2022年九年级数学测试-旋转--几何探究 2.pdf
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1、1 旋转-几何探究1 (2014?河北)如图, ABC 中, AB=AC , BAC=40 ,将 ABC 绕点 A 按逆时针方向旋转100 得到 ADE ,连接 BD ,CE 交于点 F(1)求证: ABD ACE;(2)求 ACE 的度数;(3)求证:四边形ABEF 是菱形2 (2014?龙东地区)已知ABC 中, M 为 BC 的中点,直线m 绕点 A 旋转,过B、M、C 分别作 BD m 于 D,MEm 于 E,CFm 于 F(1)当直线m 经过 B 点时,如图1,易证 EM=CF (不需证明)(2)当直线 m 不经过 B 点,旋转到如图2、图 3 的位置时,线段BD 、ME 、CF 之
2、间有怎样的数量关系?请直接写出你的猜想,并选择一种情况加以证明3 (2014?仪征市二模)操作与证明:如图1,把一个含45 角的直角三角板ECF 和一个正方形ABCD 摆放在一起,使三角板的直角顶点和正方形的顶点C 重合,点E、F 分别在正方形的边CB、CD 上,连接AF取 AF 中点 M,EF 的中点 N,连接 MD 、MN (1)连接 AE,求证: AEF 是等腰三角形;猜想与发现:(2)在( 1)的条件下,请判断MD 、MN 的数量关系和位置关系,得出结论结论 1:DM 、MN 的数量关系是_;结论 2:DM 、MN 的位置关系是_;拓展与探究:精选学习资料 - - - - - - -
3、- - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 14 页(3)如图 2,将图 1 中的直角三角板ECF 绕点 C 顺时针旋转180 ,其他条件不变,则(2)中的两个结论还成立吗?若成立,请加以证明;若不成立,请说明理由4 (2014?东城区一模)如图1,已知 DAC=90 ,ABC 是等边三角形,点P 为射线 AD 上任意一点(点P 与点A 不重合),连结 CP,将线段CP 绕点 C 顺时针旋转60 得到线段CQ,连结 QB 并延长交直线AD 于点 E(1)如图 1,猜想 QEP=_ ;(2)如图 2, 3,若当 DAC 是锐角或钝角时,其它条件不变,猜想QEP 的度数,选取一
4、种情况加以证明;(3)如图 3,若 DAC=135 , ACP=15 ,且 AC=4 ,求 BQ 的长5 (2014?营口模拟)已知,RtABC 和 RtBDE ,AC=BC , BD=DE , F 是 AE 的中点,连结CF、DF(1)当点 E 在 AB 上时,如图 ,线段 CF 和 DF 有怎样的关系?并证明你的结论(2)将图 中BDE 绕点 B 逆时针旋转90 ,如图 ,那么( 1)中的结论是否成立?如果成立,请写出证明;如果不成立,请说明理由(3)将图 中BDE 绕点 B 逆时针旋转180 ,如图 ,那么线段 CF 和 DF 又有怎样的关系?请直接写出你的猜想精选学习资料 - - -
5、- - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 14 页6 (2014?兰州一模)如图,在等腰ABC 中, AB=BC , A=30 将 ABC 绕点 B 顺时针旋转30 ,得 A1BC1,A1B 交 AC 于点 E,A1C1分别交 AC、BC 于 D、F 两点(1)证明: ABE C1BF;(2)证明: EA1=FC;(3)试判断四边形ABC1D 的形状,并说明理由7 (2014?无锡一模)等腰ABC 中, AB=AC ,边 AB 绕点 A 逆时针旋转角度m 得到线段AD (1)如图 1,若 BAC=30 , 30 m180 ,连接 BD ,请用含m 的式子表
6、示 DBC 的度数;(2)如图 2,若 BAC=60 , 0 m360 ,连接 BD,DC,直接写出 BDC 为等腰三角形时m 所有可能的取值_;(3)如图 3,若 BAC=90 ,射线 AD 与直线 BC 相交于点E,是否存在旋转角度m,使=?若存在,求出所有符合条件的m 的值;若不存在,请说明理由8 (2014?江西模拟)(1)如图 1,点 P 是正方形ABCD 内的一点,把 ABP 绕点 B 顺时针方向旋转,使点A 与点C 重合,点P 的对应点是Q若 PA=3,PB=2,PC=5,求 BQC 的度数(2)点 P是等边三角形ABC 内的一点,若PA=12,PB=13,PC=13,求 BPA
7、 的度数精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 14 页9(2013?牡丹江)已知 ACD=90 , MN 是过点 A 的直线,AC=DC , DB MN 于点 B, 如图 (1) 易证 BD+AB=CB,过程如下:过点 C 作 CECB 于点 C,与 MN 交于点 E ACB+ BCD=90 , ACB+ ACE=90 , BCD= ACE四边形 ACDB 内角和为360 , BDC+ CAB=180 EAC+ CAB=180 , EAC= BDC 又 AC=DC , ACE DCB , AE=DB ,CE=CB , ECB
8、为等腰直角三角形,BE=CB又 BE=AE+AB , BE=BD+AB , BD+AB=CB (1)当 MN 绕 A 旋转到如图( 2)和图( 3)两个位置时,BD、AB 、CB 满足什么样关系式,请写出你的猜想,并对图( 2)给予证明(2)MN 在绕点 A 旋转过程中,当BCD=30 ,BD=时,则 CD=_ ,CB=_10 (2013?黑龙江)正方形ABCD 的顶点 A 在直线 MN 上,点 O 是对角线AC 、BD 的交点,过点O 作 OEMN于点 E,过点 B 作 BFMN 于点 F(1)如图 1,当 O、B 两点均在直线MN 上方时,易证:AF+BF=2OE (不需证明)(2)当正方
9、形ABCD 绕点 A 顺时针旋转至图2、图 3 的位置时,线段AF、BF、OE 之间又有怎样的关系?请直接写出你的猜想,并选择一种情况给予证明11 (2012?延庆县二模)阅读下面材料:小伟遇到这样一个问题:如图1,在 ABC (其中 BAC 是一个可以变化的角)中,AB=2 ,AC=4 ,以 BC 为边在BC 的下方作等边 PBC,求 AP 的最大值精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 14 页小伟是这样思考的:利用变换和等边三角形将边的位置重新组合他的方法是以点B 为旋转中心将ABP 逆时针旋转 60 得到 ABC,连接
10、AA,当点 A 落在 A C 上时,此题可解(如图2) 请你回答: AP 的最大值是_参考小伟同学思考问题的方法,解决下列问题:如图 3,等腰 RtABC 边 AB=4 ,P 为ABC 内部一点,则AP+BP+CP 的最小值是_ (结果可以不化简)12 (2010?保山)在如图所示的方格图中,每个小正方形的顶点称为“ 格点 ” ,且每个小正方形的边长均为1 个长度单位,以格点为顶点的图形叫做“ 格点图形 ” ,根据图形解决下列问题:(1)图中格点 A B C 是由格点 ABC 通过怎样变换得到的?(2)如图建立直角坐标系后,点A 的坐标为( 5,2) ,点 B 的坐标为( 5,0) ,请求出过
11、A 点的正比例函数的解析式,并写出图中格点DEF 各顶点的坐标13 (2010?邢台一模)在图13 中,四边形ABCD 和 CGEF 都是正方形,M 是 AE 的中点(1)如图 1,点 G 在 BC 延长线上,求证:DM=MF ;精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 14 页(2)在图 1的基础上, 将正方形 CGEF 绕点 C 顺时针旋转到图2 位置,此时点 E 在 BC 延长线上 求证:DM=MF ;(3)在图 2 的基础上, 将正方形CGEF 绕点 C 在任一旋转一个角度到如图3 位置,此时 DM 和 MF 还相等吗?
12、(不必说明理由)14 (2010?朝阳区一模)请阅读下列材料:问题: 如图 1,在等边三角形ABC 内有一点P,且 PA=2,PB=,PC=1、求 BPC 度数的大小和等边三角形ABC的边长李明同学的思路是:将BPC 绕点 B 顺时针旋转60 ,画出旋转后的图形(如图2) ,连接 PP ,可得 PPC 是等边三角形,而 PPA 又是直角三角形(由勾股定理的逆定理可证),所以 AP B=150 ,而 BPC=APB=150 ,进而求出等边 ABC 的边长为,问题得到解决请你参考李明同学的思路,探究并解决下列问题:如图 3, 在正方形 ABCD 内有一点P, 且 PA=, BP=, PC=1 求B
13、PC 度数的大小和正方形ABCD 的边长15 (2009?随州)如图 ,已知 ABC 是等腰直角三角形,BAC=90 ,点 D 是 BC 的中点作正方形DEFG,使点 A,C 分别在 DG 和 DE 上,连接AE,BG(1)试猜想线段BG 和 AE 的数量关系,请直接写出你得到的结论;(2)将正方形DEFG 绕点 D 逆时针方向旋转一定角度后(旋转角度大于0 ,小于或等于360 ) ,如图 ,通过观察或测量等方法判断(1)中的结论是否仍然成立?如果成立,请予以证明;如果不成立,请说明理由;(3)若 BC=DE=2 ,在( 2)的旋转过程中,当AE 为最大值时,求AF 的值精选学习资料 - -
14、- - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 14 页16 (2014?洪山区二模)如图,每个小方格都是边长为1 个单位长度的小正方形(1)将ABC 向右平移3 个单位长度, 画出平移后的 A1B1C1,直接写出 C 点对应点C1的坐标为_(2)将 ABC 绕点 O 逆时针旋转90 ,画出旋转后的A2B2C2,直接写出A 点对点 A2的坐标为_(3)过 C1点画出一条直线将AC1A2的面积分成相等的两部分,请直接在图中画出这条直线精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 14 页旋转-几何探究
15、参考答案与试题解析1( 1)证明: ABC 绕点 A 按逆时针方向旋转100 , BAC= DAE=40 , BAD= CAE=100 ,又 AB=AC , AB=AC=AD=AE,在 ABD 与ACE 中 ABD ACE (SAS) ( 2)解: CAE=100 ,AC=AE , ACE=(180 CAE )=( 180 100 )=40 ;( 3)证明:BAD= CAE=100 AB=AC=AD=AE, ABD= ADB= ACE= AEC=40 BAE= BAD+ DAE=140 , BFE=360 DAE ABD AEC=140 , BAE= BFE,四边形ABFE 是平行四边形,AB
16、=AE ,平行四边形ABFE 是菱形2解: (1)如图 1, ME m 于 E,CFm 于 F, ME CF, M 为 BC 的中点, E 为 BF 中点, ME 是BFC 的中位线,EM=CF( 2)图 2 的结论为: ME=( BD+CF ) ,图 3 的结论为: ME=(CFBD) 图 2的结论证明如下:连接DM 并延长交 FC 的延长线于K 又 BDm,CFmBD CF DBM= KCM 在DBM 和KCM 中, DBM KCM (ASA ) , DB=CK ,DM=MK由题意知: EM=FK, ME=(CF+CK )=(CF+DB )图 3 的结论证明如下:连接DM 并延长交 FC
17、于 K 又 BDm,CFmBD CF MBD= KCM 在DBM 和KCM 中, DBM KCM (ASA ) DB=CK ,DM=MK ,由题意知:EM=FK, ME=(CFCK )=(CFDB) 3( 1)证明:四边形ABCD 是正方形, AB=AD=BC=CD, B=ADF=90 , CEF 是等腰直角三角形, C=90 , CE=CF, BCCE=CDCF,即 BE=DF , ABE ADF , AE=AF , AEF 是等腰三角形;( 2)解:相等,垂直;证明:在RtADF 中 DM 是斜边 AF 的中线, AF=2DM , MN 是AEF 的中位线, AE=2MN , AE=AF
18、, DM=MN ; DMF= DAF+ ADM ,AM=MD , FMN= FAE, DAF= BAE , ADM= DAF= BAE, DMN= BAD=90 , DM MN ;精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 14 页( 3) (2)中的两个结论还成立,证明:连接AE,交 MD 于点 G,点 M 为 AF 的中点,点N 为 EF 的中点, MN AE,MN=AE,由( 1)同理可证,AB=AD=BC=CD, B=ADF ,CE=CF,又 BC+CE=CD+CF ,即 BE=DF , ABE ADF , AE=AF ,在
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