a22a1） （a22a1）（ a2a1） （a2a1）. 师4、5 题的解答过程中，注意利用平方差公式、完全平方公式灵活变形，对提高解题效率起了重要作用. 四、小结与反思：本节学习了实数的运算性质与大小顺序之间的关系，并以此关系为依据，研究了如何

13、比较两个实数的大小，其具体解题步骤可归纳为：第一步：作差并化简，其化简目标应是n 个因式之积或完全平方式或常数的形式. 第二步：判断差值与零的大小关系，必要时须进行讨论. 第三步：得出结论 . 在某些特殊情况下 ( 如两数均为正， 且作商后易于化简 ) 还可考虑运用作商法比较大小 . 它与作差法的区别在于第二步，作商法是判断商值与1 的大小关系. 五、课后作业：( 一) 课本 P习题 6.1 1 、2、3；( 二)1. 预习内容：课本 P定理 1，2，名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - -

14、 - - - - - - - 第 5 页，共 37 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载3 及其推论 . 2. 预习提纲：(1) 预习定理 1，理解不等式的反对称性；(2) 预习定理 2，理解不等式的传递性；(3) 预习定理 3，理解不等式的移项法则 . 板书设计.1.1 不等式的性质 ( 一) 一、三个等价关系abab0；abab0；abab0 二、两实数大小比较的方法作差法. 例题课堂练习课时小结课后作业6.1.2 不等式的性质教学目标1理解同向不等式，异向不等式概念；2掌握并会证明定理1，2，3；3理解定理 3 的推论是同向不等式相加法则的依据，定理3 是移项法则的依

15、据；4初步理解证明不等式的逻辑推理方法. 教学重点定理 1，2，3 的证明的证明思路和推导过程教学难点理解证明不等式的逻辑推理方法教学方法引导式教具准备幻灯片教学过程. 复习回顾师: 上一节课 , 我们一起学习了比较两实数大小的方法, 主要根据的是实数运算的符号法则 , 而这也是推证不等式性质的主要依据, 因此， 我们来作一下回顾：000:babababababa生名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 37 页 - - - - - - - -

16、- 学习必备欢迎下载师：这一节课，我们将利用比较实数的方法，来推证不等式的性质 . . 讲授新课师: 在证明不等式的性质之前, 我们先明确一下同向不等式与异向不等式的概念. 1. 同 向 不 等 式 ： 两 个 不 等 号 方 向 相 同 的 不 等 式 ， 例 如 ：aaaa23 , 1222是同向不等式 . 异向不等式：两个不等号方向相反的不等式. 例如：5,2322aaaa是异向不等式 . 2. 不等式的性质：定理 1：若 ab，则.,;abbabaabab即则若师：定理 1 说明，把不等式的左边和右边交换，所得不等式与原不等式异向. 在证明时，既要证明充分性，也要证明必要性. 证明：b

17、a，a- b0 由正数的相反数是负数，得ababba00)(说明：定理 1 的后半部分可引导学生仿照前半部分推证，注意向学生强调实数运算的符号法则的应用. 定理 2：若 ab，且 bc，则ca. 证明：cbba,a- b0, b- c0 根据两个正数的和仍是正数，得（a-b）+(b-c) 0 a-c0 ac说明：此定理证明的主要依据是实数运算的符号法则及两正数之和仍是正数. 定理 3：若 ab，则 a+cb+c师：定理 3 说明，不等式的两边都加上同一个实数，所得不等式与原不等式同向. 证明：（ a+c）-( b+c) =a- b0 a+cb+c说明： （1）定理 3 的证明相当于比较（ a+

18、c）与(b+c) 的大小，采用的是求差比较法；名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 37 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载（2）不等式中任何一项改变符号后，可以把它从一边移到另一边，理由是：根据定理 3 可得出：若 a+bc, 则 a+b+(- b) c+(- b) 即 acb. 定理 3 推论：若dbcadcba则且,. 证明: ab, a+cb+ccdb+cb+d由、得 a+cb+d说明： （1）推论的证明连续两次运

19、用定理3 然后由定理 2 证出；（2）这一推论可以推广到任意有限个同向不等式两边分别相加，即：两个或者更多个同向不等式两边分别相加，所得不等式与原不等式同向；（3）两个同向不等式的两边分别相减时，就不能作出一般的结论；（4）定理 3 的逆命题也成立 . （可让学生自证）. 课堂练习1证明定理 1 后半部分；2 证明定理 3 的逆定理 .说明：本节主要目的是掌握定理1，2，3 的证明思路与推证过程，练习穿插在定理的证明过程中进行. 课堂小结师：通过本节学习，要求大家熟悉定理1，2，3 的证明思路，并掌握其推导过程，初步理解证明不等式的逻辑推理方法. 课后作业1求证：若.,bnambanm则2证明

20、：若.,dbcadcba则 板书设计 6.1.2 不等式的性质1同向不等式 3.定理 2 4.定理 3 5.定理 3 异向不等式证明证明推论 2 定理 1 证明说明说明证明 教学后记6.2.1 算术平均数与几何平均数 教学目标1学会推导并掌握两个正数的算术平均数与几何平均数定理；2理解定理的几何意义；3能够简单应用定理证明不等式. 教学重点名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 37 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载均值定

21、理证明 教学难点等号成立条件 教学方法引导式 教具准备幻灯片 教学过程. 复习回顾师：上一节，我们完成了对不等式性质的学习，首先我们来作一下回顾. 生： （答略）师：由上述性质，我们可以推导出下列重要的不等式. . 讲授新课1重要不等式：如果)(2R,22号时取当且仅当那么baabbaba证明：222)(2baabba当,0)( ,0)(,22babababa时当时所以，0)(2ba即.2)(22abba由上面的结论，我们又可得到2定理：如果 a,b 是正数，那么).(2号时取当且仅当baabba证明：,2)()(22abbaabba2即abba2显然，当且仅当abbaba2,时说明：）我们称

22、baba,2为的算术平均数，称baab,为的几何平均数，因而，此定理又可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. ）abbaabba2222和成立的条件是不同的：前者只要求a,b都是实数，而后者要求a,b 都是正数 . ） “当且仅当”的含义是充要条件. 3均值定理的几何意义是“半径不小于半弦”. 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页，共 37 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载以长为a+b的线段为直径作圆， 在直

23、径AB上取点C，使AC=a,CB=b.过点C作垂直于直径 AB的弦 DD , 那么CBCACD2即abCD这个圆的半径为2ba，显然，它不小于CD ，即abba2，其中当且仅当点C与圆心重合；即 a=b时，等号成立 . 师：在定理证明之后，我们来看一下它的具体应用. 4题讲解：例 1 已知 x,y 都是正数，求证：（1）如果积 xy 是定值 P,那么当 x=y 时，和 x+y 有最小值;2P（2）如果和 x+y 是定值 S, 那么当 x=y 时，积 xy 有最大值.412S 证明：因为 x,y 都是正数，所以xyyx2（1）积 xy 为定值 P时，有Pyx2Pyx2上式当yx时，取“ =”号，

24、因此，当yx时，和yx有最小值P2. （2）和 x+y 为定值 S时，有241,2SxySxy上式当 x=y 时取“ =”号，因此，当 x=y 时，积 xy 有最大值241S. 说明：此例题反映的是利用均值定理求最值的方法，但应注意三个条件：）函数式中各项必须都是正数; ) 函数式中含变数的各项的和或积必须是常数；）等号成立条件必须存在. 师：接下来，我们通过练习来进一步熟悉均值定理的应用. . 课堂练习课本 P11练习 2，3 要求：学生板演，老师讲评. 课堂小结名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - -

25、- - - - - - - - - - - 第 10 页，共 37 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载师：通过本节学习，要求大家掌握两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理， 并会应用它证明一些不等式， 但是在应用时， 应注意定理的适用条件 . 课后作业习题 6.2 1，2，3，4 板书设计 6.2.1 1重要不等式说明） 4.例题学生）练习）2均值定理 3.几何意义 教学后记6.2.2 算术平均数与几何平均数 教学目标1进一步掌握均值不等式定理；2会应用此定理求某些函数的最值；3能够解决一些简单的实际问题. 教学重点均值不等式定理的应用 教学难点解题中的转化技巧

26、 教学方法启发式 教具准备幻灯片 教学过程. 复习回顾师： 上一节，我们一起学习了两个正数的算术平均数与几何平均数的定理，首先我们来回顾一下定理内容及其适用条件. 生： （回答略）师：利用这一定理，可以证明一些不等式，也可求解某些函数的最值，这一节，我们来继续这方面的训练. . 讲授新课例 2 已知 a, b, c, d 都是正数，求证：名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 11 页，共 37 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载abc

27、dbdaccdab4)(分析：此题要求学生注意与均值不等式定理的“形”上发生联系，从而正确运用，同时加强对均值不等式定理的条件的认识. 证明：由 a,b,c,d都是正数，得.4)(.02,02abcdbdaccdabbdacbdaccdabcdab即abcdbdaccdab4)(例 3 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m3, 深为 3m ，如果池底每 1m2的造价为 150 元，池壁每 1m2的造价为 120 元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？分析：此题首先需要由实际问题向数学问题转化，即建立函数关系式，然后求函数的最值，其中用到了均值不等式定理. 解：设

28、水池底面一边的长度为xm ，水池的总造价为l 元，根据题意，得)1600(720240000 xxl29760040272024000016002720240000 xx当.2976000,40,1600有最小值时即lxxx因此，当水池的底面是边长为40m的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价是 297600元. 评述：此题既是不等式性质在实际中的应用，应注意数学语言的应用即函数解析式的建立， 又是不等式性质在求最值中的应用，应注意不等式性质的适用条件. 师：为了进一步熟悉均值不等式定理在证明不等式与求函数最值中的应用，我们来进行课堂练习 . . 课堂练习课本 P11练习 1，4 要求：学生

29、板演，老师讲评. 课堂小结师：通过本节学习，要求大家进一步掌握利用均值不等式定理证明不等式及求函数的最值，并认识到它在实际问题中的应用. 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 12 页，共 37 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载 课后作业习题 6.2 5,6,7 板书设计均值不等式例 2 6.2.2 例 3 学生定理回顾练习 教学后记6.2.3 算术平均数与几何平均数教学目标( 一) 教学知识点1. 两个正数的和为定值时，它们的积有

30、最大值，即若a，bR，且 abM ，M为定值，则 ab42M，等号当且仅当 ab 时成立 . 2. 两个正数的积为定值时， 它们的和有最小值， 即若 a，bR，且 abP，P为定值，则 ab2P，等号当且仅当 ab 时成立 . ( 二) 能力训练要求通过两个例题的研究，进一步掌握均值不等式定理，并会用此定理求某些函数的最大、最小值 . ( 三) 德育渗透目标掌握两个正数的算术平均数和几何平均数顺序定理及相应的一组不等式，使学生认清定理的结构特点和取“”条件. 要在分析具体问题的特点的过程中寻求运用公式的适当形式和具体方式，自觉提高学生分析问题和解决问题的能力. 教学重点基本不等式 a2b22a

31、b 和2baab（a0，b0）的应用，应注意：(1) 这两个数 ( 或三个数 ) 都必须是正数，例如：当xy4 时，如果没有 x、y 都为正数的条件，就不能说 xy 有最小值 4， 因为若都是负数且满足xy4，xy 也是负数，此时 xy 可以取比 4 小的值. (2) 这两个 (或三个 ) 数必须满足“和为定值”或“积为定值” ，如果找不出“定值”的条件，就不能用这个定理. 例如，求当x0 时，yx2x1的最小值，若写成 yx2x12xxx212，就说“最小值为2x”是错误的，名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 -

32、- - - - - - - - - - - - - - 第 13 页，共 37 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载因为 x2x1不是定值，而 2x仍为随 x 变化而变化的值 . 正确的解法是：由于x2x21x2141为定值，故 x2x1x2x21x2133322232121xxx，即 y 的最小值为2233. (3) 要保证等号确定能成立，如果等号不能成立，那么求出的值仍不是最值. 教学难点如何凑成两个 (或三个 ) 数的和或积是定值 . 例如“教学重点” (2) 中yx2x1凑成 yx2x21x21. 教学方法启发式教学法教具准备投影片一张记作 .2.2 A 几个重要的

33、不等式1. a2b22ab（a，bR） ，当且仅当 ab 时取“”号 . 2.abba2（a0，b0） ，当且仅当 ab 时取“”号 . 3.baab2（ab0） ，当且仅当 ab 时取“”号 . 4.33abccba（a0， b0，c0） ，当且仅当 abc 时取“”号. 5. a3b3c33abc（a0，b0，c0） ，当且仅当 abc 时取“”号. 教学过程. 课题导入上一节课，我们学习了一个重要定理：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数 ( 以下简称均值不等式 ). 这个定理有时可以直接运用，有时用它的变形或推广形式， ( 打出投影片 6.2.2 A ，教师引导学生略作分析 )

34、，使同学们掌握下面几个重要的不等式：(1) a2b22ab（a，bR ） ，当且仅当 ab 时取“”号；(2) abba2（a0，b0） ，当且仅当ab时取“”号；名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 14 页，共 37 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载(3) baab2（ab0） ，当且仅当 ab 时取“”号；(4) 33abccba（a0，b0，c0） ，当且仅当 abc 时取“”号；(5) a3b3c33abc（a0，b0，c

35、0） ，当且仅当 abc 时取“”号. 在此基础上，上述重要不等式有着广泛的应用，例如：证明不等式，求函数最值，判断变量或数学式子的取值范围等等. 它们涉及到的题目活， 变形多，必须把握好凑形技巧 . 今天，我们就来进一步学习均值不等式的应用. . 讲授新课例 1已知 x、y 都是正数，求证：(1) 如果积 xy 是定值 P，那么当 xy 时，和 xy 有最小值 2P；(2) 如果和 xy 是定值 S，那么当 xy 时，积 xy 有最大值41S2. 师本题显然是均值不等式的应用，在运用均值不等式时应注意：“算术平均数”是以“和”为其本质特征，而“几何平均数”是以“积”为其本质特征. 生 x，y

36、 都是正数xyyx2(1) 当积 xyP为定值时，有Pyx2，即 xy2P. 上式中，当 xy 时取“”号， 因此，当 xy 时，和 xy 有最小值 2P. (3) 当和 xyS为定值时，有2Sxy，即 xy41S2. 上式中，当 x=y 时取“ =”号，因此，当 x=y 时积 xy 有最大值41 S2. 师生共析通过对本题的证明， 运用均值不等式解决函数的最值问题时，有下面的方法： 若两个正数之和为定值， 则当且仅当两数相等时， 它们的积有最大值；若两个正数之积为定值， 则当且仅当两数相等时， 它们的和有最小值 . 在利用均值不等式求函数的最值问题时，我们应把握好以下两点：(1) 函数式中，

37、各项 ( 必要时，还要考虑常数项)必须都是正数 . 例如，对于函数式x名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 15 页，共 37 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载x1，当 x0 时，绝不能错误地认为关系式xx12 成立，并由此得出 xx1的最小值是 2. 事实上，当 x0 时，xx1的最大值是 2， 这是因为 x0 x0，x10（xx1）（x）（x1）2)1()(xx2xx12. 可以看出， 最大值是 2，它在 x1 时取得 .(2)

38、 函数式中，含变数的各项的和或积必须是常数， 并且只有当各项相等时， 才能利用均值不等式求函数的最值 . 例 2已知 a，b，c，d 都是正数，求证（ abcd） （acbd）4abcd. 师运用均值不等式，结合不等式的基本性质，是证明本题的关键. 生 a，b，c，d 都是正数，ab0，cd0，ac0，bd0. cdabcdab20，bdacbdac20. 由不等式的性质定理4 的推论 1，得4)(bdaccdababcd即（abcd） （acbd）4abcd. 师生共析用均值不等式证明题时，要注意为达到目标可先宏观，而后微观；均值不等式在运用时， 常需先凑形后运用； 均值不等式和不等式的基本

39、性质联合起来证题是常用的行之有效的方法. 利用算术平均数与几何平均数的关系定理( 均值不等式 )，可以很容易地解决本章开始的引言中提出的问题：某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800 m3，深为 3 m ，如果池底每 1 m2的造价为 150 元，池壁每 1 m2的造价为 120 元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元? 师应用题的最值问题，主要是选取适当的变量，再依据题设，建立数学模型( 即函数关系式 ) ，由变量和常量之间的关系，选取基本不等式求最值. ( 在教师的引导分析下，师生共同完成解答过程). 生设水池底面一边的长度为xm ，则另一边的长度为x34800m

40、，又设水池总造价为 元. 根据题意，得名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 16 页，共 37 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载1034800120（23x23x34800）24000020（xx1600）. 240000202xx1600240000202402 00. 当 xx1600，即 x40 时，有最小值 297600. 因此，当水池的底面是边长为40 m 的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价是 297600元. 师生

41、共析我们应用两个正数的算术平均数与几何平均数的定理( 即均值不等式 )顺利解决了本章引例中的问题. 用均值不等式解决此类问题时， 应按如下步骤进行：(1) 先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；(2) 建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；(3) 在定义域内，求出函数的最大值或最小值；(4) 正确写出答案 . . 课堂练习1. 已知 x0，当 x 取什么值时， x2281x的值最小 ?最小值是多少 ? 分析：注意到 x2281x是和的形式，再看x2281x1 为定值，从而可求和的最小值 . 解：x0 x20，281x0. x2281x22

42、281xx1，当且仅当 x2281x，即 x3 时取“”号 . 故 x=3 时，x2+281x的值最小，其最小值是18. 2. 一段长为 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少? 分析：均值不等式在实际问题中的应用相当广泛，解题过程中要(1) 先构名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 17 页，共 37 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载造定值， (2) 建立函数关系式， (3

43、) 验证“”号成立， (4) 确定正确答案 . 解法一：设矩形菜园的宽为xm ，则长为（ 2x）m ，其中 0 x21，其面积Sx（2x）212x（2x）218)222(22LxLx当且仅当 2x2x， 即 x4L时菜园面积最大， 即菜园长2Lm ， 宽为4L m时菜园面积最大为82L m2. 解法二：设矩形的长为x m，则宽为2xLm ，面积S2)(2)(2xLxxLx82)2(22LxLx（m2）. 当且仅当 xx，即 x2L（m ）时，矩形的面积最大 . 也就是菜园的长为2Lm ，宽为4Lm时，菜园的面积最大，最大面积为82Lm2. 3. 设 0 x2，求函数 f（x）)38(3xx的最

44、大值，并求出相应的 x 值. 分析：根据均值不等式：2baab，研究)38(3xx的最值时，一要考虑 3x 与 3x 是否为正数；二要考查式子213x（ 3x） 是否为定值. 解： 0 x2 3x0， 3x0 f （x）)38(3xx2)38(3xx4 当且仅当 3x 3x 时，即 x34时取“”号 . 故函数 f （x）的最大值为 4，此时 x34. . 课时小结名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 18 页，共 37 页 - - - - - - - -

45、 - 学习必备欢迎下载本节课我们用两个正数的算术平均数与几何平均数的关系定理及其推广的几个重要不等式顺利解决了函数的一些最值问题. 在解决问题时，我们重点从以下三个方面加以考虑：一是均值不等式成立的条件( 各因式或项都取正值) ；二是合理寻求各因式或项的积或和为定值；三是确定等号能够成立 . 只有这样， 我们才能在分析具体问题的特点的过程当中合理运用公式的适当形式和具体方式，解决某些函数的最值问题. . 课后作业( 一) 课本 P11习题 6.2 4 、 . ( 二)1. 预习内容：课本 P12.3.1 不等式的证明 . 2. 预习提纲：(1) 用比较法证明不等式 . (2) 用比较法证明不等

46、式的一般步骤：作差(或商)变形判断差的符号 (或商与 1 的大小 ) 得证 . 板书设计6.2.2 算术平均数与几何平均数 ( 二) 一、定理例 2课时小结abba2（a0，b0）. 二、定理的应用课堂练习课后作业例 16.1.3 不等式的性质 教学目标1熟练掌握定理 1，2，3 的应用；2掌握并会证明定理4 及其推论 1，2；3掌握反证法证明定理5. 教学重点定理 4，5 的证明 . 教学难点定理 4 的应用 . 教学方法引导式 教具准备幻灯片 教学过程名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - -

47、 - - - - - - - - 第 19 页，共 37 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载. 复习回顾师：上一节课，我们一起学习了不等式的三个性质，即定理1，2，3，并初步认识了证明不等式的逻辑推理方法，首先，让我们来回顾一下三个定理的基本内容 . 生： （回答略）师：好，我们这一节课将继续推论定理4、5 及其推论，并进一步熟悉不等式性质的应用 . . 讲授新课定理 4：若;,0bcaccba则且若bcaccba则且,0证明：cbabcac)(0baba根据同号相乘得正，异号相乘得负，得当即时,0)( ,0cbacbcaccbacbcac即时当,0)(,0;说明： （1

48、）证明过程中的关键步骤是根据 “同号相乘得正， 异号相乘得负”来完成的；（2）定理 4 证明在一个不等式两端乘以同一个正数，不等号方向不变；乘以同一个负数，不等号方向改变. 推论 1：若bdacdcba则且,0,0证明：0,cbabcac又,0,bdcbdbc由、可得bdac. 说明： （1）上述证明是两次运用定理4，再用定理 2 证出的；（2）所有的字母都表示正数，如果仅有dcba,，就推不出bdac的结论. （3）这一推论可以推广到任意有限个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘. 这就是说，两个或者更多个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘，所得不等式与原不等式同向. 推论 2：若)1(,

49、0nNnbabann且则说明： （1）推论 2 是推论 1 的特殊情形；名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 20 页，共 37 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载（2）应强调学生注意nN1n且的条件 . 定理 5：若)1(,0nNnbabann且则师 ： 我 们 用 反 证 法 来 证 明 定 理5 ， 因 为 反 面 有 两 种 情 形 ， 即nnnnbaba和，所以不能仅仅否定了nnba，就“归谬”了事，而必须进行“穷举” .

50、说明：假定na不大于nb，这有两种情况： 或者nnba，或者nnba. 由推论 2 和定理 1，当nnba时，有ba；当nnba时，显然有ba这些都同已知条件0ba矛盾所以nnba. 师：接下来，我们通过具体的例题来熟悉不等式性质的应用. 例2已知.:,dbcadcba求证证明：由0,0cddcbaba和由知dbcacdbadbca0)()()(例3已知.,0,0bcaccba求证证明：,0ba两边同乘以正数得,1abbcaccbaab0.11,11又即说明：通过例 3，例 4 的学习，使学生初步接触不等式的证明，为以后学习不等式的证明打下基础 . 在应用定理 4 时，应注意题目条件，即在一个