2022年中考数学复习专题学案运动型问题 .pdf

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1、学习必备欢迎下载运动型问题【题型特征】用运动的观点来探究几何图形变化规律的问题称为运动型问题,此类问题的显著特点是图形中的某个元素(如点、线段、角等)或整个几何图形按某种规律运动,图形的各个元素在运动变化的过程中互相依存、和谐统一,体现了数学中“变”与“不变”、“一般”与“特殊”的辩证思想,渗透了分类讨论、转化化归、数形结合、函数方程等重要的数学思想,综合性较强 .运动型试题主要类型:(1)点的运动 (单点运动、双点运动);(2)线的运动 (线段或直线的运动 );(3)形的运动 (三角形运动、四边形运动、圆的运动等).【解题策略】解决运动型试题需要用运动与变化的眼光去观察和研究图形,把握图形运

2、动与变化的全过程,抓住其中的等量关系和变量关系,并特别关注一些不变量和不变关系或特殊关系 .解决点动型问题 ,一是要搞清在点运动变化的过程中,哪些图形 (如线段、三角形等)随之运动变化 ,并在点运动在相对静止的瞬间,寻找变量的关系 .二是要运用好相应的几何知识 .三是要结合具体问题,建立函数模型 ,达到解题目的 .线动实质就是点动,即点动带动线动 ,进而还会产生面动,因而线动型几何问题可以通过转化成点动型问题来求解.解决线动类问题的关键是要把握图形运动与变化的全过程,抓住其中的等量关系和变量关系.从运动变化得到图形的特殊位置,进而探索出一般的结论或者从中获得解题启示.解决形动类问题 ,一是要抓

3、住几何图形在运动过程中形状和大小都不改变这一特性,充分利用不变量来解决问题;二是要运用特殊到一般的关系,探究图形运动变化过程中的不同阶段 ;三是要运用类比转化的方法探究相同运动状态下的共同性质,这种方法能够使得问题解决的过程更加简捷,结论更加准确 .精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 35 页学习必备欢迎下载类型一点的运动典例 1(2015江西 )如图(1),AB是 O 的直径 ,点 C在 AB的延长线上 ,AB= 4,BC= 2,P 是O上半部分的一个动点,连接 OP,CP.(1)求OPC的最大面积 ; (2)求OCP的最

4、大度数 ; (3)如图(2),延长 PO交 O 于点 D,连接 DB,当 CP=DB时,求证:CP是O 的切线 .(1) (2) 【全解】(1)AB=4, OB=2,OC=OB+BC= 4.在 OPC中,设 OC边上的高为h, 当 h 最大时 ,SOPC取得最大值 .观察图形 ,当 OPOC时,h 最大,如图(1)所示 : 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 35 页学习必备欢迎下载(1) 此时 h=半径=2,SOPC=22=4.OPC的最大面积为4.(2)当 PC与 O 相切时 ,OCP最大.如图(2)所示 : (2) O

5、CP= 30 .OCP的最大度数为30 .(3)如图(3),连接 AP,BP.(3) A=D=APD= ABD.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 35 页学习必备欢迎下载=, =.AP=BD.CP=DB , AP=CP.A=C.A=D=APD= ABD=C.在 ODB与BPC中, ODB BPC (SAS) .D=BPC.PD是直径 , DBP= 90 .D+BPD= 90 .BPC+ BPD= 90 .DPPC.DP经过圆心 , PC是 O 的切线 .【技法梳理】本题是一道单质点的运动问题.考查了全等三角形的判定和性质,

6、切线的判定和性质 ,作出辅助线构建直角三角形是解题的关键.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 35 页学习必备欢迎下载(1)在OPC中,底边 OC长度固定 ,因此只要 OC边上高最大 ,则OPC的面积最大 ;观察图形 ,当 OPOC时满足要求 ; (2)PC与O 相切时 ,OCP的度数最大 ,根据切线的性质即可求得; (3)连接 AP,BP通过 ODB BPC可求得 DPPC ,从而求得 PC是O 的切线 .举一反三1. (2015黑龙江牡丹江)如图,在 RtABC中,ACB= 90 ,AC= 8,BC= 6,CDAB 于点

7、 D.点 P从点 D 出发,沿线段 DC向点 C运动,点 Q 从点 C出发,沿线段 CA向点 A 运动,两点同时出发,速度都为每秒1 个单位长度 ,当点 P 运动到 C时,两点都停止 .设运动时间为t 秒.(1)求线段 CD的长 .(2)设CPQ的面积为 S,求 S与 t 之间的函数表达式,并确定在运动过程中是否存在某一时刻 t,使得 SCPQSABC=9100?若存在 ,求出 t 的值 ;若不存在 ,说明理由 .(3)当 t 为何值时 ,CPQ为等腰三角形 ? (第 1 题) 【小结】 解题要点是 (1)明确动点的运动过程;(2)明确运动过程中 ,各组成线段、三角形之间的关系;(3)运用分类

8、讨论的数学思想,避免漏解 .精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 35 页学习必备欢迎下载类型二线的运动典例 2(2015广东 )如图,在 ABC中,AB=AC ,ADBC于点 D,BC= 10cm,AD=8cm.点 P从点B 出发 ,在线段 BC上以每秒 3cm 的速度向点C匀速运动 ,与此同时 ,垂直于 AD 的直线 m从底边 BC出发,以每秒 2cm 的速度沿 DA方向匀速平移 ,分别交 AB,AC,AD 于点 E,F,H,当点P到达点 C时,点 P 与直线 m 同时停止运动 ,设运动时间为t 秒(t0).备用图(1)当

9、 t=2 时,连接 DE ,DF,求证:四边形 AEDF为菱形 .(2)在整个运动过程中,所形成的 PEF的面积存在最大值,当PEF的面积最大时 ,求线段 BP的长 .(3)是否存在某一时刻t,使PEF为直角三角形 ?若存在 ,请求出此时刻t 的值;若不存在,请说明理由 .【解析】(1)如图 (1)所示 ,利用菱形的定义证明; (2)如图(2)所示,首先求出 PEF的面积的表达式 ,然后利用二次函数的性质求解; (3)如图(3)(4)(5)所示 ,分三种情形 ,需要分类讨论 ,分别求解 .【全解】(1)当 t=2 时,DH=AH= 4,则 H 为 AD的中点 ,如图(1)所示.精选学习资料 -

10、 - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 35 页学习必备欢迎下载(1) EF AD, EF为 AD的垂直平分线 .AE=DE ,AF=DF.AB=AC ,ADBC于点 D, ADBC ,B=C.EF BC.AEF= B,AFE= C.AEF= AFE.AE=AF.AE=AF=DE=DF ,即四边形 AEDF为菱形 .(2)如图(2)所示,由(1)知 EF BC , (2) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 35 页学习必备欢迎下载当 t=2 秒时 ,SPEF存在最大值 ,最

11、大值为 10,此时 BP= 3t=6.(3)存在.理由如下 : 若点 E为直角顶点 ,如图(3)所示 , (3) 此时 PE AD,PE=DH= 2t,BP=3t.PE AD, 此比例式不成立 ,故此种情形不存在.若点 F为直角顶点 ,如图(4)所示, (4) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 35 页学习必备欢迎下载此时 PFAD,PF=DH= 2t,BP=3t,CP= 10-3t.PF AD, .若点 P 为直角顶点 ,如图(5)所示.(5) 过点 E作 EMBC于点 M,过点 F作 FNBC于点 N,则 EM=FN=

12、DH= 2t,EMFNAD.EMAD, 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 35 页学习必备欢迎下载【技法梳理】这是一道“线平移型”动态问题,涉及动点与动线两种运动类型.第(1)问考查了菱形的定义;第(2)问考查了相似三角形、图形面积及二次函数的极值;第(3)问考查了相似三角形、勾股定理、解方程等知识点,重点考查了分类讨论的数学思想.举一反三2. (2015湖南衡阳 )如图,直线 AB 与 x 轴相交于点 A(-4,0),与 y 轴相交于点B(0,3),点 P 从点 A 出发,以每秒 1 个单位长度的速度沿直线AB向点 B

13、移动.同时,将直线以每秒0.6 个单位长度的速度向上平移,交 OA 于点 C,交 OB于点 D,设运动时间为t(0t5)秒.(1)证明:在运动过程中 ,四边形 ACDP总是平行四边形 ; (2)当 t 取何值时 ,四边形 ACDP为菱形 ?请指出此时以点D为圆心、 OD长为半径的圆与直线 AB的位置关系并说明理由.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 35 页学习必备欢迎下载(第 2 题) 【小结】这是一道“线运动型”的动态几何问题,线段的运动往往带动的是一个图形大小的变化 (如三角形、平行四边形等),问题常以求图形面积的最

14、值,或者探究运动过程中是否存在某一特殊位置的形式出现.解决此类问题时 ,一是要选择适当的求图形面积的方法 .若是规则图形 ,可以直接选择面积公式计算;若是不规则图形 ,一般情况下选择割补法 ,通过“割补”将不规则图形转化为规则图形解决;二是要根据线段的运动变化过程,探究其他图形的运动变化规律.有效的方法就是画出线段变化过程中的几个不同位置的图形 ,确定线段运动变化的不同阶段,从而判断随之而动的其他图形的一般位置和特殊位置.类型三面的运动精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 35 页学习必备欢迎下载典例 3(2015甘肃天水

15、)如图 (1),在平面直角坐标系中,点 A(0,-6),点 B(6,0).RtCDE中,CDE= 90 ,CD= 4,DE=4,直角边 CD在 y 轴上,且点 C与点 A 重合.RtCDE沿 y 轴正方向平行移动 ,当点 C运动到点 O 时停止运动 .解答下列问题 : (1)如图(2),当 RtCDE运动到点 D 与点 O 重合时 ,设 CE交 AB 于点 M,求 BME 的度数.(2)如图(3),在 RtCDE的运动过程中 ,当 CE经过点 B时,求 BC的长.(3)在 RtCDE的运动过程中 ,设 AC=h,OAB与 CDE的重叠部分的面积为S,请写出S与 h 之间的函数表达式,并求出面积

16、S的最大值 .(1) (2) (3) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 35 页学习必备欢迎下载【全解】(1)如图 (1), (1) 在平面直角坐标系中,点 A(0,-6),点 B(6,0).OA=OB.OAB=45 .CDE= 90 ,CD= 4,DE= 4, OCE= 60 .CMA=OCE- OAB=60 -45 =15 .BME=CMA=15 .(2)如图(2), (2) CDE= 90 ,CD= 4,DE= 4, OBC= DEC= 30 .精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - -

17、 - - - - -第 13 页，共 35 页学习必备欢迎下载OB=6, BC= 4.(3)h2 时,如图 (3),作 MNy 轴交 y 轴于点 N,作 MFDE交 DE于点 F,且 OE交 AB于点 k.(3) CD= 4,DE=4,AC=h,AN=NM, CN=4-FM,AN=MN=4+h-FM.CMNCED , 【技法梳理】本题是一道面平移型动态问题.综合运用了相似三角形的判定与性质、解直角三角形、以及三角形外角定理,难度较大 .对于第 (3)题这类有关于动态问题,需要分类讨论 ,以防漏解有一定的难度.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - -

18、 -第 14 页，共 35 页学习必备欢迎下载(1)如图(1),由对顶角的定义知,BME=CMA,所以欲求 BME的度数 ,需求 CMA的度数 .根据三角形外角定理进行解答即可; (2)如图(2),通过解直角 BOC来求 BC的长度 ; (3)需要分类讨论 :h2时,如图(4),作 MNy 轴交 y 轴于点 N,作 MFDE交 DE于点 F,S=SEDC-SEFM;当 h2 时,如图 (3),S=SOBC.举一反三3. (2015福建三明 )如图(1),在 RtABC中,ACB= 90 ,AB=10,BC= 6,扇形纸片 DOE的顶点 O与边 AB的中点重合 ,OD交 BC于点 F,OE经过点

19、 C,且DOE= B.(1)证明 COF是等腰三角形 ,并求出 CF的长 ; (2)将扇形纸片 DOE绕点 O逆时针旋转 ,OD,OE与边 AC分别交于点M,N(如图(2),当 CM的长是多少时 ,OMN 与BCO相似 ? (1) (2) 备用图精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 35 页学习必备欢迎下载(第 3 题) 【小结】解决运动型问题时,一是要搞清运动变化的过程中,哪些图形 (如线段、三角形等 )不改变、那些图形随之变化,即确定运动变化过程中图形中的变与不变,充分利用不变量来解决问题;二是要运用好相应的几何知识;三

20、是要结合具体问题,建立函数模型,达到解题目的 .对于几何图形的运动的动态几何题,一是要抓住几何图形在运动过程中形状和大小都不改变这一特性;二是要运用特殊与一般的关系,探究图形运动变化过程中的不同阶段;精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 35 页学习必备欢迎下载三是要运用类比转化的方法探究相同运动状态下的共同性质,这种方法能够使得问题解决的过程更加简洁,结论更加准确 .类型一1. (2015贵州贵阳 )如图,在 RtABC中,BAC= 90 ,AB=AC= 16cm,AD 为 BC边上的高 .动点P从点 A 出发,沿 AD

21、方向以cm/s的速度向点 D 运动.设ABP的面积为 S1,矩形 PDFE的面积为 S2,运动时间为 t 秒(0t8),则 t=秒时,S1=2S2. (第 1 题) (第 2 题) 类型二精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 35 页学习必备欢迎下载3. (2015湖南怀化 )如图(1),在平面直角坐标系中,AB=OB= 8,ABO=90 ,yOC= 45 ,射线OC以每秒 2 个单位长度的速度向右平行移动,当射线 OC经过点 B 时停止运动 ,设平行移动 x 秒后,射线 OC扫过 RtABO的面积为 y.(1)求 y 与

22、x 之间的函数表达式; (2)当 x=3 秒时,射线 OC平行移动到 OC,与 OA相交于点 G,如图(2),求经过 G,O,B 三点的抛物线的表达式 ; (3)现有一动点 P在(2)中的抛物线上 ,试问点 P在运动过程中 ,是否存在三角形POB的面积S= 8 的情况 ?若存在 ,求出点 P 的坐标 ,若不存在 ,请说明理由 .(1) (2) (第 3 题) 4. (2015江苏连云港 )在一次科技活动中,小明进行了模拟雷达雪描实验.如图,表盘是ABC ,其中 AB=AC ,BAC= 120 ,在点 A 处有一束红外光线AP,从 AB开始 ,绕点 A 逆时针匀速旋转 ,每秒钟旋转 15 ,到达

23、 AC后立即以相同的旋转速度返回A,B,到达后立即重复上述旋精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 35 页学习必备欢迎下载转过程 .小明通过实验发现,光线从 AB 处开始旋转计时 ,旋转 1 秒,时光线 AP 交 BC于点M,BM 的长为 (20-20)cm.(1)求 AB的长.(2)从 AB处旋转开始计时 ,若旋转 6 秒,此时 AP与 BC边交点在什么位置?若旋转 2015 秒,此时 AP与 BC边交点在什么位置?并说明理由 .(第 4 题) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - -

24、 - - -第 19 页，共 35 页学习必备欢迎下载类型三5. (2015湖南益阳 )如图,在平面直角坐标系xOy 中,半径为 2 的P 的圆心 P的坐标为(-3,0),将 P沿 x 轴正方向平移 ,使 P 与 y 轴相切 ,则平移的距离为 ().(第 5 题) A. 1 B. 1 或 5 C. 3 D. 5 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 35 页学习必备欢迎下载6. (2015黑龙江黑河 )在等腰直角三角形ABC中,BAC= 90 ,AB=AC ,直线 MN 过点 A 且MNBC,过点 B为一锐角顶点作RtBDE

25、 ,BDE= 90 ,且点 D在直线 MN 上(不与点 A重合),如图 (1),DE与 AC交于点 P,易证:BD=DP. (无需写证明过程 ) (1)在图(2)中,DE与 CA延长线交于点P,BD=DP是否成立 ?如果成立 ,请给予证明 ;如果不成立,请说明理由 .(2)在图(3)中,DE与 AC延长线交于点P,BD与 DP是否相等 ?请直接写出你的结论,无需证明 .(1) (2) (3) (第 6 题) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 35 页学习必备欢迎下载参考答案【真题精讲】1. (1)如图(1), (第 1

26、题(1) ACB= 90 ,AC= 8,BC= 6, AB=10.CDAB, 线段 CD的长为 4.8.(2)过点 P作 PHAC,垂足为 H,如图 (2)所示.(第 1 题(2) 由题可知 DP=t,CQ=t.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 35 页学习必备欢迎下载则 CP= 4.8-t.ACB= CDB= 90 , HCP= 90 -DCB= B.PHAC , CHP= 90 .CHP= ACB.CHP BCA.整理 ,得 5t2-24t+27=0.即(5t-9)(t-3)=0.精选学习资料 - - - - - -

27、 - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页，共 35 页学习必备欢迎下载若 QC=QP , 过点 Q 作 QECP ,垂足为 E,如图(3)所示.(第 1 题(3) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 24 页，共 35 页学习必备欢迎下载C(-0.8t,0),OC= 0.8t.在 RtOCD中, CD=t.点 P从点 A 出发,以每秒 1 个单位长度的速度沿直线AB向点 B 移动 t(0t5)秒, AP=t.AP=CD=t.APCD.APCD,AP=CD=t , 在运动过程中 ,四边形 ACDP总是平行四边形

28、.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 25 页，共 35 页学习必备欢迎下载A(-4,0),B(0,3), OA=4,OB=3.在 RtOAB中,AB=5.过点 D 作 DE AB 于点 E,则 DEB= 90 .(第 2 题) 在 AOB和 DEB中, AOB=DEB= 90 且OBA=EBD , AOBDEB.点 D 到直线 AB的距离等于 D 的半径 .精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 26 页，共 35 页学习必备欢迎下载以点 D 为圆心、 OD长为半径的圆与直线AB

29、相切.方法二 :(在证明 D 与直线 AB相切时 ,也可利用等积法求得点 D 到直线 AB的距离 .) 设点 D 到直线 AB的距离为 d,则点 D 到直线 AB的距离与 D 的半径相等 , 即 d=r.以点 D 为圆心、 OD长为半径的 D 与直线 AB相切.方法三 :(巧用“菱形对角线的性质”和“角平分线性质定理”) 连接 AD,则 AD 是菱形 ACDP的对角线 , AD 平分 OAB.DOAO, DO是点 D 到直线 AO 的距离 .点 D 到直线 AB的距离 =点 D 到直线 AO的距离 (DO).以点 D 为圆心、 OD长为半径的圆与直线AB 相切.3. (1)ACB= 90 ,点

30、 O 是 AB的中点 , OC=OB=OA= 5.OCB= B,ACO= A.DOE= B, 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 27 页，共 35 页学习必备欢迎下载FOC= OCF.FC=FO.COF是等腰三角形 .过点 F作 FHOC ,垂足为 H,如图(1), (第 3 题(1) FC=FO ,FHOC, (2)若 OMN BCO ,如图 (2), (第 3 题(2) 则有 NMO=OCB.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 28 页，共 35 页学习必备欢迎下载OCB=

31、 B, NMO=B.A=A, AOM ACB.若 OMNBOC ,如图 (3), (第 3 题(3) 则有 MNO=OCB.OCB= B, MNO=B.ACO= A, CON ACB.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 29 页，共 35 页学习必备欢迎下载过点 M 作 MGON,垂足为 G,如图(3), MNO=B,MON=B, MNO=MON.MN=MO.MGON,即 MGN=90 , 【课后精练】1. 62. -6 3. (1)AB=OB ,ABO=90 , ABO是等腰直角三角形.AOB= 45 .yOC= 45 , AOC=

32、(90 -45 )+45 =90 .AOCO.CO是 CO平移得到 , AOCO.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 30 页，共 35 页学习必备欢迎下载OOG是等腰直角三角形.射线 OC的速度是每秒2 个单位长度 , OO=2x.其以 OO为底边的高为x.4. (1)如图(1),过 A 点作 ADBC ,垂足为 D.(第 4 题(1) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 31 页，共 35 页学习必备欢迎下载BAC= 120 ,AB=AC , ABC= C=30 .令 AB=

33、2tcm.在 RtAMD 中, AMD=ABC+ BAM=45 , MD=AD=t.BM=BD-MD.即t-t= 20-20, 解得 t=20.AB=220=40cm.故 AB的长为 40cm.(2)如图(2),当光线旋转 6 秒, (第 4 题(2) 设 AP交 BC于点 N,此时 BAN=15 6=90 .精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 32 页，共 35 页学习必备欢迎下载如图 (3),设光线 AP旋转 2015 秒后光线与BC的交点为 Q.(第 4 题(3) 由题意可知 ,光线从边 AB开始到第一次回到AB 处需 82=16

34、 秒, 而 2015=12516+14,即 AP 旋转 2015 秒与旋转 14 秒时和 BC的交点是同一个点Q.光线 AP旋转 2015 秒后 ,与 BC的交点 Q 在距5. B 6. 如图 (1),过点 D 作 DFMN,交 AB于点 F, (第 6 题(1) 则 ADF为等腰直角三角形, DA=DF.1+FDP= 90 ,FDP+ 2=90 , 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 33 页，共 35 页学习必备欢迎下载1=2.在 BDF与PDA中, BDF PDA(ASA) .BD=DP.(1)BD=DP成立 .如图 (2),过点

35、 D 作 DFMN,交 AB的延长线于点F, (第 6 题(2) 则 ADF为等腰直角三角形, DA=DF.1+ADB=90 ,ADB+ 2=90 , 1=2.在 BDF与PDA中, BDF PDA(ASA) .BD=DP.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 34 页，共 35 页学习必备欢迎下载(2)BD=DP.如图 (3),过点 D 作 DFMN,交 AB的延长线于点F, (第 6 题(3) 则 ADF为等腰直角三角形, DA=DF.在 BDF与PDA中, BDF PDA(ASA) .BD=DP.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 35 页，共 35 页