2022年中考数学分类汇编圆的综合题 .pdf

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1、学习好资料欢迎下载2013 中考全国 100 份试卷分类汇编圆的综合题1、 （ 2013?温州）在 ABC 中， C 为锐角，分别以AB，AC 为直径作半圆，过点B，A，C 作，如图所示若AB=4 ，AC=2 ，S1S2=，则 S3S4的值是（）ABCD2、 （ 2013?孝感）下列说法正确的是（）A平 分弦的直径垂直于弦B半 圆（或直径）所对的圆周角是直角C相 等的圆心角所对的弧相等D若 两个圆有公共点，则这两个圆相交3、 （2013?温州） 一块矩形木板，它的右上角有一个圆洞，现设想将它改造成火锅餐桌桌面，要求木板大小不变， 且使圆洞的圆心在矩形桌面的对角线上木工师傅想了一个巧妙的办法，他

2、测量了 PQ 与圆洞的切点K 到点 B 的距离及相关数据（单位：cm） ，从点 N 沿折线 NFFM（NFBC，FM AB ）切割，如图1 所示图 2 中的矩形EFGH 是切割后的两块木板拼接成符合要求的矩形桌面示意图（不重叠， 无缝隙，不记损耗）， 则 CN， AM 的长分别是精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 29 页学习好资料欢迎下载4、 （2013 四川宜宾）如图，AB 是 O 的直径，弦CDAB 于点 G，点 F 是 CD 上一点，且满足=，连接 AF 并延长交 O 于点 E，连接 AD、 DE，若 CF=2，AF

3、=3给出下列结论： ADF AED ； FG=2； tanE=； SDEF=4其中正确的是（写出所有正确结论的序号）5、(2013 年武汉 ) 如图，在平面直角坐标系中，ABC 是 O 的内接三角形，ABAC，点P 是AB的中点，连接PA，PB，PC（1）如图，若BPC60，求证：APAC3；（2）如图，若2524sinBPC，求PABtan的值6、 （ 2013?常州）在平面直角坐标系xOy 中，已知点A（ 6，0） ，点 B（0，6） ，动点 C 在以半径为 3 的 O 上，连接 OC，过 O 点作 ODOC，OD 与 O 相交于点D（其中点 C、O、D 按逆时针方向排列） ，连接 AB（

4、1）当 OCAB 时， BOC 的度数为；（2） 连接 AC ， BC， 当点 C 在 O 上运动到什么位置时，ABC 的面积最大？并求出ABC的面积的最大值（3）连接 AD ，当 OCAD 时， 求出点 C 的坐标； 直线 BC 是否为 O 的切线？请作出判断，并说明理由OP第22题图CBA第22题图OPCBA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 29 页学习好资料欢迎下载7、（2013?宜昌）半径为 2cm 的与 O 边长为 2cm 的正方形 ABCD 在水平直线l 的同侧，O与 l 相切于点F，DC 在 l 上（1）过点

5、 B 作的一条切线BE， E 为切点 填空：如图1，当点 A 在 O 上时， EBA 的度数是； 如图 2，当 E，A，D 三点在同一直线上时，求线段OA 的长；（2）以正方形ABCD 的边 AD 与 OF 重合的位置为初始位置，向左移动正方形（图3） ，至边 BC 与 OF 重合时结束移动，M，N 分别是边BC，AD 与 O 的公共点，求扇形MON 的面积的范围8、 （2013?包头）如图， 已知在 ABP 中，C 是 BP 边上一点， PAC=PBA，O 是ABC的外接圆， AD 是 O 的直径，且交BP 于点 E（1）求证： PA 是 O 的切线；（2）过点 C 作 CFAD ，垂足为点

6、F，延长 CF 交 AB 于点 G， 若 AG ?AB=12 ，求 AC 的长；（3）在满足（ 2）的条件下，若AF：FD=1：2，GF=1，求 O 的半径及sinACE 的值精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 29 页学习好资料欢迎下载9、 （ 2013?荆门）如图1，正方形ABCD 的边长为2，点 M 是 BC 的中点， P是线段 MC 上的一个动点 （不与 M、C 重合） ，以 AB 为直径作 O，过点 P 作 O 的切线， 交 AD 于点 F，切点为 E（1）求证： OFBE；（2）设 BP=x，AF=y ，求 y

7、关于 x 的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围；（3）延长 DC、FP 交于点 G，连接 OE 并延长交直线DC 与 H（图 2） ，问是否存在点P，使EFO EHG（E、F、O 与 E、H、 G 为对应点）？如果存在，试求（2）中 x 和 y 的值；如果不存在，请说明理由10、 （2013?莱芜）如图，O 的半径为1，直线 CD 经过圆心O，交 O 于 C、D 两点，直径 ABCD，点 M 是直线 CD 上异于点 C、O、D 的一个动点， AM 所在的直线交于O 于点 N，点 P 是直线 CD 上另一点，且PM=PN （1）当点 M 在 O 内部，如图一，试判断PN 与 O 的关系，并写

8、出证明过程；（2）当点 M 在 O 外部， 如图二， 其它条件不变时， （1）的结论是否还成立？请说明理由；（3）当点 M 在 O 外部，如图三，AMO=15 ，求图中阴影部分的面积精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 29 页学习好资料欢迎下载11、 （2013?遂宁）如图，在O 中，直径 AB CD，垂足为 E，点 M 在 OC 上， AM 的延长线交 O 于点 G，交过 C 的直线于F， 1=2，连结 CB 与 DG 交于点 N（1）求证： CF 是 O 的切线；（2）求证： ACM DCN ；（3）若点 M 是 CO

9、的中点， O 的半径为4，cosBOC=41，求 BN 的长12、 （2013 济宁）如图1，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，P 是反比例函数y=（x0）图象上任意一点，以P为圆心， PO 为半径的圆与坐标轴分别交于点A、B（1）求证：线段AB 为 P 的直径；（2）求 AOB 的面积；（3）如图 2，Q 是反比例函数y=（ x0）图象上异于点P 的另一点，以Q 为圆心， QO为半径画圆与坐标轴分别交于点C、D求证： DO?OC=BO ?OA 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 29 页学习好资料欢迎下载13、 （201

10、3?攀枝花）如图，PA 为 O 的切线， A 为切点，直线PO 交 O 与点 E，F 过点 A作 PO 的垂线 AB 垂足为 D，交 O 与点 B，延长 BO 与 O 交与点 C，连接 AC， BF（1）求证： PB 与 O 相切；（2）试探究线段EF，OD，OP 之间的数量关系，并加以证明；（3）若 AC=12，tanF=，求 cosACB 的值14、 (2013 年南京 ) 如图， AD 是圆 O 的切线，切点为A，AB 是圆 O 的弦。过点B 作 BC/AD，交圆 O 于点 C，连接 AC，过点 C 作 CD/AB，交 AD 于点 D。连接 AO 并延长交BC于点 M，交过点 C 的直线

11、于点P，且BCP=ACD。(1) 判断直线 PC 与圆 O 的位置关系，并说明理由：(2) 若 AB=9，BC=6，求 PC 的长。15、 （2013?曲靖）如图，O 的直径 AB=10 ，C、D 是圆上的两点，且设过点 D 的切线 ED 交 AC 的延长线于点F连接 OC 交 AD 于点 G（1）求证： DFAF（2）求 OG 的长A B C D O M P 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 29 页学习好资料欢迎下载16、 （2013?六盘水）（1）观察发现如图（ 1） ：若点 A、B 在直线 m 同侧，在直线m 上找

12、一点 P，使 AP+BP 的值最小，做法如下：作点 B 关于直线m 的对称点B ，连接 AB ，与直线 m 的交点就是所求的点P，线段 AB 的长度即为AP+BP 的最小值如图（ 2） ：在等边三角形ABC 中， AB=2 ，点 E 是 AB 的中点， AD 是高，在AD 上找一点 P，使 BP+PE 的值最小，做法如下：作点 B 关于 AD 的对称点， 恰好与点 C 重合， 连接 CE 交 AD 于一点， 则这点就是所求的点P，故 BP+PE 的最小值为（2）实践运用如图（ 3） ：已知 O 的直径 CD 为 2，的度数为 60 ，点 B 是的中点，在直径CD上作出点 P，使 BP+AP 的

13、值最小，则BP+AP 的值最小，则BP+AP 的最小值为（ 3）拓展延伸如图（ 4） ：点 P是四边形ABCD 内一点，分别在边AB、BC 上作出点M，点 N，使 PM+PN的值最小，保留作图痕迹，不写作法17、 （2013?衡阳压轴题）如图，在平面直角坐标系中，已知A（8，0） ，B（0，6） ， M 经过原点 O 及点 A、B（1）求 M 的半径及圆心M 的坐标；（2）过点 B 作 M 的切线 l，求直线l 的解析式；（3） BOA 的平分线交AB 于点 N，交 M 于点 E，求点 N 的坐标和线段OE 的长精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - -

14、 - -第 7 页，共 29 页学习好资料欢迎下载18、 (2013 浙江丽水 ) 如图，在 ABC 中， AB=AC ， BAC=54 ，以 AB 为直径的 O 分别交 AC， BC 于点 D，E，过点 B 作 O 的切线，交AC 的延长线于点F。（1）求证： BE=CE ；（2）求 CBF 的度数 ；（3）若 AB=6 ，求的长。19、 （2013 成都市） 如图，O的半径 r=25,四边形 ABCD 内接于O，ACBD于点 H，P为 CA 延长线上的一点，且PDAABD。（1）试判断PD 与O的位置关系，并说明理由；（ 2）若3tan=4ADB，4 33PAAH3,求 BD的长；（3）在

15、（ 2）的条件下，求四边形ABCD 的面积。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 29 页学习好资料欢迎下载答案1. 考点：圆 的认识分析：首 先根据 AB 、AC 的长求得S1+S3和 S2+S4的值，然后两值相减即可求得结论解答：解 ：AB=4 ，AC=2 ， S1+S3=2 ，S2+S4=， S1S2=，（ S1+S3）（ S2+S4）=（S1S2）+（S3S4）= S3S4= ，故选 D点评：本 题考查了圆的认识，解题的关键是正确的表示出S1+S3和 S2+S4的值2. 考点：圆 与圆的位置关系；垂径定理；圆心角、弧、

16、弦的关系；圆周角定理分析：利 用圆与圆的位置关系、垂径定理、圆周角定理等有关圆的知识进行判断即可解答：解 ：A、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故本选项错误；B、半圆或直径所对的圆周角是直角，故本选项正确；C、同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故本选项错误；D、两圆有两个公共点，两圆相交，故本选项错误，故选 B点评：本 题考查了圆与圆的位置关系、垂径定理、圆周角定理等有关圆的知识，牢记这些定理是解决本题的关键3. 考点：圆 的综合题分析：如 图，延长 OK 交线段 AB 于点 M ，延长 PQ 交 BC 于点 G，交 FN 于点 N，设圆孔半径为 r在 RtKBG 中，根据勾股定理，得

17、r=16（cm） 根据题意知，圆心O 在矩形 EFGH 的对角线上， 则 KN =AB=42cm ，OM =KM +r=CB=65cm 则根据图中相关线段间的和差关系求得CN=QG QN=4426=18（cm） ，AM=BC PDKM =1305049=31（cm） 解答： 解：如图，延长OK 交线段 AB 于点 M ，延长 PQ 交 BC 于点 G，交 FN 于点 N设圆孔半径为r在 RtKBG 中，根据勾股定理，得BG2+KG2=BK2，即（ 13050）2+（44+r）2=1002，解得， r=16（cm） 根据题意知，圆心O 在矩形 EFGH 的对角线上，则KN =AB=42cm ，O

18、M =KM +r=CB=65cm QN =KN KQ=42 16=26（cm） ，KM =49（cm） ， CN=QG QN =44 26=18（ cm） ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 29 页学习好资料欢迎下载 AM=BC PDKM =1305049=31（cm） ，综上所述， CN，AM 的长分别是18cm、31cm故填： 18cm、 31cm点评：本 题以改造矩形桌面为载体，让学生在问题解决过程中，考查了矩形、直角三角形及圆等相关知识，积累了将实际问题转化为数学问题经验，渗透了图形变换思想，体现了数学思想方法在

19、现实问题中的应用价值4.考点：相似三角形的判定与性质；垂径定理；圆周角定理分析： 由 AB 是 O 的直径，弦CDAB，根据垂径定理可得：=，DG=CG，继而证得 ADF AED； 由=，CF=2，可求得DF 的长，继而求得CG=DG=4，则可求得FG=2； 由勾股定理可求得AG 的长，即可求得tanADF 的值，继而求得tanE=； 首先求得 ADF 的面积，由相似三角形面积的比等于相似比，即可求得ADE 的面积，继而求得SDEF=4解答：解： AB 是 O 的直径，弦CDAB，=，DG=CG， ADF =AED ， FAD=DAE（公共角）， ADF AED；故 正确； =，CF=2，FD

20、 =6，CD=DF +CF=8，CG=DG=4，FG=CGCF =2；故 正确；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 29 页学习好资料欢迎下载 AF=3，FG=2，AG=，在 RtAGD 中， tanADG =，tanE=；故 错误； DF=DG+FG=6，AD=，SADF=DF ?AG= 6=3， ADF AED，=（）2，=，SAED=7，SDEF=S AED SADF=4；故 正确故答案为： 点评： 此题考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定理、垂径定理、勾股定理以及三角函数等知识此题综合性较强，难度适中，注意掌握数

21、形结合思想的应用5.解析：（1）证明：弧BC弧 BC， BAC BPC60又 AB AC， ABC 为等边三角形 ACB 60，点P是弧 AB 的中点， ACP30，又 APC ABC 60， AC 3AP（2）解：连接AO 并延长交 PC 于 F，过点 E 作 EGAC 于 G，连接 OCAB AC ， AF BC，BFCF点 P 是弧 AB 中点， ACP PCB， EG EF BPC FOC，sinFOCsinBPC=2524设 FC24a，则 OCOA 25a，OF7a，AF32a在 RtAFC 中， AC2AF2+FC2， AC 40aGEFABCPO第22（2）题图精选学习资料 -

22、 - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 29 页学习好资料欢迎下载在 RtAGE 和 RtAFC 中， sinFAC ACFCAEEG，aaEGaEG402432， EG12atanPABtanPCB=212412aaCFEF6. 考点：圆 的综合题专题：综 合题分析：（1）根据点A 和点 B 坐标易得 OAB 为等腰直角三角形，则OBA=45 ，由于OCAB ，所以当 C 点在 y 轴左侧时， 有 BOC=OBA=45 ；当 C 点在 y 轴右侧时，有 BOC=180 OBA=135 ；（ 2）由 OAB 为等腰直角三角形得AB=OA=6，

23、根据三角形面积公式得到当点 C 到 AB 的距离最大时， ABC 的面积最大， 过 O 点作 OEAB 于 E，OE 的反向延长线交 O 于 C，此时 C 点到 AB 的距离的最大值为CE 的长然后利用等腰直角三角形的性质计算出OE，然后计算 ABC 的面积；（ 3） 过 C 点作 CFx 轴于 F，易证 Rt OCFRtAOD ，则=，即=，解得 CF=，再利用勾股定理计算出OF=，则可得到C 点坐标； 由于 OC=3， OF=，所以 COF=30 ，则可得到BOC=60 ， AOD=60 ，然后根据 “ SAS” 判断 BOC AOD ，所以 BCO=ADC=90 ，再根据切线的判定定理可

24、确定直线 BC 为 O 的切线解答：解 ： （1）点 A（ 6，0） ，点 B（0，6） ， OA=OB=6 ， OAB 为等腰直角三角形， OBA=45 ， OCAB ，当 C 点在 y 轴左侧时， BOC= OBA=45 ；当 C 点在 y 轴右侧时，BOC=180 OBA=135 ；（ 2） OAB 为等腰直角三角形， AB=OA=6，当点 C 到 AB 的距离最大时，ABC 的面积最大，过 O 点作 OEAB 于 E，OE 的反向延长线交O 于 C，如图，此时C 点到 AB 的距离的最大值为CE 的长， OAB 为等腰直角三角形， AB=OA=6， OE=AB=3，精选学习资料 - -

25、 - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 29 页学习好资料欢迎下载 CE=OC+CE=3+3，ABC 的面积 =CE?AB= （3+3） 6=9+18当点 C 在 O 上运动到第三象限的角平分线与圆的交点位置时，ABC 的面积最大，最大值为9+18（ 3） 如图，过C 点作 CFx 轴于 F， OCAD ， ADO= COD=90 ， DOA+ DAO=90 而 DOA+ COF=90 ， COF=DAO ， RtOCFRtAOD ，=，即=，解得 CF=，在 RtOCF 中， OF=， C 点坐标为（，） ； 直线 BC 是 O 的切线理由如下

26、：在 RtOCF 中， OC=3，OF=， COF=30 ， OAD=30 ， BOC=60 ， AOD=60 ，在 BOC 和AOD 中， BOC AOD （SAS） ， BCO=ADC=90 ， OCBC，直线 BC 为 O 的切线精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 29 页学习好资料欢迎下载点评：本 题考查了圆的综合题：掌握切线的判定定理、平行线的性质和等腰直角三角形的判定与性质；熟练运用勾股定理和相似比进行几何计算7. 考点：圆 的综合题分析：（1） 根据切线的性质以及直角三角形的性质得出EBA 的度数即可； 利用

27、切线的性质以及矩形的性质和相似三角形的判定和性质得出=，进而求出 OA 即可；（ 2）设 MON=n ，得出 S扇形MON= 22=n 进而利用函数增减性分析 当 N，M， A 分别与 D，B，O 重合时， MN 最大， 当 MN=DC=2 时， MN 最小，分别求出即可解答：解 ： （1） 半径为2cm 的与 O 边长为 2cm 的正方形ABCD 在水平直线l 的同侧，当点 A 在 O 上时，过点B 作的一条切线BE，E 为切点， OB=4，EO=2， OEB=90 ， EBA 的度数是： 30 ； 如图 2，直线 l 与 O 相切于点F， OFD=90 ，正方形ADCB 中， ADC=90

28、 ， OFAD ， OF=AD=2 ，四边形OFDA 为平行四边形， OFD=90 ，平行四边形OFDA 为矩形， DA AO ，正方形ABCD 中， DA AB ， O， A， B 三点在同一条直线上； EAOB， OEB=AOE， EOA BOE ，=，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 29 页学习好资料欢迎下载 OE2=OA ?OB， OA（2+OA ）=4，解得： OA= 1， OA0， OA=1；方法二：在 RtOAE 中， cosEOA=，在 RtEOB 中， cosEOB=，=，解得： OA= 1， OA0

29、， OA=1；方法三： OEEB，EAOB，由射影定理，得OE2=OA ?OB， OA（2+OA ）=4，解得： OA= 1， OA0， OA=1；（ 2）如图 3，设 MON=n ，S扇形MON= 22=n（cm2） ，S 随 n 的增大而增大，MON 取最大值时，S扇形MON最大，当 MON 取最小值时，S扇形MON最小，过 O 点作 OKMN 于 K， MON=2 NOK ，MN=2NK ，在 RtONK 中， sinNOK=， NOK 随 NK 的增大而增大，MON 随 MN 的增大而增大，当 MN 最大时 MON 最大，当MN 最小时 MON 最小， 当 N，M， A 分别与 D，B

30、，O 重合时， MN 最大， MN=BD ， MON= BOD=90 ，S扇形MON最大= （cm2） ， 当 MN=DC=2时， MN 最小， ON=MN=OM ， NOM=60 ，S扇形MON最小= （cm2） ， S扇形MON故答案为： 30 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 29 页学习好资料欢迎下载点评：此 题主要考查了圆的综合应用以及相似三角形的判定与性质和函数增减性等知识，得出扇形 MON 的面积的最大值与最小值是解题关键8. 考点：圆 的综合题分析：（1）根据圆周角定理得出ACD=90 以及利用 PAC=

31、PBA 得出 CAD+ PAC=90 进而得出答案；（ 2）首先得出 CAG BAC ，进而得出AC2=AG ?AB ，求出 AC 即可；（ 3） 先求出 AF 的长，根据勾股定理得： AG=， 即可得出sin ADB=，利用 ACE= ACB= ADB ，求出即可解答：（1）证明：连接CD， AD 是 O 的直径， ACD=90 ， CAD+ ADC=90 ，又 PAC=PBA， ADC= PBA， PAC=ADC ， CAD+ PAC=90 ， PAOA ，而 AD 是 O 的直径， PA 是 O 的切线；（ 2）解：由（ 1）知， PAAD ，又 CFAD ， CF PA， GCA= P

32、AC，又 PAC= PBA， GCA= PBA，而 CAG= BAC ， CAG BAC ，=，即 AC2=AG?AB， AG?AB=12 ， AC2=12， AC=2；（ 3）解：设AF=x ， AF： FD=1： 2， FD=2x ， AD=AF+FD=3x ，在 RtACD 中， CFAD ， AC2=AF ?AD ，即 3x2=12，解得； x=2， AF=2，AD=6 ， O 半径为 3，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 29 页学习好资料欢迎下载在 RtAFG 中， AF=2 ，GF=1，根据勾股定理得：AG

33、=，由（ 2）知， AG?AB=12 ， AB=，连接 BD ， AD 是 O 的直径， ABD=90 ，在 RtABD 中， sinADB=，AD=6 ， sinADB=， ACE= ACB= ADB ， sinACE=点评：此 题主要考查了圆的综合应用以及勾股定理和锐角三角函数关系等知识，根据已知得出 AG 的长以及AB 的长是解题关键9. 考点：圆 的综合题分析：（1）首先证明RtFAO RtFEO 进而得出 AOF= ABE ，即可得出答案；（ 2）过 F 作 FQBC 于 Q，利用勾股定理求出y 与 x 之间的函数关系，根据M 是BC 中点以及BC=2 ，即可得出BP 的取值范围；（

34、 3）首先得出当 EFO=EHG=2 EOF 时，即 EOF=30 时，RtEFO RtEHG，求出 y=AF=OA ?tan30 =，即可得出答案解答：（1）证明：连接OE FE、FA 是 O 的两条切线 FAO=FEO=90在 RtOAF 和 RtOEF 中， RtFAORtFEO（HL） ， AOF= EOF=AOE ， AOF= ABE，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 29 页学习好资料欢迎下载 OFBE，（ 2）解：过F 作 FQBC 于 Q PQ=BPBQ=x y PF=EF+EP=FA+BP=x+y 在

35、RtPFQ 中 FQ2+QP2=PF2 22+（xy）2=（x+y ）2化简得：， （1x 2） ；（ 3）存在这样的P 点，理由： EOF=AOF ， EHG=EOA=2 EOF，当 EFO=EHG=2EOF 时，即 EOF=30 时， RtEFORtEHG，此时 RtAFO 中，y=AF=OA ?tan30 =，当时， EFO EHG点评：此 题主要考查了圆的综合应用以及全等三角形的判定和性质以及相似三角形的判定与性质等知识，得出FQ2+QP2=PF2是解题关键10. 考点：圆 的综合题分析：（1）根据切线的判定得出PNO=PNM+ ONA= AMO+ ONA 进而求出即可；（ 2）根据已

36、知得出PNM+ ONA=90 ，进而得出 PNO=180 90 =90 即可得出答案；（ 3）首先根据外角的性质得出AON=30 进而利用扇形面积公式得出即可解答：（1）PN 与 O 相切证明：连接ON，w W w .x K b 1.c o M精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 29 页学习好资料欢迎下载则 ONA= OAN ， PM=PN， PNM= PMN AMO= PMN ， PNM= AMO PNO=PNM+ ONA= AMO+ ONA=90 即 PN 与 O 相切（ 2）成立证明：连接ON，则 ONA= OAN

37、， PM=PN， PNM= PMN 在 RtAOM 中， OMA+ OAM=90 ， PNM+ ONA=90 PNO=180 90 =90 即 PN 与 O 相切（ 3）解：连接ON，由（ 2）可知 ONP=90 AMO=15 ，PM=PN ， PNM=15 ， OPN=30 ， PON=60 ， AON=30 作 NE OD，垂足为点E，则 NE=ON ?sin60 =1=S阴影=SAOC+S扇形AONSCON=OC?OA+CO?NE = 1 1+ 1=+ 点评：此 题主要考查了扇形面积公式以及切线的判定等知识，熟练根据切线的判定得出对应角的度数是解题关键11. 考点：圆 的综合题分析：（1

38、）根据切线的判定定理得出1+BCO=90 ，即可得出答案；（ 2）利用已知得出3=2， 4=D，再利用相似三角形的判定方法得出即可；（ 3）根据已知得出OE 的长，进而利用勾股定理得出EC，AC ，BC 的长，即可得出CD，利用（ 2）中相似三角形的性质得出NB 的长即可解答：（1）证明： BCO 中， BO=CO ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 29 页学习好资料欢迎下载 B=BCO，在 RtBCE 中， 2+B=90 ，又 1=2， 1+BCO=90 ，即 FCO=90 ， CF 是 O 的切线；（ 2）证明：

39、AB 是 O 直径， ACB= FCO=90 ， ACB BCO= FCO BCO，即 3=1， 3= 2， 4=D， ACM DCN ；（ 3）解： O 的半径为4，即 AO=CO=BO=4 ，在 RtCOE 中， cosBOC=41， OE=CO?cosBOC=441=1，由此可得： BE=3，AE=5，由勾股定理可得：CE=，AC=2，BC=2， AB 是 O 直径， AB CD，由垂径定理得：CD=2CE=2， ACM DCN，=，点 M 是 CO 的中点， CM=AO= 4=2， CN=， BN=BC CN=2=点评：此 题主要考查了相似三角形的判定与性质以及切线的判定和勾股定理的应

40、用等知识，根据已知得出ACM DCN 是解题关键12.考点：反比例函数综合题分析： （1） AOB=90 ，由圆周角定理的推论，可以证明AB 是 P 的直径；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 29 页学习好资料欢迎下载（2）将 AOB 的面积用含点P 坐标的表达式表示出来，容易计算出结果；（3）对于反比例函数上另外一点Q，Q 与坐标轴所形成的 COD 的面积，依然不变，与AOB 的面积相等解答： （1）证明： AOB=90 ，且 AOB 是 P 中弦 AB 所对的圆周角，AB 是 P的直径（2）解：设点P 坐标为（ m，

41、n） （m0， n0） ，点 P 是反比例函数y=（x 0）图象上一点，mn=12如答图，过点P 作 PM x 轴于点 M，PNy 轴于点 N，则 OM=m ， ON=n由垂径定理可知，点M 为 OA 中点，点 N 为 OB 中点，OA=2OM=2m ，OB=2ON=2n ，SAOB=BO?OA= 2n 2m=2mn=2 12=24（3）证明：若点Q 为反比例函数y=（x0）图象上异于点P 的另一点，参照（ 2） ，同理可得： SCOD=DO?CO=24，则有： SCOD=SAOB=24，即 BO?OA=DO ?CO，DO?OC=BO ?OA 点评：本题考查了反比例函数的图象与性质、圆周角定理

42、、垂径定理等知识，难度不大试题的核心是考查反比例函数系数的几何意义对本题而言，若反比例函数系数为k，则可以证明 P 在坐标轴上所截的两条线段的乘积等于4k； 对于另外一点Q 所形成的 Q，此结论依然成立13. 考点：圆 的综合题分析：（1）连接 OA ，由 OP 垂直于 AB，利用垂径定理得到D 为 AB 的中点，即OP 垂直平分 AB ，可得出AP=BP，再由 OA=OB ，OP=OP，利用 SSS得出三角形AOP 与三角形 BOP 全等，由 PA 为圆的切线，得到OA 垂直于 AP，利用全等三角形的对应角相等及垂直的定义得到OB 垂直于 BP，即 PB 为圆 O 的切线；（ 2）由一对直角

43、相等，一对公共角，得出三角形AOD 与三角形OAP 相似，由相似得比例，列出关系式，由OA 为 EF 的一半，等量代换即可得证（ 3）连接 BE，构建直角 BEF在该直角三角形中利用锐角三角函数的定义、勾股定理可设BE=x ，BF=2x ，进而可得EF=x；然后由面积法求得BD=x，所以根据垂径定理求得AB 的长度， 在 RtABC 中，根据勾股定理易求BC 的长； 最后由余弦三角函数的定义求解精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 29 页学习好资料欢迎下载解答：（1）证明：连接OA ， PA 与圆 O 相切， PAOA ，

44、即 OAP=90 ， OPAB ， D 为 AB 中点，即OP 垂直平分AB， PA=PB，在 OAP 和OBP 中， OAP OBP（SSS） ， OAP=OBP=90 ， BPOB，则直线 PB 为圆 O 的切线；（ 2）答： EF2=4DO ?PO证明： OAP=ADO=90 ， AOD= POA ， OAD OPA，=，即 OA2=OD?OP， EF 为圆的直径，即EF=2OA ，EF2=OD?OP，即 EF2=4OD ?OP；（ 3）解：连接BE，则 FBE=90 tanF=，=，可设 BE=x ，BF=2x ，则由勾股定理，得EF=x，BE?BF=EF?BD ， BD=x又 ABE

45、F， AB=2BD=x， RtABC 中， BC=x，AC2+AB2=BC2， 122+（x）2=（x）2，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 29 页学习好资料欢迎下载解得： x=4， BC=4=20， cosACB=点评：此 题考查了切线的判定与性质，相似及全等三角形的判定与性质以及锐角三角函数关系等知识，熟练掌握切线的判定与性质是解本题的关键14.解析：解法一： (1) 直线 PC 与圆 O 相切。如图，连接 CO 并延长，交圆O 于点 N，连接 BN。 AB/CD，BAC=ACD。BAC=BNC，BNC=ACD 。

46、BCP=ACD， BNC=BCP。 CN 是圆 O 的直径， CBN=90 。BNCBCN=90 ，BCPBCN=90 。PCO=90 ，即 PC OC。又点 C 在圆 O 上， 直线 PC 与圆 O 相切。(4 分 ) (2) AD 是圆 O 的切线， ADOA，即OAD=90 。 BC/AD，OMC =180OAD=90 ，即 OMBC。 MC=MB。AB=AC。在 RtAMC 中，AMC=90 ，AC=AB=9， MC=1 2 BC=3，由勾股定理，得AM=AC 2MC 2 =9232 =62。设圆 O 的半径为r。在 RtOMC 中，OMC =90 ，OM=AM AO=62r，MC=3

47、， OC=r，由勾股定理，得OM 2MC 2=OC 2，即 (62r)232=r2。解得 r=27 8 2。在 OMC 和 OCP 中，OMC =OCP，MOC=COP， OMCOCP。OMOC=CMPC，即6227 8 227 8 2=3 PC。 PC=27 7 。 (8 分) A B C D O M P N 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页，共 29 页学习好资料欢迎下载解法二： (1) 直线 PC 与圆 O 相切。如图，连接 OC。 AD 是圆 O 的切线， ADOA，即OAD=90 。 BC/AD，OMC =180O

48、AD=90 ，即 OMBC。 MC=MB。AB=AC。MAB =MAC。BAC=2MAC。又 MOC =2MAC， MOC=BAC。 AB/CD，BAC=ACD。MOC =ACD。又 BCP=ACD，MOC =BCP。MOCOCM=90 ，BCPOCM =90 。PCO=90 ，即 PC OC。又 点 C 在圆 O 上， 直线 PC 与圆 O 相切。(2) 在 RtAMC 中，AMC=90 ，AC=AB=9，MC=1 2 BC=3，由勾股定理，得AM=AC 2MC 2 =9232 =62。设圆 O 的半径为r。在 RtOMC 中，OMC =90 ，OM=AM AO=62r，MC=3， OC=r

49、，由勾股定理，得OM 2MC 2=OC 2，即 (62r)232=r2。解得 r=27 8 2。在 OMC 和 OCP 中， OMC=OCP，MOC =COP， OMCOCP，OMOC=CMPC，即6227 8 227 8 2=3 PC。 PC=27 7 。 (8 分) 15. 考点：切 线的性质分析：（ 1）连接 BD，根据，可得 CAD= DAB=30 ， ABD=60 ，从而可得 AFD=90 ；（ 2）根据垂径定理可得OG 垂直平分AD ，继而可判断OG 是 ABD 的中位线，在RtABD 中求出 BD ，即可得出OG解答：解 ： （1）连接 BD， CAD= DAB=30 ， ABD

50、=60 ， ADF= ABD=60 ， CAD+ ADF=90 ， DFAF（ 2）在 RtABD 中， BAD=30 ，AB=10 ， BD=5 ，=，A B C D O M P 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 24 页，共 29 页学习好资料欢迎下载 OG 垂直平分 AD ， OG 是ABD 的中位线， OG=BD=点评：本 题考查了切线的性质、圆周角定理及垂径定理的知识，解答本题要求同学们熟练掌握各定理的内容及含30 角的直角三角形的性质16. 考点：圆 的综合题；轴对称-最短路线问题分析：（1）观察发现：利用作法得到CE 的