2022年中考数学专题探究面积问题 .pdf

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1、学习好资料欢迎下载中考数学专题探究 -面积问题面积问题在中考中占有很重要的地位，一般情况下，计算一些基本图形的面积，可以直接运用图形的面积公式，对于一些不规则的图形面积的计算，可以对图形进行转化，这类问题虽然解题方法比较灵活多样，但难度一般不太大。但是，在中考压轴题中，有关面积的问题常常以动态的方式出现，经常与函数知识联系起来，有时还需要分类讨论。因此，对考生要求较高，在解题时，要注意分清其中的变量和不变量，并把运动的过程转化成静止的状态，做到动静结合，以静求动。考点一：面积的函数关系式问题典型例题：1、 （2009 年湖南衡阳）如图12，直线4xy与两坐标轴分别相交于A、 B 点，点 M是线

2、段 AB 上任意一点（ A、B 两点除外），过 M 分别作 MC OA 于点 C，MD OB 于 D（1）当点 M 在 AB 上运动时，你认为四边形OCMD 的周长是否发生变化？并说明理由；（2）当点 M 运动到什么位置时，四边形OCMD 的面积有最大值？最大值是多少？（3）当四边形OCMD 为正方形时，将四边形OCMD 沿着 x 轴的正方向移动，设平移的距离为)40aa（，正方形OCMD 与 AOB 重叠部分的面积为S试求S 与a的函数关系式并画出该函数的图象解： （1）设点 M 的横坐标为x，则点 M 的纵坐标为 x+4（ 0 x0， x+40 ） ；则： MC x+4 x+4，MD x

3、x；C四边形OCMD2（ MC+MD ） 2（ x+4+x ） 8 当点 M 在 AB 上运动时，四边形OCMD 的周长不发生变化，总是等于8；（2）根据题意得：S四边形OCMDMCMD （ x+4） x x2+4x (x-2)2+4 四边形OCMD 的面积是关于点M 的横坐标x（0 x4 ）的二次函数，并且当x2，即当点 M 运动到线段AB 的中点时， 四边形 OCMD 的面积最大且最大面积为4；（3）如图 10（2） ，当20a时，42121422aaS；如图 10（3） ，当42a时，22)4(21)4(21aaS；S 与a的函数的图象如下图所示：B x y M C D O A 图 12

4、 （1）B x y O A 图 12 （2）B x y O A 图 12 （3）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 11 页学习好资料欢迎下载2、 （2009 宁夏） 已知： 等边三角形ABC的边长为4 厘米， 长为 1 厘米的线段MN在ABC的边AB上沿AB方向以 1 厘米 /秒的速度向B点运动（运动开始时，点M与点A重合，点N到达点B时运动终止），过点MN、分别作AB边的垂线，与ABC的其它边交于PQ、两点，线段MN运动的时间为t秒（1）线段MN在运动的过程中，t为何值时， 四边形MNQP恰为矩形？并求出该矩形的面积；（

5、2） 线段MN在运动的过程中， 四边形MNQP的面积为S， 运动的时间为t 求四边形MNQP的面积S随运动时间t变化的函数关系式，并写出自变量t的取值范围解：（1）过点C作CDAB，垂足为D则2AD，当MN运动到被CD垂直平分时，四边形MNQP是矩形，即32AM时，四边形MNQP是矩形，32t秒时，四边形MNQP是矩形3tan6032PMAM=，332MNQPS四边形（2）1当01t时，1()2MNQPSPMQNMN四边形133(1)2tt332t0 242 4 S a)204212aaS（)42)4(212aaS（C P Q B A M N C P Q B A M N 精选学习资料 - -

6、- - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 11 页学习好资料欢迎下载2当12t 时1()2MNQPSPMQNMN四边形133(3) 12tt 3323当23t时，1()2MNQPSPMQNMN四边形13(3)3(4)2tt7332t3、 （ 2010 年辽宁丹东）如图，平面直角坐标系中有一直角梯形OMNH，点H的坐标为（ 8，0） ，点N的坐标为（6， 4） （1）画出直角梯形OMNH绕点O旋转 180的图形OABC，并写出顶点A，B，C的坐标（点M的对应点为A， 点N的对应点为B， 点H的对应点为C） ；（2）求出过A，B，C三点的抛物线的表达式；（

7、3）截取CE=OF=AG=m，且E，F，G分别在线段CO，OA，AB上，求四边形BEFG的面积S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围； 面积S是否存在最小值?若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由；（4）在（ 3）的情况下，四边形BEFG是否存在邻边相等的情况，若存在，请直接写出此时m的值，并指出相等的邻边；若不存在，说明理由解： （1） 利用中心对称性质，画出梯形OABCA，B，C三点与M，N，H分别关于点O中心对称，A（0，4） ，B（6， 4） ，C（ 8，0）O M N H A C E F D B 8 (6， 4) x y C P Q B A M N C P Q B

8、A M N xyOMN （-6，-4）H （-8，0）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 11 页学习好资料欢迎下载（2）设过A，B，C三点的抛物线关系式为2yaxbxc，抛物线过点A（ 0，4） ，4c则抛物线关系式为24yaxbx将B（6， 4） ，C（8，0）两点坐标代入关系式，得3664464840abab，解得1432ab，所求抛物线关系式为：213442yxx（3）OA=4，OC=8，AF=4m，OE=8mAGFEOFBECEFGBABCOSSSSS四边形梯形21OA（AB+OC）12AFAG12OEOF12CE

9、OAmmmmm421)8(21)4(2186421）（2882mm（ 0 m 4）2(4)12Sm 当4m时，S的取最小值又0m4，不存在m值，使S的取得最小值（4）当226m时，GB=GF，当2m时，BE=BG4、如图所示， 菱形ABCD的边长为6 厘米，60B从初始时刻开始，点P、Q同时从A点出发，点P以 1 厘米 /秒的速度沿ACB的方向运动，点Q以2 厘米 /秒的速度沿ABCD的方向运动，当点Q运动到D点时，P、Q两点同时停止运动，设P、Q运动的时间为x秒时，APQ与ABC重叠部分的面积为y平方厘米 （这里规定： 点和线段是面积为O的三角形），解答下列问题：（1）点P、Q从出发到相遇所

10、用时间是秒；（2）点P、Q从开始运动到停止的过程中，当APQ是等边三角形时x的值是秒；（3）求y与x之间的函数关系式P Q A B C D （第 28 题）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 11 页学习好资料欢迎下载解： （1）6（2）8 （3）当 03x时，211133sin 6022222APQySAP AQxxx131 当 3x6时，1222222121sin60213(12- 2 )22APQySAP PQAP CQxx=?=233 3 .2xx当69x时，设33PQ与AC交于点O(解法一 ) 过3Q作3,Q EC

11、B则3CQ E为等边三角形33333212.Q ECECQxQ ECBCOPEOQ3361,212211(212),33CPOCxOEEQxOCCEx3333311sin 60sin 6022AQPACPCOPySSCP ACOC CP- S13113(6)(212)(6)22232xxx6Q1A B C D Q2P3Q3E P2P1O 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 11 页学习好资料欢迎下载237 315 362xx（解法二）如右图，过点O作3OFCP于点F，3OGCQ，于点,G过点3P作3PHDC交DC延长线于点H

12、,.ACBACDOFOG又33,6,2122(6),CPxCQxx3312CQPCOQSS3333321,3113211(212)(6)3223(6) .6COPCP QSSCQ P Hxxx3又331sin602ACPSCP AC13(6)6223 3(6).2xx3AOPyS3323 33(6)(6)26ACPOCPSSxx237 315 3.62xxP3O A B C D Q3G H F 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 11 页学习好资料欢迎下载考点 2、面积最值问题典型例题：1、 （ 2008 年广东广州）如图1

13、1，在梯形ABCD中， AD BC，AB=AD=DC=2cm ，BC=4cm ，在等腰 PQR 中， QPR=120，底边QR=6cm ，点 B、C、Q、R 在同一直线l 上，且 C、Q两点重合， 如果等腰 PQR 以 1cm/秒的速度沿直线l 箭头所示方向匀速运动，t 秒时梯形ABCD与等腰 PQR 重合部分的面积记为S 平方厘米（1）当 t=4 时，求 S 的值（2）当4t，求 S与 t 的函数关系式，并求出S 的最大值解 （1）t4 时,Q 与 B 重合， P 与 D 重合，重合部分是BDC3232221(2)当时，如图104tQB=DP=t-4,CR=6-t,AP=6-t 由PQRBQ

14、MCRN得2)324(tSSPQRBQM2)326(tSSPQRCRN22)4(43)324(tStSPQRBQM,22)6(43)326(tStSPQRCRNS 3255)-(t23t)-(6434t4333222）（当 t 取 5 时，最大值为325图 11 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 11 页学习好资料欢迎下载当 t 取 6 时，有最大值32综上所述，最大值为325二、名题精练：1、 （2009 湖南永州） 如图，在平面直角坐标系中，点AC、的坐标分别为( 10) (03)，、 ，点B在x轴上已知某二次函数的图

15、象经过A、B、C三点，且它的对称轴为直线1x，点P为直线BC下方的二次函数图象上的一个动点（点P与B、C不重合），过点P作y轴的平行线交BC于点F（1）求该二次函数的解析式；（2）若设点P的横坐标为m，用含m的代数式表示线段PF的长（3）求PBC面积的最大值，并求此时点P的坐标解： （1）设二次函数的解析式为2(0)yaxbxc aabc， 、 、 为常数，由抛物线的对称性知B点坐标为(3 0)，依题意得：09303abcabcc解得：332 333abc所求二次函数的解析式为232 3333yxx（2）P点的横坐标为m，P点的纵坐标为232 3333mmx y B F O A C P x=1

16、（第 25 题）x y B F O A C P x=1（第 25 题）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 11 页学习好资料欢迎下载设直线BC的解析式为(0)ykxb kkb， 、 是常数 ，依题意，得303kbb333kb故直线BC的解析式为333yx点F的坐标为333mm，233(03)3PFmmm（3）PBC的面积12CPFBPFSSSPF BO=2213339 33323228mmm当32m时，PBC的最大面积为9 38把32m代入232 3333ymm得5 34y点P的坐标为35 324，2、 （2007 年淮安）

17、在平面直角坐标系中，放置一个如图所示的直角三角形纸片AOB ，已知 OA=2 AOB=30 ,D、E两点同时从原点O出发， D点以每秒3个单位长度的速度沿x 轴的正方向运动， E点以每秒1 个单位长度的速度沿y 轴的正方向运动，设D、E两点运动的时间为t 秒。（1）点 A的坐标为，点 B的坐标为。（2）在点 D 、E运动的过程中， 直线 DE与直线 OA垂直吗？请说明理(3) 当 t 在什么范围时，直线DE与线段 OA有公共点？（4）将直角三角形纸片AOB在直线 DE下方的部分沿直线DE向上折叠，设折叠后重叠部分的面积为s，请写出 s 与 t 的函数关系式，并求出s 的最大值。精选学习资料 -

18、 - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 11 页学习好资料欢迎下载4、 （2009 年湖北恩施） 如图 12，在ABC中，9010ABCABC ， 的面积为25，点D为AB边上的任意一点（D不与A、B重合），过点D作DEBC，交AC于点E设DEx，以DE为折线将ADE翻折（使ADE落在四边形DBCE所在的平面内） ，所得的A DE与梯形DBCE重叠部分的面积记为y（1）用x表示ADE的面积；（2）求出05x时y与x的函数关系式；（3）求出510 x时y与x的函数关系式；（4）当x取何值时，y的值最大？最大值是多少？解:(1) DEBC ADE=

19、 B,AED= C ADE ABC 2)(BCDESSABCADE即241xSADE(2) BC=10 BC边所对的三角形的中位线长为5 当 05x时241xSyADE（ 3）x5 10 时，点 A落在三角形的外部, 其重叠部分为梯形S ADE=SADE=241xDE边上的高AH=AH =x21由已知求得AF=5 AF=AA -AF=x-5 由 AMN ADE知2DEAMNA)HAFA(SS2MNA)5(xS251043)5(41222xxxxy（4）在函数241xy中0 x5 当 x=5 时 y 最大为：425在函数2510432xxy中图 12 E AD B C A B C A 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 11 页学习好资料欢迎下载当3202abx时 y 最大为：325425325当320 x时， y 最大为：325精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 11 页