2022年中考数学压轴题“存在性”问题的解题策略 .pdf

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1、优秀学习资料欢迎下载数学“存在性”问题的解题策略存在性问题是指判断满足某种条件的事物是否存在的问题，这类问题的知识覆盖面较广，综合性较强，题意构思非常精巧，解题方法灵活，对学生分析问题和解决问题的能力要求较高，是近几年来各地中考的“热点”。这类题目解法的一般思路是：假设存在推理论证得出结论。若能导出合理的结果，就做出“存在”的判断，导出矛盾，就做出不存在的判断。由于“存在性” 问题的结论有两种可能，所以具有开放的特征，在假设存在性以后进行的推理或计算，对基础知识，基本技能提出了较高要求，并具备较强的探索性，正确、完整地解答这类问题，是对我们知识、能力的一次全面的考验。【典型例题】例1. 223

2、(1)9200 xxmxmm若关于 的一元二次方程有两个实数根，390cos5abcABCABCCB又已知 、 、 分别是的 、 、 的对边，且，3bamRt，是否存在整数，使上述一元二次方程两个实数根的平方和等于ABCcm的斜边 的平方？若存在，求出满足条件的的值，若不存在，请说明理由。分析： 这个题目题设较长，分析时要抓住关键，假设存在这样的m，满足的条件有m是整数，一元二次方程两个实数根的平方和等于RtABC 斜边 c 的平方，隐含条件判别式0 等，这时会发现先抓住RtABC 的斜边为c 这个突破口，利用题设条件，运用勾股定理并不难解决。解：在中，RtABCCB9035cos设 a=3k

3、， c=5k，则由勾股定理有b=4k，33343kkkab，abc91215设一元二次方程的两个实数根为，xmxmmxx2212319200()则有：，xxmx xmm1212231920()xxxxx xmmm122212212222312920() ()()736312mm由，xxcc1222215有，即73631225736256022mmmm，mm124647精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 9 页优秀学习资料欢迎下载不是整数，应舍去，m647当时，m40存在整数m=4，使方程两个实数根的平方和等于RtABC 的斜

4、边 c 的平方。例 2. 22kykxyP如图：已知在同一坐标系中，直线与 轴交于点，抛物2122(1)4(0)(0)yxkxkxA xB xC线与 轴交于，两点，是抛物线的顶点（1）求二次函数的最小值（用含k 的代数式表示）（2）若点 A 在点 B 的左侧，且x1x20 当 k 取何值时，直线通过点B；是否存在实数k，使 SABP=SABC？如果存在，求出抛物线的解析式；如果不存在，请说明理由。分析：本题存在探究性体现在第（ 2）问的后半部分。认真观察图形，要使SABP=SABC，由于AB=AB ，因此，只需两个三角形同底上的高相等就可以。OP 显然是 ABP 的高线，而 ABC 的高线，需

5、由C 作 AB 的垂线段，在两个高的长中含有字母k，就不难找到满足条件的k 值。解：( )()()11044414122，最小值aykkk( )()()()2214222由，得：yxkxkyxxk当时，yxxk02212点 A 在点 B 左侧，又，xxx xxx121212000A（2k，0）， B（2， 0），将，代入直线Bykxk()2022得：，222043kkk 当时 ， 直 线 过点kB43精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 9 页优秀学习资料欢迎下载（2）过点 C 作 CDAB 于点 D 则CDkk| () |(

6、)1122直线交 轴于，ykxkyPk22022()OPk22若，则SSABOPABCDABPABC1212OP=CD 2212kk()解得：，kk12122由图象知，取kk012当时，kSSABPABC12此时，抛物线解析式为： yxx22例 3. 已知： ABC 是 O 的内接三角形，BT 为 O 的切线， B 为切点， P 为直线 AB 上一点，过点P 作 BC 的平行线交直线BT 于点 E，交直线AC 于点 F。（1）当点 P 在线段 AB 上时，求证： PAPB=PEPF （2）当点 P为线段 BA 延长线上一点时，第（1）题的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由。

7、( )cos34 213若，求的半径ABEBAO分析： 第（ 1）问是一个常规性等积式的证明问题，按一般思路，需要把它转化为比例式，再转化为证明两个三角形相似的问题，同学们不会有太大的困难。难点在于让P 点沿BA 运动到圆外时，探究是否有共同的结论，符合什么共同的规律。首先需要按题意画出图形，并沿用原来的思路、方法去探索，看可否解决。第（3）问，从题意出发，由条件，欲求的半径，启发我们作出直径为辅助线，使隐性的cosEBAOAH13条件和结论显现出来。证明： （1）（如图所示）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 9 页优秀学

8、习资料欢迎下载BT 切 O 于 B， EBA= C，EFBC， AFP= C AFP= EBA 又 APF= EPB PFA PBE PAPEPFPBPAPB=PEPF （2）（如图所示）当 P为 BA 延长线上一点时，第（1）问的结论仍成立。BT 切 O 于点 B， EBA= C EPBC， PFA= C EBA= PFA 又 EPA= BPE PFA PBE PFPBPAPEPAPB=PEPF （3）作直径AH ，连结 BH， ABH=90 ，BT 切 O 于 B， EBA= AHB ，coscosEBAAHB1313si ncos221AHBAHB又 AHB 为锐角s i n A H B

9、223在中，RtABHAHBABAHABsin4 2，AHABAHBsin6 O 的半径为3。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 9 页优秀学习资料欢迎下载例 4. 已知二次函数 ymxmxm2330()()（1）求证：它的图象与x 轴必有两个不同的交点；（2）这条抛物线与x 轴交于两点A（x1， 0）， B（x2， 0）（ x1x2），与 y 轴交于点C，且 AB=4 ， M 过 A、B、C 三点，求扇形MAC 的面积 S。（3）在（ 2）的条件下，抛物线上是否存在点P，使 PBD（PDx 轴，垂足为D）被直线 BC 分成

10、面积比为1： 2 的两部分？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由。分析： 本题的难点是第（3）个问题。我们应先假设在抛物线上存在这样的点P，然后由已知条件（面积关系）建立方程，如果方程有解，则点P 存在；如果方程无解，则这样的点P 不存在，在解题中还要注意面积比为 1： 2，应分别进行讨论。解：( )()()()131230022mmmm它的图象与x 轴必有两个不同的交点。( )()()()233312ymxmxmxx令，则，yA xB x00012()()，xxm120，xmx2131，ABm()()1030AB=4 ，OA=1 ，OBmmB333130()yxx223C（ 0， 3）

11、， OC=OB， ABC=45 AMC=90 ，设 M（1，b），由 MA=MC ，得：()()11132222bbb=1， M（1， 1）MA()()111522精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 9 页优秀学习资料欢迎下载扇形SMAC14542（3）设在抛物线上存在这样的点P（ x，y），则过B（3，0）， C（ 0， 3）的直线BC 的解析式为：yxBCPDE3，设与交于点当 SPBE：SBED=2： 1 时，PE=2DE， PD=3DE PD 的长是 P 点纵坐标的相反数，DE 的长是 E 点纵坐标的相反数，且 P、

12、E 两点横坐标相同，抛直线PDyxxDEyx2233xxx22333()解得：，不合题意，舍去xx1323()P（2， 3）当 SPBE：SBED=1：2 时，PEDEDPDE1232，xxx223323()解得：，不合题意，舍去xx12123()，P()12154抛物线上存在符合题意的点，或，PP()()2312154例 5.如图：二次函数的图象与 轴相交于、 两点，点在原yxbxcxABA2点左边，点在原点右边，点，在抛物线上，BPmABPAO()tan1225（1）求 m 的值；（2）求二次函数的解析式；（3）在 x 轴下方的抛物线上有一动点D，是否存在点D，使 DAO 的面积等于 PA

13、O的面积？若存在，求出D 点坐标；若不存在，说明理由。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 9 页优秀学习资料欢迎下载解： （1）作 PHx 轴于 H，在 RtPAH 中t a n PAOPHAH25，PHmAHm52P（1，m）在抛物线上，m=1+b+c ，设，A xB xAB()()12002|xx212()xxx x1221242令，得：yxbxc002，xxbx xcbc1212242xbbcb24222且，xxxbxb12122222OH=1， AH AO=1 ，AHmAOxb5222152221mb由：得：mbcm

14、bbcmbc1522214224254521252b4()舍去m2425( )24521252yxx（3）假设在x 轴下方的抛物线上存在点D（x0，y0），使，则有：SSDAOPAOSAOySAOPHDAOPAO，12120|精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 9 页优秀学习资料欢迎下载，| |yPHm02425，代入，得：yyxx00020242545215xxxx020124521524253515，解得：，满足条件的点有两个：DD()()352 42 5152 42 5，或，例 6. 如图，在平面直角坐标系OXY 中，

15、正方形OABC 的边长为2cm，点 A、C 分别在 y 轴的负半轴和x 轴的正半轴上，抛物线y=ax2+bx+c 经过点 A 和 B，且 12a+5c=0。（1）求抛物线的解析式；（2）如果点P 由点 A 沿 AB 边以 2cm/秒的速度向点B 移动，同时点Q 由点 B 开始沿BC 边以 1cm/秒的速度向点C 移动，那么：移动开始后第t 秒时，设 S=PQ2（ cm2），试写出S 与 t 之间的函数关系式，并写出t的取值范围；当 S 取最小值时，在抛物线上是否存在点R，使得以P、 B、Q、R 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点R 的坐标；若不存在，请说明理由。解： （1）根据题意，

16、A（0， 2）， B（2， 2）根据题意：2242125056532cabcacabc抛物线的解析式为：yxx565322（2）移动开始后第t 秒时， AP=2t ，BQ=t P（2t， 2）， Q（ 2，t2），SPQStt2222222()()即Sttt584012()当取得最小值时，St45精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 9 页优秀学习资料欢迎下载，PQ()()852265假设在抛物线上存在点R，使得以P、B、Q、 R 为顶点的四边形是平行四边形，若以 PR 为一条对角线，使四边形PBRQ 为平行四边形BPQR28525，22512512565R()经检验，在抛物线上，R()12565若为 PB 为一条对角线，使四边形PRBQ 为平行四边形BQtPR45245145，经检验，不在抛物线上RR()()8514585145综上所述，当最小时，抛物线上存在点，使得以、SRPBQR()12565为顶点的四边形是平行四边形。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 9 页