2022年中考数学精选压轴题 2.pdf

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1、学习必备欢迎下载20XX 年中考数学精选压轴题一、函数与几何综合的压轴题1. （2004 安徽芜湖）如图，在平面直角坐标系中，AB、 CD 都垂直于x 轴，垂足分别为 B、D 且 AD 与 B 相交于 E 点.已知： A(-2,-6), C(1,-3) (1) 求证： E 点在 y 轴上；(2) 如果有一抛物线经过A，E， C 三点，求此抛物线方程. (3) 如果 AB 位置不变，再将DC 水平向右移动k(k0)个单位，此时AD 与 BC 相交于 E点，如图，求AEC 的面积 S 关于 k 的函数解析式. 解（1）（本小题介绍二种方法，供参考）方法一：过E 作 EOx 轴，垂足OABEODC,

2、EODOEOBOABDBCDDB又 DO+ BO= DB1EOEOABDC AB=6， DC=3， EO=2又DOEODBAB，2316EODODBAB DO= DO，即 O与 O 重合， E 在 y 轴上图C（1，-3）A （2， -6）B D O x E y 图C （1+k， -3）A （ 2，-6）B D O x Ey 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 28 页学习必备欢迎下载方法二：由D（1， 0）， A（-2， -6），得 DA 直线方程：y=2x-2再由 B（-2，0）， C（1，-3），得 BC 直线方程：y

3、=-x-2 联立得02xy E 点坐标（ 0，-2），即 E 点在 y 轴上（ 2）设抛物线的方程y=ax2+bx+c(a 0) 过 A（-2，-6）， C（1，-3）E（ 0，-2）三点，得方程组42632abcabcc解得 a=-1,b=0,c=-2 抛物线方程y=- x2-2 （ 3）（本小题给出三种方法，供参考）由（ 1）当 DC 水平向右平移k 后，过AD 与 BC 的交点 E 作 EFx 轴垂足为F。同（ 1）可得：1E FE FABDC得： EF=2 方法一：又E F ABE FDFABDB，13DFDBSAE C= SADC- SEDC=11122223DCDBDCDFDCDB

4、=13DCDB=DB=3+ kS=3+k 为所求函数解析式方法二： BADC， SBCA=SBDA SAEC= SBDE1132322BDE Fkk S=3+k 为所求函数解析式. 证法三： SDEC SAEC=DE AE= DCAB=12 同理： SDE C SDE B=1 2,又 SDE CSABE=DC2AB2=1 4 2213992AE CABCDSSABCDBDk梯形 S=3+k 为所求函数解析式. 2. （2004 广东茂名）已知：如图，在直线坐标系中，以点M （1， 0）为圆心、直径 AC 为22的圆与y 轴交于A、D 两点 . （ 1）求点 A 的坐标；精选学习资料 - - -

5、 - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 28 页学习必备欢迎下载（ 2）设过点A 的直线 y xb 与 x 轴交于点B.探究：直线AB 是否 M 的切线？并对你的结论加以证明；（ 3）连接 BC ，记 ABC 的外接圆面积为S1、 M 面积为S2，若421hSS，抛物线yax2bxc 经过 B、M 两点， 且它的顶点到x轴的距离为h.求这条抛物线的解析式 . 解（1）解：由已知AM 2，OM 1，在 RtAOM 中， AO122OMAM，点 A 的坐标为A（0，1）（ 2）证：直线y xb 过点 A（0， 1） 1 0b 即 b1 y x1 令 y0

6、则 x 1 B（ 1，0），AB 2112222AOBO在 ABM 中， AB 2，AM 2， BM 2 222224)2()2(BMAMAB ABM 是直角三角形，BAM 90直线 AB 是 M 的切线（ 3）解法一：由得BAC 90 ，AB 2，AC 22， BC10)22()2(2222ACAB BAC 90 ABC 的外接圆的直径为BC，25)210()2(221BCS而2)222()2(222ACS421hSS，5,4225hh即设经过点B（ 1， 0）、 M（ 1，0）的抛物线的解析式为：y a（ 1）（ x1），（ a0 ）即 y ax2a， a 5， a 5 抛物线的解析式为y

7、 5x25 或 y 5x25 A B C D x M y 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 28 页学习必备欢迎下载解法二：（接上）求得 h5 由已知所求抛物线经过点B（ 1，0）、 M（1、 0），则抛物线的对称轴是y 轴，由题意得抛物线的顶点坐标为（0， 5）抛物线的解析式为y a（x 0）2 5 又 B（ 1,0）、 M（1,0）在抛物线上，a 50， a 5 抛物线的解析式为y5x25 或 y 5x25 解法三：（接上）求得h5 因为抛物线的方程为y ax2 bxc（a0 ）由已知得5055c0b5544002cb

8、aaabaccbacba或解得抛物线的解析式为y5x25 或 y 5x25. 3.(2004 湖北荆门 )如图，在直角坐标系中，以点P（1，1）为圆心， 2为半径作圆，交x 轴于 A、B 两点，抛物线)0(2acbxaxy过点 A、B，且顶点 C 在 P上. (1)求P 上劣弧AB的长；(2)求抛物线的解析式；(3)在抛物线上是否存在一点D，使线段 OC 与 PD 互相平分？若存在， 求出点 D 的坐标；若不存在，请说明理由. 解（1）如图，连结PB，过 P 作 PMx 轴，垂足为M. 在 Rt PMB 中， PB=2,PM=1, MPB 60 ， APB120AB的长342180120（ 2

9、）在 RtPMB 中， PB=2,PM=1, 则 MB MA 3. 又 OM=1 ， A（ 13， 0）， B（13，0），A B C O x y P （1， 1）A B C O x y P （1，1）M 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 28 页学习必备欢迎下载由抛物线及圆的对称性得知点C 在直线 PM 上，则 C(1， 3). 点 A、B、C 在抛物线上，则cbacbacba3)31()31(0)31()31(022解之得221cba抛物线解析式为222xxy（ 3）假设存在点D，使 OC 与 PD 互相平分，则四边形

10、OPCD 为平行四边形，且PCOD. 又 PC y 轴，点D 在 y 轴上， OD 2，即 D（0， 2） . 又点 D（ 0， 2）在抛物线222xxy上，故存在点D（ 0， 2），使线段 OC 与 PD 互相平分 . 4.（2004 湖北襄樊）如图，在平面直角坐标系内，RtABC 的直角顶点C（0，3）在y轴的正半轴上，A、B 是x轴上是两点，且OAOB 31，以 OA、OB 为直径的圆分别交AC 于点 E，交 BC 于点 F.直线 EF 交 OC 于点 Q. （ 1）求过 A、B、C 三点的抛物线的解析式；（ 2）请猜想：直线EF 与两圆有怎样的位置关系？并证明你的猜想. （ 3）在 A

11、OC 中，设点M 是 AC 边上的一个动点，过M 作 MNAB 交 OC 于点N.试问：在x轴上是否存在点P，使得 PMN 是一个以MN 为一直角边的等腰直角三角形？若存在，求出P 点坐标；若不存在，请说明理由. 解(1)在 Rt ABC 中， OC AB， AOC COB. OC2OA OB. OA OB31,C(0,3), 2( 3)3.OB OB OB 1. OA3. A(-3,0),B(1,0). 设抛物线的解析式为2.yaxbxcA y x B E F O1Q O O2C B A E F O1Q O O2y x 2 1 3 4 M P C 精选学习资料 - - - - - - - -

12、 - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 28 页学习必备欢迎下载则930,0,3.abcabcc解之，得3,323,33.abc经过 A、B、C 三点的抛物线的解析式为23233.33yxx(2)EF 与 O1、 O2都相切 . 证明：连结O1E、OE、OF. ECF AEO BFO 90 , 四边形EOFC 为矩形 . QE QO. 1 2. 3 4,2+490 ， EF 与 O1相切 . 同理： EF 理 O2相切 . (3)作 MPOA 于 P，设 MNa,由题意可得MPMNa. MNOA, CMN CAO. .MNCNAOCO3.33aa解之，得3 33.2a此时

13、，四边形OPMN 是正方形 . 3 33.2MNOP3 33(,0).2P考虑到四边形PMNO 此时为正方形，点 P 在原点时仍可满足PNN 是以 MN 为一直角边的等腰直角三角形. 故x轴上存在点P 使得 PMN是一个以MN为一直角边的等腰直角三角形且3 33(,0)2P或(0,0).P5.（2004 湖北宜昌）如图，已知点A(0 ，1)、C(4，3)、E(415，823)，P 是以 AC 为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 28 页学习必备欢迎下载X O P D C A B Y 对角线的矩形ABCD 内部 (不在各边上

14、 )的 个动点，点 D 在 y 轴， 抛物线 y ax2+bx+1以 P 为顶点(1)说明点A、C、E 在一条条直线上；(2)能否判断抛物线yax2+bx+1 的开口方向 ?请说明理由；(3)设抛物线yax2+bx+1 与 x 轴有交点F、G(F 在 G 的左侧 )，GAO 与 FAO 的面积差为3，且这条抛物线与线段AE 有两个不同的交点这时能确定a、b 的值吗?若能，请求出a、b 的值；若不能，请确定a、b 的取值范围(本题图形仅供分析参考用) 解（ 1） 由题意，A(0 ， 1)、 C(4， 3)确定的解析式为： y=21x+1. 将点 E 的坐标 E(415，823)代入 y=21x+

15、1 中，左边 =823，右边 =21415+1=823，左边 =右边，点E 在直线y=21x+1 上，即点A、C、E 在一条直线上. （ 2）解法一： 由于动点P 在矩形ABCD 内部， 点 P 的纵坐标大于点A 的纵坐标，而点 A 与点 P 都在抛物线上，且P 为顶点，这条抛物线有最高点，抛物线的开口向下解法二： 抛物线y=ax2+bx+c 的顶点 P 的纵坐标为aba442，且 P 在矩形 ABCD 内部， 1aba442 3，由 1 1ab42得ab42 0， a 0，抛物线的开口向下. （ 3） 连接 GA 、 FA， SGAOSFAO=3 21GO AO 21FOAO=3 OA=1

16、， GOFO=6. 设 F（ x1,0）、 G（ x2,0），则 x1、x2为方程ax2+bx+c=0 的两个根，且x1x2，又 a0， x1x2=a1 0， x10 x2， GO= x2， FO= x1， x2（ x1）=6，即 x2+x1=6， x2+x1= abab=6， b= 6a, 抛物线解析式为：y=ax2 6ax+1, 其顶点P的坐标为X G F O P D E C A B Y 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 28 页学习必备欢迎下载由方程组y=ax26ax+1 y=21x+1 得： ax2（ 6a+21）

17、x=0 （3， 1 9a）, 顶点 P 在矩形ABCD 内部， 1 19a3, 92 a 0. x=0 或 x=aa216=6+a21. 当 x=0 时，即抛物线与线段AE 交于点 A，而这条抛物线与线段AE 有两个不同的交点，则有：06+a21415，解得：92a121综合得：92a121 b= 6a，21b346. （2004 湖南长沙）已知两点O(0，0)、B(0，2)， A 过点 B 且与 x 轴分别相交于点 O、C， A 被 y 轴分成段两圆弧，其弧长之比为31，直线 l 与 A 切于点O，抛物线的顶点在直线l 上运动 . （1）求 A 的半径；（2）若抛物线经过O、 C 两点，求抛

18、物线的解析式；（3）过 l 上一点 P 的直线与A 交于 C、E 两点，且PC CE，求点 E 的坐标；（4）若抛物线与x 轴分别相交于C、F 两点，其顶点P 的横坐标为m，求 PEC 的面积关于m 的函数解析式. 解(1)由弧长之比为31，可得 BAO 90o再由 AB AO r，且 OB 2，得 r2 (2) A 的切线l 过原点，可设l 为 ykx任取 l 上一点 (b， kb)，由 l 与 y 轴夹角为45o可得：b kb 或 b kb，得 k 1 或 k1，直线 l 的解析式为y x 或 yx 又由 r2，易得 C(2， 0)或 C( 2， 0) 由此可设抛物线解析式为y ax(x2

19、)或 yax(x2) 再把顶点坐标代入l 的解析式中得a1 抛物线为yx2 2x 或 yx22x6 分(3)当 l 的解析式为y x 时，由P 在 l 上，可设P(m， m)(m 0) 过 P 作 PP x 轴于 P ， OP |m|， PP |m|， OP2m2，又由切割线定理可得：OP2 PC PE,且 PC CE，得 PCPEm PP 7 分0 x y 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 28 页学习必备欢迎下载 C 与 P 为同一点，即PEx 轴于 C， m 2，E(2， 2)8分同理，当l 的解析式为yx 时， m

20、 2， E(2， 2) (4)若 C(2，0)，此时l 为 y x， P 与点 O、点 C 不重合，m 0且 m 2 ，当 m0 时， FC2(2m)，高为 |yp|即为 m， S22(2)()22mmmm同理当 0m 2 时， S m22m；当 m2 时， Sm2 2m； S222(02)2 (02)mm mmmmm或又若 C(2，0)，此时 l 为 yx，同理可得；S222 (20)2 ( 20)mm mmmmm或7. （2006 江苏连云港） 如图，直线4kxy与函数)0,0(mxxmy的图像交于A、B 两点，且与x、y 轴分别交于C、D 两点（ 1）若COD 的面积是AOB 的面积的2

21、倍，求 k 与m之间的函数关系式；（ 2） 在（1）的条件下， 是否存在k 和m，使得以AB为直径的圆经过点)0, 2(P 若存在，求出k 和m的值；若不存在，请说明理由解（1）设),(11yxA，),(22yxB(其中2121,yyxx)，由AOBCODSS2，得)(2BODAODCODSSS21 OC 2OD(21OD1y21 OD 2y)，)(221yyOC，又4OC，8)(221yy，即84)(21221yyyy，由xmy可得ymx，代入4kxy可得042kmyyOPDCBAA A 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共

22、 28 页学习必备欢迎下载421yy，kmyy21，8416km，即mk2又方程的判别式08416km，所求的函数关系式为mk2)0(m（ 2）假设存在k ,m，使得以AB为直径的圆经过点)0,2(P则BPAP，过A、B分别作x轴的垂线，垂足分别为M、 N MAP与BPN 都与APM互余，MAPBPN RtMAP RtNPB ，NBMPPNAM212122yxxy，0)2)(2(2121yyxx，0)2)(2(2121yyymym，即0)(4)(222121212yyyyyymm由（ 1）知421yy，221yy，代入得01282mm，2m或 6 ，又mk2，12km或316km，存在 k ,

23、m，使得以AB为直径的圆经过点)0,2(P，且12km或316km8. （ 2004 江苏镇江）已知抛物线2(5)5(0)ymxmxm与x 轴交于两点1(,0)A x、2(,0)B x12()xx，与 y 轴交于点C，且 AB=6. （1）求抛物线和直线BC 的解析式 . （2）在给定的直角坐标系中，画抛物线和直线BC. （3）若P过 A、B、C 三点，求P的半径 . （4）抛物线上是否存在点M，过点M 作MNx轴于点 N，使MBN被直线BC分成面积比为1 3的两部分？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由 . 解（1）由题意得：12122155,6.mxxxxxxmm2212125

24、20()436,36,mxxx xmmNMOPDCBA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 28 页学习必备欢迎下载x y O 解得1251,.7mm经检验 m=1，抛物线的解析式为：245.yxx或 ： 由2(5 )50mxmx得 ，1x或5xm0,m516,1.mm抛物线的解析式为245.yxx由2450 xx得125,1.xx A（ 5， 0）， B（1，0）， C（0， 5）. 设直线 BC 的解析式为,ykxb则5,5,0.5.bbkbk直线 BC 的解析式为55.yx(2)图象略 . （ 3）法一：在RtAOCD

25、中，5,45 .OAOCOAC90BPC. 又2226,BCOBOCP的半径22613.2PB法二：由题意， 圆心 P 在 AB 的中垂线上， 即在抛物线245yxx的对称轴直线2x上，设 P（ 2， h）（ h 0），连结 PB、PC，则222222(12),(5)2PBhPCh，由22PBPC，即2222(12)(5)2hh，解得 h=2. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 28 页学习必备欢迎下载( 2, 2),PP的半径22(12)213PB. 法三：延长 CP 交P于点 F. CF为P的直径，90 .CAFCO

26、B又,.ABCAFCACFOCBD D,.CFACAC BCCFBCOCOC又22555 2,AC225,5126,COBC5 2262 13.5CFP的半径为13.（ 4）设MN 交直线BC 于点E，点M 的坐标为2( ,45),t tt则点E 的坐标为( ,55).tt若1 3,MEBENBSSDD:则1 3.MEEN:243 4,45(55).3ENMNttt:解得11t（不合题意舍去），25,3t5 40,.39M若3 1,MEBENBSSDD:则3 1.MEEN:21 4,454(55).EN MNttt:解得31t（不合题意舍去），415,t15,280 .M存在点M，点 M 的坐

27、标为5 40,39或（ 15， 280）. 9.如图， M 与 x 轴交于A、 B 两点，其坐标分别为)03(，A、)01( ，B，直径 CD x 轴于 N，直线 CE 切 M 于点 C，直线FG 切 M 于点 F，交 CE 于 G，已知点G 的横坐标为3. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 28 页学习必备欢迎下载(1) 若抛物线mxxy22经过 A、B、D 三点，求m 的值及点D 的坐标 . (2) 求直线 DF 的解析式 . (3) 是否存在过点G 的直线，使它与（1）中抛物线的两个交点的横坐标之和等于 4？若存在

28、，请求出满足条件的直线的解析式；若不存在，请说明理由. 解 (1) 抛物线过A、B 两点，11)3(m， m=3. 抛物线为322xxy. 又抛物线过点D， 由圆的对称性知点 D 为抛物线的顶点. D 点坐标为)41(，. (2) 由题意知：AB=4. CD x 轴， NA=NB=2. ON=1. 由相交弦定理得：NANB=NDNC，NC 4=22. NC=1. C 点坐标为)11(，. 设直线 DF 交 CE 于 P，连结 CF，则 CFP=90. 2+3= 1+4=90. GC、GF 是切线，GC=GF . 3=4. 1=2. GF=GP. GC=GP. 可得 CP=8. P 点坐标为)1

29、7( ，设直线 DF 的解析式为bkxy则174bkbk解得82785bk直线 DF 的解析式为：82785xy(3) 假设存在过点G 的直线为11bxky，F A y x O N M G E D C P 1 2 3 4 （第 9 题图）A y x O N M G F E D C 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 28 页学习必备欢迎下载则1311bk，1311kb. 由方程组3213211xxykxky得034)2(112kxkx由题意得421k，61k. 当61k时，040，方程无实数根，方程组无实数解. 满足条件的

30、直线不存在. 10.（ 2004 山西）已知二次函数212yxbxc的图象经过点A（ 3，6），并与x 轴交于点B（ 1，0）和点 C，顶点为P. （ 1）求这个二次函数的解析式，并在下面的坐标系中画出该二次函数的图象；（ 2）设 D 为线段 OC 上的一点，满足DPC BAC ，求点 D 的坐标；（ 3）在 x 轴上是否存在一点M，使以 M 为圆心的圆与AC 、PC 所在的直线及y轴都相切？如果存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由. 解（1）解：二次函数212yxbxc的图象过点A（ 3，6），B（ 1，0）得9362102bcbc解得132bc这个二次函数的解析式为：21322y

31、xx由解析式可求P（1， 2）， C（3，0）画出二次函数的图像（2）解法一：易证：ACB PCD45又已知： DPC BAC DPC BAC DCPCBCAC易求6 2,2 2,4ACPCBC43DC45333OD5,03D解法二：过A 作 AE x 轴，垂足为E. 设抛物线的对称轴交x 轴于 F. 亦可证 AEB PFD、PEEBPFFD.易求： AE6，EB2， PF2 x O y 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 28 页学习必备欢迎下载23FD25133OD5,03D（3）存在 . （1 ）过 M 作 MH A

32、C，MG PC 垂足分别为H、G，设 AC 交 y 轴于 S， CP的延长线交y 轴于 T SCT 是等腰直角三角形，M 是 SCT 的内切圆圆心，MG MH OM 又2MCOM且 OM MC OC 23,3 23OMOMOM得3 23,0M（2 ）在 x 轴的负半轴上，存在一点M同理 OM OCM C，2OMOCOM得3 23OM M3 23,0即在 x 轴上存在满足条件的两个点. MT 1 1 -1 -2 4 -3 2 3 0 5 6 E -1 -2 2 3 C x y B D M F S G H P 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - -

33、-第 15 页，共 28 页学习必备欢迎下载A B C M O x y 11. （ 2004 浙江绍兴）在平面直角坐标系中，A（ 1，0）， B（3，0）. （1）若抛物线过A，B 两点，且与y 轴交于点（0， 3），求此抛物线的顶点坐标；（2）如图，小敏发现所有过A，B 两点的抛物线如果与y 轴负半轴交于点C，M 为抛物线的顶点，那么ACM 与 ACB 的面积比不变，请你求出这个比值；（3）若对称轴是AB 的中垂线l 的抛物线与x 轴交于点E，F， 与 y 轴交于点C，过 C 作 CP x 轴交 l 于点 P，M 为此抛物线的顶点.若四边形PEMF 是有一个内角为 60 的菱形，求次抛物线的

34、解析式. 解（1）322xxy，顶点坐标为（1， 4）. （ 2）由题意，设y a（x1）（ x3），即 yax2 2ax3a，A（ 1，0）， B（3， 0）， C（ 0， 3a），M（1， 4a），SACB21 4a36a，而 a 0， SACB 6A、作 MD x 轴于 D，又 SACM SACOSOCMDSAMD21 1 3a21（3a4a）21 2 4a a，SACM： SACB 1：6. （3）当抛物线开口向上时，设ya（x1）2k，即 y ax2 2axak，有菱形可知kak，a k0，k0，k2a，yax22ax2a，2EF. 记 l 与 x 轴交点为D，若 PEM 60 ，则

35、 FEM 30 ，MD DE tan30 66，k66，a36，抛物线的解析式为666326312xxy. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 28 页学习必备欢迎下载若 PEM 120 ，则 FEM 60 ，MD DE tan60 26，k26，a6，抛物线的解析式为266262xxy. 当抛物线开口向下时，同理可得666326312xxy，266262xxy. 12.（ 2005 北京）已知：在平面直角坐标系xOy 中，一次函数ykxk4的图象与x 轴交于点A，抛物线yaxbxc2经过 O、 A 两点。（ 1）试用含a

36、 的代数式表示b；（ 2）设抛物线的顶点为D，以 D 为圆心， DA 为半径的圆被x 轴分为劣弧和优弧两部分。若将劣弧沿x 轴翻折，翻折后的劣弧落在D 内，它所在的圆恰与OD 相切，求 D 半径的长及抛物线的解析式；（ 3）设点 B 是满足（ 2）中条件的优弧上的一个动点，抛物线在x 轴上方的部分上是否存在这样的点P，使得POAOBA43？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由。解（1）解法一：一次函数ykxk4的图象与x 轴交于点A 点 A 的坐标为（ 4， 0）抛物线yaxbxc2经过 O、A 两点cab01640，ba4解法二：一次函数ykxk4的图象与x 轴交于点A 点 A 的

37、坐标为（ 4， 0）抛物线yaxbxc2经过 O、A 两点抛物线的对称轴为直线x2xba22ba4（2）由抛物线的对称性可知，DO DA 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 28 页学习必备欢迎下载点 O 在 D 上，且 DOA DAO 又由（ 1）知抛物线的解析式为yaxax24点 D 的坐标为（24，a）当a0时，如图 1，设 D 被 x 轴分得的劣弧为OmA，它沿 x 轴翻折后所得劣弧为OnA，显然OnA所在的圆与D 关于 x 轴对称，设它的圆心为D 点 D与点 D 也关于x 轴对称点 O 在 D上，且 D 与 D相

38、切点 O 为切点DOOD DOA DOA 45 ADO 为等腰直角三角形OD2 2点 D 的纵坐标为2421242aaba，抛物线的解析式为yxx1222当a0时，同理可得：OD2 2抛物线的解析式为yxx1222综 上 ， D半 径 的 长 为2 2， 抛 物 线 的 解 析 式 为yxx1222或yxx1222（3）抛物线在x 轴上方的部分上存在点P，使得POAOBA43设点 P 的坐标为（ x，y），且 y0 当点 P 在抛物线yxx1222上时（如图2）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 28 页学习必备欢迎下载点

39、 B 是 D 的优弧上的一点O B AA D O1245P O AO B A4360过点 P 作 PE x 轴于点 E t a nt a nP O EEPOEyxyx603由yxyxx31222解得：xyxy112242 364 300，（舍去）点 P 的坐标为42 3643，当点 P 在抛物线yxx1222上时（如图3）同理可得，yx3由yxyxx31222解得：xyxy112242 364 300，（舍去）点 P 的坐标为42 364 3，综上，存在满足条件的点P，点 P 的坐标为42364 3，或42364 3，13.（2005 北京丰台）在直角坐标系中，O1经过坐标原点轴正半轴、y 轴

40、正半轴交于点A、B。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 28 页学习必备欢迎下载（1）如图，过点A 作O1的切线与y 轴交于点C，点O 到直线AB 的距离为123sin55ABC，求直线AC 的解析式；（2） 若O1经过点 M （2， 2） ， 设BOA的内切圆的直径为d，试判断d+AB 的值是否会发生变化，如果不变，求出其值，如果变化，求其变化的范围。解（1）如图1，过 O 作OGB于G，则OG125设OAk kAOBABC309035(),sinABkOBk54，OA OBAB OGSkkkAOB23451251,OA

41、OBAB345，A（ 3，0）A O B 90 ,AB 是O1的直径AC切O1于 A，BAACBAC,90在Rt ABC中cos,ABCABBCBCOCBCOB4525494C()094，设直线 AC 的解析式为ykxb，则3094kbbkb3494，直线 AC 的解析式为yx3494（2）结论：dAB的值不会发生变化设AOB的内切圆分别切OA 、OB、AB 于点 P、 Q、 T，如图 2 所示y B O1O A x C 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 28 页学习必备欢迎下载y B M O1Q P O A N x T

42、 图 2 BQBTAPATOQOPdBQBTOBdAPATOAdABBTATOBdOAdOAOBd，22222,则dABdOAOBdOAOB在 x 轴上取一点N，使 AN=OB ，连接 OM 、BM 、AM 、MN MOM( , ),2 2平分AOBOM,2 2B O MM O NAMBMMANOBM OBAN45 ,又B O MA N MB O MA N MA N MMON,45OMNMOMN,90OAOBOAANONOMMNOM22222 24dAB的值不会发生变化，其值为4。14. （ 2005 福建厦门）已知：O 是坐标原点，P（m，n） (m0) 是函数y kx(k0) 上的点， 过

43、点 P 作直线PAOP 于 P，直线 PA 与 x 轴的正半轴交于点A（a，0）(am) . 设 OPA 的面积为s，且 s1n44. （ 1）当 n 1 时，求点A 的坐标；（ 2）若 OPAP，求 k 的值；(3 ) 设 n 是小于 20 的整数，且kn42，求 OP2的最小值 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 28 页学习必备欢迎下载解过点 P作 PQ x 轴于 Q，则 PQn，OQm(1) 当 n1 时，s54 a2sn52(2) 解 1： OPAP PAOP OPA 是等腰直角三角形 m na2 1n441

44、2an 即 n44n240 k2 4k4 0 k2 解 2：OPAP PAOP OPA 是等腰直角三角形 mn设 OPQ 的面积为s1则： s1s212mn12(1n44) 即： n44n24 0 k2 4k4 0 k2 (3) 解 1：PAOP， PQOA OPQ OAP 设： OPQ 的面积为s1，则s1sPO2AO2即：12k1n44n2k2n24 (1n44)2n2化简得： 2n42k2 k n44k0 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 28 页学习必备欢迎下载（k2）（ 2kn4） 0 k 2 或 kn42(舍

45、去 )当 n 是小于 20 的整数时，k2. OP2n2 m2 n2k2n2又 m0， k 2， n 是大于 0 且小于20 的整数当 n1 时， OP25 当 n2 时， OP25 当 n3 时， OP232432949859当 n 是大于 3 且小于20 的整数时，即当 n4、5、 6、 19 时， OP2得值分别是：42442、52452、62462、 1924192 19241921824182 324325 OP2的最小值是5.解 2： OP2n2m2n2k2n2 n222n2 (n2n)24 当 n2n时，即当n2时， OP2最小；又 n 是整数，而当n1 时， OP25；n 2

46、时， OP25 OP2的最小值是5.解 3：PAOP， PQOA OPQ P AQ PQQAOQPQnammn精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页，共 28 页学习必备欢迎下载化简得： 2n42k2 k n44k0 （k2）（ 2kn4） 0 k 2 或 kn42(舍去 )解 4：PAOP， PQOA OPQ P AQ s1ss1OQ2PQ2化简得： 2n42k2 k n44k0 （k2）（ 2kn4） 0 k 2 或 kn42(舍去 )解 5：PAOP， PQOA OPQ OAP OPOAOQOP OP2OQOA化简得： 2n

47、42k2 k n44k0 （k2）（ 2kn4） 0 k 2 或 kn42(舍去 )15. （ 2005 湖北黄冈课改）如图，在直角坐标系中，O 是原点， A、 B、C 三点的坐标分别为A（18，0）， B（18，6）， C（8，6），四边形OABC 是梯形，点P、Q同时从原点出发，分别坐匀速运动，其中点P 沿 OA 向终点A 运动，速度为每秒1个单位，点Q 沿 OC、CB 向终点B 运动，当这两点有一点到达自己的终点时，另一点也停止运动。（ 1）求出直线OC 的解析式及经过O、A、C 三点的抛物线的解析式。（ 2）试在中的抛物线上找一点D，使得以O、 A、 D 为顶点的三角形与 AOC 全等

48、，请直接写出点D 的坐标。（ 3）设从出发起，运动了t 秒。如果点 Q 的速度为每秒2 个单位，试写出点Q 的坐标，并写出此时t 的取值范围。（ 4）设从出发起，运动了t 秒。当P、Q 两点运动的路程之和恰好等于梯形OABC 的周长的一半，这时，直线PQQP O C（8，6）B（18，6）A（18，0）x y 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 24 页，共 28 页学习必备欢迎下载能否把梯形的面积也分成相等的两部分，如有可能，请求出t 的值；如不可能，请说明理由。解（1） O、C 两点的坐标分别为O0, 0， C6, 8设 OC 的解

49、析式为bkxy，将两点坐标代入得：43k，0b，xy43 A， O 是x轴上两点，故可设抛物线的解析式为180 xxay再将 C6, 8代入得：403axxy20274032（ 2） D6 ,10（ 3）当 Q 在 OC 上运动时，可设Qmm43,，依题意有：222243tmmtm58， Qtt56,58，50t当 Q 在 CB 上时， Q 点所走过的路程为t2， OC 10， CQ102tQ 点的横坐标为228102tt， Q6, 22t，105t（ 4）梯形OABC 的周长为44，当 Q 点 OC 上时， P 运动的路程为t，则 Q 运动的路程为t22 OPQ 中， OP 边上的高为：53

50、2221,5322tttOPQS梯形 OABC 的面积846101821，依题意有：2184532221tt整理得：0140222tt01404222，这样的t不存在当 Q 在 BC 上时， Q 走过的路程为t22， CQ 的长为：tt121022梯形 OCQP 的面积tt1022621368421这样的t值不存在综上所述，不存在这样的t值，使得P，Q 两点同时平分梯形的周长和面积16.（2005 湖北荆门）已知：如图，抛物线mxxy332312与 x 轴交于A、B两点，与y 轴交于 C 点， ACB 90 ，（ 1）求 m 的值及抛物线顶点坐标；精选学习资料 - - - - - - - -