2022年三角函数的图像及性质知识点梳理经典例题及解析历年高考题练习带答案 .pdf

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1、学习好资料欢迎下载三角函数的图像与性质【考纲说明】1能画出y=sin x, y=cos x, y=tan x的图像，了解三角函数的周期性；2借助图像理解正弦函数、余弦函数在0 ，2 ，正切函数在（/2 ，/2 ）上的性质（如单调性、最大和最小值、周期性、图像与x 轴交点等）；3结合具体实例，了解)sin(xy的实际意义；【知识梳理】一、三角函数的图像与性质1、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：sinyxcosyxtanyx图象定义域RR,2x xkk值域1,11,1R最值当22xkk时，max1y；当22xkk时，min1y当2xkk时，max1y；当2xkk时，min1y既无最大值也

2、无最小值周期性22奇偶性奇函数偶函数奇函数函数性质名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 17 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载单调性在2,222kkk上是增函数；在32,222kkk上是减函数在2,2kkk上是增函数； 在2,2kkk上是减函数在,22kkk上是增函数对称性对称中心,0kk对称轴2xkk对称中心,02kk对称轴xkk对称中心,02kk无对称轴2、函数BxAy)sin(），（其中00A的性质振幅：；最大值

3、是BA，最小值是AB，周期是2T，频率是2f，相位是x，初相是；其图象的对称轴是直线)(2Zkkx，凡是该图象与直线By的交点都是该图象的对称中心。二、三角函数图像的变换1、五点法作y=Asin （ x+）的简图：五点取法是设t= x+，由 t 取 0、2、23、2来求相应的x 值及对应的y 值，再描点作图。五点作图法（正、余弦曲线），三点二线作图法（正、余切曲线）.2、三角函数的图像变换三角函数的图象变换有振幅变换、周期变换和相位变换等由 ysinx 的图象利用图象变换作函数yAsin（ x ） （A0， 0） （xR）的图象。注意：当周期变换和相位变换的先后顺序不同时，原图象延x 轴量伸缩

4、量的区别。三、三角函数中解题常用方法1、由 ysinx的图象变换出yAsin( x) 的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换。途径一：先平移变换（相位变换），再周期变换( 横向伸缩变换 ) ，最后振幅变换（纵向伸缩变换）；途径二：先周期变换( 横向伸缩变换) ，再平移变换（相位变换），最后振幅变换（纵向伸缩变换）。2、由 yAsin( x) 的图象求其函数式： （图像或性质）确定解析式 y=Asin（ x+）的题型，通常先通最值确定A，再有周期确定，最后代入某个中心点坐标来完成确定。名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -

5、精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 17 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载3、 由xysin变换出xysin、xysin、)sin(xy的图像，并注意变换后周期的变化。4、求三角函数的周期的常用方法：经过恒等变形化成“sin()yAx、cos()yAx”的形式，利用周期公式。另外还有图像法和定义法。【经典例题】【例 1】 （2003 上海）把曲线ycosx+2y1=0 先沿x轴向右平移2个单位，再沿y轴向下平移1个单位，得到的曲线方程是（）A.（1y）sinx+2y 3=0 B.（y1）sinx+2y

6、3=0 C.（y+1）sinx+2y+1=0 D. (y+1)sinx+2y+1=0 【解析】 C 【例 2】 （2009 浙江理）已知a是实数，则函数( )1sinf xaax的图象不可能是 ( ) 【解析】 D 【例 3】 （2002 北京）已知f（x）是定义在（0，3）上的函数，f（x）的图象如图，那么不等式f（x）cosx0 的解集是（）A.（0，1）（ 2，3）B. （1，2）（2，3） C. （0， 1）（2，3）D. （0，1）（ 1，3）【解析】 C 【例 4】 （2013 湖北）将函数3cossinyxx xR的图像向左平移0m m个长度单位后 , 所得到的图像关于y轴对称

7、, 则m的最小值是 ( ) A. 12 B. 6 C. 3 D. 56【解析】 B 【例 5】 （2012 山东）函数cos622xxxy的图像大致为名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 17 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载 (A) (B) (C) (D)【解析】 D 【例 6】1（2013 山东）将函数sin(2)yx的图象沿x轴向左平移8个单位后 , 得到一个偶函数的图象, 则的一个可能取值为 ( ) A.34

8、B.4 C.0 D. 4【解析】 B 【例 7】 （2012 全国新课标） 已知0，函数( )sin()4f xx在(,)2上单调递减 则的取值范围是 （） A.1 5,2 4 B. 1 3,2 4 C. 1(0,2 D.(0,2【解析】 A【例 8】 (2013 上海 ) 已知函数( )2sin()f xx, 其中常数0; (1) 若( )yf x在2,43上单调递增 , 求的取值范围 ; (2) 令2, 将函数( )yf x的图像向左平移6个单位 , 再向上平移1 个单位 , 得到函数( )yg x的图像 , 区间 , a b(,a bR且ab) 满足 :( )yg x在 , a b上至少

9、含有30 个零点 , 在所有满足上述条件的 , a b中, 求ba的最小值 .【解析】 (1) 因为0, 根据题意有34202432(2) ( )2sin(2)f xx,( )2sin(2()12sin(2)163g xxx1( )0sin(2)323g xxxk或7,12xkkZ, 即( )g x的零点相离间隔依次为3和23, 故若( )yg x在 , a b上至少含有30 个零点 , 则ba的最小值为2431415333【例 9】已知函数2( )2sin3cos24f xxx， 4 2x，名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精

10、选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 17 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载（1）求)(xf的最大值和最小值；（2）2)(mxf在 4 2x，上恒成立，求实数m的取值范围【解析】（）maxmin( )3( )2fxf x， （）m的取值范围是(14)，【例 10】 （2012 山东）已知向量(sin,1)mx,( 3cos ,cos2 )(0)2AnAxxA，函数( )f xm n的最大值为6. （）求 A；（） 将函数( )yf x的图象向左平移12个单位，再将所得图象各点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变， 得到

11、函数( )yg x的图象，求( )g x在50,24上的值域【解析】（）6A;（） g（x）在上的值域为6,3. 【例 11】 （2012 湖北）已知向量a=)sinsin(cosxxx，b=)cos32sincos(xxx，设函数 f（ x）=a b+)(Rx的图像关于直线x=对称，其中，为常数，且）（1 ,21（1）求函数 f（ x）的最小正周期；（2）若 y=f（x）的图像经过点）（0 ,4求函数 f（x）在区间530，上的取值范围【解析】略【例 12】 （2012 安徽卷）设函数22( )cos(2)sin24f xxx（I）求函数( )f x的最小正周期；（II ）设函数( )g x

12、对任意xR，有()( )2g xg x，且当0,2x时，1( )( )2g xf x；求函数( )g x在,0上的解析式。【解析】（ I）函数( )f x的最小正周期22T（2）函数( )g x在,0上的解析式为1sin2 (0)22( )1sin2 ()22xxg xxx【课堂练习】1.2(2013全国）已知函数=cossin2fxxx, 下列结论中错误的是（）名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 17 页 - - - - - - - - -

13、 学习好资料欢迎下载 A.yfx的图像关于,0中心对称 B.yf x的图像关于直线2x对称 C.fx的最大值为32 D.fx既奇函数 , 又是周期函数2.(2009山东 ) 将函数sin 2yx的图象向左平移4个单位 , 再向上平移1 个单位 , 所得图象的函数解析式是( ). A.cos2yx B.22cosyx C.)42sin(1xy D.22sinyx3. （2009 安徽卷理）已知函数( )3sincos(0)f xxx，( )yf x 的图像与直线2y的两个相邻交点的距离等于，则( )f x的单调递增区间是A.5,1212kkkZ B.511,1212kkkZC.,36kkkZ D

14、.2,63kkkZ4. （2009 江西卷文）函数( )(13 tan )cosf xxx的最小正周期为 A2 B32 C D25. （2009 天津卷文）已知函数)0,)(4sin()(wRxwxxf的最小正周期为， 将)(xfy的图像向左平移|个单位长度，所得图像关于y 轴对称，则的一个值是（） A 2 B 83 C 4 D86. （2009 四川卷文）已知函数)(2sin()(Rxxxf，下面结论错误的是 A. 函数)(xf的最小正周期为2 B. 函数)(xf在区间 0，2上是增函数 C.函数)(xf的图象关于直线x0 对称 D. 函数)(xf是奇函数7 （2009 福建卷理）函数( )

15、sincosf xxx最小值是 A-1 B. 12 C. 12 D.1 8 （2009 辽宁卷理）已知函数( )f x=Acos(x) 的图象如图所示，2()23f，则(0)f= A.23 B. 23 C.12 D. 12名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 17 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载9.(2009湖南 ) 将函数 y=sinx的图象向左平移(0 2)单位后，得到函数y=sin()6x的图象，则等于 A6

16、B56 C. 76 D.11610 （2009 天津）已知函数( )sin()(,0)4f xxxR的最小正周期为，为了得到函数( )cosg xx的图象，只要将( )yf x的图象 A. 向左平移8个单位长度 B. 向右平移8个单位长度 C. 向左平移4个单位长度 D. 向右平移4个单位长度11. （2012 天津）设R，则“=0”是“( )= cos( + )f xx()xR为偶函数”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件12.（2012 湖南卷）函数f（x）=sinx-cos(x+6)的值域为A -2 ,2 B.-3,3 C.-1,1

17、D.-32, 32 13.（2012 浙江理）把函数ycos2x1 的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2 倍(纵坐标不变 )，然后向左平移1 个单位长度，再向下平移1 个单位长度，得到的图像是14. （2009 江苏卷）函数sin()yAx（,A为常数，0,0A）在闭区名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 17 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载间,0上的图象如图，则= .15 （2009 上海卷）函数22cossin

18、2yxx的最小值是 _ .16.（2012 四川）函数2( )6cos3 cos3(0)2xf xx在一个周期内的图象如图所示，A为图象的最高点，B、C为图象与x轴的交点，且ABC为正三角形。（）求的值及函数( )f x的值域；（）若08 3()5fx，且010 2(,)33x，求0(1)f x的值。17. 已知23,23a,)4cos,4(sinxxb,baxf)(? (1)求)(xf的单调递减区间? (2)若函数)(xgy与)(xfy关于直线1x对称 , 求当34,0 x时,)(xgy的最大值 ?18. （2013 辽宁）设向量3sin,sin,cos ,sinx,0,.2axxbxx(I

19、) 若.abx求 的值；(II)设函数,.fxa bfx求的最大值19. （2013 湖南）已知函数2( )sin()cos(). ( )2sin632xf xxxg x. 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 17 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载(I) 若是第一象限角 , 且3 3()5f. 求()g的值 ; (II)求使( )( )f xg x成立的 x 的取值集合 . 【课后作业】1. （2002 北京文）函数

20、y=2sin x的单调增区间是（）A.2k2，2k2 （k Z） B.2k2，2k 23 （kZ）C.2k ，2k （kZ） D.2k，2k （k Z）3 2. （2000 全国）函数yxcosx的部分图象是（）3. （1999 全国）函数f（x）=Msin （x） （0） ，在区间a，b上是增函数，且f（a）=M，f（b）=M，则函数g（x）=Mcos（x）在a，b上（）A.是增函数B.是减函数C.可以取得最大值m D.可以取得最小值m4. （2002 北京理）下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间（2，）上为减函数的是（） A.y=cos2x B.y 2|sinx| C.y(31)cos

21、x D.y=cotx5. （2002 上海）函数y=x+sin|x| ，x ， 的大致图象是（）6.函数 f（x）=sin (x)的导函数( )yfx的部分图像如图4 所示，其中，P 为图像与y 轴的交点， A,C 为图像与 x 轴的两个交点，B 为图像的最低点. 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页，共 17 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载（1）若6，点 P的坐标为（ 0，3 32） ，则; （2）若在曲线段ABC与

22、x 轴所围成的区域内随机取一点，则该点在ABC 内的概率为. 7. （2002 上海春， 9）若f（x）=2sin x（01)在区间 0，3上的最大值是2，则 . 8.（2012 广东）已知函数（其中Rx, 0）的最小正周期为10（1） 求的值；（2）设,56)355(,2,0,f1716)655(f，求)cos(的值9.（2012 北京）已知函数xxxxxfsin2sin)cos(sin)(（1）求)(xf的定义域及最小正周期；（2）求)(xf的单调递增区间10已知函数f(x)=sin2x+3sinxcosx+2cos2x,xR. (1) 求函数 f(x) 的最小正周期和单调增区间; (2)

23、 函数 f(x)的图象可以由函数y=sin2x(xR)的图象经过怎样的变换得到? 11已知函数( )sin(),f xAxxR( 其中0,0,02A) 的图象与x 轴的交点中 , 相邻两个交点之间的距离为2, 且图象上一个最低点为2(, 2)3M. )6cos(2)(xxf名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 10 页，共 17 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载( ) 求( )f x的解析式 ;( ) 当,12 2x, 求( )f

24、 x的值域 . W.w.w.k.s. 5.u.c.o.m 12已知函数)sin(xAy（0A，0，|）的一段图象如图所示，（1）求函数的解析式；（2）求这个函数的单调递增区间。13已知函数)42sin(21)tan1()(xxxf，求：（1）函数)(xf的定义域和值域；（2）写出函数)(xf的单调递增区间。14设函数).2sin3,(cos),1 ,cos2(,)(mxxxxfbaba其中向量（1）求函数, 0)(的最小正周期和在xf上的单调递增区间；（2）当mxfx求实数恒成立时,4)(4,6,0的取值范围。15已知函数2( )(sincos ) +cos2f xxxx. ( ) 求函数fx

25、的最小正周期;( ) 当0,2x时, 求函数fx的最大值 , 并写出x相应的取值 . 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 11 页，共 17 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载16. （2000 全国理）已知函数y21cos2x23sinxcosx1，x R. （1）当函数y取得最大值时，求自变量x的集合；（2）该函数的图象可由ysinx（xR）的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到? 17. （2000 全国文）已知函数y3sinx

26、 cosx，xR. （1）当函数y取得最大值时，求自变量x的集合；（2）该函数的图象可由ysinx（xR）的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到? 18. 求函数f (x)=121logcos()34x的单调递增区间19. 已知f(x)=5sinxcosx-35cos2x+325（xR）求f(x)的最小正周期；求f(x) 单调区间；求f(x) 图象的对称轴，对称中心。20. 已知定义在区间2,3上的函数( )yf x的图象关于直线6x对称，当2,63x时，函数)22,0,0()sin()(AxAxf，其图象如图所示. (1) 求函数)(xfy在32,的表达式；x y o 1 3266x名师归纳总结

27、 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 12 页，共 17 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载(2) 求方程22)(xf的解 . 21. 已知函数f(x) )0,0)(cos()sin(3xx为偶函数，且函数yf(x)图象的两相邻对称轴间的距离为.2 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （I ）求f（8）的值；（II ）将函数yf(x)的图象向右平移6个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标舒畅长到原来的4 倍，纵坐标不变，得到函数yg(x)

28、的图象，求g(x) 的单调递减区间。22 （2009 北京文）已知函数( )2sin()cosf xxx. （）求( )f x的最小正周期； （）求( )f x在区间,62上的最大值和最小值.23 （2009 陕西卷文）已知函数( )sin(),f xAxxR（其中0,0,02A）的周期为，且图象上一个最低点为2(,2)3M. ( ) 求( )f x的解析式；（）当0,12x，求( )f x的最值 . 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 13 页，共 1

29、7 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载24 （2009 重庆卷理）设函数2( )sin()2cos1468xxf x（）求( )f x的最小正周期（）若函数( )yg x与( )yf x的图像关于直线1x对称，求当40,3x时( )yg x的最大值25 （2009 重庆卷文）设函数22( )(sincos)2cos(0)f xxxx的最小正周期为23（）求的最小正周期（）若函数( )yg x的图像是由( )yf x的图像向右平移2个单位长度得到，求( )yg x的单调增区间【参考答案】【课堂练习】1-15 题略16.（I）函数( )fx的值域为2 3,2 3名师归纳总结

30、 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 14 页，共 17 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载（II）00000(1)2 3sin()2 3sin()4434342 3sin()coscos()sin43443442327 62 3()52525xxf xxx17.(1) 当223,2234kkx时,)(xf单调递减 ,8322,8310kkx时,)(xf单调递减 ? (2)0 x时,23)(maxxg18. X=62319. (I)533sin

31、3)(sin3sin23cos21cos21sin23)(fxxxxxxf. 51cos12sin2)(,54cos)2,0(,53sin2g且(II)21)6sin(cos21sin23cos1sin3)()(xxxxxxgxfZkkkxkkx,322 ,2652,626【课后作业】ADCBC 6.（1）3； （2）47.438.（1）15（2）4831513coscoscossinsin517517859.（1）( )f x 的最小正周期22T（2）( )f x 的单调递增区间为,8kk和3,8kk()kZ10.(1)( )f x的最小正周期2.2T( )fx的单调增区间为,.36kkkZ

32、 (2)先把sin 2yx图象上所有点向左平移12个单位长度 , 再把所得图象上所有的点向上平移32个单位长度 , 就得到3sin(2)62yx的图象 ?11(2)( )f x的值域为 -1,2名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 15 页，共 17 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载12(1)32sin24yx（ 2）当3222422xkkkZ，时，fx单调递增552224488xkkxkkkZ，13. （）函数的定义域ZkkxR

33、xx,2,|; 函数)(xf的值域为2,2（）)(xf的单调递增区间是)(,2Zkkk14 （1）分上单调递增区间为在分的最小正周期函数6.,32,6,0, 04.22)(Txf（ 2）-6 m 115( )( )f x 的最小正周期为 () 函数 fx 的最大值为 12，8x16. （1）自变量x的集合为x|x6k ，kZ. （2）将函数y sinx依次进行如下变换：把函数ysinx的图象向左平移6，图象上各点横坐标缩短到原来的21倍 （纵坐标不变） ， 图象上各点纵坐标缩短到原来的21倍 （横坐标不变） ， 向上平移45个单位长度， 得到函数y21cos2x23sinxcosx 1的图象

34、. 17. （1）自变量x的集合为x|x32k，kZ（2）把函数ysinx的图象向左平移6图象上各点横坐标不变，把纵坐标伸长到原来的2 倍，得到函数y3sinxcosx的图象 . 18.f (x)=)431cos(log21x的单调递减区间是6k-43,6k+43) (kZ) 19. （1）T=（2）增区间 k -12，k+125 ，减区间 k +1211k,125（3）对称中心（62k，0） ，对称轴1252kx，kZ 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 16 页，共 17 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载20. （1）2sin(),363( )sin,)6xxf xxx. （2）方程2( )2f x的解集为35,44121221. （）. 24cos2)8(f w（）因此g(x) 的单调递减区间为384,324kk(kZ) 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 17 页，共 17 页 - - - - - - - - -