2022年中考复习专题定值问题 .pdf

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1、学习必备欢迎下载苏州市初三数学定值问题专题复习课前演练：一、选择题1(2015 潍坊 )如图 ，直线 l 是一条河 ，A，B 两地相距5 km， A， B 两地到 l 的距离分别为3 km，6 km，欲在 l 上的某点 M 处修建一个水泵站，向 A，B 两地供水 ，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则铺设的管道最短的是 () 2.(2015甘肃 )如图 ，A，B 两个电话机离电话线l 的距离分别是3 米，5 米，CD6 米，若由 l 上一点分别向A，B连线 ，最短为 () A11 米B10 米C9 米D8 米（第 2 题图 )（第 3 题图 ) 3如图 ，ACBC 于 C， 连接

2、AB ，点 D 是 AB 上的动点 ，AC 6，BC8，AB 10，则点 C 到点 D 的最短距离是() A6 B8 C.403D.245（第 4 题图 ) ,第 5 题图 ),第 6 题图 ) 4(2015 贵阳模拟 )如图 RtABC 中，AB BC4，D 为 BC 的中点 ，在 AC 边上存在一点E，连接 ED，EB，则BDE 周长的最小值为() A2 5 B23 C2 52 D2 32 二、填空题5如图 ，从直线外一点A 到这条直线的所有线段中，线段 _ _最短6如图 ，想在河堤两岸搭建一座桥，图中搭建方式中， 最短的是 PB，理由是 _ _ _7如图 ，在等腰三角形ABC 中， AB

3、C 120，P 是底边 AC 上的一个动点，M，N 分别是 AB，BC 的中点 ，若 PM PN 的最小值是2，则 ABC 的周长是 _ _,第 7 题图 ),第 8 题图 ) 8如图 ， 在菱形 ABCD 中，BAD 60，点 M 是 AB 的中点 ，P是对角线 AC 上的一个动点，若 PM PB 的最小值是 9，则 AB 的长是 _ _9如果 P是边长为2 的正方形ABCD 的边 CD 上任意一点且PEDB，PFCA ，垂足分别为E，F，则 PE PF _ _,第 9 题图 ),第 10 题图 ) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第

4、 1 页，共 15 页学习必备欢迎下载10如图 ，ABC 45，BC4 2，BD 平分 ABC 交 AC 于点 D，M，N 分别是 BD 和 BC 上的动点 (M 与 B，D 两点不重合 ，N 与 B，C 两点不重合 )，则 CM MN 的最小值是 _ _典型例题：例 1 小虎家新建一间房子，要在屋外的A 处安装水表 ，从大路边到A 处怎样接水管最近？把最短的线段画出来，并简要说明道理例 2 等边 ABC 的边长是 8，AD BC，E 是 BD 的中点 ，M ，N 分别是 AB ，AD 上的动点 ，求 MN EN 的最小值例 3 如图 ，AOB 45，P 是 AOB 内一定点 ，PO 10，Q

5、，R 分别是 OA， OB 上的动点 ，求 PQR 周长的最小值 (要求画出示意图， 写出解题过程 ) 例 4 如图 ，在菱形 ABCD 中，AB 4，A135，点 P，M，N 分别为对角线BD 及边 BC，CD 上的动点 ，求PMPN 的最小值例 5如图 ，正方形 ABCD 的边长为4，DAC 的平分线交DC 于点 E，若点 P， Q 分别是 AD 和 AE 上的动点 ，求 DQ PQ 的最小值巩固练习：一、填空题1在半 O 中，点 C 是半圆弧 AB 的中点 ，D 是弧 BC 上距离点B 较近的一个三等分点，点 P 是直径 AB 上的动点，若 AB 10，则 PCPD 的最小值是 _ _.

6、 （ 第 1 题图 )（第 2 题图 ) （第 3 题图）2(2015 株洲)如图 ，AB 是 O 的一条弦 ，点 C 是 O 上一动点 ，且 ACB 30，点 E，F 分别是 AC，BC 的中点，直线 EF 与 O 交于 G，H 两点 ，若 O 的半径为7，则 GE FH 的最大值为 _ _3(2015 莆田)如图 ，在反比例函数y6x上有两点A(3，2)，B(6，1)，在直线 y x 上有一动点P，当 P 点的坐标为_ _时，PAPB 有最小值精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 15 页学习必备欢迎下载二、解答题4已知点

7、 M(3 ，2)，N(1，1)，点 P在 y 轴上 ，求使得 PMN 的周长最小的点P 的坐标5(2015 宁德 )如图 ，AB 是 O 的直径 ，AB 8，点 M 在 O 上，MAB 20，N 是弧 MB 的中点 ，P 是直径AB 上的一动点若MN 1，则 PMN 周长的最小值为多少6(2015 永州模拟 )如图 ， 已知抛物线yax2bxc 经过 A(3，0)，B(1，0)，C(0，3)三点 ，其顶点为D，对称轴与 x 轴交于点H. (1)求抛物线的解析式；(2)若点 P是该抛物线的对称轴上的一个动点，求 PBC 周长的最小值7小明在学习轴对称的时候，老师留了一道思考题：如图1，若点 A，

8、B 在直线 m 的同侧 ， 在直线 m 上找一点P，使得 AP BP 的值最小 ，小明通过独立思考，很快得出了解决这个问题的正确方法，他的做法是这样的：(a)作点 B关于直线m 的对称点B ，(b)连接 AB 与直线 m 交于点 P，则点 P 为所求请你参考小明的做法解决下列问题：(1)如图 2，在等边 ABC 中，AB 2，点 E 是 AB 的中点 ， AD 是高 ，在 AD 上找一点P(尺规作图 ，保留作图痕迹 ，不写作法 )，使得 BPPE 的值最小 ，并求出最小值；(2)如图 3，在矩形 ABCD 中，AB 4，BC6，G 为边 AD 上的中点 ，若 E，F 为 AB 边上的两个动点，

9、点 E在点 F 的左侧 ，且 EF1，当四边形 CGEF 的周长最小时，请你在图 3 中确定点 E，F 的位置 (尺规作图 ，保留作图痕迹 ，不写作法 )，并求出四边形CGEF 的周长的最小值8(2015 大庆)如图 ，抛物线 y x24x5 与 x 轴交于 A，B 两点 ，与 y 轴交于点C.已知 M(0 ，1)，E(a，0)，F(a1，0)，点 P是第一象限内的抛物线上的动点PCM 是以 CM 为底的等腰三角形(1)求点 P 的坐标；(2)当 a 为多少时 ，四边形 PMEF 周长最小 . 拓展提高：1 （20XX 年苏州）如图，已知半径为2 的 O 与直线 l 相切于点A，点 P 是直径

10、 AB 左侧半圆上的动点，过点P作直线 l 的垂线，垂足为C，PC 与 O 交于点 D，连接 PA、PB，设 PC 的长为 x（2x4） （1）当 x=时，求弦PA、PB 的长度；（2）当 x 为何值时， PD?CD 的值最大？最大值是多少？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 15 页学习必备欢迎下载2 （20XX 年苏州）如图，正方形ABCD 的边 AD 与矩形 EFGH 的边 FG 重合，将正方形ABCD 以 1cm/s 的速度沿FG 方向移动，移动开始前点A 与点 F 重合，在移动过程中，边AD 始终与边FG 重合，连

11、接CG，过点 A 作 CG 的平行线交线段GH 于点 P，连接 PD已知正方形ABCD 的边长为1cm，矩形 EFGH 的边 FG，GH 的长分别为4cm，3cm，设正方形移动时间为x（s） ，线段 GP 的长为 y（cm） ，其中 0 x 2.5（1）试求出y 关于 x 的函数关系式，并求当y=3 时相应 x 的值；（2）记 DGP 的面积为S1，CDG 的面积为S2试说明S1S2是常数；（3）当线段PD 所在直线与正方形ABCD 的对角线AC 垂直时，求线段PD 的长中午作业：（分类练习）一、定值问题解1、如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形AOCD 的顶点 A 的坐标是（ 0,4 ） ，

12、现有两动点P、 Q ，点 P 从点 O出发沿线段 OC （不包括端点O，C）以每秒 2 个单位长度的速度，匀速向点C运动，点Q从点 C 出发沿线段CD （不包括端点 C ， D）以每秒1 个单位长度的速度匀速向点D 运动 . 点 P，Q同时出发，同时停止，设运动时间为t 秒，当t=2秒时 PQ=52. （1）求点 D的坐标，并直接写出t 的取值范围；（2）连接 AQ并延长交x轴于点 E,把 AE沿 AD翻折交 CD延长线于点F, 连接 EF ，则AEF的面积 S是否随 t 的变化而变化？若变化，求出S与 t 的函数关系式；若不变化，求出S的值 . （3）在（ 2）的条件下，t 为何值时，四边形

13、APQF是梯形？（第 1 题图）2、如图所示，在菱形ABCD 中， AB=4，BAD=120 ， AEF 为正三角形，点E、 F分别在菱形的边BC CD上滑动，且 E、 F不与 BCD重合（1）证明不论E、F在 BC CD上如何滑动，总有BE=CF ；（2）当点 E、 F在 BC CD上滑动时，分别探讨四边形AECF 和CEF的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 15 页学习必备欢迎下载（2 题图）（3 题图）二、由运动产生的线段和差问题（最值问题）3、

14、如图所示，已知A11(,y )2，B2(2,y )为反比例函数1yx图像上的两点，动点 P(x,0)在 x 正半轴上运动，当线段AP与线段 BP之差达到最大时，点P的坐标是【】A. 1(,0)2 B. (1,0) C. 3(,0)2 D. 5(,0)24、如图，抛物线l 交 x 轴于点 A（ 3，0） 、B（1，0） ，交 y 轴于点 C（0， 3） 将抛物线l 沿 y 轴翻折得抛物线l1（1）求 l1的解析式；（2）在 l1的对称轴上找出点P，使点 P到点 A的对称点A1及 C两点的距离差最大，并说出理由；5、如图，已知抛物线y=x2+bx+c 与一直线相交于A（ 1，0） ，C（2， 3）

15、两点，与y 轴交于点N 其顶点为D（1）抛物线及直线AC的函数关系式；（2）设点 M （ 3，m ） ，求使 MN+MD 的值最小时m的值；（3）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线 AC上的任意一点， 过点 E作 EF BD交抛物线于点F，以 B，D，E，F 为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由；（4）若 P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求 APC 的面积的最大值回家作业：（压轴题训练）1、如图，已知抛物线2yaxbxc经过 A（ 4，0） ， B（2，3） ，C（0，3）三点（1）求抛物线的解析式及对称轴（2）在抛物线的对称轴上找一点M

16、，使得 MA+MB 的值最小，并求出点M的坐标（3）在抛物线上是否存在一点P，使得以点A、B、C、P 四点为顶点所构成的四边形为梯形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 15 页学习必备欢迎下载2. （2012 四川自贡 12 分） 如图所示，在菱形ABCD 中， AB=4 ， BAD=120， AEF 为正三角形，点E、F 分别在菱形的边BCCD 上滑动，且E、F 不与 BCD 重合（1）证明不论E、F 在 BCCD 上如何滑动，总有BE=CF ；（2）当点 E、F 在 BCC

17、D 上滑动时，分别探讨四边形AECF 和 CEF 的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值3. （2015?常州 10 分） 如图，一次函数y=x+4 的图象与x 轴、 y 轴分别相交于点A、B，过点 A 作 x 轴的垂线l，点 P 为直线 l 上的动点，点Q 为直线 AB 与OAP 外接圆的交点，点P、Q 与点 A 都不重合（1）写出点A 的坐标；（2）当点 P在直线 l 上运动时，是否存在点P 使得 OQB 与APQ 全等？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由（3）若点 M 在直线 l 上，且 POM=90 ，记 OAP 外接圆和 OAM 外接

18、圆的面积分别是S1、S2，求的值精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 15 页学习必备欢迎下载参考答案：课前演练：1.B；2. B；3.D；4. C；5. AD；6. 垂线段最短；7. 423；8. 63； 9. 2； 10. 4；2.典型例题：例 1.解：如图所示：沿 AB 线段接水管最近，因为直线外一点与直线的所有连接线段中，垂直线段最短（例 1 答图）（例 2 答图）（例 3 答图）例 2.解：作点 E 关于 AD 的对称点H，过点 H 作 HGAB 于 G，则 MN EN 的最小值是HG，RtHBG中，sin60GH6

19、，解得 ，GH 3 3 。例 3.解：分别作点P 关于 OA ，OB 的对称点M，N，连接 OM ，ON，MN ，MN 交 OA ，OB 于点 Q，R，连接 PR，PQ， 此时 PQR 周长的最小值等于MN. 由轴对称性质可得， OMONOP10， MOA POA， NOB POB， MON 2AOB 2 45 90，在 RtMON 中，MN OM2ON2102， 即 PQR 周长的最小值等于102。例 4.解：过点 M 作关于 BD 的对称点M1, 连接 M1N 交 BD 于点 P，连接 PM, 则 PMPN 的最小值就是M1N，过点 C 作 CHAB 于点 H, 则 M1NCH， A135

20、， HBC 45，四边形 ABCD 是菱形 ，AB BC4，由三角函数的定义有，sin45CHBC，22CH4，解得 ，CH2 2，即 PMPN 的最小值为2 2 。（例 4 答图）（例 5 答图）例 5. 解：作 D 关于 AE 的对称点D ，再过 D 作 DP AD 于 P ，DD AE， AFD AFD ，AFAF， DAE CAE ， DAF DAF，D是 D 关于 AE 的对称点 ，AD AD 4，DP即为 DQPQ 的最小值 ，四边形ABCD 是正方形 ， DAD 45，AP P D ，在 RtAPD中 ，PD2 AP 2AD 2，AD 2 16，AP PD，2PD2AD 2，即

21、2PD216， PD22， 即 DQPQ 的最小值为22 巩固练习：1. _53； 2. 212_；3. (43，43)_点拨：设A 点关于直线y x 的对称点为A ，连接 AB，交直线 y x 为 P 点，此时 PA PB 有最小值 ，A 点关于直线y x 的对称点为A ，A(3 ，2)，A (2，3)，设直线 AB的直线解析式为ykxb，3 2kb，16k b，解得 k12，b 2，直线 AB解析式为y12x2，联立y12x 2，y x，解得x43，y43，即 P 点坐标 (43，43)， 故答案为 (43，43)。4.解：作出 M 关于 y 轴的对称点M ，连接 NM ，与 y 轴相交于

22、点P，则 P 点即为所求 ，设过 NM 两点的直线解析式为 ykxb(k0)， 则2 3kb，1kb，解得 k34，b14， 故此一次函数的解析式为y34x14，因为 b14，所以 P 点坐标为 (0， 14)。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 15 页学习必备欢迎下载5.解：作 N 关于 AB 的对称点N ，连接 MN ，NN，ON，OM ，ON，N 关于 AB 的对称点N ，MN与 AB 的交点 P 即为 PMN 周长最小时的点，N 是弧 MB 的中点 ， A NOB MON 20，MON 60，MON 为等边三角形，

23、MN OM4, PMN 周长的最小值为415 （5 题答图）（6 题答图）（ 7 题答图）6.解： (1)把 A(3，0)，B(1，0)，C(0，3)三点坐标代入y ax2bx c 中，abc 0，9a3bc0，c3，解得a 1，b 2，c3，即抛物线的解析式是y x22x3(2)如图 ，PBC 的周长 PBPCBC，BC 是定值 ，当 PBPC 最小时 ，PBC 的周长最小 A，B 两点关于对称轴对称，连接 AC ，交对称轴于点P，点 P 即为所求 ，APBP，PBC 的最小周长 PBPCBCACBC，A(3，0)，B(1，0)，C(0，3)，AC 32，BC10， PBC 的最小周长3 2

24、10。7.解： (1)如图 2，作点 E 关于 AD 的对称点F，交 AC 于点F，连接 BF，交 AD 于点 P，连接 PE, 点 P即为所求 . 在等边 ABC 中 ， AB 2，点 E 是 AB 的中点 ，AD 是高 ，F 是 AC 的中点 ，BFAC 于点 F,BPPE 的最小值 BF22123(2)如图 3，作点 G 关于 AB 的对称点M，在 CD 上截取 CH1，连接 MH ，交 AB 于点 E，在 BE 上截取 EF1，连接 CF，则 E，F 为所求 ，AB 4，BC6, G 为边 AD 上的中点 ，DGGAAM 3，AEDH， MAE MDH ，AEDHAMDM，AE339，

25、AE1，在 RtGAE ，RtCBF，Rt CDG 中，分别由勾股定理解得，GEAE2AG2123210， CFBF2BC22262210，CGDG2DC25, 四边形GEFC 的周长的最小值GEEFFCCG10 12105 6310 8.解： (1)y x24x5 与 y 轴交于点C，点 C 的坐标为 (0，5)又 M(0 ，1)，PCM 是以点 P 为顶点的等腰三角形 ，点 P的纵坐标为3，令 y x24x53， 解得 x2 6， 点 P在第一象限 ，P(26，3)(2)四边形 PMEF 的四条边中 ，PM，EF 长度固定 ，因此只要ME PF 最小 ，则 PMEF 的周长将取得最小值，

26、将点 M 向右平移1 个单位长度 (EF 的长度 )，得 M1(1，1)，作点 M1关于 x 轴的对称点M2，则 M2(1，1)，连接 PM2，与 x 轴交于 F 点 ，此时 ME PFPM2最小 ，设直线 PM2的解析式为ymxn，将 P(26，3)，M2(1，1)代入得：（26）mn3mn 1， 解得：m4 645n 4 615，y4 645x46 15，当 y0 时， 解得 x654.F(654，0)，F(a1，0)，a6 14，a6 14时，四边形 PMEF 周长最小（8 题答图）（拓展 1 答图）（拓展 2 答图）拓展提高：1. 解： （1） O 与直线 l 相切于点A，且 AB 为

27、 O 的直径， AB l，又 PCl，ABPC， CPA=PAB， AB 是 O 的直径， APB=90 ，又 PCl，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 15 页学习必备欢迎下载 PCA= APB=90 ， PCA APB，=，即 PA2=PC?AB ， PC=，AB=4 ， PA=，RtAPB 中， AB=4 ，PA=，由勾股定理得：PB=；（2）过 O 作 OEPD，垂足为E， PD 是 O 的弦， OE PD， PE=ED ，又 CEO=ECA= OAC=90 ，四边形 OACE 为矩形， CE=OA=2 ，又 PC

28、=x，PE=ED=PCCE=x2， CD=PCPD=x 2（x2）=4x，PD?CD=2（ x2）?（4x）=2x2+12x16=2（x3）2+2，2x4，当 x=3 时， PD?CD 的值最大，最大值是22. 解： （1） CGAP， GCD APG，=， GF=4，CD=DA=1 ， AF=x，GD=3 x，AG=4 x，=，即 y=， y 关于 x 的函数关系式为y=，当 y=3 时，=3，解得 x=2.5，经检验的x=2.5 是分式方程的根故x 的值为 2.5；（2） S1=GP?GD=?（3x）=，S2=GD?CD=（3x）1=，S1S2=即为常数；（3）延长 PD 交 AC 于点

29、Q正方形ABCD 中， AC 为对角线，CAD=45 ，PQAC ， ADQ=45 ， GDP=ADQ=45 DGP 是等腰直角三角形，则GD=GP， 3x=，化简得： x25x+5=0解得： x=， 0 x 2.5，x=，在 RtDGP 中， PD=（3x）=中午作业：1.【答案】 解： （1）由题意可知，当t=2 （秒）时， OP=4 ，CQ=2 ，在 Rt PCQ 中，由勾股定理得：PC=2222PQCQ2 52=4， OC=OP+PC=4+4=8 。又矩形AOCD ，A（0，4） ， D（8，4） 。t 的取值范围为：0t 4。（2）结论： AEF 的面积 S不变化。 AOCD是矩形，

30、 AD OE ， AQD EQC 。CECQADDQ，即CEt84t，解得 CE=8t4t。由翻折变换的性质可知：DF=DQ=4 t ，则 CF=CD+DF=8t 。S=S梯形 AOCFSFCESAOE=12（OA+CF ）?OC+12CF?CE 12OA?OE =12 4 （ 8t ） 8+12（8t ）?8t4t124（ 88t4t） 。化简得： S=32为定值。所以 AEF 的面积 S不变化， S=32。（3）若四边形APQF是梯形，因为AP与 CF不平行，所以只有PQ AF 。由 PQ AF可得： CPQ DAF 。CP ： AD=CQ ：DF，即 82t ： 8= t ：4t ，化简

31、得t212t 16=0，解得： t1=6+25，t2=62 5。由 （1）可知，0t 4，t1=6+25不符合题意， 舍去。当 t=62 5秒时，四边形精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 15 页学习必备欢迎下载APQF是梯形。2. 【答案】 解： （1）证明：如图，连接AC 。四边形ABCD 为菱形， BAD=120 ，BAE+ EAC=60 ， FAC+ EAC=60 ， BAE= FAC 。BAD=120 ， ABF=60 。 ABC和ACD为等边三角形。ACF=60 ， AC=AB 。 ABE= AFC 。在 ABE

32、和ACF中， BAE= FAC ， AB=AC ，ABE= AFC ，ABE ACF （ ASA ） 。BE=CF 。（2）四边形AECF的面积不变， CEF 的面积发生变化。理由如下：由（ 1）得 ABE ACF ，则SABE=SACF。S四边形 AECF=SAEC+SACF=SAEC+SABE=SABC，是定值。作 AH BC于 H点，则 BH=2 ，22AECFABC11SSBC AHBCABBH4 322四形边。由“垂线段最短”可知：当正三角形AEF的边 AE与 BC垂直时，边AE最短故AEF的面积会随着AE的变化而变化，且当AE最短时，正三角形AEF的面积会最小，又 SCEF=S四边

33、形 AECFSAEF，则此时 CEF 的面积就会最大SCEF=S四边形 AECFSAEF2214 32 32 3332。CEF的面积的最大值是3。3.【答案】 D。【考点】 反比例函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，三角形三边关系。【分析】 把 A11(,y )2，B2(2, y )分别代入反比例函数1yx得： y1=2，y2=12，A（12，2） ，B（2，12） 。在 ABP中，由三角形的三边关系定理得：|APBP|AB ，延长 AB交 x 轴于 P，当 P在 P点时， PA PB=AB ，即此时线段AP与线段 BP之差达到最大。设直线 AB的解析式是y=kx+b， 把 A

34、、 B的坐标代入得：12=k+b21=2k+b2， 解得：k=15b=2。 直线 AB的解析式是5yx2。当 y=0 时， x= 52，即 P（52，0） 。故选 D。4.【答案】 解： （1）如图 1，设经翻折后，点AB的对应点分别为A1、B1，依题意，由翻折变换的性质可知A1（3， 0） ，B1（ 1， 0） ，C点坐标不变，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 15 页学习必备欢迎下载抛物线l1经过 A1（3，0） ，B1（ 1，0） ，C（0， 3）三点，设抛物线l1的解析式为y=ax2+bx+c，则9a+3b+c=

35、0ab+c=0c=3，解得a=1b=2c=3。抛物线l1的解析式为： y=x22x 3。（2）抛物线l1的对称轴为：x=b2=12a2，如图 2，连接 B1C并延长，与对称轴x=1 交于点 P，则点 P即为所求。此时， |PA1PC|=|PB1PC|=B1C。设 P为对称轴x=1 上不同于点P的任意一点，则有：|PAPC|=|PB1PC| B1C （三角形两边之差小于第三边），|PAPC| |PA1PC|，即 |PA1PC|最大。设直线 B1C的解析式为y=kx+b，则k+b=0b=3，解得 k=b=3。直线B1C的解析式为：y=3x3。令 x=1，得 y=6。P（ 1， 6） 。5.【答案】

36、 解： （ 1）由抛物线y=x2+bx+c 过点 A（ 1，0）及 C（ 2，3）得，1b+c=04+2b+c=3，解得b=2c=3。抛物线的函数关系式为2yx2x3。设直线 AC的函数关系式为y=kx+n，由直线AC过点 A（ 1，0）及 C（2，3）得：k+n=02k+n=3，解得k=1n=1。直线 AC的函数关系式为y=x+1。（2）作 N点关于直线x=3 的对称点 N，令 x=0，得 y=3，即 N（0，3） 。N（ 6， 3）由22yx2x3=x1+4得： D（1，4） 。设直线 DN 的函数关系式为y=sx+t ，则：6s+t=3s+t=4，解得1s=521t=5。故直线DN 的函

37、数关系式为121yx55。根据轴对称的性质和三角形三边关系，知当M （3，m ）在直线DN 上时， MN+MD 的值最小，12118m3=555。使 MN+MD 的值最小时m的值为185。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 15 页学习必备欢迎下载（3）由（ 1） 、 （2）得 D（1，4） ，B（1，2） ，当 BD为平行四边形对角线时，由B、C、D、N的坐标知，四边形BCDN 是平行四边形，此时，点E与点 C重合，即 E（2， 3） 。当 BD为平行四边形边时，点E在直线 AC上，设 E（x，x+1） ，则 F（x，2

38、x2x3） 。又 BD=2，若四边形BDEF或 BDFE是平行四边形时，BD=EF 。2x2x3x1 =2，即2xx2=2。若2xx2 = 2，解得， x=0 或 x=1（舍去），E（ 0，1） 。若2xx2=2，解得，117x=2，E1+ 173+ 1722，或 E11731722，。综上，满足条件的点E为（ 2，3） 、 （0， 1） 、1 +1 7 3 + 1 722，、11731722，。（4）如图，过点P作 PQ x轴交 AC于点 Q；过点 C作 CG x轴于点 G ，设 Q （ x，x+1） ，则 P（x， x2+2x+3） 。22PQx2x3x1xx2（）（）。APCAPQCPQ

39、1SS+SPQ AG22213127xx23x2228（）（）。302，当1x=2时， APC的面积取得最大值，最大值为278。回家作业：（压轴题训练）1.【答案】 解： （1）抛物线2yaxbxc经过A（4，0） ，B （ 2，3） ，C （0，3）三点， 16a4bc04a2bc3 c3，解得3a83b4c3。抛物线的解析式为：233y x x384，其对称轴为：bx12a。（2）由 B （2，3） ，C（0，3） ，且对称轴为x=1，可知点B、C是关于对称轴x=1 的对称点。如图 1 所示，连接AC ，交对称轴x=1 于点 M ，连接 MB ，则 MA MB=MA MC=AC ，根据两点

40、之间线段最短可知此时MAMB的值最小。设直线AC的解析式为y=kxb，A（ 4，0） ，C（0，3） ， 4kb0 b3，解得3k4b3。直线AC的解析式为：y=34x3。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 15 页学习必备欢迎下载令 x=1，得 y=94。M点坐标为（ 1，94） 。（3）结论：存在。如图 2 所示，在抛物线上有两个点P满足题意：若 BC AP1，此时梯形为ABCP1。由 B（ 2，3） ， C（0，3） ，可知 BC x轴，则 x 轴与抛物线的另一个交点P1即为所求。在233y x x384中令 y=0

41、，解得 x1=-2，x2=4。P1（ 2，0） 。P1A=6 ， BC=2 ，P1ABC 。四边形ABCP1为梯形。若 AB CP2， 此时梯形为 ABCP2。 设 CP2与 x 轴交于点 N， BC x轴， AB CP2， 四边形 ABCN 为平行四边形。 AN=BC =2。N （2， 0） 。 设直线 CN的解析式为y=k1x+b1， 则有：1112kb0b3 ， 解得3k2b3。 直线 CN的解析式为： y=32x+3。点 P2既在直线CN ：y=32x+3 上，又在抛物线：233y x x384上，32x+3=233 x x384，化简得： x26x=0，解得 x1=0（舍去），x2=

42、6。点 P2横坐标为6，代入直线CN解析式求得纵坐标为6。P2（6， 6） 。ABCN ，AB=CN ，而CP2CN ，CP2AB 。四边形ABCP2为梯形。综上所述， 在抛物线上存在点P ，使得以点A、B、C、P四点为顶点所构成的四边形为梯形，点 P的坐标为（ 2，0）或（ 6， 6） 。2.【答案】 解： （ 1）证明：如图，连接AC 四边形 ABCD 为菱形， BAD=120 ，BAE+ EAC=60 ， FAC+ EAC=60 ， BAE= FAC。 BAD=120 ， ABF=60 。 ABC 和 ACD 为等边三角形。 ACF=60 ，AC=AB 。 ABE= AFC。在 ABE

43、和 ACF 中， BAE= FAC，AB=AC ， ABE= AFC ， ABE ACF （ASA ） 。 BE=CF 。（2）四边形AECF 的面积不变，CEF 的面积发生变化。理由如下：由（ 1）得 ABE ACF ，则 SABE=SACF。S四边形AECF=SAEC+SACF=SAEC+SABE=SABC，是定值。作 AH BC 于 H 点，则 BH=2 ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 15 页学习必备欢迎下载22AECFABC11SSBC AHBCABBH4 322四形边。由“ 垂线段最短 ” 可知：当正三角

44、形AEF 的边 AE 与 BC 垂直时，边AE 最短故 AEF 的面积会随着AE 的变化而变化，且当AE 最短时，正三角形AEF 的面积会最小，又 SCEF=S四边形AECFSAEF，则此时 CEF 的面积就会最大SCEF=S四边形AECFSAEF 2214 32 32 3332。 CEF 的面积的最大值是3。【考点】 菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，垂直线段的性质。【分析】 （1）先求证AB=AC ，进而求证ABC 、 ACD 为等边三角形，得ACF =60 ，AC=AB ，从而求证ABE ACF ，即可求得BE=CF 。（2） 由 ABE ACF 可得

45、 SABE=SACF， 故根据 S四边形AECF=SAEC+SACF=SAEC+SABE=SABC即可得四边形AECF的面积是定值。当正三角形AEF 的边 AE 与 BC 垂直时，边AE 最短 AEF 的面积会随着AE 的变化而变化，且当 AE 最短时，正三角形AEF 的面积会最小，根据SCEF=S四边形AECFSAEF，则 CEF 的面积就会最大。3.解（ 1）令 y=0，得： x+4=0，解得 x=4，所以点A 的坐标为（ 4，0） ；（2）存在理由：如图下图1 所示：图 1图 2 将 x=0 代入 y=x+4 得： y=4， OB=4 ，由（ 1）可知 OA=4 ，在 Rt BOA 中，

46、由勾股定理得：AB=4 BOQ AQP QA=OB=4 ，BQ=PA BQ=AB AQ=44，PA=44点 P 的坐标为（ 4，44） （3）如下图2 所示： OPOM， 1+3=90 又 2+1=90 ， 2=3又 OAP=OAM=90 ， OAM PAO，设 AP=m，则：， AM=在 RtOAP 中， PO=，S1=，在 RtOAM 中， OM=，S2=，=+=1+=精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 15 页学习必备欢迎下载点评：本题主要考查的是全等三角形的性质，相似三角形的性质和判定以及勾股定理和一次函数的综合应用，根据题意画出图形，利用全等三角形和相似三角形的性质和判定求得AM 和 PA的长度是解题的关键精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 15 页