2022年中考数学动点问题 .pdf

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1、x A O Q P B y 图（ 3）A B C O E F A B C O D 图（ 1）A B O E F C 图（ 2）决战中考题型方法归纳动态几何特点-问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。）动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。一、三角形边上动点s1、 s （2009 年齐齐哈尔市）直线364yx与坐标轴分别交于A

2、B、两点，动点PQ、同时从O点出发，同时到达A点，运动停止点Q沿线段OA运动，速度为每秒1个单位长度，点P沿路线OBA运动（1）直接写出AB、两点的坐标；（2）设点Q的运动时间为t秒，OPQ的面积为S，求出S与t之间的函数关系式；（3）当485S时，求出点P的坐标，并直接写出以点OPQ、 、为顶点的平行四边形的第四个顶点M的坐标解： 1、A（ 8，0）B（0，6）2、当 0t3 时， S=t当 3t8 时， S=38(8-t)t提示：第（ 2）问按点 P 到拐点 B 所有时间分段分类；第（ 3）问是分类讨论：已知三定点O、P、Q ，探究第四点构成平行四边形时按已知线段身份不同分类 - OP 为

3、边、 OQ 为边， OP 为边、 OQ 为对角线，OP 为对角线、 OQ 为边。然后画出各类的图形，根据图形性质求顶点坐标。2、 （2009 年衡阳市 ）如图， AB 是 O 的直径，弦BC=2cm ，ABC=60 o（1）求 O 的直径；（2）若 D 是 AB 延长线上一点，连结CD，当 BD 长为多少时，CD 与 O 相切；（3）若动点E 以 2cm/s 的速度从A 点出发沿着AB 方向运动，同时动点F 以 1cm/s 的速度从B 点出发沿BC 方向运动，设运动时间为)20)(tst，连结 EF，当t为何值时，BEF 为直角三角形精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总

4、结 - - - - - - -第 1 页，共 12 页x y M C D P Q O A B P Q A B C D 注意：第（ 3）问按直角位置分类讨论3、 （2009 重庆綦江） 如图，已知抛物线(1)23 3(0)ya xa经过点( 2)A，0，抛物线的顶点为D，过O作射线OMAD过顶点D平行于x轴的直线交射线OM于点C，B在x轴正半轴上， 连结BC（1）求该抛物线的解析式；（2）若动点P从点O出发，以每秒1 个长度单位的速度沿射线OM运动，设点P运动的时间为( )t s问当t为何值时，四边形DAOP分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？（3）若OCOB，动点P和动点Q分别从点O和点B同

5、时出发，分别以每秒1 个长度单位和2 个长度单位的速度沿OC和BO运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动 设它们的运动的时间为t( )s， 连接PQ， 当t为何值时， 四边形BCPQ的面积最小？并求出最小值及此时PQ的长注意：发现并充分运用特殊角DAB=60 当 OPQ 面积最大时，四边形BCPQ 的面积最小。二、特殊四边形边上动点4、 （2009 年吉林省） 如图所示，菱形ABCD的边长为6 厘米，60B从初始时刻开始，点P、Q同时从A点出发，点P以1 厘米 /秒的速度沿ACB的方向运动，点Q以2 厘米 /秒的速度沿ABCD的方向运动，当点Q运动到D点时，P、Q两点同时停止运动，

6、设P、Q运动的时间为x秒时，APQ与ABC重叠部分的面积为y平方厘米 （这里规定： 点和线段是面积为O的三角形），解答下列问题：（1）点P、Q从出发到相遇所用时间是秒；（2）点P、Q从开始运动到停止的过程中，当APQ是等边三角形时x的值是秒；（3）求y与x之间的函数关系式提示：第 (3)问按点Q 到拐点时间B、C 所有时间分段分类；提醒 - 高相等的两个三角形面积比等于底边的比。5、（ 2009 年哈尔滨） 如图 1，在平面直角坐标系中，点O 是坐标原点，四边形ABCO 是菱形，点A 的坐标为（3，4） ，点 C 在 x 轴的正半轴上，直线AC 交 y 轴于点 M，AB 边交 y 轴于点 H（

7、1）求直线AC 的解析式；（2）连接 BM，如图 2，动点 P 从点 A 出发，沿折线ABC 方向以 2 个单位秒的速度向终点C 匀速运动，设PMB 的面积为S（0S） ，点 P 的运动时间为t 秒，求 S 与 t 之间的函数关系式（要求写出自变量t的取值范围） ；（3）在（ 2）的条件下，当t 为何值时， MPB 与 BCO 互为余角，并求此时直线OP 与直线 AC 所夹锐角的正切值精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 12 页O M B H A C x y 图 （1）O M B H A C x y 图（ 2）注意：第（ 2

8、）问按点 P 到拐点 B 所用时间分段分类；第（ 3）问发现 MBC=90， BCO 与ABM 互余，画出点P 运动过程中， MPB= ABM 的两种情况，求出t 值。利用 OB AC,再求 OP 与 AC 夹角正切值 .6、(2009 年温州 )如图，在平面直角坐标系中，点A(3，0) ，B(33，2) ，C（0，2)动点D 以每秒1个单位的速度从点0 出发沿 OC向终点 C运动，同时动点E以每秒 2 个单位的速度从点A出发沿 AB向终点 B运动过点E作 EF上 AB ，交 BC于点F，连结 DA 、DF设运动时间为t 秒(1) 求 ABC的度数；(2) 当 t 为何值时， AB DF ；(

9、3) 设四边形AEFD的面积为S求 S关于 t 的函数关系式；若一抛物线y=x2+mx经过动点E，当 S23时，求 m的取值范围 ( 写出答案即可 ) 注意：发现特殊性，DE OA 7、 （07 黄冈）已知：如图，在平面直角坐标系中，四边形 ABCO是菱形，且AOC=60，点 B 的坐标是(0,83)，点 P从点 C 开始以每秒 1个单位长度的速度在线段CB 上向点 B 移动，同时，点Q从点 O 开始以每秒a（1a3）个单位长度的速度沿射线OA方向移动，设(08)tt秒后，直线PQ 交 OB 于点 D. （1）求 AOB 的度数及线段OA 的长；（2）求经过A，B，C 三点的抛物线的解析式；（

10、3）当43 ,33aOD时，求 t 的值及此时直线PQ 的解析式；（4）当a为何值时， 以 O，P，Q，D 为顶点的三角形与OAB相似？当a为何值时，以O，P，Q，D 为顶点的三角形与OAB不相似？请给出你的结论，并加以证明. 8、（08 黄冈）已知：如图，在直角梯形COAB中，OCAB， 以O为原点建立平面直角坐标系，ABC， ，三点的坐标分别为(8 0)(810)(0 4)ABC， ，点D为线段BC的中点，动点P从点O出发，以每秒1个单位的速度，沿折线OABD的路线移动，移动的时间为t秒B A C D P O Q x y 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 -

11、- - - - - -第 3 页，共 12 页y O x C N B P M A （1）求直线BC的解析式；（2）若动点P在线段OA上移动，当t为何值时，四边形OPDC的面积是梯形COAB面积的27？（3）动点P从点O出发，沿折线OABD的路线移动过程中，设OPD的面积为S，请直接写出S与t的函数关系式，并指出自变量t的取值范围；（4）当动点P在线段AB上移动时，能否在线段OA上找到一点Q，使四边形CQPD为矩形？请求出此时动点P的坐标；若不能，请说明理由9、 (09年黄冈市) 如图 , 在平面直角坐标系xoy中 , 抛物线21410189yxx与x轴的交点为点A,与 y 轴的交点为点B. 过

12、点B作x轴的平行线BC,交抛物线于点C,连结AC现有两动点P,Q分别从 O,C两点同时出发,点P以每秒 4 个单位的速度沿OA向终点A移动 ,点Q以每秒 1个单位的速度沿CB向点B移动 ,点P停止运动时 ,点Q也同时停止运动,线段OC,PQ相交于点D,过点D作DEOA,交CA于点E,射线QE交x轴于点F设动点P,Q移动的时间为t(单位 :秒 ) (1)求A,B,C三点的坐标和抛物线的顶点的坐标; (2) 当t为何值时 ,四边形PQCA为平行四边形 ?请写出计算过程; (3) 当 0t92时,PQF 的面积是否总为定值?若是 ,求出此定值 , 若不是 ,请说明理由 ; (4) 当t为何值时 ,P

13、QF为等腰三角形 ?请写出解答过程提示：第（ 3）问用相似比的代换，得 PF=OA （定值）。第（ 4）问按哪两边相等分类讨论PQ=PF,PQ=FQ, QF=PF. 三、直线上动点8、 （2009 年湖南长沙） 如图，二次函数2yaxbxc（0a）的图象与x轴交于AB、两点，与y轴相交于点C连结ACBCAC、， 、两点的坐标分别为( 30)A，、(03)C，且当4x和2x时二次函数的函数值y相等（1）求实数abc， ，的值；（2）若点MN、同时从B点出发， 均以每秒1 个单位长度的速度分别沿BABC、边运动， 其中一个点到达终点时， 另一点也随之停止运动当运动时间为t秒时，连结MN， 将B M

14、 N沿MN翻折，B点恰好落在AC边上的P处，求t的值及点P的坐标；（ 3）在（ 2）的条件下，二次函数图象的对称轴上是否存在点Q，使得以BNQ，为项点的三角形与ABC相似？如果存在，请求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由A B D C O P x y A B D C O x y （此题备用）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 12 页提示：第（ 2）问发现特殊角 CAB=30 , CBA=60 特殊图形四边形BNPM 为菱形；第(3)问注意到ABC 为直角三角形后，按直角位置对应分类；先画出 与 ABC 相似的BNQ ，再

15、判断是否在对称轴上。9、 （2009 眉山） 如图，已知直线112yx与y轴交于点A，与x轴交于点 D，抛物线212yxbxc与直线交于A、E两点，与x轴交于 B、C两点，且 B点坐标为 (1 ，0) 。求该抛物线的解析式；动点 P在 x 轴上移动，当PAE是直角三角形时，求点P的坐标 P。在抛物线的对称轴上找一点M ，使|AMMC的值最大，求出点M的坐标。提示：第（ 2）问按直角位置分类讨论后画出图形 - P 为直角顶点AE 为斜边时，以AE 为直径画圆与x 轴交点即为所求点P，A 为直角顶点时，过点A 作 AE 垂线交 x 轴于点 P，E为直角顶点时，作法同；第（ 3）问，三角形两边之差小

16、于第三边，那么等于第三边时差值最大。10、（ 2009 年兰州） 如图，正方形ABCD中，点A、B的坐标分别为（0，10） ， （8， 4） ， 点C在第一象限动点P在正方形ABCD的边上， 从点A出发沿ABCD匀速运动，同时动点Q以相同速度在x轴正半轴上运动，当P点到达D点时，两点同时停止运动，设运动的时间为t秒(1) 当P点在边AB上运动时，点Q的横坐标x（长度单位）关于运动时间t（秒）的函数图象如图所示，请写出点Q开始运动时的坐标及点P运动速度；(2) 求正方形边长及顶点C的坐标；(3) 在（ 1）中当t为何值时，OPQ的面积最大，并求此时P点的坐标；(4) 如果点P、Q保持原速度不变，

17、 当点P沿ABCD匀速运动时，OP与PQ能否相等，若能，写出所有符合条件的t的值；若不能，请说明理由注意： 第（4）问按点 P 分别在 AB、BC、CD 边上分类讨论； 求 t 值时， 灵活运用等腰三角形“三线合一” 。11、 （2009 年北京市） 如图，在平面直角坐标系xOy中， ABC三个顶点的坐标分别为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 12 页A D P C B Q 图 1 D A P C B （Q）图 2 图 3 C A D P B Q 6,0A，6,0B，0,4 3C，延长 AC 到点 D,使 CD=12AC,

18、过点 D 作 DEAB 交 BC 的延长线于点 E. （1）求 D 点的坐标；（2）作 C 点关于直线DE 的对称点F,分别连结DF、EF，若过 B 点的直线ykxb将四边形CDFE 分成周长相等的两个四边形，确定此直线的解析式；（3）设 G 为 y 轴上一点，点P 从直线ykxb与 y 轴的交点出发，先沿y 轴到达 G 点，再沿GA 到达A 点，若 P 点在 y 轴上运动的速度是它在直线GA 上运动速度的2 倍，试确定G 点的位置， 使 P 点按照上述要求到达A 点所用的时间最短。 （要求：简述确定G 点位置的方法，但不要求证明）提示：第（）问，平分周长时，直线过菱形的中心；第（）问，转化为

19、点到的距离加到（）中直线的距离和最小；发现（）中直线与轴夹角为. 见“最短路线问题”专题。12、(2009 年上海市 ) 已知 ABC=90 ， AB=2 ，BC=3 ， AD BC ，P为线段 BD上的动点，点Q在射线 AB上，且满足ABADPCPQ（如图 1 所示） （1）当 AD=2 ，且点Q与点B重合时（如图2 所示），求线段PC的长；（2）在图 8 中，联结AP当32AD，且点Q在线段AB上时，设点B Q、之间的距离为x，APQPBCSyS，其中APQS表示 APQ的面积，PBCS表示PBC的面积，求y关于x的函数解析式，并写出函数定义域；精选学习资料 - - - - - - - -

20、 - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 12 页（3）当ADAB，且点Q在线段AB的延长线上时（如图3 所示），求QPC的大小注意：第（ 2）问，求动态问题中的变量取值范围时，先动手操作 找到运动始、末两个位置变量的取值，然后再根据运动的特点确定满足条件的变量的取值范围。当 PCBD 时，点 Q、B 重合，x 获得最小值；当 P 与 D 重合时， x 获得最大值。第（ 3）问，灵活运用SSA 判定两三角形相似，即两个锐角三角形或两个钝角三角形可用SSA 来判定两个三角形相似；或者用同一法；或者证BQPBCP，得 B、Q、C、P 四点共圆也可求解。13、（08 宜昌）如图，

21、在 RtABC 中，AB AC ，P是边 AB （含端点）上的动点过P作 BC的垂线 PR ，R为垂足， PRB 的平分线与 AB相交于点S，在线段 RS上存在一点 T，若以线段 PT为一边作正方形 PTEF ，其顶点 E，F恰好分别在边 BC ，AC上（1）ABC与SBR 是否相似，说明理由；（2）请你探索线段 TS与 PA的长度之间的关系；（3）设边 AB 1，当 P在边 AB （含端点）上运动时，请你探索正方形PTEF 的面积 y 的最小值和最大值提示：第（ 3）问，关键是找到并画出满足条件时最大、最小图形；当p 运动到使T 与 R 重合时， PA=TS为最大；当P 与 A 重合时， P

22、A 最小。此问与上题中求取值范围类似。14、(2009 年河北 )如图，在RtABC 中， C=90 ，AC = 3，AB = 5点 P 从点 C 出发沿 CA 以每秒 1 个单位长的速度向点A 匀速运动，到达点A 后立刻以原来的速度沿AC 返回；点 Q 从点 A 出发沿 AB 以每秒1 个单位长的速度向点B 匀速运动伴随着P、Q 的运动， DE 保持垂直平分PQ，且交 PQ 于点 D，交折线 QB-BC-CP 于点 E点 P、Q 同时出发，当点Q 到达点 B时停止运动，点P 也随之停止设点P、Q 运动的时间是t 秒（ t0） (第 13 题) TPSREABCF(第 13 题) TPSREA

23、BCF精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 12 页A C B P Q E D （1）当 t = 2 时， AP = ，点 Q 到 AC 的距离是；（2）在点 P 从 C 向 A 运动的过程中，求APQ 的面积 S与 t 的函数关系式； （不必写出t 的取值范围）（3）在点 E 从 B 向 C 运动的过程中，四边形QBED 能否成为直角梯形？若能，求t 的值若不能，请说明理由；（4）当 DE 经过点 C 时，请直接写出 t 的值提示：（）按哪两边平行分类，按要求画出图形，再结合图形性质求出t 值；有二种成立的情形，；（）按点P

24、运动方向分类，按要求画出图形再结合图形性质求出t 值；有二种情形，t 时，时15、 （2009 年包头） 已知二次函数2yaxbxc（0a）的图象经过点(10)A ，(2 0)B，(02)C，直线xm（2m）与x轴交于点D（1）求二次函数的解析式；（ 2）在直线xm（2m）上有一点E（点E在第四象限） ，使得EDB、为顶点的三角形与以AOC、为顶点的三角形相似，求E点坐标（用含m的代数式表示） ；（ 3）在（ 2）成立的条件下，抛物线上是否存在一点F，使得四边形ABEF为平行四边形？若存在，请求出m的值及四边形ABEF的面积；若不存在，请说明理由提示：第（ 2）问，按对应锐角不同分类讨论，有两

25、种情形；第（ 3）问，四边形ABEF 为平行四边形时，E、F 两点纵坐标相等，且AB=EF ，对第（ 2）问中两种情形分别讨论。四、抛物线上动点16、 （2009 年湖北十堰市） 如图，已知抛物线32bxaxy（a0）与x轴交于点A(1，0)和点 B ( 3，0)，与 y 轴交于点C(1) 求抛物线的解析式；(2) 设抛物线的对称轴与x轴交于点M ，问在对称轴上是否存在点P，使 CMP 为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由(3) 如图，若点E 为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE 面积的最大值，并求此精选学习资料 - - - -

26、 - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 12 页O y x B E A D C F 时 E 点的坐标注意：第（ 2）问按等腰三角形顶点位置分类讨论画图 再由图形性质求点P 坐标 - C 为顶点时，以C为圆心 CM 为半径画弧，与对称轴交点即为所求点P， M 为顶点时，以M 为圆心 MC 为半径画弧，与对称轴交点即为所求点P， P 为顶点时，线段MC 的垂直平分线与对称轴交点即为所求点P。第（ 3）问方法一，先写出面积函数关系式，再求最大值（涉及二次函数最值）； 方法二，先求与BC 平行且与抛物线相切点的坐标（涉及简单二元二次方程组），再求面积。17、 （

27、2009 年黄石市） 正方形ABCD在如图所示的平面直角坐标系中，A在x轴正半轴上，D在y轴的负半轴上，AB交y轴正半轴于EBC，交x轴负半轴于F，1OE，抛物线24yaxbx过ADF、三点（1）求抛物线的解析式；（2）Q是抛物线上DF、间的一点，过Q点作平行于x轴的直线交边AD于M，交BC所在直线于N，若32FQNAFQMSS四边形，则判断四边形AFQM的形状；（3）在射线DB上是否存在动点P，在射线CB上是否存在动点H，使得APPH且APPH，若存在，请给予严格证明，若不存在，请说明理由精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共

28、 12 页注意：第（ 2）问，发现并利用好NM FA 且 NM FA; 第（ 3）问，将此问题分离出来 单独解答，不受其它图形的干扰。需分类讨论，先画出 合适的图形，再证明。数学难题。某市今年第一季度的茶叶比去年同期价格的10 倍，由于天气因素，第一季度的产量是198.6 克，比去年同期减少了87.4 克，但销售收入比去年同期增加了8500 元。求，茶农今年第一季度的茶青销售额是多少元？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 12 页近 三 年 中 考 数 学“ 坐 标 几 何 题 ”（ 动 点 问 题 ） 分 析三年共同点：

29、0 70 80 9动点个数两个一个两个问题背景特殊菱形两边上移动特殊直角梯形三边上移动抛物线中特殊直角梯形底边上移动考查难点探究相似三角形探究三角形面积函数关系式探究等腰三角形考点菱形性质特殊角三角函数求直线、抛物线解析式相似三角形不等式求直线解析式四边形面积的表示动三角形面积函数矩形性质求抛物线顶点坐标探究平行四边形探究动三角形面积是定值探究等腰三角形存在性特点菱形是含6 0 的特殊菱形；A O B是底角为3 0 的等腰三角形。一个动点速度是参数字母。探究相似三角形时，按对应角不同分类讨论；先画图，再探究。通过相似三角形过度，转化相似比得出方程。利用a 、t范围，运用不等式求出a 、t的值。

30、观察图形构造特征适当割补表示面积动点按到拐点时间分段分类画出矩形必备条件的图形探究其存在性直角梯形是特殊的（一底角是4 5 ）点动带动线动线动中的特殊性（两个交点D 、E是定点；动线段P F长度是定值，P F = O A）通过相似三角形过度，转化相似比得出方程。探究等腰三角形时，先画图， 再探究 （按边相等分类讨论）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 12 页探究存在性问题时，先画出图形，再根据图形性质探究答案。特殊四边形为背景；点动带线动得出动三角形；探究动三角形问题（相似、等腰三角形、面积函数关系式）；求直线、抛物线解析式；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 12 页