2022年九年级数学创造性学习潜能开发第一讲一元二次方程 .pdf
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1、优秀学习资料欢迎下载九年级(上)数学创造性学习潜能开发班第一讲:一元二次方程(一)【思维体验】一、一元二次方程的概念【例 1】 (1) (D)(2)由题意:22a,44aa,当 a=4 时, a-4=0(舍去),当 a=-4 时,方程04282xx符合题意,4a二、一元二次方程的解【例 2】已知 m、n 是二次方程x2+2009x+7=0 的两个根;求 (m2+2008m+6)(n2+2010n+8)的值【解答】m 是 x2+2009x+7=0 的根,0720092mm1620082mmm,同理:1820102nnn原式 =(-m-1)(n+1)= - (mn+m+n+1)由根与系数的关系得:
2、mn=7,m+n= -2009, 所求代数式 = -(7-2009+1)=200 1 【例 3】 已知方程x2-mx+m+5=0 有两实根,;方程x2-(8m+1)x+15m+7=0 有两实根,求2的值(北京市竞赛题)【解答】方程 x2-mx+m+5=0 和方程 x2-(8m+1)x+15m+7=0都有根052mm10715)18(2mm21-2(-m+8m+1) -14m-2=0 (7m+1)( -2)=0 m=71或 =-2 当 m=71时,两方程相同,不合题意舍去。 =2 代入1,4-2m+m+5=0 m=9 此时,两方程01492xx,0142732xx由根与系数关系:=14, =14
3、2,2 = =14142=1988 三、一元二次方程根的判别式及应用【例 4】 【解答】 (可以直接想,也可以从反面入手)假设三个方程都没有实根则 1-4m0 且 4-4(m-1)0 且 4+4(m-2)2 且 m, 1732494)(2217令232A,232B4403)(3)(22BA41785)(3)(2)(BA4178544032A8178584032A精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 30 页优秀学习资料欢迎下载【例 8】【一试身手】【基础训练】1 a 为何值时,关于x 的方程 x2-ax(3x-a)=x+1 是
4、关于 x 的一元二次方程【解答】 易求:31a2 已知 a 是方程 x2-2008x+1=0 的一个根,求a2-2007a+120082a的值【解答】a 是方程 x2-2008x+1=0 的根 , a2-2008a+1=0 a2+1=2008a a2-2007a=a-1 原式 =2007120081111200820081a2aaaaaaa(其中一种变形,可让学生探多种变形方式)3正比例函数y=(a+1)x 的图象经过第二、四象限, 若 a 同时满足方程x2+(1-2a)x+a2=0,则此方程根的情况是()(A) 有两个不相等的实数根(B) 有两个相等的实数根(C)没有实数根( D)不能确定(
5、20XX 年中考试题)【解答】:易选( A)4设 x1 ,x2 是方程 x2-2x-11=0 的两个根,求x14+x24的值【解答】:由根与系数关系:221xx,1121xx262242212212221xxxxxx49424273611226222222242412121xxxxxx【提高训练】1已知 x=3-1,求1242322xxxx的值(希望杯邀请赛试题)【解答】:13x31x3122xx222xx1124312223124232222xxxxxxxx2已知 a ,b ,c 满足 a+b+c=0,abc=8, 且 c0,求证: c234【解答】:abc=8 a,b,c 不等于 0 c0
6、,a+b+c=0,abc=8 a,b 同号并同时为负数精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 30 页优秀学习资料欢迎下载a+b=-c ab=c8则 a,b为方程082cczz两根,a,b 为实数,0322ccc0 323c334232c3设 a, b, c 为互不相等的非零实数,求证:三个方程ax2+2bx+c=0, bx2+2cx+a=0, cx2+2ax+b=0, 不可能都有两个相等的实数根(山东省竞赛题)【 解 答 】 : 假 设 同 时 都 有 两 个 相 等 的 实 根 ,0442acb且0442abc且0442bc
7、a三个式子相加得:0222bcabaccba0222cbcabaa=b=c 这与 a,b,c 互不相等矛盾,三个方程不可能都有两个相等的实数根。4如果方程(x-1)(x2-2x+m)=0 的三根可以作为一个三角形的三边之长,那么,实数m 的取值范围是() (全国初中数学竞赛试题)( A) 0m1 (B) m 43(C) 43m1 (D) 43 m 1 【解答】:0212mxxx11x或022mxx由题意三根课作为一个三角形三边长,不妨设另两边为2x,3x有根044m2x+3x=2 2x3x=m0 1232xx3xm 满足条件1440044mmm即143m选( C)5设实数 s、t 分别满足19
8、s2+99s+1=0, t2+99t+19=0 并且 st1,求tsst14的值友情提示;若先求出s、t 再代入求值,计算太繁。仔细观察两个方程的系数特点,恰当变形,使两个方程具有相同的结构,这是解本例的关键。【解答】:t2+99t+19=0 t=0 时,左边 =19右边,t0 两 边 同 时 除 以2t,011991192tt19s2+99s+1=0 s, t1是 方 程19x2+99x+1=0de 两 根 且st1 , 即st1s+t1=1999st1=1915194199914114tststsst【成就测试】1D; 2 C32或314若关于x 的方程 x2-2kx-1=0 有两个不相等
9、的实数根,则k 的取值范围是。【解答】:0440kk0k精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 30 页优秀学习资料欢迎下载5 已知方程1: x2 px+2q=0 和方程 2: x2 qx+2p=0 有公共根,且pq;p、q 是方程 3:4x2+mx+n=0 的两个实数根( 1)求方程1 和方程 2 的公共根;( 2)如果 m、n 都是正整数,求所有满足题意的正整数对(m,n)【略解】(1)方程 1 和方程 2 相减,得 (pq)(x+2)=0, pq, x=2; 20 分(2)将 x=2 代入方程1,得 p+q=2,又 p、q
10、 是方程 3 的两相异实数根,所以p+q=m/4, 所以 m=8 30 分又方程 3 有两个相异实数根,所以m2 16n0,解得 n1,b1 且 ab. 公共根是a=12bb或 b=12aa. 两个等式去分母后的结果是一样的. 即 aba=b+2, ab ab+1=3, (a1)(b1)=3. a,b 都是正整数,3111ba;或1131ba. 解得42ba;或24ba. 又解:设公共根为x0那么(0)2()2()10)2()2() 1(22202220bbxbxbaaxaxa先消去二次项:( b1)( a1)得( a2+2) (b1)+(b2+2)(a1)x0+(a2+2a)(b1) (b2
11、+2b)(a1)=0. 整理得(ab)(ab ab2)(x01)=0. abx01;或(ab ab2)0. 当 x0 1 时,由方程得a=1,a1=0,方程不是二次方程.x0不是公共根 . 当(abab2)0 时,得(a1)(b1)=3解法同上 . 5若直角三角形的两条直角边都是整数,且是方程mx2-2x-m+1=0 的根( m 为整数),这样的三角形是否存在?若存在,求出满足条件的所有三角形的三边长;若不存在。请说明精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 30 页优秀学习资料欢迎下载理由。 (湖北省黄冈市竞赛题)解:不存在不
12、是连续自然数的积但是连续自然数的积是整数则是完全平方数如果时且当不合题意舍去方程当舍去此时方程,当111111110m1m)(2101x20)(0,20241m114444144022122kkmmmkkmmkmmxmxxxxmmmmmmm【成就测试】1 解方程x2-3x+2=0 解:1, 2023x0 x1,2023x0 x212212xxxxxx当当2.解:4a4422其中一方程有两等根根有三个互不相同的实数或axxaxx3证明(用反证法)设两个方程都没有两个不相等的实数根,那么10 和20. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1
13、1 页,共 30 页优秀学习资料欢迎下载即1040412cbacab由得 b 41,b+1 45代入,得ac=b+145,4c4a5 : a2 4a+50,即( a2)2+10,这是不能成立的. 既然10 和20 不能成立的,那么必有一个是大于0. 方程 x2+x+b=0 与 x2+ax+c=0 中,至少有一个方程有两个不相等的实数根. 本题也可用直接证法:当120 时,则1和2中至少有一个是正数. 4.已知实数a、b 满足 a2+ab+b2=1,且 t=ab-a2-b2,求 t 的取值范围(全国数学联赛)解:+ t+1=2ab 31331302331310211121ab22ttttabba
14、tabbat解得第三讲:证题方法及应用(一)问题解答【思维体验】例 1 略例 2BDDE于 D,CEDE于 E, BDA=AEC=90, DAB+ ABD=90 ,在 RtBDA 和 RtAEC 中, BDA=AEC=90, AB=AC,AD=CE,Rt BDARtAEC, DBA= CAE, DAB+CAE=DAB+DBA =90, BAC=90,ABAC例 2EDABC解答一图EDABC精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 30 页优秀学习资料欢迎下载【解答一】在DC 上截取 DE=DB,连接 AEADBC,DC=AB+
15、BD,DE =DBEC=AB, ADB=ADE=90 则 AD=AD, ADB=ADE=90 , DB=DEADB ADE AB=AE, ABD =AED 又 AB=ECAE=EC CAE=C, AED=CAE+C=2C又 BAC=120 C=20 【解答二】延长DB 到 E,使得 BE=AB,连接 AE,则 E=EAB, ABD =2EADBC,DC=AB+BD,BE=ABED=DB+EB=DB+AB=DC, ADC=ADE=90 则 AD=AD, ADE=ADC=90 ,DE=DCADE ADC AE=AC, E=C ABD=2E ABD=2C在ABC 中, BAC=120 ,ABD=2C
16、则 C=20 【举一反三】 1 【证明一】(根据 BD 平分 ABC 应用角平分线性质构造全等)如图:过点D 作 DEAB 于点 EDF BC 于点 F,在 BC 上截取 BG=BD,连结 DGAB=AC, BAC=100 ,BD 平分 ABC 交 AC 于点 D,BG=BD ABC=ACB=40 ABD=CBD=20 , BDG=BGD=80 DAE=80 BGD=DAEBD 平分 ABC 交 AC 于点 D过点 D 作 DEAB 于点 E,DF BC 于点 FDE=DF, AED=GFD=90 在AED 和GFD 中, BGD=DAE, AED=GFD =90 ,DE =DF AED GF
17、D AD=GD在CGD 中, ACB=40 , BGD=80 则 GDC=40 =ACB,则 DG=GC又 AD=GDAD= GC又 BD=BGBC=BG+CG=BD+AD【证明二】(通过对折变换以及截长补短构造全等)EFDABC证明二图证明一图G FEDCBA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 30 页优秀学习资料欢迎下载在 BC 上截取 BF=BD,连结 DF在 BC 上截取 BE=AB,连结 DEAB=AC, BAC=100 BD 平分 ABC 交 AC 于点 D,BD=BF ABC=ACB=40 , ABD= CB
18、D=20 BDF =BFD=80 , FDC=BFD ACB=80 40 =40 =ACBFD=FC在BAD 和EAD 中,AB=EB, ABD =CBD =20 ,BD=BD BAD EAD BED=BAC=100 ,DA=DE DEF =80 又 BFD=80 DEF =BFD DE=DF又 DA=DE,FD=FCBC=BF+FC=BD+CF=BD+DF =BD+DE=BD+AD【证明三】(“ 截长补短 ” 构造全等)延长 BD 到 F,使得 BF=BC,连结 CF在 BC 上截取 BE=BA,连结 DE,AB=AC, BAC=100 BD 平分 ABC 交 AC 于点 D,BD=BF A
19、BC=ACB=40 , ABD= CBD=20 ADB=60 在BAD 和EAD 中,AB=EB, ABD =CBD =20BD=BD BAD BED AD=ED, ADB=ADE=60 CDE=CDF =60 CBD=20 , BF=BC BFC=BCF=80 又 ACB=40 DCF=40 =ACB在FCD 和 ECD 中, CDE=CDF ,CD=CD, ACB=DCF FCD ECD DF=DE又 AD=EDAD=DFBC=BF=BD+DF =BD+DE=BD+AD【证明四】(通过构造含有30 角的直角三角形)延长 BD 到 F,使得 DF =DA连接 AF,过点 B 作 BNAF 于
20、点 N,作 AMBC 于点 M,证明三图FEDCBA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页,共 30 页优秀学习资料欢迎下载AB=AC, BAC=100 ,BD 平分 ABC 交 AC 于点 D, ABC=ACB=40 , ABD= CBD=20 ADB=60 DF=DA DAF =DFA=30 又 BNAFBN=21BFAB=AC, BAC=100 AMBC 于点 M,BNAF BAM=CAM=50 BMA=90 =BNA, MB=MC又 DAF=30 , BAC=100 BAN=50 =BAM在BNA 和BMA 中, BNA=
21、BMA, BAN=BAM,AB=AB BNA BMA BN=BMMB=MC,BN=21BFBD+AD=BD+DF =BF=2BN=2BM=BM+MC=BC【证明五】(通过作平行线构造等腰三角形)过点 D 作 DEBC 交 AB 于点 E,在 BC 上截取 BF=BD,连结 DFAB=AC, BAC=100 ,BD 平分 ABC 交 AC 于点 D ABC=ACB=40 , ABD= CBD=20 , BDF =BFD =80 FDC=BFD ACB=80 40 =40 =ACBDF=FCDEBC CBD=EBD=20 , AED=ABC=ACB=ADE=40 ED=BE,AD=AE又 AB=A
22、CEB=DC=ED在AED 和DFC 中, AED=FDC ,ED=DC, ADE =FCD , AED DFC DE=DC, AD=CF又 BD=BFBC=BF+FC=BD+CF=BD+AD如果作为竞赛训练题还有其它解法(下面只提供一种)【证明六】(构造等边三角形)以 BC 为边作正 EBC,连结 EAAB=AC, BAC=100 ,BD 平分 ABC 交 AC 于点 D,正 EBC ABC=ACB=40 , DBA= DBC=20 , EBA=20 , ADB=60 ,BEC=60 证明四图MNFDCBA证明五图FEDCBA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 -
23、 - - - - - -第 15 页,共 30 页优秀学习资料欢迎下载以 B 为圆心,以BD 为半径画弧交AE 于点 F,则 BD=BF,连结 AFBF=BD, EBA=DBA ,BA=BA FBA DBAAF=AD, ADB= AFB=60 AB=AC,EA=ECE、A 都在 BC 的垂直平分线上AEBC,AE 平分 BC又 AB=AC, BEC=60 EA 平分 BEC, AEF=30 又 AFB=60 EAF=AFBAEF=30 =AEFAF=EF又 AF=AD, BC=BE,BD=BFBC=BE=BF+EF=BD+AF=BD+AD【举一反三】 2 【证明一】在AB 上截取 AE=AC,
24、连接 DEAE=AC,AB=AC+CDEB=CDAD 平分 BAC BAD=CADAE=AC, BAD=CAD,AD=AD ADE ADC DE=DC, AED=C又 CD=EBDE=EB B=EDB , C=AED=B+EDB=2B B:C=1:2【证明二】延长AC 到 E 使得 AE=AB,连接 DEAE=AB,AB=AC+CDCE=CD E=CDE ,ACB=CDE+E=2EAD 平分 BAC BAD=CADAE=AB, CAD =BAD,AD=AD ADE ADB E=B又 ACB=2 E ACB=2B B:ACB=1:2例 3【证明一】延长FM 到点 G,使得 MG=FM,连接 BG
25、MB=MC, AMG=CMF ,MG=MF BMG CMFCF=BG, G=CFM ADME CFM=DAC, CFM=EEDABC证明一图证明二图EDABC证明六图FEDCBAGEFMDBAC证明一图精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页,共 30 页优秀学习资料欢迎下载 DAC=BAD CFM=BAD=E=GBE=BG,而 BG=CF,则 BE=CFBE=AB+AE,AE=AF2BE=AB+AF+CF 即: CF=BE=)(21ACAB【证明二】利用中点构造中位线证明过点 B 作 BGEM 交 CA 的延长线于点GBGEM,M
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