2022年两角差的余弦公式 .pdf

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1、学习必备欢迎下载两角差的余弦公式一、课标要求：本章学习的主要内容是两角和与差的正弦、余弦、和正切公式，以及运用这些公式进行简单的恒等变换. 三角恒等变换位于三角函数与数学变换的结合点上.通过本章学习，要使学生在学习三角恒等变换的基本思想和方法的过程中，发展推理能力和运算能力，使学生体会三角恒等变换的工具性作用，学会它们在数学中的一些应用. 1. 了解用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用；2. 理解以两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；3. 运用上述公式进行简单的恒等变换，以引导学生推导半角公式，

2、积化和差、和差化积公式（不要求记忆）作为基本训练，使学生进一步提高运用转化的观点去处理问题的自觉性，体会一般与特殊的思想，换元的思想，方程的思想等数学思想在三角恒等变换中的应用. 二、编写意图与特色1.本章的内容分为两节：“两角和与差的正弦、余弦和正切公式”， “简单的三角恒等变换”，在学习本章之前我们学习了向量的相关知识，因此作者的意图是选择两角差的余弦公式作为基础，运用向量的知识来予以证明，降低了难度，使学生容易接受；2.本章是以两角差的余弦公式作为基础来推导其它的公式；3.本章在内容的安排上有明暗两条线，明线是建立公式，学会变换，暗线是发展推理和运算的能力，因此在本章全部内容的安排上，特

3、别注意恰时恰点的提出问题，引导学生用对比、联系、化归的观点去分析、处理问题，强化运用数学思想方法指导设计变换思路的意识；4.本章在内容的安排上贯彻“删减繁琐的计算、人为技巧化的难题和过分强调细枝末叶的内容”的理念，严格控制了三角恒等变换及其应用的繁、难程度，尤其注意不以半角公式、积化和差、和差化积公式作为变换的依据，而只把这些公式的推导作为变换的基本练习. 三、教学内容及课时安排建议本章教学时间约8 课时，具体分配如下：3.1 两角和与差的正弦、余弦、和正切公式约 3 课时3.2 简单的恒等变换约 3 课时复习约 2 课时3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式一、课标要求：本节的中心内容是建

4、立相关的十一个公式，通过探索证明和初步应用，体会和认识公式的特征及作用. 二、编写意图与特色本节内容可分为四个部分，即引入，两角差的余弦公式的探索、证明及初步应用，和差公式的探索、证明和初步应用，倍角公式的探索、证明及初步应用. 三、教学重点与难点1.重点：引导学生通过独立探索和讨论交流，导出两角和差的三角函数的十一个公式，并了解它们的内在联系，为运用这些公式进行简单的恒等变换打好基础；名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 10 页 - - -

5、 - - - - - - 学习必备欢迎下载2.难点：两角差的余弦公式的探索与证明.3.1.1 两角差的余弦公式一、教学目标掌握用向量方法建立两角差的余弦公式.通过简单运用， 使学生初步理解公式的结构及其功能，为建立其它和 （差）公式打好基础 . 二、教学重、难点1. 教学重点：通过探索得到两角差的余弦公式；2. 教学难点：探索过程的组织和适当引导，这里不仅有学习积极性的问题，还有探索过程必用的基础知识是否已经具备的问题，运用已学知识和方法的能力问题，等等. 三、学法与教学用具1. 学法：启发式教学2. 教学用具：多媒体四、教学设想：（一）导入： 我们在初中时就知道2cos452，3cos302

6、，由此我们能否得到cos15cos 4530?大家可以猜想，是不是等于cos45cos30呢？根据我们在第一章所学的知识可知我们的猜想是错误的！下面我们就一起探讨两角差的余弦公式cos?（二）探讨过程：在第一章三角函数的学习当中我们知道，在设角的终边与单位圆的交点为1P，cos等于角与单位圆交点的横坐标，也可以用角的余弦线来表示，大家思考：怎样构造角和角？（注意：要与它们的正弦线、余弦线联系起来 .）展示多媒体动画课件，通过正、余弦线及它们之间的几何关系探索cos与cos、cos、sin、sin之间的关系，由此得到cos()coscossinsin，认识两角差余弦公式的结构. 思考：我们在第二

7、章学习用向量的知识解决相关的几何问题，两角差余弦公式我们能否用向量的知识来证明？提示： 1、结合图形，明确应该选择哪几个向量，它们是怎样表示的？2、怎样利用向量的数量积的概念的计算公式得到探索结果？展示多媒体课件比较用几何知识和向量知识解决问题的不同之处，体会向量方法的作用与便利之处. 思考：cos?，coscos，再利用两角差的余弦公式得出名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 10 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载co

8、scoscos cossin sincos cossinsin（三）例题讲解例 1、利用和、差角余弦公式求cos75、cos15的值 . 解：分析：把75、15构造成两个特殊角的和、差. 232162cos75cos 4530cos45 cos30sin45 sin3022224232162c o s1 5co s 4 53 0c os 4 5 co s 3 0s i n 4 5 si n 3 022224点评：把一个具体角构造成两个角的和、差形式，有很多种构造方法，例如：cos15cos 6045，要学会灵活运用 . 例 2、已知4sin5，5,cos,213是第三象限角，求cos的值 .

9、解：因为,2，4sin5由此得2243cos1sin155又因为5cos,13是第三象限角，所以22512sin1cos11313所以3541233cos()coscossinsin51351365点评：注意角、的象限，也就是符号问题. 三、教学设想： （一）导入：问题1：我们在初中时就知道2cos452，3cos302，由此我们 能否得到cos15cos 4530?大家可以猜想， 是不是等于cos45cos30呢？根据我们在第一章所学的知识可知我们的猜想是错误的！下面我们就一名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 -

10、- - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 10 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载起探讨两角差的余弦公式cos?（二）探讨过程：在第一章三角函数的学习当中我们知道，在设角的终边与单位圆的交点为1P，cos等于角与单位圆交点的横坐标，也可以用角的余弦线来表示。思考 1：怎样构造角和角？（注：要与它们的正弦线、余弦线联系）思考 2： 我们在第二章学习用向量的知识解决相关的几何问题，两角差余弦公式我们能否用向量的知识来证明？（1）结合图形，明确应该选择哪几个向量，它们是怎样表示的？（2）怎样利用向量的数量积的概念的计算公式得到探索结果？两角差的余弦

11、公式：sinsincoscos)cos(（三）例题讲解：例 1、利用和、差角余弦公式求cos75、cos15的值 . 解：232162cos75cos 4530cos45 cos30sin 45 sin3022224232162cos15cos 4530cos45 cos30sin 45 sin 3022224点评：把一个具体角构造成两个角的和、差形式，有很多种构造方法，例如：cos15cos 6045，要学会灵活运用. 例 2、已知4sin5，5,cos,213是第三象限角，求cos的值 . 解：因为,2，4sin5由此得2243cos1sin155又因为5cos,13是第三象限角，所以22

12、512sin1cos11313所以3541233cos()coscossinsin51351365名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 10 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载点评：注意角、的象限，也就是符号问题. 思考：本题中没有),2，呢？（四）练习： 1. 不查表计算下列各式的值：20sin80sin20cos80cos1 ）（15sin2315cos212 ）（解: 20sin80sin20cos80cos1）（2

13、160cos)2080cos(两角差的余弦公式,两角和与差的正弦、余弦、正切公式) A 组一、选择题 :共 6 小题1、(易)tan2 tan3,则tan()( ) A.7B.15C.15D.172、(易)设(0,)2,若3sin5,则2 cos()4( ) A.15B.75C.75D.153、(易)sin110 sin 40cos40 cos70等于 ( ) A.12B.32C.12D.324、(中)0000(1tan21 )(1tan22 )(1tan23 )(1tan24 )的值等于 ( ) A.16B.8C.4D.25、(中)13sin10sin80的值是 ( ) A.1 B.2 C.

14、4 D.146、(中)sin3cos1212的值是 ( ) A.2B.2C.22D.12二、填空题 :共 3 小题7、(易)已知3sin5,是第四象限角,则sin4=_. 8、(中)若tan()24,则212sincoscos_. 9、(中)0000tan20tan403 tan20 tan40_. 三、解答题 :共 2 小题名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 10 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载10、(中)化简 :

15、1sincossin 2sin2. 11、 (中 )已知44,04,cos(4+)=53,sin(4+)=135, 求 sin()的值 . B 组一、选择题 :共 6 小题1、(易)sin(27 )cos(18)sin(18)cos(27 )xxxx=( ) A.12B.12C.22D. 222、(中)tan20 tan( 50 )1tan20tan50( ) A.3B.3C.33D.333、(中)2cos10sin 20cos20的值是( ) A.3B.62C.1 D.124、(中)已知11tan(),tan34则tan的值为 ( ) A.112B.113C.713D.12135、(难)如果

16、sin()2009sin()2010,则tantan( )A.14019 B.14019C.4019D.40196、(难)已知 A.B 均为钝角 ,5sin5A,10sin10B,则 A+B 的值为 ( ) A.74B.54C.34D.4二、填空题 :共 3 小题7、(中) 15cos15sin15cos15sin=_ 8、(中)函数22sincos()336xxy的图象中相邻两对称轴的距离是. 9、(中)若,22sinsin则coscos的取值范围 . . 三、解答题 :共 2 小题名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资

17、料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 10 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载10、(中)化简 :2sin50 +sin10 (1+3tan10 ) 80sin22. 11 、 ( 难 ) 已 知t a nt a n，是 一 元 二 次 方 程22(42)230mxmxm的 两 个 不 等 实 根 , 求 函 数2()53tan()4f mmm的值域 . C 组解答题 :共 2 小题1、(难)已知非零常数a、b 满足5sin5cos5cos5sinbaba=tan158,求ab. 2、(较难 )已知sinsinsin0,cosco

18、scos0.(1)求cos()的值 ; (2)若,0,3,求sin()的值 . 参考答案A 组1.Dtantan23tan()1tantan123=172.A (0,)2,3sin5, 4cos5, 原式 =2(coscossinsin)44=431cossin5553.B 原式cos40 cos70sin 40 sin(18070 )cos40 cos70sin40 sin 70=3cos(4070 )cos( 30 )24.C 0000(1tan21 )(1tan24 )2,(1tan22 )(1tan23 )2,更一般的结论04 5 , (1t a n) (1t a n)2, 5.C 原

19、式 =cos103sin10sin10 cos10=2sin 301041sin2026.B 原式 =132sincos212212=2sin2sin212347.7 210由3sin5,是第四象限角,得2234cos1sin155, 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 10 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载于是有sinsincoscossin444242325257 210; 8.23由1tantan()241tan

20、,得1tan3212sincoscos2222sincostan122sincoscos2tan139.30000000tan20tan40tan60tan(2040 )31tan20 tan40, 000033tan20 tan40tan20tan40,即原式 =310.解:1sincossin 2sin2= 1sincossinsin2= 1sincossincoscossinsincoscossin2=sincoscossin=sin=sin11.解:4 43, 24+ .又 cos(4+ )=53, sin(4+ )=54. 又 0 4, 4343+ .又 sin(43+ )=135,

21、 cos(43+ )=1312, sin( + )=sin+( + )=sin(4+ )+(43+ )= sin(4+ )cos(43+ )+cos(4+ )sin(43+ )=54 (1312)53135=6563. B 组1.D 原式 =sin(2718)sin 45xx222.B 原式 =tan20 tan501113tan50tan20tan(5020 )tan303.A 2cos10sin 20cos20=2cos 3020sin20cos20（）=3 cos20sin20sin 20cos20=3名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -

22、精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 10 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载4.B tan()tantantan ()1tan() tan=1135.C 可得2010sincos2010cossin2009sincos2009cossin, sincos4019cossin,得tan4019 tan,tan4019tan. 6.A 2 53 10,cos,cos22510ABABcos()coscossinsinABABAB=2 53 105102()5105102又724ABAB7.33把原式分子、分母

23、同除以cos15 ,有15cos15sin15cos15sin=115tan115tan=145tan15tan45tan15tan=tan(15 45 )=tan(30 )=33. 8.3222222s i nc o sc o ss i ns i nc o sc o ssi ns i n336363636xxxxxy22cos(),3362 /3xT,相邻两对称轴的距离是周期的一半9.141422t令coscost, 则2221(sinsin)(coscos),2t221322cos(),2cos()22tt22317141422,22222ttt10.解:原式 = 2sin50 +sin1

24、0 (1+3 tan10 )80sin22= 2sin50 +sin10 (1+310cos10sin) 10cos22= 2sin50 +sin10 (10cos10sin310cos)10cos22=(2sin50+2sin10 10cos50cos) 2 cos10 =22 (sin50cos10 +sin10 cos50 ) =22 sin60 =6 . 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页，共 10 页 - - - - - - - - -

25、 学习必备欢迎下载11.解:由已知 ,有12tantanmm,23tantan2mm, 24tan()3m. 又由0 ,知10(0)2m， , 2224()534(1)33mf mmmm. 当10(0)2m， 时()f m 在两个区间上都为单调递增, 故所求值域为134(4)4， . C 组1.分析 :这道题看起来复杂,但是只要能从式子中整理出ab,用158、5的三角函数表示出来,再利用两角和与差的正、余弦公式计算即可 . 解:由于5sin5cos5cos5sin5sin5cos5cos5sinababbaba,则158tan5sin5cos5cos5sinabab. 整理 ,有)5158co

26、s()5158sin(5sin158sin5cos158cos5sin158cos5cos158sinab=tan3=3 . 2.解 :(1)sinsinsin ,coscoscos ,22(sinsin)(coscos)1,22cos()1,1cos()2. (2)由(1)同理得11cos(),cos()22,0,3,由对称性 ,不防设03, 则03,03,03, 又由 (1)知3,3,3,若0,则33矛盾！0,有3,3,sin()sin2. 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 10 页，共 10 页 - - - - - - - - -