2022年不等式的基本性质 .pdf

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1、学习必备欢迎下载学科数学课型课时课题不等式的基本性质班级教材山东省中等职业教育规划教材数学（第一册）教学目标知识目标1.掌握作差比较大小的方法，并能证明一些不等式。能力目标培养学生观察、分析、比较的能力，并初步掌握对比的思想方法；情感目标在本节课的教学过程中，渗透数形结合的思想，并使学生初步学会运用数形结合的观点去分析问题、解决问题.教学重点掌握不等式的性质，掌握它们的证明方法及其功能，能简单运用教学用具多媒体教学自制课件教学难点掌握不等式的性质，掌握它们的证明方法及其功能，能简单运用课题： 不等式的基本性质() 教学目标：1.掌握作差比较大小的方法，并能证明一些不等式。1. 掌握不等式的性质

2、，掌握它们的证明方法及其功能，能简单运用。2. 提高逻辑推理和分类讨论的能力；培养条理思维的习惯和认真严谨的学习态度。教学重点：作差比较大小的方法；不等式的性质。教学难点：不等式的性质的运用教学过程：第 1 课时：问题情境：现有A、B、C、D 四个长方体容器，A、B 容器的底面积为a2，高分别为a、b，C、D 容器的底面积为b2，高分别为a、b，其中 ab。甲先从四个容器中取两个容器盛水，名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 7 页 - - -

3、 - - - - - - 学习必备欢迎下载乙用剩下的两个容器盛水。问如果你是甲，是否一定能保证两个容器所盛水比乙的多？分析：依题意可知：A、B、C、D 四个容器的容积分别为a3、a2b、ab2、b3，甲有6 种取法。问题可以转化为比较容器两两和的大小。研究比较大小的依据：我们知道，实数与数轴上的点是一一对应的。在数轴上不同的两点中，右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大。在右图中，点A 表示实数a，点 B 表示实数b，点 A 在点 B 右边，那么a b。而 ab 表示 a 减去 b 所得的差，由于ab，则差是一个正数，即ab0。命题： “若 ab，则 ab0”成立；逆命题“若ab0，则 ab

4、”也正确。类似地：若a b，则 ab0；若 ab，则 ab0。逆命题也都正确。结论： (1)“ ab”?“ ab0”(2)“ ab”?“ ab0”(3)“ ab”?“ ab0”以上三条即为比较大小的依据：“作差比较法” 。正负数运算性质：(1) 正数加正数是正数；(2) 正数乘正数是正数；(3) 正数乘负数是负数；(4) 负数乘负数是正数。研究不等式的性质：性质 1：若 ab，bc，则 ac (不等式的传递性) 证明： ab ab0 bc bc0 ( ab)(b c) ac0 (正负数运算性质) 则 ac 反思：证明要求步步有据。性质 2：若 ab，则 ac bc (不等式的加法性质) 证明：

5、 ab ab0 ( ac)(bc)ab0 a cbc 反思：作差比较法的第一次运用，虽然简单，也要让学生好好体会体会。思考：逆命题“若acbc，则 ab”成立吗？两边加“c”即可证明。例 1 求证：若a b，cd，则 acbd (同向不等式相加性质) 证明 1： ab acbc (性质 2) cd bcbd (性质 2) 则 acbd (性质 1) 证明 2： ab ab0 cd cd0 A B x 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 7 页

6、 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载( ab)(cd) 0 即( a c)(bd)0 (作差比较法 ) 则 acbd 反思：你更喜欢哪种方法？为什么？(精彩回答：我都喜欢，如同自己的一对双胞胎。) 练习：求证：若a b，cd，则 acbd (异向不等式相减性质) 作业证明 1： cd cd0 得 dc0 即 c d (正数得相反数为负数) 亦可由 cd 两边同加 (cd)，直接推出 c d (性质 2) ab a(c)b(d) (同向不等式相加性质) 则 acbd (加减法运算法则) 证明 2： ab ab0cd dc0( ac)(bd) ( ab)(dc)0 (作差比较法

7、) 则 acbd 性质 3：若 ab，c0，则 acbc 若 ab，c0，则 acbc (不等式的乘法性质) 证明： acbc(a b)c (作差比较法 ) ab ab0 (1) 当 c0 时， (ab)c0，得 acbc (正负数运算性质) (2) 当 c0 时， (ab)c0，得 acbc (正负数运算性质) 反思：等式两边同乘一个数，等式永远成立。但不等式的情况完全不同！强调！思考： (1)“若 ab，则 ac2bc2”成立吗？不成立！反例：c 0 时不成立。(2)“若 ac2 bc2，则 ab”成立吗？成立！隐含c20。练习： (1)教材 P. 30- 练习 2. 1(1)- 1 (学

8、生口答，教师点评) (2)教材 P. 30- 练习 2. 1(1)- 2、3 (学生板书，教师点评) 2、求证： 若 ab0，cd0，则 acbd (同向不等式相乘性质)证明： ab， c0 acbc (性质 3) cd，b0 bcbd (性质 3) 则 acbd (性质 1) 特例：当ac 且 bd 时，有“若ab0，则 a2 b2”推而广之： 若 ab0，则 anbn (nN*) (不等式的乘方性质)推而广之： 若 ab0，则nanb(nN* ， n1) (不等式的开方性质) 可用反证法进行证明。3、求证： 若 ab0，则 01a1b(不等式的倒数性质) 作业名师归纳总结 精品学习资料 -

9、 - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 7 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载证明： ab 0 1a0，1b0， ab0 1b1aabab0 (正负数运算性质) 则 01a1b例 2比较 (a1)2与 a2a1 的值的大小。解： (a1)2(a2a 1) 3a (1)当 a0 时， (a 1)2a2a1 (2)当 a0 时， (a 1)2a2a1 (3)当 a0 时， (a 1)2a2a1 反思： (1)比较大小时，等与不等一定要分开讨论！强调！(2)分

10、类讨论时，要做到“不遗漏，不重复”！强调！例 3解关于 x 的不等式m(x2)xm。解： (m1) x m (1)当 m1 时， x R (2)当 m1 时， xmm1；(3)当 m1 时， xmm1反思： (1) 引起讨论的原因是什么？m1 值的不确定性(2) 如何进行讨论？不等式性质课堂小结： (1) 数学知识： 8 条不等式性质(教材 P. 31) (2) 数学方法：作差比较法(3) 数学思想：分类讨论第 1 课时作业：练习册 P. 13- 习题 2. 1- A 、B 组(做在练习册上 )名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳

11、精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 7 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载第 2 课时：讲评作业或者做教材P.30-练习 2. 1(2)- 1 (学生口答，教师点评) 例 1 解关于 x 的不等式： (m24)xm2。解： (1) m240 即 m 2 或 m 2 当 m 2 时， x当 m2 时， xR (2) m240 即 m 2 或 m 2 时， x1m2(3) m240 即 2m 2 时， x1m2反思： (1) 引起讨论的原因是什么？m24 值的不确定性(2) 如何进行讨论？不等式性质例 2 若 m0，yx

12、0，试比较xmym与xy的大小。解：xmymxy(xm)y(ym)x(ym)ym(yx)(ym)yyx yx 0 y0， m 0 y m 0 又 y0，m0 m(yx)(ym)y 0 则xmymxy引申：若a、b、c、 d均为正数，且abcd，求证：abacbdcd证明 1：(作差比较法 ) acbdabbcad(bd)babcd，b 0，d0 bcad 得bcad(bd)b0 则acbdab同理可证：acbdcd证明 2：(变更论证法 ) b0， bd0 abacbda(bd)b(ac) a(b d)b(ac)ad bc abcd，b 0，d0 adbc 得 a(bd)b(ac) 则abac

13、bd同理可证：acbdcd名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 7 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载例 3 若 x0，试比较xx3与x1 x2的大小。分析：直接作差显然不可取。可考虑去根号，利用不等式的乘方、开方性质。解： (xx3)22x322x3x，(x1 x2)2 2x3 22x3x12x3x2x3x12x322x3x2x322x3x1得(xx3)2(x1 x2)2则xx3x1x2反思：“分析法”是寻找解题思路的常

14、用方法。例 4 甲、乙两人连续两天去市场买青菜。甲每次买青菜的数量不变，乙每次买青菜的费用不变。问甲、乙两人谁购买的方法比较合算？分析：何为合算？平均单价便宜。解：设第一天青菜单价a 元/斤，第一天青菜单价b 元/斤。设甲每次买青菜x 斤，乙每次买青菜花费y 元，甲平均单价为axbx2xab2，乙平均单价为2yyyab2ababab22abab2(ab)2(ab)(1) ab 时，ab22abab；(2) ab 时，ab22abab由(1)(2) 可知：乙购买的方法比较合算。例 5 (第 1 课时的引例 ) 现有 A、B、C、 D 四个长方体容器，A、B 容器的底面积为a2，高分别为a、b，C

15、、D 容器的底面积为b2，高分别为a、b，其中 ab。甲先从四个容器中取两个容器盛水，乙用剩下的两个容器盛水。问如果你是甲，是否一定能保证两个容器所盛水比乙的多？分析：依题意可知：A、B、C、D 四个容器的容积分别为a3、a2b、ab2、b3，甲有6 种取法。问题可以转化为比较容器两两和的大小。解： (1)取 A、B： (a3a2b)(ab2b3)(a b)2(ab) 无法确定大小(2)取 A、C： (a3ab2)(a2bb3)(a2b2) (a b) 无法确定大小(3)取 A、D：(a3b3) (ab2 a2b) (a b) (ab)2由于 ab，则 (ab) (ab)20，即 a3b3ab

16、2a2b 先取 A、D 则必胜！能否推广？观察 a3b3ab2 a2b 的特征，进行猜测。a4b4ab3a3b，a4b4a2b2a2b2a5b5ab4a4b，a5b5a2b3a3b2名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 7 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载更为一般性的结论：a、b R， m、nN* ，则 a m+n bm+nambnanbm证明： (a mnb mn)(ambnanbm)(am bm)(anbn)0课堂小结： (1) 数学知识： 8 条不等式性质(教材 P. 31) (2) 数学方法：作差比较法、分析法、变更论证(3) 数学思想：分类讨论、类比猜想证明作业：一课一练 P. 35- 110、P. 36- 16、9、10 (做在书上 ) 选做： 一课一练P. 35- 11(1)、P. 36- 11 (做在书上 ) 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 7 页 - - - - - - - - -