2022年高等流体力学-习题集 .pdf

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1、-共 *页，第 * 页高等流体力学一、流体的运动用? = ?, ? = ? + ?2+ ?-? - ?2,? = ? + ?2- ?-? - ?2表示，求速度的拉格朗日描述与欧拉描述。解：由题可知速度分量为：?=?= 0?=?= ?+?2- ?-?-?2= z?=?= ?+?2+ ?-?-?2= ?则速度的拉格朗日描述：? = (0, ?+?2- ?-?-?2,?+?2+ ?-?-?2)速度的欧拉描述：? = ( 0,?, ? )二、速度场由 ? = (?2?, ?2,?)给出，当 ? = 1时求质点 p(1,3,2)的速度及加速度。解：由? = ( ?2?, ?2,?)可得速度分量式为：?=

2、 ?2?= ?2?= ?则当 t=1 时，质点 ? (1,3,2)的速度为： ? = (1,3,2)；加速度为?=?+ ?+ ?+ ?=?+ ?+ ?+ ?=?+ ?+ ?+ ?= ?= ?2+ ?2? ?2?+ ?2?0 + ?0?= 2?+ ?2? ?0 + ?2?2+ ?0?= 0 + ?2? ? + ?2?0 + ?= ?= 1 + 2 + 0 + 0 = 3?= 6 + 0 + 3 + 0 = 8?= 0 + 2 + 0 + 2 = 4，即加速度为：?= ( 3,9,4)三、速度场由 ? = (? + ?2,? - ?2,0)给出，求速度及加速度的拉格朗日表示。解：由题可得速度场?

3、= ( ?, ?, ? ) = (? + ?2,? - ?2,0) ，则由?=?= ? + ?2?=?= ? -?2?=?= 0得?-? = ?2?-? = -?2?= 0，解微分方程得 ?= ?1?-1?2-2?2? -2?3?= ?2?+1?2+2?2? +2?3?= ?3， 即为流体质点运动的拉格朗日表达式,其中 ?1,?2,?3为任意常数。则?=?= ?1?-2? -2?2?=?= ?2?-2? -2?2?= ?3，?=?2?2= ?1?2?-2?=?2?2= ?2?2?-2?= 0得速度的拉格朗日表达式为：? = (?1?-2? -2?2,?2?-2? -2?2,?3)得加速度的拉格

4、朗日表达式为：? = (?1?2?-2?,?2?2?-2?,0)名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 13 页 - - - - - - - - - -共 *页，第 * 页四、已知质点的位置表示如下：? = ?, ? = ? + ? (?-2?- 1),? = ? + ? (?-3?- 1)求： （1）速度的欧拉表示；（2）加速度的欧拉表示及拉格朗日表示，并分别求(?, ?, ? ) = (1,0,0)及(?, ?, ? ) = (1,0,0)的值；（3）过点(1

5、,0,0)的流线及 ? = 0在(?, ?, ? ) = (1,1,1)这一质点的迹线；（4）散度、旋度及涡线；（5）应变率张量及旋转张量。解：(1) 由?= ?= ? + ? (?-2?- 1)? = ? + ? ( ?-3?- 1)得?= ?= ?- ? (?-2?- 1)? = ? - ? (?-3?- 1)由题得?=?= 0?=?= -2?-2?= -2?-2?=?= -3?-3?= -3?-3?，则速度的欧拉表示为? = (0 ， -2?-2?,-3?-3?)(2) 加速度分量为?=?+ ?+ ?+ ?= 0?=?+ ?+ ?+ ?= 4?-2?= 4?-2?=?+ ?+ ?+ ?=

6、 9?-3?= 9?-3?，则加速度的欧拉表示为?= (0,4?-2?,9?-3?);则加速度的拉格朗日表示为?= (0,4?-2?,9?-3?)；当(x,y, z) = (1,0,0)及(a,b,c) = ( 1,0,0) 时， ?= ( 0,4?-2?,9?-3?)(3) 流线微分方程式为?=?=?，因为 ?= 0所以， 流线微分方程转化为?-2?-2?=?-3?-3?，消去中间变量积分得 ?=23? + ?1，又因为 ?= ? ，当 ?= 1, ?= ?= 0时，得到 ?1=0，?= 1，即过点 (1,0,0)的流线为 ?= 1?=23?由迹 线微分方程为 ?= ?= ? + ? ( ?

7、-2?- 1)?= ? + ? ( ?-3?- 1)，将 ? = 0，(?, ?, ? ) = ( 1,1,1) 代入 得质点轨迹方程为?= 1?= ?-2? = ?-3?(4) 散度 ? ?=?+?+?= 0 + 0 + 0 = 0旋度 ? ?= (?-?) ? + (?-?) ? + (?-?) ?= 0? + 3?-3? + -2?-2?涡线微分方程为?=?=?，又因为 ?= 0，涡线微分方程转化为?3?-3?=?-2?-2?,?= ?，即涡线方程为 ?= -32?-? + ?2?= ?3(5) 速度梯度 ?V = ?v?w =?=000-2?-2?003?-3?00，应变率张量名师资料

8、总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 13 页 - - - - - - - - - -共 *页，第 * 页S =?12(?+?)12(?+?)12(?+?)?12(?+?)12(?+?)12(?+?)?=0-?-2?-32?-3?-?-2?00-32?-3?00旋转张量A =012(?-?)12(?-?)12(?-?)012(?-?)12(?-?)12(?-?)0五、已知拉格朗日描述为? = ?-2?= ? = ?（1）问运动是否定常，是否是不可压缩流体，是否为无旋流场

9、；（2）求 t=1 时在点（ 1,1,1）的加速度；（3）求过点（ 1,1,1）的流线。解：六、已知 ?= ? + 1,?= ?, ?= 0，求（1）速度的拉格朗日描述；（2）质点加速度；（3）散度及旋度；运动是否有旋；流体是否不可压；（4）迹线及流线。解：(1) 由?=?= ? + 1 得?= ?1?- 1，又由 ?=?= ?= ?1?-1得y = ?1?-? + ?2，由w =?=0得z = ?3。再由初始条件 t = 0, (?, ?, ? ) = (?, ?, ? )得?1= ?+ 1, ?2= ? -?- 1,?3= ?，则速度的拉格朗日描述为?= (?+ 1) ?= (?+ 1)

10、?- 1?= 0(2) 质点加速度为?=?= ?=?= ?=?= 0(3) 散度 div V =?+?+?= 1 + 0 + 0 = 1旋度 rot V = (?-?) ? + (?-?) ? + (?-?) ?= 1?因为旋度不为0，故为有旋运动因为散度不为0，故流体为可压缩流体名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 13 页 - - - - - - - - - -共 *页，第 * 页(4) 由（ 1）可得迹线方程为?= ( ?+ 1)?- 1?= (? + 1

11、)?- ? + ? - ?-?= ?流线微分方程?=?=?，又因为 ?= 0，所以流线微分方程转化为?+1=?，解之得 ?= ? -ln( ? + 1) + ?4，由初始条件 t = 0,(?, ?, ? ) = ( ?, ?, ? )得?4= ? -? + ln(?+ 1)所以流线方程为?= ?- ln(? + 1) + ?- ?+ ln(? + 1)? = ?七、一水箱尺寸如图所示，箱外大气压?= 1.013 105?，计算下列两种情况下地窗口 AB 两侧所受的流体合力。 （a） 水面上方气体压力 ?= ?；（b）?= 1.255 105?解：（a）不妨设 AB 两侧所受的流体合力为?则?

12、= ?水?= 9807 (3 +121.5 sin 30) (1.5 3) = 1.489 105?（b）?= 1.255 105? ?= 1.013 105?，需重新设立水平面，不妨设新的水平面距离原先水平面为h，由 ?= ?+ ?水?得? = 2.468?则?= ?水(? + ?) ?= 9807 (3 + 2.468 +121.5 sin 30) ( 1.5 3) = 2.579 105?八、如图的微测压计用来测量两容器E 和 B 中的气体压强差。试用?, ?, ?1,?2表示 PE-PB,并说明当横截面积aA，而且两种溶液密度 , ?1和?2相近时，很小的 PE-PB就能引起很大的液面

13、高度差d,从而提高测量精度。解：根据流体静力学规律知?+ ?1?= ?+ ?1? ( ? -?+ ? ) + ?2?，即?- ?= ?1? + (?2- ?1)?又由图可知， ? = ?；所以 ?=?又有题可知a0),在原点处的压强为0p，试求：上半平面的流动图案。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 13 页 - - - - - - - - - -共 *页，第 * 页二十二、求半径为a 的圆球在无限流场中由于重力而下沉的运动规律。解：二十三、某小船在无限深水

14、的波浪中每分钟摇摆30 次，求波长，圆频率，波数，以及波形传播速度c。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 13 页 - - - - - - - - - -共 *页，第 * 页二十四、在海洋中观测到一分钟内浮标升降20 次，设其波动可认为是无限水深小振幅平面波，求波长及其传播速度。解：波动周期 T =6020= 3s圆频率 = kc =2?，波速?2=?故波速 c =?2?=3 9.8072 3.14= 4.68?/?波长 =cT=4.68 3=14.04m 二十五、设二维有限深度波动速度势为求此相应的流函数及复势表达式。二十六、为了估算船在水面行驶的阻力，用缩尺1/20 的模型在拖曳水池做实验。设船体长30m，速度5m/s，水的密度1000kg/m3，粘度系数 ? =0.001?/ (? )。试问如何安排实验条件才能保证实验与真实情况动力相似？)sin()(0wtkxchkddzchkwgA名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 13 页 - - - - - - - - -