2022年中考数学专题复习教学案--开放探究题 .pdf

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1、学习必备欢迎下载开放探究题开放探究问题最常见的是命题中缺少一定的条件或无明确的结论，要求添加条件或概括结论；其次是给定条件， 判断存在与否的问题；近几年来又逐步出现了一些根据提供的材料，按自己的喜好自编问题并加以解决的试题。开放探究问题涉及知识面广，遍布整个初中阶段的所有知识，要求学生具有较强的解题能力和思维能力。开放探究问题就开放而言，有条件开放、结论开放、解题方法开放、编制问题开放：就探究而言，可归纳为探究条件型、探究结论型、探究结论存在与否型及归纳探究型四种。类型一：探究条件型探究条件型是根据问题提供的残缺条件添补若干条件，使结论成立， 解决此类问题的一般方法是： 根据结论成立所需要的条

2、件增补条件，此时要注意已有的条件及由已有的条件推导出的条件，不可重复条件，也不能遗漏条件。例 1（ 2009 丽水市）已知命题：如图，点A，D，B，E在同一条直线上，且AD=BE，A=FDE，则ABCDEF. 判断这个命题是真命题还是假命题，如果是真命题，请给出证明；如果是假命题，请添加一个适当条件使它成为真命题, 并加以证明 . 解：是假命题. 以下任一方法均可：添加条件：AC=DF. 证明： AD=BE, AD+BD=BE+BD，即 AB=DE. 在 ABC和 DEF中, AB=DE ，A=FDE ，AC=DF ， ABC DEF(SAS). 添加条件：CBA= E. 证明： AD=BE,

3、 AD+BD=BE+BD, 即 AB=DE. 在 ABC和 DEF中，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 16 页学习必备欢迎下载A=FDE ，AB=DE ，CBA= E ， ABC DEF(ASA). 添加条件：C= F. 证明： AD=BE, AD+BD=BE+BD, 即 AB=DE. 在 ABC和 DEF中，A=FDE ， C=F ，AB=DE ， ABC DEF(AAS) 同步测试1(20XX 年牡丹江市 )如图，ABCD中，E、F分别为BC、AD边上的点，要使BFDE，需添加一个条件：1. ;BEDFBFDEAFC

4、EBFDBEDAFBADE或；等2（ 2009 东营）如图，在四边形ABCD中，已知AB与CD不平行，ABDACD，请你添加一个条件：，使得加上这个条件后能够推出ADBC且ABCD. 2. DAC ADB ， BAD CDA ， DBC ACB ， ABC DCB ，OB OC ，OA OD ；(任选其一 ) B C D A O A B C E D F 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 16 页学习必备欢迎下载类型二：探究结论型探究结论型问题是指根据题目所给的条件经过分析、推断，得出一个与条件相关的结论，解决此类问题的关键

5、是需要对已知的条件进行综合推理，得出新的结论。例 2（ 20XX年安徽）如图，M为线段AB的中点，AE与BD交于点C，DMEAB，且DM交AC于F，ME交BC于G（1）写出图中三对相似三角形，并证明其中的一对；（2）连结FG，如果 45，AB4 2，AF3，求FG的长【答案】（1）证：AMFBGM，DMGDBM，EMFEAM以下证明AMFBGMAFMDMEEAEBMG，ABAMFBGM（2）解：当45时，可得ACBC且ACBCM为AB的中点，AMBM22又 AMF BGM ，AFBMAMBG2 22 2833AM BMBGAF又4 2cos454ACBC，84433CG，431CF222245

6、1()33FGCFCG同步测试3（ 20XX年福州）请写出一个比5小的整数3. 答案不唯一，小于或等于的整数均可，如：2，1 等4（ 20XX年莆田）已知，如图，BC是以线段AB为直径的O的切线，AC交O于点D，过点D作弦DEAB，垂足为点F，连接BDBE、（ 1）仔细观察图形并写出四个不同的正确结论：_，_ ，_，_（不添加其它字母和辅助线，不必证明）；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 16 页学习必备欢迎下载（ 2）A=30，CD=2 33，求O的半径r4. （ 1）BCABADBD， DFFEBDBE， BDFBEF

7、，BDFBAD， BDFBEF， AEDEBC，等（2）解 :AB是O的直径90ADB又30E30A12BDABr又BC是O的切线90CBA60C在RtBCD中，2 33CDtan60233BDrDC2rC D O F A B E C D O F A B E 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 16 页学习必备欢迎下载类型三：探究结论存在与否型探究结论存在与否型问题的解法一般先假定存在，然后以此为条件及现有的条件进行推理，然后得出问题的解或矛盾再加以说明。例 3 （ 2009 仙桃）如图，直角梯形ABCD 中， AD BC

8、， ABC 90，已知 AD AB 3，BC 4，动点 P从 B点出发，沿线段BC向点 C作匀速运动；动点Q从点 D 出发，沿线段DA向点 A作匀速运动过Q点垂直于AD的射线交AC于点 M ，交 BC于点 N P、Q两点同时出发，速度都为每秒1 个单位长度当Q点运动到A点， P、Q两点同时停止运动设点Q运动的时间为t 秒(1) 求 NC ，MC的长 (用 t 的代数式表示 ) ；(2) 当 t 为何值时，四边形PCDQ 构成平行四边形？(3) 是否存在某一时刻，使射线QN恰好将 ABC的面积和周长同时平分？若存在，求出此时t 的值；若不存在，请说明理由；(4) 探究： t 为何值时，PMC 为

9、等腰三角形？解：（ 1）在直角梯形ABCD中，QN AD ， ABC 90，四边形ABNQ 是矩形。QD=t，AD=3 ， BN=AQ=3-t， NC=BC-BN=4- （3- t）= t+1 。AB3，BC 4， ABC 90， AC=5 。QN AD ， ABC 90， MN AB ，CMCNACBC，即154CMt，554tMC. （2）当 QD=CP 时，四边形PCDQ 构成平行四边形。当 t=4-t ，即 t=2 时，四边形PCDQ 构成平行四边形。(3) MN AB ， MNC ABC ，要使射线QN将 ABC的面积平分，则MNC 与 ABC的面积比为1：2，即相似比为1：2，12

10、CNBC，即1142t，t=2 21. CN=2 2，MC=5 22， CN+MC=9 22，ABC的周长的一半 =3452=69 22，不存在某一精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 16 页学习必备欢迎下载时刻，使射线QN恰好将 ABC的面积和周长同时平分。（4）分 3种情况：如图，当PM=MC 时， PMC 为等腰三角形。则 PN=NC ，即 3-t-t=t+1，23t，即23t时， PMC 为等腰三角形。如图，当CM=PC 时， PMC 为等腰三角形。即5544tt，119t时， PMC 为等腰三角形。如图，当PM=P

11、C 时， PMC 为等腰三角形。PC=4t， NC=t+1，PN=2t-3, 又34MNABNCBC，MN=314t，由勾股定理可得314t2+ （ 2t-3 ）2=（4t ）2，即当 t=10357时， PMC 为等腰三角形。同步测试5 （20XX年广西南宁 改编）如图，在边长为5 的正方形ABCD中，点E、F分别是BC、DC边上的点，且AEEF，延长EF交正方形外角平分线CPP于点，AB边上是否存在一点M，使得四边形DMEP是平行四边形？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由解法AEEF2390精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第

12、6 页，共 16 页学习必备欢迎下载四边形ABCD为正方形90BC13901290DAMABEDAAB ，DAMABEDMAEAEEPDMPE四边形DMEP是平行四边形解法：在AB边上存在一点M，使四边形DMEP是平行四边形证明：在AB边上取一点M，使AMBE，连接ME、MD、DP90ADBADAMABE，RtRtDAMABE14DMAE，15904590AEDMAEEPDMEP四边形DMEP为平行四边形6（2009 白银市） 如图（ 1），抛物线22yxxk与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，3）图（ 2）、图（ 3）为解答备用图（1）k，点A的坐标为，点B的坐标为；（2）设抛物线22

13、yxxk的顶点为M，求四边形ABMC的面积；（3）在x轴下方的抛物线上是否存在一点D，使四边形ABDC的面积最大？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；B C E D A F P 5 4 1 M F A D C B E 1 3 2 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 16 页学习必备欢迎下载（4）在抛物线22yxxk上求点Q，使BCQ是以BC为直角边的直角三角形解：（ 1）3k，A（ -1 ，0），B（ 3，0）（2）如图（ 1），抛物线的顶点为M（1，-4），连结OM则 AOC的面积 =23，MOC的面积 =23

14、，MOB的面积 =6， 四边形ABMC的面积=AOC的面积 +MOC的面积 +MOB的面积 =9（3）如图（ 2），设D（m，322mm），连结OD则 0 m3，322mm0且 AOC的面积 =23，DOC的面积 =m23，DOB的面积 =-23（322mm）， 四边形ABDC的面积 =AOC的面积 +DOC的面积 +DOB的面积=629232mm=875)23(232m 存在点D315()24，使四边形ABDC的面积最大为875（4）有两种情况：图（ 1）图（ 2）图（ 3）图（3）图（4）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，

15、共 16 页学习必备欢迎下载如图（ 3），过点B作BQ1BC，交抛物线于点Q1、交 y 轴于点E，连接Q1C CBO=45，EBO=45，BO=OE=3 点E的坐标为（ 0，3） 直线BE的解析式为3yx由2323yxyxx，解得1125xy，；= -?=? ?2230.xy， =?=? ? 点 Q1的坐标为（ -2 ，5）如图（ 4），过点C作CFCB，交抛物线于点Q2、交x轴于点F，连接BQ2 CBO=45，CFB=45，OF=OC=3 点F的坐标为（ -3 ，0） 直线CF的解析式为3yx由2323yxyxx，解得1103xy，；=?= -? ?2214xy，=?= -? ?点 Q2的坐

16、标为（ 1， -4 ）综上，在抛物线上存在点Q1（-2，5）、Q2（1，-4），使BCQ1、BCQ2是以BC为直角边的直角三角形类型四：归纳探究型归纳探究型问题是指给定一些条件和结论，通过归纳、总结、概括，由特殊猜测一般的结论或规律，解决这类问题的一般方法是由特殊性得到的结论进行合理猜想，适量验证。例 4(20XX 年抚顺市 ) 已知：如图所示，直线MANBMAB，与NBA的平分线交于点C，过点C作一条直线l与两条直线MANB、分别相交于点DE、（1）如图 1 所示，当直线l与直线MA垂直时，猜想线段ADBEAB、之间的数量关系，请直接写出结论，不用证明；（2）如图 2 所示，当直线l与直线M

17、A不垂直且交点DE、都在AB的同侧时，（ 1）中的结论是否成立？如果成立，请证明：如果不成立，请说明理由；（3）当直线l与直线MA不垂直且交点DE、在AB的异侧时，（ 1）中的结论是否仍然成立？如果成立， 请说明理由； 如果不成立， 那么线段ADBEAB、之间还存在某种数量关精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 16 页学习必备欢迎下载系吗？如果存在，请直接写出它们之间的数量关系解：（ 1）ADBEAB（2）成立（方法一）：在AB上截取AGAD，连接CG12ACAC，ADCAGC56AMBN12341801234，239090

18、ACB即6790567818058907834BCBC，BGCBECBGBEADBEAGBGADBEAB（方法二）：过点C作直线FGAM，垂足为点F，交BN于点G作CHAB，垂足为点H由（ 1）得AFBGABA B E D C M N l A B E D C M N l A B C M N A B C M N 图 1 图 2 备用图备用图A B E D C M N l 1 2 5 6 3 4 H F G 题（ 2）方法二图精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 16 页学习必备欢迎下载90AMBNAFG，90BGFFGE123

19、4，CFCHCHCG，CFCG56CFDCGEDFEGADBEAFBGAB（方法三）：延长BC，交AM于点FAMBN543453AFAB12ACAC，AFCABCCFCB67FCDBCEDFBEADBEADDFAFAB（3）不成立存 在 当 点D在 射 线AM上 、 点E在 射 线BN的 反 向 延 长 线 上 时 （ 如 图） ，ADBEAB当点D在射线AM的反向延长线上，点E在射线BN上时（如图），BEADAB精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 16 页学习必备欢迎下载同步测试7（2009 仙桃） 如图所示，在ABC中

20、， D、E 分别是 AB 、AC上的点， DE BC ，如图，然后将 ADE绕 A点顺时针旋转一定角度，得到图，然后将BD 、 CE分别延长至M 、N ，使DM 21BD ，EN 21CE ，得到图，请解答下列问题：(1) 若 ABAC ，请探究下列数量关系：在图中， BD与 CE的数量关系是_；在图中，猜想AM与 AN的数量关系、MAN 与 BAC的数量关系，并证明你的猜想；(2) 若 ABkAC(k 1) ，按上述操作方法，得到图，请继续探究：AM与 AN的数量关系、MAN 与 BAC的数量关系，直接写出你的猜想，不必证明A B E D C M N l 1 2 5 6 3 4 F 7 A

21、B E D C M l A B E C M D l N 题（ 2）方法三图题（ 3）图题（ 3）图精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 16 页学习必备欢迎下载7. （ 1） BD=CE ；AM=AN ， MAN= BAC 理由如下：在图中， DE/BC，AB=AC AD=AE. 在 ABD与 ACE中,ABACBADCAEADAE ABD ACE.BD=CE ， ACE= ABD.在 DAM与EAN中，DM=12BD，EN=12CE ，BD=CE ， DM=EN ， AEN= ACE+ CAE ， ADM= ABD+ BA

22、D ，AEN= ADM. 又 AE=AD ， ADM AEN.AM=AN ， DAM= EAN. MAN= DAE= BAC.AM=AN ， MAN=BAC. （2）AM=kAN ， MAN= BAC. 随堂检测：1.（20XX年台州市） 请你写出一个图象在第一、三象限的反比例函数答：2. （2009 白银市） 如图 6，四边形ABCD是平行四边形， 使它为矩形的条件可以是3. （20XX年牡丹江）先化简：121aaaaa，并任选一个你喜欢的数a代入求值4. （09 湖南邵阳）已知2222222xyxyMNxyxy、，用“ +”或“-”连接MN、，有三种不同的形式：MNMNNM、，请你任选其中

23、一种进行计算，并化简求值，其中xy=52精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 16 页学习必备欢迎下载5. （09 湖南邵阳） 如图是一个反比例函数图象的一部分，点(110)A ，(10 1)B，是它的两个端点（1）求此函数的解析式，并写出自变量x的取值范围；（2）请你举出一个能用本题的函数关系描述的生活实例6.（20XX 年杭州市） 如图，在等腰梯形ABCD中， C=60 ， AD BC ，且 AD=DC ，E、F 分别在 AD 、DC的延长线上，且DE=CF ，AF 、BE交于点 P（1）求证： AF=BE ；（2）请你

24、猜测BPF的度数，并证明你的结论7. （20XX年遂宁）如图，二次函数的图象经过点D(0，397) ，且顶点 C的横坐标为4，该图象在 x 轴上截得的线段AB的长为 6. 求二次函数的解析式；该抛物线的对称轴上找一点P，使 PA+PD最小，求出点P的坐标；在抛物线上是否存在点Q ，使 QAB与 ABC相似？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由D E F P B A C 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 16 页学习必备欢迎下载随堂检测答案：1.xy1（答案不唯一）2. 答案不唯一，如AC=BD，BAD=90o

25、，等3. 原式 =2121aaaaa=211aaaa=11a选择 a 除了 0 与 1 以外的数代入均可。4. 选择一：22222222()()()xyxyxyxyMNxyxyxyxyxy，当xy=52 时，52xy，原式 =572532yyyy选择二：22222222()()()xyxyxyyxMNxyxyxyxyxy，当xy=52 时，52xy，原式 =532572yyyy选择三：22222222()()()xyxyxyxyNMxyxyxyxyxy，当xy=52 时，52xy，原式 =532572yyyy注：只写一种即可5. （ 1）设kyx，(110)A ，在图象上，101k，即1 10

26、10k，10yx，其中110 x；（2）答案不唯一如：小明家离学校10km，每天以km/hv的速度去上学，那么小明从家去学校所需的时间10tv6. （ 1） BA=AD ， BAE= ADF ，AE=DF ， BAE ADF ， BE=AF ；（2）猜想 BPF=120 .精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 16 页学习必备欢迎下载由（ 1）知 BAE ADF ， ABE= DAF . BPF= ABE+ BAP= BAE ，而 AD BC， C= ABC=60 ，BPF=120 .7. 解：设二次函数的解析式为：y=a(

27、x-h)2+k，顶点 C的横坐标为4，且过点 (0 ，397) y=a(x-4)2+k ka16397又对称轴为直线x=4，图象在x 轴上截得的线段长为6， A(1， 0)，B(7，0) 0=9a+k ，由解得a=93， k=3，二次函数的解析式为：y=93(x-4)23点 A、B 关于直线x=4 对称， PA=PB ，PA+PD=PB+PDDB ，当点P 在线段 DB上时PA+PD 取得最小值，DB与对称轴的交点即为所求点P，设直线 x=4 与 x 轴交于点M ， PM OD， BPM= BDO ， 又 PBM= DBO ， BPM BDO ， BOBMDOPM，3373397PM，点 P的

28、坐标为 (4 ，33) 由知点C(4，3 ) ， 又 AM=3 ， 在 Rt AMC 中，cot ACM=33， ACM=60o， AC=BC ， ACB=120o当点 Q在 x 轴上方时，过Q作 QN x 轴于 N ，如果 AB=BQ ，由 ABC ABQ有 BQ=6 ，ABQ=120o，则 QBN=60o， QN=3 3 ，BN=3 ， ON=10 ，此时点Q(10，33) ，如果AB=AQ ，由对称性知Q(-2 ，33) 当点 Q在 x 轴下方时， QAB就是 ACB ，此时点 Q的坐标是 (4 ，3 ) ，经检验，点 (10 ，33) 与(-2 ，33) 都在抛物线上，综上所述，存在这样的点Q，使 QAB ABC ，点 Q 的坐标为 (10，33)或 (-2 ，33) 或(4，3 ) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 16 页