2022年二次项定理典型例题教师版 .pdf
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1、学习必备欢迎下载典型例题例 1在二项式nxx421的展开式中,前三项的系数成等差数列,求展开式中所有有理项分析: 本题是典型的特定项问题,涉及到前三项的系数及有理项,可以通过抓通项公式解决解: 二项式的展开式的通项公式为:4324121C21)(CrnrrnrrnrnrxxxT前三项的.2, 1 ,0r得系数为:)1(8141C,2121C, 123121nntnttnn,由已知:)1(8112312nnnttt,8n通项公式为1431681,82 ,1 , 021CrrrrrTrxT为有理项,故r316是 4 的倍数,.8 ,4,0r依次得到有理项为228889448541256121C,8
2、3521C,xxTxxTxT说明: 本题通过抓特定项满足的条件,利用通项公式求出了r 的取值,得到了有理项类似地,1003)32(的展开式中有多少项是有理项?可以通过抓通项中r 的取值,得到共有17 项例 2求10321xx的展开式中,系数绝对值最大的项以及系数最大的项分析: 本题仍然属于抓通项公式解决特定项的问题,但是系数的绝对值的最大值或系数的最大值,需要对所有项的系数的变化规律进行研究由于系数的绝对值都是正数,我们可以用作商来研究系数绝对值的变化情况,另外各项系数正负交替,又便于用系数绝对值的大小变化抓系数的最大值解: 展开式的通项公式为:65301012)1(CrrrrrxT系数的绝对
3、值为rr2C10,记为1rt用前后两项系数的绝对值作商得:.)1(210!102)!10(!)!9()!1(!10C2C2C2C1011010)1(11012rrrrrrttrrrrrrrr令1)1(210rr得:38r即0r、1、2 时,上述不等式成立所以,系数的绝对值从第1 项到第 4 项增加,以后逐项减小系数绝对值最大的项为第4 项,2525334104152)1(CxxT从系数绝对值的变化情况及系数的正负交替,只要比较第3 项与第 5 项的系数,.8105162102C,4452C4410522103tt所以,系数最大的项为第5 项,3558105xt例 3已知7722107)21(x
4、axaxaax,求:(1)7321aaaa;(2)7531aaaa; ( 3)6420aaaa分析: 本题是有关展开式系数和的问题,通过对等式中字母的赋值,往往会得到此类问题的结果字母经常取的值有 0、 1、 1 等解: (1)取0 x可得10a,取1x得1)1(7710aaa精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 10 页学习必备欢迎下载27321aaaa. (2)取1x得77632103aaaaaa,记75316420,aaaaBaaaaA73, 1BABA可得1094)31(21,1093)13(2177BA从而10947
5、531aaaa(3)从( 2)的计算已知10936420aaaa说明: 赋值法不仅可以用来求二项展开式的系数和,对于展开式为多项式的代数式的系数和大多数也能用此方法解决,如:65)21()1(xx的展开式中各项的系数和为多少?可以看到65)21()1(xx的展开式仍是多项式,令1x, 即 得 各 项 系 数 和 为32) 1(265 再 比 如 :nnnxaxaxaaxx2222102)1(, 则naaaa2420等于多少?本题可以由取1x得到各项系数和,取1x得到奇数项系数和减去偶数项系数和,两式相加可得)13(21220nnaaa此外,为了赋值的需要,有时需要用一个新的二项式替换原来二项式
6、,只要它们的系数等同即可如:nxx)log2(2的展开式中各项的系数和是多少?我们可以用一个更简单的二项式nx)21(代替原来的二项式,它们的系数并不改变,令1x便得各项系数和为n3例 4(1)求103)1()1 (xx展开式中5x的系数;(2)求6)21(xx展开式中的常数项分析: 本题的两小题都不是二项式展开,但可以转化为二项式展开的问题,( 1)可以视为两个二项展开式相乘;(2)可以经过代数式变形转化为二项式解: (1)103)1 ()1(xx展开式中的5x可以看成下列几种方式得到,然后合并同类项:用3)1 (x展开式中的常数项乘以10)1(x展开式中的5x项,可以得到5510Cx;用3
7、)1 (x展开式中的一次项乘以10)1(x展开式中的4x项可得到54104410C3)C)(3(xxx;用3)1 (x中的2x乘以10)1(x展开式中的3x可得到531033102C3C3xxx;用3)1 (x中的3x项乘以10)1 (x展开式中的2x项可得到521022103CC3xxx,合并同类项得5x项为:5521031041051063)CC3CC(xx(2)2121xxxx1251)21(xxxx由121xx展开式的通项公式rrrrrrxxT61212121C1)2(C,可得展开式的常数项为924C612说明: 问题( 2)中将非二项式通过因式分解转化为二项式解决这时我们还可以通过合
8、并项转化为二项式展开的问题来解决例 5求62)1 (xx展开式中5x的系数分析:62)1(xx不是二项式,我们可以通过22)1 (1xxxx或)(12xx把它看成二项式展开解: 方法一:6262)1()1(xxxx44256)1 (15)1(6)1 (xxxxx其中含5x的项为55145355566C15C6Cxxxx含5x项的系数为6精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 10 页学习必备欢迎下载方法二:6262)(1)1(xxxx62524232222)()(6)(15)(20)(15)(61xxxxxxxxxxxx其中含5
9、x的项为555566)4(15)3(20 xxxx5x项的系数为6方法 3:本题还可通过把62)1 (xx看成 6 个21xx相乘,每个因式各取一项相乘可得到乘积的一项,5x项可由下列几种可能得到5 个因式中取x,一个取1 得到556C x3 个因式中取x,一个取2x,两个取1 得到)(CC231336xx1 个因式中取x,两个取2x,三个取1 得到222516)(CCxx合并同类项为5525161336566)CCCC(Cxx,5x项的系数为6例 6求证: (1)1212CC2Cnnnnnnn; (2))12(11C11C31C21C1210nnnnnnnn分析: 二项式系数的性质实际上是组
10、合数的性质,我们可以用二项式系数的性质来证明一些组合数的等式或者求一些组合数式子的值解决这两个小题的关键是通过组合数公式将等式左边各项变化的等数固定下来,从而使用二项式系数性质nnnnnn2CCCC210解: (1)11C)!()!1()!1()!()!1(!)!( !Cknknnknknnknknknknkk左边111101CCCnnnnnnn11111012)CCC(nnnnnnn右边(2))!()!1(!)!( !11C11knknknknkkkn11C11)!()!1()!1(11knnknknn左边112111C11C11C11nnnnnnn)12(11)CC(C111112111n
11、nnnnnn右边说明: 本题的两个小题都是通过变换转化成二项式系数之和,再用二项式系数的性质求解此外,有些组合数的式子可以直接作为某个二项式的展开式,但这需要逆用二项式定理才能完成,所以需仔细观察,我们可以看下面的例子:求10C2C2C2C22108107910810109的结果仔细观察可以发现该组合数的式与10)21(的展开式接近,但要注意:10101099102210110010102C2C2C2CC)21 (10101091092102C2C2C21021)C2C2C210(21101099108210从而可以得到:)13(21C2C2C21010101099108210例 7利用二项式
12、定理证明:98322nn是 64 的倍数分析: 64 是 8 的平方,问题相当于证明98322nn是28的倍数,为了使问题向二项式定理贴近,变形1122)18(93nnn,将其展开后各项含有k8,与28的倍数联系起来解: 98322nn98) 18(98911nnnn9818C8C8C81211111nnnnnnnn精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 10 页学习必备欢迎下载981)1(88C8C8211111nnnnnnn2111118C8C8nnnnn64)C8C8(112111nnnnn是 64 的倍数说明: 利用本题
13、的方法和技巧不仅可以用来证明整除问题,而且可以用此方程求一些复杂的指数式除以一个数的余数例 8展开52232xx分析 1:用二项式定理展开式解法 1:52232xx2232524150250523)2(23)2(23)2(xxCxxCxxC52554245322352323)2(23)2(xCxxCxxC10742532243840513518012032xxxxxx分析 2:对较繁杂的式子,先化简再用二项式定理展开解法 2:10535232)34(232xxxx233254315530510)3()4()3()4()4(321xCxCxCx)3()3()4()3()4(55541345323
14、35CxCxC)243716204320576038401024(321369121510 xxxxxx10742532243840513518012032xxxxxx说明: 记准、记熟二项式nba)(的展开式,是解答好与二项式定理有关问题的前提条件对较复杂的二项式,有时先化简再展开会更简便例 9若将10)(zyx展开为多项式,经过合并同类项后它的项数为() A 11B33C 55D66 分析:10)(zyx看作二项式10)(zyx展开解: 我们把zyx看成zyx)(,按二项式展开,共有11“项” ,即10010101010)()()(kkkkzyxCzyxzyx这时,由于“和”中各项z的指数
15、各不相同,因此再将各个二项式kyx10)(展开,不同的乘积kkkzyxC1010)((10,1,0k)展开后,都不会出现同类项下面,再分别考虑每一个乘积kkkzyxC1010)((10,1,0k) 其中每一个乘积展开后的项数由kyx10)(决定,而且各项中x和y的指数都不相同,也不会出现同类项故原式展开后的总项数为66191011,应选D精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 10 页学习必备欢迎下载例 10若nxx21的展开式的常数项为20,求n分析: 题中0 x,当0 x时,把三项式nxx21转化为nnxxxx2121;当0
16、 x时,同理nnnxxxx21)1(21然后写出通项,令含x的幂指数为零,进而解出n解: 当0 x时nnxxxx2121,其通项为rnrnrrrnrnrxCxxCT222221)()1()1()(,令022rn,得rn,展开式的常数项为nnnC2)1(;当0 x时,nnnxxxx21)1(21,同理可得,展开式的常数项为nnnC2) 1(无论哪一种情况,常数项均为nnnC2) 1(令20)1(2nnnC,以,3,2,1n,逐个代入,得3n例 111031xx的展开式的第3 项小于第4 项,则x的取值范围是 _分析: 首先运用通项公式写出展开式的第3 项和第 4 项,再根据题设列出不等式即可解:
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