2022年高等代数习题及答案 .pdf

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1、高等代数试卷一、判断题（下列命题你认为正确的在题后括号内打“”，错的打“”；每小题 1 分，共 10 分）1、)(xp若是数域 F 上的不可约多项式，那么)(xp在 F 中必定没有根。（）2、若线性方程组的系数行列式为零，由克莱姆法则知，这个线性方程组一定是无解的。（）3、实二次型),(21nxxxf正定的充要条件是它的符号差为n。（）4、321321; 3 ,2 , 1,xxxiRxxxxWi是线性空间3R 的一个子空间。 （）5、数域 F 上的每一个线性空间都有基和维数。（）6、两个n元实二次型能够用满秩线性变换互相转化的充要条件是它们有相同的正惯性指数和负惯性指数。（）7、零变换和单位变

2、换都是数乘变换。（）8、线性变换的属于特征根0的特征向量只有有限个。（）9、欧氏空间 V 上的线性变换是对称变换的充要条件为关于标准正交基的矩阵为实对称矩阵。（）10、 若n,21是 欧 氏 空 间 V 的 标 准 正 交 基 ， 且niiix1， 那 么niix12。（）二、单项选择题 （从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其号码写在题干后面的括号内。答案选错或未作选择者，该题无分。每小题1 分，共 10分）1、关于多项式的最大公因式的下列命题中，错误的是（）nnnxgxfxgxf,；njijifffffjin,2, 1, 1,1,21；xgxgxfxgxf,；若1,1,xgxfx

3、gxfxgxf。2、设 D 是一个n阶行列式，那么（）行列式与它的转置行列式相等； D 中两行互换，则行列式不变符号；若0D，则 D 中必有一行全是零；若0D，则 D 中必有两行成比例。3、设矩阵 A的秩为rr()1，那么（） A 中每个ss(0。10、欧氏空间3R 中的标准正交基是（）0, 1 ,0;21, 0,21;21, 0,21；1 ,0,0;21,21;0 ,21,21；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 5 页 - - - - - - - - -

4、0 ,0, 0;31,31,31;31,31,31； 1,1 , 1;1 ,1 ,1;1 , 1, 1三、填空题（将正确的内容填在各题干预备的横线上，内容填错或未填者，该空无分。每空 2 分，共 20 分）1、多项式2)(24xxxf在实数域 R上的标准分解为。2、利用行列式的性质可知四阶行列式gfedcba000000000的值为。3、若一个非齐次线性方程组无解且它的系数矩阵的秩为3，那么该方程组的增广矩阵的秩等于。4、在线性空间 V 中，定义0（其中0是V 中一个固定向量），那么当0时，是V的一个线性变换。5、实对称矩阵的属于不同特征根的特征向量是彼此的。 。6、n阶实对称矩阵的集合按合同

5、分类，可分为类。7、若基到的过渡矩阵为P，而向量关于基和的坐标分别为X 和Y ，那么着两个坐标的关系是。8、 设W 是线性空间 V 的非空子集，若W 对V 的加法和数乘， 则称 W 为V 的子空间。9、若线性变换关于基21,的矩阵为dcba，那么关于基12,3的矩阵为。10、两个欧氏空间同构的充要条件是它们有。四、改错题（请在下列命题中你认为错误的地方划线，并将正确的内容写在预备的横线上面。指出错误1 分，更正错误 2 分。每小题 3 分，共 15 分）1、 如果)(xp是)(xf的导数)(xf的1k重因式，那么)(xp就是)(xf的k 重因式。2、若线性方程组BAX相应的齐次线性方程组0AX

6、有无穷多解，那么BAX也有无穷多解。3、设 A是一个nm矩阵，若用m阶初等矩阵4 ,53E右乘 A，则相当对 A施行了一次“ A的第三列乘 5 加到第四列”的初等变换。4、若21,都是数域F 上的方阵 A 的属于特征根0的特征向量，那么任取221121,kkFkk也是 A的属于0的特征向量。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 5 页 - - - - - - - - - 5、设是欧氏空间 V 的线性变换，那么是正交变换的充分必要条件是能保持任二个非零向量的夹角。

7、五、计算题（每小题10 分，共 40 分）1、计算n阶行列式0,1111111111111111111121321nnnaaaaaaaD2、用相应的齐次线性方程组的基础解系表示下列线性方程组的全部解21931644321452342354321543215432154321xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx3、解矩阵方程87107210031012423321X4、设1000,0100,0010,00014321是FM2的一个基，而2231,2121,1121,25324321是 另 一 组 基 ， 求 由4321,到4321,的 过 渡 矩 阵 ， 并 求 向 量2945在4321,下

8、的坐标。六、证明题设321,是三维欧氏空间 V 的一个标准正交基，试证：321332123211223122312231也是 V 的一个标准正交基。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 5 页 - - - - - - - - - 高等代数试卷参考解答一、判断题1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 二、单项选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 三、填空题1、2112xxx； 2 、acef； 3 、4； 4 、0；5、正交； 6 、221 nn；

9、7 、XPY1； 8 、封闭；9、badc33； 10 、相同的维数。四、改错题1、 如果)(xp是)(xf的导数)(xf的1k重因式，那么)(xp就是)(xf的k重因式。)(xp是)(xf的因式且是)(xf的1k重因式2、若线性方程组BAX相应的齐次线性方程组0AX有无穷多解，那么BAX也有无穷多解。当 AX=B有解时， AX=B也有无穷多解3、设 A是一个nm矩阵，若用m阶初等矩阵4 ,53E右乘 A，则相当对 A施行了一次“ A的第三列乘 5 加到第四列”的初等变换。A的第 4 列乘 5 加到第 3 列4、若21,都是数域F 上的方阵 A 的属于特征根0的特征向量，那么任取,21Fkk2211kk也是 A的属于0的特征向量。当时02211kk时，2211kk是 A的属于0的特征向量5、设是欧氏空间 V 的线性变换，那么是正交变换的充分必要条件是能保持任二个非零向量的夹角。必要条件名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 5 页 - - - - - - - - -