2022年中考专题训练中考压轴题探究题 .pdf

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1、学习必备欢迎下载中考专题训练中考压轴题（四）- 探究题（结论）1. （06 江西课改卷）问题背景某课外学习小组在一次学习研讨中，得到如下两个命题：如图 1，在正三角形ABC 中， M、N 分别是 AC、 AB 上的点，BM 与 CN 相交于点 O，若 BON = 60，则 BM = CN. 如图 2，在正方形ABCD 中， M、N 分别是 CD、AD 上的点， BM 与 CN 相交于点O，若 BON = 90,则 BM = CN. 然后运用类比的思想提出了如下的命题：如图 3，在正五边形ABCDE 中，M、N 分别是 CD、DE 上的点， BM 与 CN 相交于点 O，若 BON = 108，

2、则 BM = CN. 任务要求（1）请你从、三个命题中选择一个进行证明；（2）请你继续完成下面的探索：如图 4，在正 n（ n3）边形 ABCDEF 中， M、N 分别是CD、DE 上的点， BM 与 CN 相交于点 O，问当 BON 等于多少度时，结论BM = CN 成立？（不要求证明）如图 5，在五边形ABCDE 中，M、N 分别是 DE 、AE 上的点，BM 与 CN 相交于点 O，当 BON = 108时，请问结论 BM = CN 是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由. （1）我选. 证明：解 （1）选命题证明：在图1 中，BON = 60， CBM +BCN = 60

3、. BCN +ACN = 60， CBM =ACN. 又BC = CA， BCM = CAN = 60， BCM CAN. BM = CN. 图3ODENMCBA图2NM图1OABCDONMCBA图5ODENMCBA选命题证明：在图2 中，BON = 90， CBM +BCN = 90. BCN +DCN = 90， CBM =DCN. 又BC = CD， BCM =CDN = 90， BCM CDN. 图2NM图 1OABCDONMCBA图4图3NMODEEABCDONMFCBA图5ODENMCBA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第

4、1 页，共 23 页学习必备欢迎下载 BM = CN. 选命题证明：在图3 中，BON = 108， CBM +BCN = 108 BCN +DCN = 108， CBM =DCN.又BC = CD， BCM =CDN = 108， BCM CDN. BM = CN. （2） 当 BON = (2) 180nn时，结论BM = CN 成立 . BM = CN 成立 . 证明：如图5，连结 BD、CE. 在 BCD 和 CDE 中， BC = CD， BCD =CDE = 108， CD = DE， BCD CDE. BD = CE， BDC =CED， DBC =ECD. OBC +OCB =

5、 108， OCB +OCD = 108， MBC =NCD . 又DBC =ECD = 36，DBM =ECN. BDM ECN. 点评 本题是一道非常典型的几何探究题，很好地体现了从一般到特殊的数学思想方法，引导学生渐渐地从易走到难，是新课标形势下的成熟压轴题。2. （四川资阳卷）如图，已知抛物线l1：y=x2-4 的图象与x 轴相交于A、C 两点， B 是抛物线 l1上的动点 (B 不与 A、C 重合 )，抛物线l2与 l1关于 x 轴对称，以AC 为对角线的平行四边形 ABCD 的第四个顶点为D. (1) 求 l2的解析式；(2) 求证：点D 一定在 l2上；(3) ABCD能否为矩形

6、？如果能为矩形，求这些矩形公共部分的面积 (若只有一个矩形符合条件，则求此矩形的面积)；如果不能为矩形，请说明理由. 注：计算结果不取近似值. 解 (1)设 l2的解析式为y=ax2+bx+c(a0)，l1与 x 轴的交点为A(- 2， 0)， C(2， 0)， 顶点坐标是 (0， - 4)，l2与 l1关于 x 轴对称，l2过 A(- 2,0),C(2,0)，顶点坐标是(0，4)，420,420 ,4.abcabcc a=- 1,b=0,c=4，即 l2的解析式为y= - x2+4 . (还可利用顶点式、对称性关系等方法解答) (2) 设点 B(m，n)为 l1：y=x2- 4 上任意一点，

7、则n= m2- 4 (*). 四边形 ABCD 是平行四边形，点A、C 关于原点O 对称， B、D 关于原点 O 对称， 点 D 的坐标为D(- m,-n) . 由(* )式可知，- n=-( m2- 4)= -(-m)2+4，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 23 页学习必备欢迎下载即点 D 的坐标满足y= - x2+4， 点 D 在 l2上. (3) ABCD 能为矩形 . 过点 B 作 BHx 轴于 H，由点 B 在 l1：y=x2- 4 上，可设点B 的坐标为(x0，x02- 4)，则 OH=| x0|，BH =|

8、 x02- 4| . 易知，当且仅当BO= AO=2 时，ABCD 为矩形 . 在 RtOBH 中，由勾股定理得，| x0|2+| x02-4|2=22，(x02- 4)( x02- 3)=0， x0= 2(舍去 )、x0= 3 . 所以，当点B 坐标为 B(3 ，- 1)或 B(-3 ，- 1)时，ABCD 为矩形，此时，点 D 的坐标分别是D(-3 ，1)、D( 3 ， 1). 因此，符合条件的矩形有且只有2 个，即矩形ABCD 和矩形 ABCD . 设直线 AB 与 y 轴交于 E ，显然， AOE AHB，EOAO= BHAH，1223EO. EO=4- 23 . 由该图形的对称性知矩

9、形ABCD 与矩形 AB CD重合部分是菱形，其面积为S=2S ACE=212AC EO =2 12 4 (4- 2 3 )=16 - 83 . 点评 本题是一道函数型综合题，涉及二次函数、相似形、四边形等知识，三个小题的坡度设计很恰当，能较好地体现出试题的区分度，对第2 题的证明过程要仔细领悟。3. （06 北京课改B 卷）我们给出如下定义：若一个四边形的两条对角线相等，则称这个四边形为等对角线四边形请解答下列问题：（1）写出你所学过的特殊四边形中是等对角线四边形的两种图形的名称；（2）探究：当等对角线四边形中两条对角线所夹锐角为60时，这对60角所对的两边之和与其中一条对角线的大小关系，并

10、证明你的结论解 （1）答案不唯一，如正方形、矩形、等腰梯形等等（2）结论：等对角线四边形中两条对角线所夹锐角为60时，这对60角所对的两边之和大于或等于一条对角线的长已知：四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，ACBD，且60AOD求证：BCADAC证明：过点D作DFAC，在DF上截取DE，使DEAC连结CE，BE故60EDO，四边形ACED是平行四边形所以BDE是等边三角形，CEAD所以DEBEAC当BC与CE不在同一条直线上时（如图1） ，在BCE中，有BCCEBEA D E F C B O 图 1 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - -

11、- -第 3 页，共 23 页学习必备欢迎下载所以BCADAC当BC与CE在同一条直线上时（如图2） ，则BCCEBE因此BCADAC综合、，得BCADAC即等对角线四边形中两条对角线所夹角为60时，这对60角所对的两边之和大于或等于其中一条对角线的长点评 本题是一道探索题，是近年来中考命题的热点问题，在第2 小题中要求学生先猜想可能的结论，再进行证明， 这对学生的确有较高的能力要求，而在探索结论前可以自己先画几个草图，做到心中有数再去努力求证；很多学生往往会忽略特殊情况没有进行讨论，应当予以关注，总之这是一道新课标形势下的优秀压轴题。4.（06 福建厦门课改A 卷）已知 P（m，a）是抛物线

12、2yax上的点，且点P 在第一象限 . （1）求m的值（2）直线ykxb过点 P，交x轴的正半轴于点A，交抛物线于另一点M. 当2ba时， OPA=90 是否成立？如果成立，请证明；如果不成立，举出一个反例说明；当4b时，记 MOA 的面积为S，求s1的最大值 . 解 （1）2(0)m aa21(0)1mmm（2） b=2a，2ykxaP在直线上，则2akaak(0)k22202akkxaxkkA（2，0）22220(2)(1)0,21kxkxkxxxxxx或M（-1，a）OPA=90 即21a，1aA D E F C B O 图 2 yxO P A M 精选学习资料 - - - - - -

13、- - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 23 页学习必备欢迎下载1k，22,yxyxP（ 1，1）故存在这样的点P 440kxxk又44kaka22(4)4(4)40(4)(1)0axaxaxaxaxxS=2416 132424a aaa2211111(2)832328aaaS当2a时，max118S点评 20XX 年是厦门市课改第二年，其压轴题的难度走势相对平缓，难点是如何在第3 小题中求最值， 这是比较常规的一类最值问题，经过探索可以得出1S与a之间的函数关系式，并且是二次函数，则可以用顶点式求得答案，试题的坡度设置较好，能使各能力层次的学生都有所收获。5. （

14、广东梅州卷）如图10，点A在抛物线214yx上，过点A作与x轴平行的直线交抛物线于点B，延长AOBO，分别与抛物线218yx相交于点CD，连接ADBC，设点A的横坐标为m，且0m（1）当1m时，求点ABD， ，的坐标；（2）当m为何值时，四边形ABCD的两条对角线互相垂直；（3）猜想线段AB与CD之间的数量关系，并证明你的结论解 （1）点A在抛物线214yx上，且1xm，114A，点B与点A关于y轴对称，114B，设直线BD的解析式为ykx，1144kyx，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 23 页学习必备欢迎下载解方程组

15、21418yxyx，得122D，（2）当四边形ABCD的两对角线互相垂直时，由对称性得直线AO与x轴的夹角等于45所以点A的纵、横坐标相等，这时，设()A aa，代入214yx，得4a，(4 4)4Am，即当4m时，四边形ABCD的两条对角线互相垂直（3）线段2CDAB点A在抛物线214yx，且214xmA mm，得直线AO的解析式为4myx，解方程组2418myxyx，得点2122Cmm，由对称性得点221122BmmDmm，4，24ABmCDm，2CDA B点评 这是一道以双抛物线为背景的综合题，第1、2 小题均较容易， 第 3 小题是一个“猜想”型问题，从图形的直观上我们可以马上猜想到结

16、论2CDAB，然后再努力去证明自己的猜想，一般都能成功。6. (07江西省) 25实验与探究（1）在图1，2，3 中，给出平行四边形ABCD的顶点ABD， ，的坐标（如图所示） ，写出图 1， 2，3 中的顶点C的坐标，它们分别是(5 2)，；yC()A(4 0)D，(12)B ，Ox图 1 yC()A(0)D e，()B cd，Ox图 2 yC()A ab，()D eb，()B cd，Ox图 3 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 23 页学习必备欢迎下载（2）在图 4 中，给出平行四边形ABCD的顶点ABD， ，的坐标

17、（如图所示） ，求出顶点C的坐标（C点坐标用含abcdef， ， ， ， ，的代数式表示） ；归纳与发现（3） 通过对图1， 2， 3， 4 的观察和顶点C的坐标的探究， 你会发现： 无论平行四边形ABCD处于直角坐标系中哪个位置，当其顶点坐标为()()()()A abB cdC mnD ef，（如图4）时，则四个顶点的横坐标acme， ，之间的等量关系为；纵坐标bdnf， ， ，之间的等量关系为（不必证明） ；运用与推广（ 4 ） 在 同 一 直 角 坐 标 系 中 有 抛 物 线2(53)yxcxc和 三 个 点15192222GccScc，(20)Hc，（其中0c） 问当c为何值时，该抛

18、物线上存在点P， 使得以GSHP， ，为顶点的四边形是平行四边形？并求出所有符合条件的P点坐标解： （1）()ecd，()cead，（2）分别过点ABCD， ， ，作x轴的垂线，垂足分别为1111ABCD，分别过AD，作1AEBB于E，1DFCC于点F在平行四边形ABCD中，CDBA，又11BBCC，180EBAABCBCFABCBCFFCDEBAFCD又90BEACFD，BEACFDAFDFac，BECFdb设()C xy，由exac，得xeca由yfdb，得yfdb()C ecafdb，yC()A ab，()D ef，()Bc d，Ox图 4 yC()A ab，()D ef，()B cd，

19、EF1B1A1C1DOx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 23 页学习必备欢迎下载（3）mcea，ndfb或mace，nbdf（4）若GS为平行四边形的对角线，由（3）可得1( 2 7 )Pcc，要使1P在抛物线上，则有274(53)( 2 )ccccc，即20cc10c（舍去），21c此时1( 2 7)P，若SH为平行四边形的对角线，由（3）可得2(32 )Pcc，同理可得1c，此时2(3 2)P，若GH为平行四边形的对角线，由（3）可得(2 )cc，同理可得1c，此时3(12)P，综上所述，当1c时，抛物线上存在点P，

20、使得以GSHP， ，为顶点的四边形是平行四边形符合条件的点有1( 2 7)P，2(3 2)P，3(12)P，7. (07 武汉市 ) 如图，在平面直角坐标系中，RtAOB RtCDA ，且 A( 1，0)、B(0，2)，抛物线 yax2ax2 经过点 C。(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线 (对称轴的右侧 )上是否存在两点P、Q，使四边形 ABPQ 是正方形？若存在，求点 P、Q 的坐标，若不存在，请说明理由；(3)如图， E 为 BC 延长线上一动点，过A、B、E 三点作 O ，连结 AE，在 O 上另有一点F，且 AFAE， AF 交 BC 于点 G，连结 BF。下列结论：BEBF 的

21、值不变；AGBGAFBF，其中有且只有一个成立，请你判断哪一个结论成立，并证明成立的结论。解：由 RtAOB RtCDA得OD=2+1=3,CD=1 O(第 25 题图 )ABCDxyOxyBFAECOG(第 25 题图 )精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 23 页学习必备欢迎下载C 点坐标为 (3,1), 抛物线经过点C, 1= (3)2 a( 3) 2，21a。抛物线的解析式为221212xxy. 在抛物线（对称轴的右侧）上存在点P、Q，使四边形ABPQ 是正方形。以 AB 边在 AB 右侧作正方形ABPQ 。过 P作

22、 PEOB 于 E，QGx 轴于 G，可证 PBE AQG BAO ，PEAG BO2， BEQGAO 1， P点坐标为（ 2,1） ，Q 点坐标为（ 1, 1） 。由（ 1）抛物线221212xxy。当 x2 时， y 1，当 x,1 时， y 1。P、Q 在抛物线上。故在抛物线（对称轴的右侧）上存在点P（2,1） 、Q（1,1） ，使四边形ABPQ 是正方形。另解：在抛物线（对称轴的右侧）上存在点P、Q，使四边形ABPQ 是正方形。延长 CA 交抛物线于Q，过 B 作 BPCA 交抛物线于P，连 PQ，设直线CA、BP的解析式分别为y=k1x+b1, y=k2x+b2, A（ 1,0） ，

23、C（ 3,1） ，CA 的解析式2121xy，同理 BP 的解析式为2121xy，解方程组2212121212xxyxy得 Q 点坐标为（ 1,1） ，同理得P 点坐标为（ 2,1） 。由勾股定理得AQ BPAB5，而 BAQ 90，四边形ABPQ 是正方形。故在抛物线（对称轴的右侧）上存在点P（2,1） 、Q（1,1） ，使四边形ABPQ 是正方形。另解：在抛物线（对称轴的右侧）上存在点P、Q，使四边形ABPQ 是正方形。如图，将线段CA 沿 CA 方向平移至AQ，C（ 3,1）的对应点是A（ 1,0） ，A（ 1,0）的对应点是Q（1,1） ，再将线精选学习资料 - - - - - - -

24、 - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 23 页学习必备欢迎下载段 AQ 沿 AB 方向平移至BP，同理可得P（2,1） BAC 90， ABAC 四边形ABPQ是正方形。经验证 P（ 2,1） 、 Q （ 1, 1）两点均在抛物线221212xxy上。结论AGBGAFBF成立，证明如下：连EF，过 F 作 FM BG交 AB的延长线于M ，则 AMF ABG ，AGBGAFMF。由知 ABC是等腰直角三角形， 1 245。AFAE ， AEF 145。 EAF 90， EF是 O 的直径。 EBF 90。FM BG ， MFB EBF 90， M 245，BFMF

25、，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 23 页学习必备欢迎下载AGBGAFBF8.（07 南通市）28已知等腰三角形ABC 的两个顶点分别是A(0， 1)、B(0，3)，第三个顶点 C 在 x 轴的正半轴上关于y 轴对称的抛物线yax2bxc 经过 A、D(3，2)、P 三点，且点P 关于直线AC 的对称点在x 轴上(1)求直线 BC 的解析式；(2)求抛物线yax2bxc 的解析式及点P 的坐标；(3)设 M 是 y 轴上的一个动点，求PMCM 的取值范围解： （1）(01)A，(0 3)B，2AB，ABC是等腰三角形，

26、且点C在x轴的正半轴上，2ACAB，223OCACOA(30)C，设直线BC的解析式为3ykx，330k，3k直线BC的解析式为33yx（2）抛物线2yaxbxc关于y轴对称，0b又抛物线2yaxbxc经过(0 1)A，(32)D，两点192cac，解得131.ac，抛物线的解析式是2113yx在RtAOC中，12OAAC，易得30ACO在RtBOC中，3OB，3OC，易得60BCOCA是BCO的角平分线直线BC与x轴关于直线AC对称点P关 于 直 线AC的 对 称 点 在x轴 上 ， 则 符 合 条 件 的 点P就 是 直 线BC与 抛 物 线2113yx的交点点P在直线BC：33yx上，故

27、设点P的坐标是(33)xx，ABO(第 28 题图 ) Dxyy x A B D O （第 28 题）C P CM Q 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 23 页学习必备欢迎下载又点P(33)xx，在抛物线2113yx上，213313x解得13x，22 3x故所求的点P的坐标是1(30)P，2(2 33)P，（3）要求PMCM的取值范围，可先求PMCM的最小值I）当点P的坐标是( 3 0)，时，点P与点C重合，故2PMCMCM显然CM的最小值就是点C到y轴的距离为3，点M是y轴上的动点，PMCM无最大值，PMCM2 3I

28、I）当点P的坐标是(233)，时，由点C关于y轴的对称点(3 0)C，故只要求PMMC的最小值，显然线段PC最短易求得6PCPMCM的最小值是6同理PMCM没有最大值，PMCM的取值范围是PMCM6综上所述，当点P的坐标是(3 0)，时，PMCM2 3，当点P的坐标是(233)，时，PMCM69. （08 湖北荆门） 28 （本小题满分12 分）已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点A在x轴上，与y轴的交点为B（0，1） ，且b=4ac (1) 求抛物线的解析式；(2) 在抛物线上是否存在一点C， 使以BC为直径的圆经过抛物线的顶点A？若不存在说明理由；若存在，求出点C的坐标，并求出此时圆的圆心

29、点P的坐标；(3) 根据 (2) 小题的结论， 你发现B、P、C三点的横坐标之间、纵坐标之间分别有何关系? （08 湖北荆门28 题解析） 28解： (1) 由抛物线过B(0,1) 得c=1又b=-4ac, 顶点A(-ab2,0), -ab2=aac24=2c=2A(2,0)2 分将A点坐标代入抛物线解析式，得4a+2b+1=0 ，O x y A 第 28 题图B 第 28 题图O x y A C B P P1D P2P 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 23 页学习必备欢迎下载. 0124,4baab解得a =41,b

30、 =-1. 故抛物线的解析式为y=41x2-x+14 分另解 : 由抛物线过B(0,1) 得c=1又b2-4ac=0, b=-4ac，b=-1 2 分a=41, 故y=41x2-x+14 分 (2)假设符合题意的点C存在，其坐标为C(x，y), 作CDx轴于D , 连接AB、ACA在以BC为直径的圆上, BAC=90 AOBCDAOBCD=OAAD即 1y=2(x-2) ， y=2x-4 6 分由. 141,422xxyxy解得x1=10,x2=2符合题意的点C存在，且坐标为 (10,16)，或 (2,0) 8 分P为圆心，P为BC中点当点C坐标为 (10,16)时，取OD中点P1 ，连PP1

31、 , 则PP1为梯形OBCD中位线PP1=21(OB+CD)=217D (10,0), P1 (5,0), P (5, 217) 当点C坐标为 (2,0)时, 取OA中点P2 ，连PP2 , 则PP2为OAB的中位线PP2=21OB=12A (2,0), P2(1,0), P (1,12) 故点P坐标为 (5, 217), 或(1,12) 10 分(3) 设B、P、C三点的坐标为B(x1,y1), P(x2,y2), C(x3,y3) ，由 (2) 可知：.2,2312312yyyxxx12 分10（ 08 山东临沂） 25 （本小题满分11 分）已知 MAN ，AC 平分 MAN 。在图 1

32、 中，若 MAN 120， ABC ADC 90，求证： ABAD AC; 在图 2 中，若 MAN 120， ABC ADC 180，则中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明;若不成立，请说明理由; 在图 3 中：若 MAN 60， ABC ADC 180，则 AB AD _AC; 若 MAN （0 180） ，ABC ADC 180，则 AB AD _AC（用含 的三角函数表示） ，并给出证明。第 25 题图AMNDBCAMNDBCAMNDBC精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 23 页学习必备欢迎下载（08 山东临

33、沂25 题解析） 25解 :证明 :AC 平分 MAN ， MAN 120， CAB CAD 60， ABC ADC 90， ACB ACD 30， 1 分AB AD 21AC ，2 分AB AD AC。3 分成立。r4 分证法一：如图，过点C 分别作 AM 、AN 的垂线，垂足分别为E、F。AC 平分 MAN ， CECF. ABC ADC 180,ADC CDE180, CDE ABC, 5 分 CED CFB 90， CED CFB,EDFB,6 分AB AD AF BFAEED AFAE,由知 AFAEAC, AB AD AC7 分证法二：如图，在AN 上截取 AG AC ，连接 CG

34、. CAB 60,AGAC, AGC60 ,CG ACAG, 5 分 ABC ADC 180,ABC CBG180, CBG ADC, CBG CDA, 6 分BGAD, AB AD ABBGAG AC ，7 分3;8 分2cos2.9 分证明：由知，EDBF,AEAF，在 RtAFC 中，ACAFCAFcos,即ACAF2cos, 2cosACAF,10 分AB AD AF BFAEED AFAE22cosACAF， 11 分11. （08 山东泰安） 26 （本小题满分10 分）在等边ABC中，点D为AC上一点，连结BD，直线l与ABBDBC，分别相交于点EPF， ，且60BPFE AMN

35、DBCF G 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 23 页学习必备欢迎下载（1）如图 1，写出图中所有与BPF相似的三角形，并选择其中一对给予证明；（2）若直线l向右平移到图2、图 3 的位置时（其它条件不变）， （1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出来（不证明），若不成立，请说明理由；（3）探究：如图1，当BD满足什么条件时（其它条件不变），12PFPE？请写出探究结果，并说明理由（说明：结论中不得含有未标识的字母）（08 山东泰安26 题解析） 26 （本小题满分10 分）（1）BPFEBF与BPFBCD 2 分以

36、BPFEBF为例，证明如下：60BPFEBFBFPBFEBPFEBF 4 分（2）均成立，均为BPFEBF，BPFBCD 6 分（3）BD平分ABC时，12PFPE 7 分证明：BD平分ABC30ABPPBF60BPF90BFP12PFPB 8 分又603030BEFABPBPEP12PFPE 10 分注：所有其它解法均酌情赋分12. （08 四川成都）（本题答案暂缺）四、 （共 12 分）A B C F D P 图 3 A B C D P 图 2 E l l E F A B C D P 图l E F （第 26 题）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - -

37、- - - -第 15 页，共 23 页学习必备欢迎下载28. 如图，在平面直角坐标系xOy 中， OAB 的顶点的坐标为（10，0） ，顶点 B 在第一象限内，且AB=35，sinOAB=55. （ 1）若点 C 是点 B 关于 x 轴的对称点，求经过O、 C、 A 三点的抛物线的函数表达式；（ 2）在 (1)中，抛物线上是否存在一点P，使以 P、O、C、A 为顶点的四边形为梯形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（ 3）若将点O、点 A 分别变换为点Q（ -2k ,0） 、点 R（5k，0） （k1 的常数），设过 Q、R 两点， 且以 QR 的垂直平分线为对称轴的抛物线与y

38、 轴的交点为N， 其顶点为 M， 记QNM的面积为QMNS， QNR 的面积QNRS，求QMNSQNRS的值 . 13.（08 四川广安）（本题答案暂缺）七、 解答题 （本大题满分12 分）25如图 10，已知抛物线2yxbxc经过点（ 1，-5）和（ -2，4）（1）求这条抛物线的解析式（2）设此抛物线与直线yx相交于点A，B（点 B 在点 A 的右侧），平行于y轴的直线051xmm与抛物线交于点M，与直线yx交于点 N，交x轴于点 P，求线段 MN 的长 （用含m的代数式表示） （3）在条件（ 2）的情况下，连接OM、BM，是否存在m的值，使 BOM 的面积 S 最大？若存在，请求出m的值

39、，若不存在，请说明理由x O P N M B A y y=x x=m 图 10 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 23 页学习必备欢迎下载14.（08 四川宜宾） 24、(本小题满分12 分) 已知 :如图 ,抛物线 y=-x2+bx+c 与 x 轴、 y 轴分别相交于点A（-1，0） 、B（0，3）两点，其顶点为 D. （1）求该抛物线的解析式；（2）若该抛物线与x 轴的另一个交点为E. 求四边形ABDE 的面积；（3）AOB 与BDE 是否相似？如果相似，请予以证明；如果不相似，请说明理由. （注：抛物线y=ax2+

40、bx+c(a 0)的顶点坐标为abacab44,22）（08 四川宜宾24 题解析） 24.解： （ 1）由已知得：310cbc解得c=3,b=2 抛物线的线的解析式为223yxx(2)由顶点坐标公式得顶点坐标为（1，4）所以对称轴为x=1,A,E 关于 x=1 对称，所以E(3,0) 设对称轴与x 轴的交点为F 所以四边形ABDE 的面积 =ABODFEBOFDSSS梯形=111()222AO BOBODFOFEF DF=1111 3(34) 124222yxDEABFOG精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 23 页学习

41、必备欢迎下载=9 （3）相似如图， BD=2222112BGDGBE=2222333 2BOOEDE=2222242 5DFEF所以2220BDBE, 220DE即：222BDBEDE,所以BDE是直角三角形所以90AOBDBE,且22AOBOBDBE, 所以AOBDBE. 15. （08 江苏镇江28 题） （本小题满分8 分）探索研究如图，在直角坐标系xOy中，点P为函数214yx在第一象限内的图象上的任一点，点A的坐标为(0 1)，直线l过(01)B，且与x轴平行，过P作y轴的平行线分别交x轴，l于CQ，连结AQ交x轴于H，直线PH交y轴于R（1）求证：H点为线段AQ的中点；（2）求证：

42、四边形APQR为平行四边形；平行四边形APQR为菱形；（3）除P点外，直线PH与抛物线214yx有无其它公共点？并说明理由（08 江苏镇江28 题解析）（1）法一：由题可知1AOCQ90AOHQCH，AHOQHC，AOHQCH （1 分）OHCH，即H为AQ的中点 （2 分）法二：(01)A，(01)B，OAOB （1 分）又BQx轴，HAHQ （2 分）（2）由（ 1）可知AHQH，AHRQHP，ARPQ，RAHPQH，x l Q C P A O B H R y 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 23 页学习必备欢迎下

43、载RAHPQH （3 分）ARPQ，又ARPQ，四边形APQR为平行四边形 （4 分）设214P mm，PQy轴，则(1)Q m，则2114PQm过P作PGy轴，垂足为G，在RtAPG中，22222222111111444APAGPGmmmmPQ平行四边形APQR为菱形 （6 分）（3）设直线PR为ykxb，由OHCH，得22mH，214P mm，代入得：2021.4mkbkmbm，221.4mkbm，直线PR为2124myxm （7 分）设直线PR与抛物线的公共点为214xx，代入直线PR关系式得：22110424mxxm，21()04xm，解得xm得公共点为214mm，所以直线PH与抛物线

44、214yx只有一个公共点P （8 分）16. （08 广东茂名25 题） （本题满分10 分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=32x2+bx+c经过 A （0，4） 、B（x1，0） 、 C（x2，0）三点， 且x2-x1=5（1）求b、c的值； （4 分）（2）在抛物线上求一点D，使得四边形BDCE 是以 BC 为对角线的菱形； （3 分）（3）在抛物线上是否存在一点P，使得四边形BPOH 是以OB 为对角线的菱形？若存在，求出点 P 的坐标， 并判断这个菱（第 25 题图）A x y B C O 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -

45、第 19 页，共 23 页学习必备欢迎下载形是否为正方形？若不存在，请说明理由（3 分）解：（08 广东茂名25 题解析） 解： （ 1）解法一：抛物线y=32x2+bx+c经过点 A（0， 4） ，c=4 1 分又由题意可知，x1、x2是方程32x2+bx+c=0 的两个根，x1+x2=23b，x1x2=23c=6 2 分由已知得（x2-x1）2=25 又（x2-x1）2=（x2+x1）24x1x2=49b224 49b224=25 解得b=314 3 分当b=314时，抛物线与x轴的交点在x轴的正半轴上，不合题意，舍去b=314 4 分解法二：x1、x2是方程32x2+bx+c=0 的两个

46、根，即方程 2x23bx+12=0 的两个根x=4969b32b， 2 分x2x1=2969b2=5，解得b=314 3 分（以下与解法一相同 ）（2）四边形BDCE 是以 BC 为对角线的菱形，根据菱形的性质，点D 必在抛物线的对称轴上， 5 分又y=32x2314x4=32（x+27）2+625 6 分抛物线的顶点（27，625）即为所求的点D 7 分精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 23 页学习必备欢迎下载（3）四边形BPOH 是以 OB 为对角线的菱形，点B 的坐标为（ 6，0） ，根据菱形的性质，点P 必是直线

47、x=-3 与抛物线y=32x2-314x-4 的交点， 8 分当x=3 时，y=32 （ 3）2314 （3） 4=4，在抛物线上存在一点P（ 3，4） ，使得四边形BPOH 为菱形 9 分四边形 BPOH 不能成为正方形，因为如果四边形BPOH 为正方形，点P 的坐标只能是（ 3，3） ，但这一点不在抛物线上 10 分17.（08辽宁 12市 26 题）（本题 14 分） 26 如图 16， 在平面直角坐标系中， 直线33yx与x轴交于点A， 与y轴交于点C， 抛物线22 3(0)3yaxxc a经过ABC， ，三点（ 1）求过ABC， ，三点抛物线的解析式并求出顶点F的坐标；（ 2）在抛物

48、线上是否存在点P，使ABP为直角三角形，若存在，直接写出P点坐标；若不存在，请说明理由；（ 3）试探究在直线AC上是否存在一点M，使得MBF的周长最小， 若存在， 求出M点的坐标；若不存在，请说明理由（08 辽宁 12 市 26 题解析）解： （1）直线33yx与x轴交于点A，与y轴交于点C( 1 0)A，(03)C， 1 分点AC，都在抛物线上，2 3033acc333ac抛物线的解析式为232 3333yxx 3 分顶点4 313F， 4 分（2）存在 5 分1(03)P， 7 分2(23)P， 9 分（3）存在 10 分精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 -

49、- - - - - -第 21 页，共 23 页学习必备欢迎下载理由：解法一：延长BC到点B， 使BC B C， 连接B F交直线AC于点M， 则点M就是所求的点 11 分过点B作B HAB于点HB点在抛物线232 3333yxx上，(3 0)B，在RtBOC中，3tan3OBC，30OBC，2 3BC，在RtBBH中，12 32B HBB，36BHB H，3OH，( 32 3)B， 12 分设直线B F的解析式为ykxb2 334 33kbkb解得363 32kb33 362yx 13 分3333 362yxyx解得3710 37xy，31 0377M，在直线AC上存在点M，使得MBF的周长

50、最小，此时310377M， 14 分解法二：过点F作AC的垂线交y轴于点H，则点H为点F关于直线AC的对称点 连接BH交AC于点M，则点M即为所求 11 分过点F作FGy轴于点G，则OBFG，BCFH90BOCFGH，BCOFHGHFGCBOA O x y B F C 图 9 H B M A O x y B F C 图 10 H M G 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 23 页学习必备欢迎下载同方法一可求得(3 0)B，在RtBOC中，3tan3OBC，30OBC，可求得33GHGC，GF为线段CH的垂直平分线，可证得