2022年九年级数学垂径定理圆心角弧弦弦心距间的关系人教版知识精讲 .pdf

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1、学习必备欢迎下载九年级数学垂径定理、圆心角、弧、弦、弦心距间的关系人教版【本讲教育信息 】一. 教学内容：垂径定理、圆心角、弧、弦、弦心距间的关系学习目标 1. 理解由圆的轴对称性推出垂径定理，概括理解垂径定理及推论为“知二推三”。 （1）过圆心， （2）垂直于弦， （3）平分弦，（4）平分劣弧，（5）平分优弧。已知其中两项，可推出其余三项。注意：当知（1） （3）推（ 2） （4） （5）时，即“平分弦的直径不能推出垂直于弦，平分两弧。”而应强调附加“平分弦（非直径）的直径，垂直于弦且平分弦所对的两弧”。 2. 深入理解垂径定理及推论，为五点共线，即圆心O，垂足 M ，弦中点 M ，劣弧中点

2、D，优弧中点C，五点共线。 （M点是两点重合的一点，代表两层意义） 3. 应用以上定理主要是解直角三角形AOM ，在 RtAOM 中，AO为圆半径， OM 为弦 AB的弦心距， AM为弦 AB的一半，三者把解直角形的知识，借用过来解决了圆中半径、弦、弦心距等问题。无该RtAOM 时，注意巧添弦心距，或半径，构建直角三角形。 4. 弓形的高：弧的中点到弦的距离，明确由定义知只要是弓形的高，就具备了前述的（4）（2）或（ 5） （2）可推（ 1） （3） （5）或（ 1） （3） （4） ，实际可用垂径定理及推论解决弓形高的有关问题。 5. 圆心角、弧、弦、弦心距四者关系定理，理解为：（1）圆心角

3、相等， （2）所对弧相等，（3）所对弦相等， （4）所对弦的弦心距相等。四项“知一推三”，一项相等，其余三项皆相等。源于圆的旋转不变性。即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图象完全重合。( )( )( )( )1234 6. 应用关系定理及推论，证角等，线段等，弧等，等等，注意构造圆心角或弦心距作为辅助线。 7. 圆心角的 度数 与弧的 度数 等，而不是角等于弧。二. 重点、难点：垂径定理及其推论，圆心角，弧，弦，弦心距关系定理及推论的应用。【典型例题】例 1. 已知：在 O中，弦 AB 12cm，O点到 AB的距离等于AB的一半，求：AOB的度数和圆的半径。点悟： 本例的关键在于正确理解

4、什么是O点到 AB的距离。解： 作 OE AB，垂足为 E，则 OE的长为 O点到 AB的距离， 如图所示：OEABcm1212126 ()由垂径定理知：AEBEcm6 AOE 、 BOE为等腰直角三角形 AOB 90由 AOE是等腰直角三角形OAAE6 26，即 O的半径为6 2cm点拨： 作出弦（ AB ）的弦心距（ OE ） ，构成垂径定理的基本图形是解决本题的关键。例 2. 如图所示，在两个同心圆中，大圆的弦AB ，交小圆于C、D两点，设大圆和小圆的半径分别为a， b。求证：ADBDab22证明： 作 OE AB ，垂足为E，连 OA 、OC 则OAaOCb，在Rt AOE中，AEOA

5、OE222在Rt COE中，CEOCOE222AECEOAOEOCOE222222OAOCab2222即AECEAECEab22BDACEDCE,ADEDAECEAEBDACCEAE即22baBDAD点拨： 本题应用垂径定理，构造直角三角形，再由勾股定理解题，很巧妙。例 3. O的直径为12cm ，弦 AB垂直平分半径OC ，那么弦AB的长为（） A. 3 3cmB. 6cm C. 6 3cmD. 12 3cm（20XX年辽宁）解： 圆的半径为6cm，半径 OC的一半为3cm ，故弦的长度为2 632 3216 32222()cm故选 C。例 4. 如图所示，以O为圆心， AOB 120，弓形

6、高ND 4cm ，矩形 EFGH 的两顶点 E、F在弦 AB上， H、G在AB上，且 EF 4HE ，求 HE的长。解： 连结 AD 、OG AODAOB121212060 OAOD AOD为等边三角形OD AN NO ND 4cm C O AB M D O AE B AC E D B O D H M G AB O E F N 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 4 页学习必备欢迎下载OD OG 8cm 设HEx，则MGxMOxcm24，在Rt OMG中，由MGOMOG222得：xx42822解得：xx121254，（舍去）

7、HE的长为125cm 点拨： 借助几何图形的性质，找出等量关系，列出方程求解，这是解决几何计算题的常用方法。例 5. 已知， AB是 O的弦，半径OC AB于点 D，且ABcmOCcm85，则 DC的长为（） A. 3cm B. 2.5cm C. 2cm D. 1cm （ 20XX年北京东城区）解：OD54322DCcm532 ()故选 C。常见错误：将DC错算为 OD ，即算出 OD就不再计算DC了， 从而错选A 。这种错误十分常见，一定要注意慎重的计算完全。例 6. 在 O中，ABAC2，那么（） A. ABACB. ABAC2 C. ABAC2D. ABAC2解： 如图所示，连结BC 。

8、ABAC2ACBCACBC在 ABC中， AB AC BC AB 2AC 故选 D。点拨： 本题考察弦、弧、圆心角之间的关系，要正确理解三者之间的关系定理。例 7. 已知 O的半径是10cm，AB是 120，那么弦AB的弦心距是（） A. 5cm B. 5 3cmC. 10 3cm D. 523cm解： 如图所示，OAcm10， AOB 120AOCAOB1260在 RtACO 中，COAOAOCcm cos()10125故选 A。点拨： 本题考察弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系，要正确构造三角形，灵活运用。例 8. 等腰 ABC的顶角 A 120，腰 AB AC10， ABC的外接圆半径等于

9、（） A. 20 B. 15 C. 10 D. 5 解： 如图所示，连结OA 、 OB AB AC 10 ABAC由垂径定理的推论，得OA垂直平分BC ，垂足为D 又 BAC 120 ABC ACB 30 BAO 60又 OA OB AOB是等边三角形半径 OA OB AB 10 故选 C。点拨： 垂径定理及其推论是很重要的性质，主要解题思路是构造特殊的三角形，然后应用定理解题。例 9. 点 P为半径是5 的 O内一点，且OP 3，在过点 P的所有弦中，长度为整数的弦一共有（） A. 2条B. 3 条C. 4 条D. 5 条（20XX年山东）解： 选 C。点拨： 圆是中心对称图形，故与P 点对

10、称的点，关于中点对称有一个，关于轴对称有2个。因此，长度为整数弦一共有4 条。例 10. 如图所示， M 、N分别是 O的弦 AB 、CD的中点， AB CD 。求证： AMN CNM 点悟： 由弦 AB CD ，想到利用弧，圆心角、弦、弦心距之间的关系定理，又M 、N 分别为 AB 、CD的中点，如连结OM 、ON ，则有 OM ON ，OM AB ，ON CD ，故易得结论。证明： 连结 OM 、ON O为圆心， M 、N分别为弦AB 、CD的中点OM AB ，ON CD AB CD OM ON OMN ONM AMN 90 OMN CNM 90 ONM C AB O AB O C A B

11、 C O D AC M N B D O 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 4 页学习必备欢迎下载 AMN CNM 点拨： 有弦中点，常用弦心距利用垂径定理及圆心角、弧、弦、弦心距之间关系定理来证题。例 11. 在O1与O2中，分别有40的MN和M N11，那么：（1）MN与M N11相等吗？（2）MO N1与M O N121相等吗？错解： （ 1）因为MN与M N11都是 40的弧所以MNM N11（2）MN与M N11相等，所以M O NM O N11121常见错误： （ 1）误以为弧的度数相等弧亦相等，两弧相等必须是在

12、同圆或等圆的前提下，看它们是否“重合” ； （2）应该知道圆心角是角，它的大小是可以用度数来衡量的，度数相同的角就相等。可见它不受所对的弧相等与否来制约。正解： （ 1）不一定相等。 （2）相等。【模拟试题】（答题时间： 30 分钟）一. 选择题。 1. 下列命题中，正确的命题是（） A. 平分一条弦的直径，垂直平分这条弧所对的弦 B. 平分弦的直径垂直于弦，并平分弦所对的弧 C. 在 O中， AB 、CD是弦，若ACBD，则 AB CD D. 圆是轴对称图形，对称轴是圆的每一条直径 2. 已知 P为 O内一点，且 OP 3cm ， 如果 O的半径是 4cm ， 那么过 P点的最短弦等于 （）

13、 A. 2cm B. 3cm C. 7cm D. 27cm 3. 弓形弦长24，弓形高为8，则弓形所在圆的直径是（） A. 10 B. 26 C. 13 D. 5 4. 在直径是10cm的 O中，AB为 60，则弦AB的弦心距是（） A. 10 3cmB. 1523cmC. 5 3cmD. 523cm 5. AB、CD分别为大小不同圆的弦，共AB CD ，那么ABCD、的关系是（） A. ABCDB. ABCD C. ABCDD. 不确定二. 填空题。 6. 已知 AB为 O直径， AC为弦， OD BC交 AC于 D，AC 6cm ，则 DC _。 7. 直角三角形外接圆的圆心在_，它的半径

14、为 _一半。 8. 若一个圆经梯形ABCD 四个顶点，则这个梯形是_梯形。 9. 弦 AB把 O分 3：7，则 AOB _。 10. 若 O半径是 4，P在 O内，PO 2，则过 P点的最短的弦所对劣弧是_度。 11. O中，弦 AB垂直直径CD于点 P，半径 OA 4cm，OP 2cm ，则 AOB _， ADC _，BD度数为 _， ADC周长为 _ cm 。三 . 解答题。 12. 如图， O的两弦 AB ，CD互相垂直于H， AH 4， BH 6，CH 3，DH 8，求 O半径。 13. 已知：如图，C为 O直径 AB上一点，过C点作弦 DE，使 CD CO ，若AD度数为 50，求B

15、E的度数。C AH B O D D B O C A E 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 4 页学习必备欢迎下载试题答案一. 选择题。 1. A 2. D 3. B 4. D 5. D 二. 填空题。 6. 3cm 7. 斜边中点，斜边长 8. 等腰 9. 108 10. 120 11. 120， 30或 60， 60或 120，124 3三. 解答题。 12. 过 O分别作 OM AB于 M ，ON CD于 N，则得到矩形MHNO MOHNCNCHCDCHCHHDCH121252又MBABAHBH12125RtBOM 中，BOMOMB22525 13. 连结 OD 、 AE 则 DOA 50， DEA 25由 OCCD，有 D DOA 50 BCE D DOA 100 A BCE AED 100 25 75则BE度数为 75精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 4 页