2022年专题复习“数形结合思想在解题中的应用” .pdf

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1、学习必备欢迎下载【同步教育信息 】一. 本周教学内容：专题复习“数形结合思想在解题中的应用”要点综述（1）数形结合是数学解题中常用的思想方法，数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、 生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质。另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷。（2）所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想， 实现数形结合， 常与以下内容有关： 实数与数轴上的点的对应关系； 函数与图象的对应关系； 曲线与方程的对应关系； 以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念，如复数、三角函数等；所给的等式或代

2、数式的结构含有明显的几何意义。如等式 ()()xy21422（3）纵观多年来的高考试题，巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，可起到事半功倍的效果，数形结合的重点是研究“以形助数”。（4）数形结合的思想方法应用广泛，常见的如在解方程和解不等式问题中，在求函数的值域， 最值问题中，在求复数和三角函数问题中， 运用数形结合思想，不仅直观易发现解题途径， 而且能避免复杂的计算与推理， 大大简化了解题过程。这在解选择题、 填空题中更显其优越， 要注意培养这种思想意识， 要争取胸中有图，见数想图，以开拓自己的思维视野。【典型例题】例 1. 若关于的方程的两根都在和之间，求的取值范围。xxkx

3、kk223013分析：令，其图象与轴交点的横坐标就是方程fxxkxkxf x( )( )2230的解，由的图象可知，要使二根都在， 之间，只需，yf xff( )()( )131030201010，同时成立，解得，故，fbafkkk()()()名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 13 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载例 2. 解不等式xx2常规解法：原不等式等价于或( )()IxxxxIIxx02020202解，得；解

4、，得( )()IxIIx0220综上可知，原不等式的解集为或 | |xxxxx200222数形结合解法：令，则不等式的解，就是使的图象yxyxxxyx121222在的上方的那段对应的横坐标，yx2如下图，不等式的解集为 |x xxxAB而可由，解得，xxxxxBBA222故不等式的解集为。 |xx22例 3. 已知，则方程的实根个数为01aaxxa| |log|()A. 1 个B. 2 个C. 3个D. 1 个或 2 个或 3 个分析：判断方程的根的个数就是判断图象与的交点个数，画yayxxa| |log|出两个函数图象，易知两图象只有两个交点，故方程有2 个实根，选（ B）。例 4. 如果实

5、数 、 满足，则的最大值为xyxyyx()()2322ABCD.1233323分析：名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 13 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载等式有明显的几何意义，它表坐标平面上的一个圆，()xy2322圆心为，半径， 如图 ，而则表示圆上的点，与坐()()()20300ryxyxxy标原点，的连线的斜率。如此以来，该问题可转化为如下几何问题：动点()00A在以，为圆心，以为半径的圆上移动，求直线的斜率

6、的最大值，由图()203OA可见，当在第一象限，且与圆相切时，的斜率最大，经简单计算，得最AOA大值为tg603例 5. 已知 ， 满足，求的最大值与最小值xyxyyx22162513分析：对于二元函数在限定条件下求最值问题，常采用yxxy31625122构造直线的截距的方法来求之。令，则，yxbyxb33原问题转化为：在椭圆上求一点，使过该点的直线斜率为，xy22162513且在 轴上的截距最大或最小，y由图形知，当直线与椭圆相切时，有最大截距与最小yxbxy31625122截距。yxbxyxbxb316251169961640002222由，得，故的最大值为，最小值为。01331313by

7、x名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 13 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载例 6. 若集合，集合，MxyxyNxyyxb()cossin()()|330且，则 的取值范围为。MNb分析：MxyxyyM()|()，显然，表示以，为圆心，2290100以 3 为半径的圆在 x 轴上方的部分，（如图），而N 则表示一条直线，其斜率k=1，纵截距为，由图形易知，欲使，即是使直线与半圆有公共点，bMNyxb显然的最小逼近值为，

8、最大值为，即bb33 233 2例 7. 点是椭圆上一点，它到其中一个焦点的距离为，为MxyFN221251612MF1的中点， O 表示原点，则 |ON|=（）ABCD.32248分析： 设椭圆另一焦点为F2，（如下图）则，而| |MFMFaa1225|MFMF1228，又注意到 N、O 各为 MF1、F1F2的中点，ON 是MF1F2的中位线，|ONMF1212842若联想到第二定义，可以确定点M 的坐标，进而求 MF1中点的坐标，最后利用两点间的距离公式求出|ON|，但这样就增加了计算量，方法较之显得有些复杂。名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - -

9、 - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 13 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载例 8. 已知复数满足，求 的模的最大值、最小值的范围。zziz|222分析：由于，有明显的几何意义，它表示复数对应的| |()|ziziz2222点到复数对应的点之间的距离，因此满足的复数对应点2 + 2i|()|ziz222Zzz，在以，为圆心，半径为的圆上，如下图，而表示复数对应的()()| |222点 到原点的距离，显然，当点、圆心、点三点共线时，取得最值，ZOZCOz| | | |minmaxzz23 2，的 取

10、 值 范 围 为 ，| |z23 2例 9. 求函数的值域。yxxsincos22解法一 （代数法）：则得yxxyxyxsincoscossin2222，si nc o ss i n ()xyxyyxy221222，而sin()|sin()|xyyx22112，解不等式得|22114734732yyy函数的值域为，473473解法二 （几何法）：yxxyyyxxsincos222121的形式类似于斜率公式yxxPPxxs i ncos()(cossin )22220表示过两点，的直线斜率由于点在单位圆上， 见下图Pxy221()名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - -

11、 - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 13 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载显然， kykP AP B00设过的圆的切线方程为Pyk x022()则有，解得|22114732kkk即，kkP AP B00473473473473y函数值域为，473473例 10. 求函数的最值。utt246分析：由于等号右端根号内同为 的一次式，故作简单换元，无法tttm24转化出一元二次函数求最值； 倘若对式子平方处理， 将会把问题复杂化， 因此该题用常规解法显得比较困难，考虑到式中有两个根号，故可

12、采用两步换元。解：设， 则xtytuxy246且，xyxy22216 04022()所给函数化为以为参数的直线方程，它与椭圆在uyxuxy22216第一象限的部分（包括端点）有公共点，（如图）um i n2 2相切于第一象限时， u 取最大值yxuxyxuxu2222216342160解， 得， 取uu2 626um a x26【模拟试题】一、选择题：1. 方程lgsinxx的实根的个数为（）A. 1 个B. 2 个C. 3个D. 4 个2. 函数ya xyxa| |与的图象恰有两个公共点，则实数a的取值范围是名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - -

13、-精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 13 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载（）A. ()1，B. ()11，C. ()，11D. ()()，113. 设命题甲：03x，命题乙：|x14，则甲是乙成立的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 不充分也不必要条件4. 适合|z11且 argz4的复数 z的个数为（）A. 0 个B. 1 个C. 2 个D. 4 个5. 若不等式xaxa()0的解集为 |x mxnmna，且，2则 a 的值为（）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

14、6. 已知复数zizzz121232，则|的最大值为（）A. 102B. 5C. 210D. 22 27. 若x()12，时，不等式()logxxa12恒成立，则 a的取值范围为 （）A. （0，1）B. （1，2）C. （1，2 D. 1，2 8. 定义在 R 上的函数yf x( )()在， 2上为增函数，且函数yf x()2的图象的对称轴为 x0，则（）A. ff()( )13B. ff( )( )03C. ff()()13D. ff( )( )23二、填空题：9. 若复数 z满足| | z2，则|zi1的最大值为 _ 。10. 若f xxbxc( )2对任意实数 t，都有ftft()()

15、22，则ff( )()13、f ( )4由小到大依次为 _ 。11. 若关于 x 的方程xxm245| |有四个不相等的实根，则实数m 的取值范围为_ 。12. 函数 yxxxx2222613 的最小值为 _ 。13. 若直线 yxm与曲线 yx12有两个不同的交点，则实数m 的取值范围是 _ 。三、解答题：14. 若方程lg()lg()xxmx23303在，上有唯一解，求 m 的取值范围。15. 若不等式412xxax() 的解集为 A，且Axx |02，求 a 的取值范围。16. 设aa01且 ，试求下述方程有解时k 的取值范围。log ()log()aaxakxa222名师归纳总结 精品

16、学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 13 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载【试题答案】一、选择题1. C 提示：画出yxyxsinlg，在同一坐标系中的图象，即可。2. D 提示：画出ya xyxa| |与的图象情形 1：aaa011情形 2：aaa0113. A 4. C 提示：|Z1|=1 表示以（ 1，0）为圆心，以 1 为半径的圆，显然点Z 对应的复数满足条件 argz4，另外，点 O 对应的复数 O，因其辐角是多值，它也满足a

17、rgz4，故满足条件的 z 有两个。名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 13 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载5. B 提示：画出yxayx的图象，依题意，mana，从而aaaa02或。6. C 提示：由|z22可知，z2对应的点在以 （0，0）为圆心， 以 2 为半径的圆上，而| |()| |()|zzzzzi122123表示复数zi23与对应的点的距离，结合图形，易知，此距离的最大值为：|POr()()301021

18、02227. C 提示：令yxyxa1221()log，若 a1，两函数图象如下图所示，显然当x()12，时，要使yy12，只需使log()aa22122，即，综上可知当12a时，不等式()logxxa12对x()12，恒成立。若01a，两函数图象如下图所示，显然当x()12，时，不等式名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页，共 13 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载()logxxa12恒不成立。可见应选 C 8. A 提示：

19、f(x+2)的图象是由 f(x)的图象向左平移 2 个单位而得到的， 又知 f(x+2)的图象关于直线 x=0（即 y 轴）对称，故可推知， f(x)的图象关于直线x=2 对称，由 f(x)在（， 2）上为增函数，可知， f(x)在()2，上为减函数，依此易比较函数值的大小。二、填空题：9. 22提示：|Z|=2表示以原点为原心，以2 为半径的圆，即满足 |Z|=2的复数 Z 对应的点在圆 O 上运动，（如下图），而|z+1i|=|z（ 1+i）|表示复数 Z 与1+i 对应的两点的距离。由图形，易知，该距离的最大值为22。10. fff( )( )()143提示：由ftft()()22知，f

20、(x)的图象关于直线 x=2 对称，又fxxbxc( )2为二次函数，其图象是开口向上的抛物线，由f(x)的图象，易知fff( )()( )134、的大小。名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 10 页，共 13 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载11. m()15，提示：设yxxym12245| |，画出两函数图象示意图，要使方程xxm245| |有四个不相等实根，只需使15m12. 最小值为13提示：对xxxx2222211110

21、()()()，联想到两点的距离公式，它表示点（x，1）到（1，0）的距离，xxx222613313()()表示点（ x，1）到点（ 3，3）的距离，于是 yxxxx2222613 表示动点（x， 1） 到两个定点（1， 0） 、 （3， 3） 的距离之和，结合图形，易得ymin13。13. m(21，提示：y=xm 表示倾角为 45，纵截距为 m 的直线方程，而 yx12则表示以（ 0，0）为圆心，以 1 为半径的圆在 x 轴上方的部分（包括圆与x 轴的交点），如下图所示，显然，欲使直线与半圆有两个不同交点，只需直线的纵截距m)12，即m(21，。三、解答题：名师归纳总结 精品学习资料 - -

22、 - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 11 页，共 13 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载14. 解：原方程等价于xxmxxxxmxxxmxxxm222230300333300343令yxxym12243，在同一坐标系内，画出它们的图象，其中注意03x，当且仅当两函数的图象在0，3）上有唯一公共点时，原方程有唯一解，由下图可见，当m=1，或30m时，原方程有唯一解，因此 m 的取值范围为 3，01 。注：一般地，研究方程时，需先将其作等价变形，使之简化，再利用函数图

23、象的直观性研究方程的解的情况。15. 解：令 yxxyaxyxx12212414，其中()表示以（ 2，0）为圆心，以 2 为半径的圆在 x 轴的上方的部分（包括圆与x 轴的交点），如下图所示，yax21()表示过原点的直线系，不等式412xxax() 的解即是两函数图象中半圆在直线上方的部分所对应的x 值。由于不等式解集Axx |02因此，只需要aa112，a的取值范围为（ 2，+）。16. 解：将原方程化为：log ()logaaxakxa22， xakxaxakxa222200，且，令yxak1，它表示倾角为 45的直线系，y10令 yxa222，它表示焦点在 x 轴上，顶点为（ a，0

24、）（a，0）的等轴双曲线在 x 轴上方的部分，y20原方程有解，两个函数的图象有交点，由下图，知名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 12 页，共 13 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载akaaak或0kk101或k 的取值范围为()()，101名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 13 页，共 13 页 - - - - - - - - -