2022年中考二次函数综合题训练及答案 2.pdf

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1、二次函数中考综合题1、 如图 11， 抛物线)1)(3(xxay与x轴相交于A、B 两点（点A 在点 B 右侧） ，过点 A 的直线交抛物线于另一点 C，点 C 的坐标为（ -2，6）. (1)求 a 的值及直线AC 的函数关系式；(2)P 是线段 AC 上一动点， 过点 P作 y 轴的平行线， 交抛物线于点M，交 x 轴于点 N. 求线段PM 长度的最大值；在抛物线上是否存在这样的点M，使得 CMP 与APN 相似？如果存在，请直接写出所有满足条件的点M 的坐标（不必写解答过程）；如果不存在，请说明理由.解： （1）由题意得6=a(-2+3)(-2-1) a=-21 分抛物线的函数解析式为y

2、=-2(x+3)(x-1) 与 x 轴交于 B （-3， 0） 、A（1，0）设直线 AC 为 y=kx+b ，则有 0=k+b 6=-2k+b 解得 k=-2 b=2 直线 AC 为 y=-2x+2 （2）设 P 的横坐标为a(-2a1)，则 P（a,-2a+2） ，M（a,-2a2-4a+6）4 分PM=-2a2-4a+6-(-2a+2)=-2a2-2a+4=-2a2+a+14+92 =-2a+122+92 当 a=-12 时， PM 的最大值为92 M1 （0，6）M2 （-14，678）2、如图 9，已知抛物线y=12x2 2x1 的顶点为P，A 为抛物线与y 轴的交点，过A 与 y

3、轴垂直的直线与抛物线的另一交点为B，与抛物线对称轴交于点O，过点 B 和 P 的直线 l 交 y 轴于点 C，连结 O C，将 ACO沿 OC 翻折后，点A 落在点 D 的位置(1) (3 分 ) 求直线 l 的函数解析式；(2) (3 分 ) 求点 D 的坐标；(3) (3 分 ) 抛物线上是否存在点Q，使得 S DQC= SDPB? 若存在，求出所有符合条件的点Q 的坐标；若不存在，请说明理由(1) 配方 ,得 y=12(x 2)2 1，抛物线的对称轴为直线x=2，顶点为 P(2， 1) 1分图 9 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -

4、第 1 页，共 20 页取 x=0 代入 y=12x2 2x1，得 y=1，点 A 的坐标是 (0，1)由抛物线的对称性知，点A(0，1)与点 B 关于直线 x=2 对称，点B 的坐标是 (4，1) 2分设直线 l 的解析式为y=kxb(k0) ，将 B、P 的坐标代入，有14,12,kbkb解得1,3.kb直线 l 的解析式为y=x 3 3分(2) 连结 AD 交 OC 于点 E，点 D 由点 A 沿 OC 翻折后得到，O C 垂直平分AD由(1)知，点 C 的坐标为 (0， 3)，在 Rt AO C 中， OA=2，AC=4， OC=25 据面积关系，有12 OC AE=12 OA CA，

5、 AE=455，AD=2AE=855作 DF AB 于 F，易证 RtADF RtCOA，AFDFADACO AO C， AF=ADO C AC=165，DF=ADO C OA=85， 5分又 OA=1，点 D 的纵坐标为185= 35，点 D 的坐标为 (165，35) 6分(3) 显然， OPAC，且 O为 AB 的中点， 点 P 是线段 BC 的中点，SDPC= SDPB 故要使 S DQC= SDPB，只需 S DQC=SDPC 7 分过 P 作直线 m 与 CD 平行，则直线m 上的任意一点与CD 构成的三角形的面积都等于S DPC，故 m 与抛物线的交点即符合条件的 Q 点容易求得

6、过点C(0， 3)、 D(165， 35) 的直线的解析式为y=34x 3，据直线 m 的作法，可以求得直线m 的解析式为y=34x52令12x2 2x 1=34x52，解得x1=2， x2=72，代入 y=34x52，得 y1= 1，y2=18，因此，抛物线上存在两点Q1(2， 1)(即点 P)和 Q2(72，18)，使得 S DQC= SDPB 9分(仅求出一个符合条件的点Q 的坐标，扣1 分) 3、如图，在平面直角坐标系中，矩形AOBC 在第一象限内，E 是边 OB 上的动点（不包括端点），作 AEF = 90 ，使 EF 交矩形的外角平分线BF 于点 F，设 C（m，n） （1）若 m

7、 = n 时，如图，求证：EF = AE；（2）若 mn 时，如图，试问边OB 上是否还存在点E，使得 EF = AE？若存在，请求精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 20 页出点 E 的坐标；若不存在，请说明理由（3）若 m = tn（t1）时，试探究点 E 在边 OB 的何处时， 使得 EF =（t + 1）AE 成立？并求出点E 的坐标（1）由题意得m = n 时， AOBC 是正方形如图，在 OA 上取点 C，使 AG = BE，则 OG = OE EGO = 45 ，从而AGE = 135 由 BF 是外角平分线，

8、得EBF = 135 ，AGE =EBF AEF = 90 ，FEB + AEO = 90 在 RtAEO 中，EAO +AEO = 90 ， EAO =FEB，AGE EBF， EF = AE（2）假设存在点E，使 EF = AE设 E（a，0） 作 FHx 轴于 H，如图由（ 1）知 EAO =FEH，于是 RtAOERtEHF FH = OE，EH = OA 点 F 的纵坐标为a，即FH = a由 BF 是外角平分线，知FBH = 45 ，BH = FH = a又由 C（m，n）有 OB = m，BE = OBOE = m a， EH = ma + a = m又 EH = OA = n，

9、 m = n，这与已知mn 相矛盾因此在边 OB 上不存在点E，使 EF = AE 成立（3）如（ 2）图，设E（a，0） ，FH = h，则 EH = OH OE = h + ma由 AEF = 90 ， EAO =FEH，得AOE EHF， EF =（t + 1）AE 等价于FH =（t + 1） OE，即 h =（t + 1）a，且FHOEEHAO，即haamhn，x O E B A y C F x O E B A y C F x O E B A y C F x O E B A y C F G 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第

10、3 页，共 20 页整理得nh = ah + ama2，anamaanaamh)(2把 h =（ t + 1）a 代入得atanama)1()(，即 ma =（t + 1） （n a） 而 m = tn，因此tna =（t + 1） （n a） 化简得ta = n，解得tna t1， tnnm，故 E 在 OB 边上当 E 在 OB 边上且离原点距离为tn处时满足条件，此时E（tn，0） 4、已知：直线112yx与y轴交于A，与x轴交于D，抛物线212yxbxc与直线交于A、E 两点，与x轴交于 B、C 两点，且B 点坐标为（1，0） （1）求抛物线的解析式；（2）动点 P 在x轴上移动，当P

11、AE 是直角三角形时，求点P 的坐标（3）在抛物线的对称轴上找一点M，使|AMMC的值最大，求出点M 的坐标（1）将 A（0，1） 、B（ 1，0）坐标代入212yxbxc得1102cbc解得321bc抛物线的解折式为213122yxx （2 分）（2）设点 E 的横坐标为m，则它的纵坐标为213122mm则 E（m，213122mm） 又点 E 在直线112yx上，213111222mmm解得10m（舍去），24mE 的坐标为（ 4，3） （4 分）y x O D E A B C H x O E B A y C F y x O D E A B C P1 F P2 P3 M 精选学习资料 -

12、- - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 20 页（）当 A 为直角顶点时过 A 作1APDE交x轴于1P点，设1(0)P a，易知 D 点坐标为（2，0） 由RtRtAODPOA得DOOAOAOP即211a，a211102P， （5 分）（）同理，当E为直角顶点时，2P点坐标为（112，0） （6 分）（）当 P 为直角顶点时，过E 作EFx轴于F，设3( 0)P b，由90OPAFPE，得OPAFEPRtRtAOPPFE由AOOPPFEF得143bb解得11b，23b此时的点3P的坐标为（ 1，0）或（ 3，0） （8 分）综上所述，满足条件的

13、点P 的坐标为（21， 0）或（ 1，0）或（ 3，0）或（112，0）（）抛物线的对称轴为32x （9 分）B、 C 关于x23对称，MCMB要使|AMMC最大，即是使|AMMB最大由三角形两边之差小于第三边得，当A、B、M 在同一直线上时|AMMB的值最大 （10 分）易知直线 AB 的解折式为1yx由132yxx得3212xy M（23，21） （11 分）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 20 页O11xy5、 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 ， 已 知 抛 物 线y=2(1)(0)a xc a与 x

14、轴交于A、B 两点 ( 点 A在点 B的左侧 ) ，与 y 轴交于点C，其顶点为M,若直线 MC的函数表达式为3ykx, 与 x 轴的交点为N，且 COS BCO 3 1010。(1) 求此抛物线的函数表达式； (2)在此抛物线上是否存在异于点C 的点 P，使以 N、P、C为顶点的三角形是以NC为一条直角边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标：若不存在，请说明理由； (3)过点 A作 x 轴的垂线，交直线MC 于点 Q.若将抛物线沿其对称轴上下平移，使抛物线与线段NQ总有公共点，则抛物线向上最多可平移多少个单位长度 ?向下最多可平移多少个单位长度? 精选学习资料 - - - - - - - -

15、 - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 20 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 20 页6、已知：抛物线2yaxbxc与 x 轴交于 A、B 两点，与y 轴交于点C 其中点 A 在 x轴的负半轴上，点C 在 y 轴的负半轴上，线段OA、OC 的长（ OAOC）是方程2540 xx的两个根，且抛物线的对称轴是直线1x精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 20 页（1）求 A、B、C 三点的坐标；（2）求此抛物线的解析式；（3）若点 D

16、 是线段 AB 上的一个动点（与点A、B 不重合），过点 D 作 DEBC 交 AC 于点 E，连结 CD，设 BD 的长为m， CDE 的面积为S，求 S与 m 的函数关系式，并写出自变量 m 的取值范围S是否存在最大值？若存在，求出最大值并求此时D 点坐标；若不存在，请说明理由解： （1）OA、OC 的长是 x25x+4=0 的根， OAOCOA=1，OC=4 点 A 在 x 轴的负半轴，点C 在 y 轴的负半轴A（ 1，0）C（0， 4）抛物线2yaxbxc的对称轴为1x由对称性可得B 点坐标为（ 3，0）A、B、C 三点坐标分别是：A（ 1，0） ，B（3，0） ，C（0， 4）（2）

17、点 C（0， 4）在抛物线2yaxbxc图象上4c将 A（ 1， 0） ，B（3， 0）代入24yaxbx得043904baba解之得3834ba 所求抛物线解析式为：438342xxy（3）根据题意，BDm，则4ADm在 RtOBC 中， BC=22OCOB=5 DEBC， ADE ABCABADBCDE5(4)20544AD BCmmDEAB过 点E 作EF AB 于 点F ， 则sin EDF =sin CBA=54BCOC54DEEFEF=54DE=452054m=4mSCDE=SADCSADEy x B D O A E C y x A F O D B E C 精选学习资料 - - -

18、 - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 20 页=21（4m） 421（4 m） （ 4m）=21m2+2m（0m4）S=21（m2）2+2， a=210 当 m=2 时， S有最大值2.点 D 的坐标为（ 1，0）. 7、如图 9，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点(3 3)A，（1）求正比例函数和反比例函数的解析式；（ 2） 把 直 线OA 向 下 平 移 后 与 反 比 例 函 数 的 图 象 交 于 点(6)Bm，求m的值和这个一次函数的解析式；（3）第（2）问中的一次函数的图象与x轴、y轴分别交于C、D，求过 A、B、D 三点的二次函数

19、的解析式；（4）在第（ 3）问的条件下，二次函数的图象上是否存在点E，使四边形OECD 的面积1S与四边形OABD 的面积S 满足：123SS？若存在，求点E 的坐标；若不存在，请说明理由解： （1）设正比例函数的解析式为11(0)yk x k，因为1yk x的图象过点(3 3)A，所以133k，解得11k这个正比例函数的解析式为yx （1 分）设反比例函数的解析式为22(0)kykx因为2kyx的图象过点(3 3)A，所以233k，解得29k这个反比例函数的解析式为9yx （2 分）（2）因为点(6)Bm，在9yx的图象上，所以9362m，则点362B， （3 分）设一次函数解析式为33(0

20、)yk xb ky x O C D B A 3 3 6 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 20 页因为3yk xb的图象是由yx平移得到的，所以31k，即yxb又因为yxb的图象过点362B，所以362b，解得92b，一次函数的解析式为92yx （4 分）（3）因为92yx的图象交y轴于点D，所以D的坐标为902，设二次函数的解析式为2(0)yaxbxc a因为2yaxbxc的图象过点(3 3)A，、362B，、和D902，所以933336629.2abcabcc， （5 分）解得1249.2abc，这个二次函数的解析式

21、为219422yxx （6 分）（4）92yx交x轴于点C，点C的坐标是902，如图所示，15113166633322222S99451842814假设存在点00()E xy，使12812273432SS四边形CDOE的顶点E只能在x轴上方，00y，1OCDOCESSSy x O C D B A 3 3 6 E 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 20 页01991922222y081984y081927842y，032y （7 分）00()E xy，在二次函数的图象上，2001934222xx解得02x或06x当06x时

22、，点362E，与点B重合，这时CDOE不是四边形，故06x舍去，点E的坐标为322， （8 分）8、如图，已知抛物线2yxbxc经过(10)A ，(0 2)B，两点，顶点为D（1）求抛物线的解析式；（2）将OAB绕点A顺时针旋转90后，点B落到点C的位置，将抛物线沿y轴平移后经过点C，求平移后所得图象的函数关系式；（3）设（ 2）中平移后，所得抛物线与y轴的交点为1B，顶点为1D， 若点N在平移后的抛物线上，且满足1NBB的面积是1NDD面积的 2 倍，求点N的坐标解： （1） 已知抛物线2yxbxc经过(10)(0 2)AB，01200bcc解得32bc所求抛物线的解析式为232yxx 2

23、分（2）(10)A ，(0 2)B，12OAOB，可得旋转后C点的坐标为(31)， 3 分y x B A O D （第 26 题）yCl xBPDO 图（ 16）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 20 页当3x时，由232yxx得2y，可知抛物线232yxx过点(3 2)，将原抛物线沿y轴向下平移1 个单位后过点C平移后的抛物线解析式为：231yxx 5 分（3）点N在231yxx上，可设N点坐标为2000(31)xxx，将231yxx配方得23524yx，其对称轴为32x 6 分当0302x时，如图，112NBBNDD

24、SS00113121222xx01x此时200311xxN点的坐标为(11)， 8 分当032x时，如图同理可得0011312222xx03x此时200311xx点N的坐标为(31)，综上，点N的坐标为(11)，或(31)，-10分9、如图（16） ，在平面直角坐标系中，开口向上的抛物线与x轴交于AB、两点，D为抛物线的顶点，O为坐标原点若OAOB OAOB、（）的长分别是方程2430 xx的两根，且45DAB y x C B A O N D B1D1图y x C B A O D B1D1图N 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13

25、页，共 20 页（1）求抛物线对应的二次函数解析式；（2）过点A作ACAD交抛物线于点C，求点C的坐标；（3）在（ 2）的条件下，过点A任作直线l交线段CD于点P，求CD、到直线l的距离分别为12dd、，试求12dd+的最大值解： （1）解方程2430 xx得13xx或，而OAOB，则点A的坐标为( 1 0)，点B的坐标为(3 0)， 1 分过点D作1DDx轴于1D ，则1D为AB的中点1D的坐标为(10)，又因为11452DABADDD ，D的坐标为(12)， 2分令抛物线对应的二次函数解析式为2(1)2ya x抛物线过点( 10)A，则042a，得12a故抛物线对应的二次函数解析式为21(

26、1)22yx（或写成21322yxx） 4分（2）90CAADDAC， 5分又14545DABCAD ， 令点C的坐标为()mn，则有1mn 6分点C在抛物线上，21(1)22nm 7分化简得2450mm解得51mm，（舍去）故点C的坐标为(5 6)， 8分（3）由（ 2）知6 2AC，而2 2AD，224 5DCADAC 9分过A作AMCD精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 20 页1122ACADDCAM ，246 554 5AM ADCAPDAPCSSS，12111222ACADAPdAPd 1224245244 5

27、6 5ddAPAM即此时12dd的最大值为4 5 13 分10、 如图 12，已知二次函数cbxxy221(0)c的图象与x 轴的正半轴相交于点A、B，与 y 轴相交于点C，且OBOAOC2(1)求 c 的值；(2)若 ABC 的面积为3，求该二次函数的解析式；(3)设 D 是(2)中所确定的二次函数图象的顶点，试问在直线AC 上是否存在一点P使 PBD 的周长最小 ?若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由图 12 x O P N M B A y y=x x=m 图 10 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 20

28、页11、 （2008 四川省广安市）如图10，已知抛物线2yxbxc经过点（ 1，-5）和（ -2，4）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 20 页（1）求这条抛物线的解析式（2）设此抛物线与直线yx相交于点A，B（点B 在点 A 的右侧），平行于y轴的直线051xmm与抛物线交于点M，与直线yx交于点 N，交x轴于点 P，求线段 MN 的长（用含m的代数式表示） （3）在条件（ 2）的情况下，连接OM、BM，是否存在m的值，使 BOM 的面积 S最大？若存在，请求出m的值，若不存在，请说明理由12、 （重庆市）已知：如图

29、，在平面直角坐标系xOy中，矩形 OABC 的边 OA 在 y 轴的正半轴上，OC 在 x 轴的正半轴上， OA=2，OC=3过原点 O 作 AOC 的平分线交 AB 于点 D，连接 DC，过点 D 作 DEDC，交 OA 于26 题图y x D B C A E O 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 20 页点 E（1）求过点E、D、C 的抛物线的解析式；（2）将 EDC 绕点 D 按顺时针方向旋转后，角的一边与y 轴的正半轴交于点F，另一边与线段 OC 交于点 G如果 DF 与（ 1）中的抛物线交于另一点M，点 M 的

30、横坐标为65，那么EF=2GO 是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（3）对于（ 2）中的点 G，在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q，使得直线GQ 与AB 的交点 P 与点 C、G 构成的 PCG 是等腰三角形？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由解： （1）由已知，得(3 0)C，(2 2)D，90ADECDBBCD，1tan2tan212AEADADEBCD(0 1)E， （1 分）设过点EDC、的抛物线的解析式为2(0)yaxbxc a将点E的坐标代入，得1c将1c和点DC、的坐标分别代入，得42129310.abab，（2 分）解这个方程组，得5613

31、6ab故抛物线的解析式为2513166yxx （3 分）（2）2EFGO成立（4 分）点M在该抛物线上，且它的横坐标为65，点M的纵坐标为125 （5 分）设DM的解析式为1(0)ykxb k，将点DM、的坐标分别代入，得1122612.55kbkb，解得1123kb，DM的解析式为132yx （6 分）y x D B C A E O F K G 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 20 页(0 3)F，2EF （7 分）过点D作DKOC于点K，则DADK90ADKFDG，FDAGDK又90FADGKD，DAFDKG1KG

32、AF1GO （8 分）2EFGO（3）点P在AB上，(10)G ，(3 0)C，则设(12)P ，222(1)2PGt，222(3)2PCt，2GC若PGPC，则2222(1)2(3)2tt，解得2t(2 2)P，此时点Q与点P重合(2 2)Q， （9 分）若PGGC，则22(1)22t，解得1t，(12)P ，此时GPx轴GP与该抛物线在第一象限内的交点Q的横坐标为1，点Q的纵坐标为73713Q， （10 分）若PCGC，则222(3)22t，解得3t，(3 2)P，此时2PCGC，PCG是等腰直角三角形过点Q作QHx轴于点H，则QHGH，设QHh，(1)Q hh，2513(1)(1)166hhh解得12725hh，（舍去）12 755Q，（12 分）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 20 页综上所述，存在三个满足条件的点Q，即(2 2)Q，或713Q，或12 755Q，y x D B C A E O Q P H G (P)(Q)Q (P)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 20 页