2022年高等数学公式大全以及初等函数图像 2.pdf

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1、学习好资料欢迎下载高等数学公式导数公式：基本积分表：三角函数的有理式积分：222212211cos12sinududxxtguuuxuux，axxaaactgxxxtgxxxxctgxxtgxaxxln1)(logln)(csc)(cscsec)(seccsc)(sec)(22222211)(11)(11)(arccos11)(arcsinxarcctgxxarctgxxxxxCaxxaxdxCshxchxdxCchxshxdxCaadxaCxctgxdxxCxdxtgxxCctgxxdxxdxCtgxxdxxdxxx)ln(lncsccscsecseccscsinseccos22222222

2、CaxxadxCxaxaaxadxCaxaxaaxdxCaxarctgaxadxCctgxxxdxCtgxxxdxCxctgxdxCxtgxdxarcsinln21ln211csclncscseclnsecsinlncosln22222222CaxaxaxdxxaCaxxaaxxdxaxCaxxaaxxdxaxInnxdxxdxInnnnarcsin22ln22)ln(221cossin222222222222222222222020名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1

3、 页，共 18 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载一些初等函数：两个重要极限：三角函数公式：三角函数： 正弦函数sinx；余弦函数cosx；正切函数sintancosxxx；余切函数coscotsinxxx；正割函数1seccosxx；余割函数1cscsinxx诱导公式：函数角 A sin cos tg ctg -sin cos -tg -ctg 90 -cos sin ctg tg 90 +cos -sin -ctg -tg 180 -sin -cos -tg -ctg 180 +-sin -cos tg ctg 270 -cos -sin ctg tg 270 +-

4、cos sin -ctg -tg 360 -sin cos -tg -ctg 360 +sin cos tg ctg 常用三角函数公式：22cossin1xx22cossincos2xxx2 si nc o ssi nxxx21cos22sinxx21c o s 22 c o sxx22211tanseccosxxx22211cotcscsinxxxxxarthxxxarchxxxarshxeeeechxshxthxeechxeeshxxxxxxxxx11ln21)1ln(1ln(:2:2:22）双曲正切双曲余弦双曲正弦.590457182818284.2)11 (lim1sinlim0exx

5、xxxx名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 18 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载1sinsincos()cos()2xyxyxy1cosc o s c os()co s() 2xyxyxy1sincossin()sin()2xyxyxy和差角公式：和差化积公式：反三角函数：a r c s i nar c c o s2xxa r c t anar c c o t2xxarcsinx：定义域 1,1，值域,22；arccosx：定义域

6、1,1，值域0,；arctanx：定义域(,)，值域(,)22；arccot x：定义域(,)，值域(0,)反三角函数性质：arcctgxarctgxxx2arccos2arcsin倍角公式：半角公式：cos1sinsincos1cos1cos12cos1sinsincos1cos1cos122cos12cos2cos12sinctgtg正弦定理：RCcBbAa2sinsinsin余弦定理：Cabbaccos22222sin2sin2coscos2cos2cos2coscos2sin2cos2sinsin2cos2sin2sinsinctgctgctgctgctgtgtgtgtgtg1)(1)

7、(sinsincoscos)cos(sincoscossin)sin(23333133cos3cos43cossin4sin33sintgtgtgtg222222122212sincossin211cos22coscossin22sintgtgtgctgctgctg名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 18 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载33223()33abaa babb3322() ()ababaa bb123221()()nnn

8、nnnnabab aabababb122(1)(1)(1)()2!nnnnn kknn nn nnkabanabababbk高阶导数公式莱布尼兹（Leibniz ）公式：)()()()2()1()(0)()()(!) 1() 1(! 2)1()(nkknnnnnkkknknnuvvukknnnvunnvnuvuvuCuv中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理。时，柯西中值定理就是当柯西中值定理：拉格朗日中值定理：xxFfaFbFafbfabfafbf)(F)()()()()()()()()(曲率：.1; 0.)1 (limMsMM:.,13202aKaKyydsdsKMMsKtgydxydss的

9、圆：半径为直线：点的曲率：弧长。：化量；点，切线斜率的倾角变点到从平均曲率：其中弧微分公式：定积分的近似计算：bannnbannbanyyyyyyyynabxfyyyynabxfyyynabxf)(4)(2)(3)()(21)()()(1312420110110抛物线法：梯形法：矩形法：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 18 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载定积分应用相关公式：babadttfabdxxfabykrmmkFApFsF

10、W)(1)(1,2221均方根：函数的平均值：为引力系数引力：水压力：功：空间解析几何和向量代数：。代表平行六面体的体积为锐角时，向量的混合积：例：线速度：两向量之间的夹角：是一个数量轴的夹角。与是向量在轴上的投影：点的距离：空间,cos)(.sin,cos,cosPrPr)(Pr,cosPr)()()(2222222212121221221221cbacccbbbaaacbacbarwvbacbbbaaakjibacbbbaaababababababababaajajaajuABABABjzzyyxxMMdzyxzyxzyxzyxzyxzyxzyxzzyyxxzzyyxxuu名师资料总结 -

11、 - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 18 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载（马鞍面）双叶双曲面：单叶双曲面：、双曲面：同号）（、抛物面：、椭球面：二次曲面：参数方程：其中空间直线的方程：面的距离：平面外任意一点到该平、截距世方程：、一般方程：，其中、点法式：平面的方程：113,22211;,1302),(,0)()()(1222222222222222222220000002220000000000czbyaxczbyaxqpzqypxczbyaxp

12、tzzntyymtxxpnmstpzznyymxxCBADCzByAxdczbyaxDCzByAxzyxMCBAnzzCyyBxxA多元函数微分法及应用zyzxyxyxyxyxFFyzFFxzzyxFdxdyFFyFFxdxydFFdxdyyxFdyyvdxxvdvdyyudxxuduyxvvyxuuxvvzxuuzxzyxvyxufztvvztuuzdtdztvtufzyyxfxyxfdzzdzzudyyudxxududyyzdxxzdz，隐函数，隐函数隐函数的求导公式：时，当：多元复合函数的求导法全微分的近似计算：全微分：0),()()(0),(),(),(),(),()(),(),(),

13、(22名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 18 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载),(),(1),(),(1),(),(1),(),(1),(),(0),(0),(yuGFJyvvyGFJyuxuGFJxvvxGFJxuGGFFvGuGvFuFvuGFJvuyxGvuyxFvuvu隐函数方程组：微分法在几何上的应用：),(),(),(30)(,()(,()(,(2),(),(),(1),(0),(,0),(0),(0)()()()()

14、()(),()()()(000000000000000000000000000000000000000000000000000zyxFzzzyxFyyzyxFxxzzzyxFyyzyxFxxzyxFzyxFzyxFzyxFnzyxMzyxFGGFFGGFFGGFFTzyxGzyxFzztyytxxtMtzztyytxxzyxMtztytxzyxzyxzyxyxyxxzxzzyzy、过此点的法线方程：、过此点的切平面方程、过此点的法向量：，则：上一点曲面则切向量若空间曲线方程为：处的法平面方程：在点处的切线方程：在点空间曲线方向导数与梯度：上的投影。在是单位向量。方向上的，为，其中：它与方向导数

15、的关系是的梯度：在一点函数的转角。轴到方向为其中的方向导数为：沿任一方向在一点函数lyxflfljieeyxflfjyfixfyxfyxpyxfzlxyfxflflyxpyxfz),(gradsincos),(grad),(grad),(),(sincos),(),(多元函数的极值及其求法：不确定时值时，无极为极小值为极大值时，则：，令：设,00),( , 0),( , 00),(,),(,),(0),(),(22000020000000000BACBACyxAyxABACCyxfByxfAyxfyxfyxfyyxyxxyx名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - -

16、- - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 18 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载重积分及其应用：DzDyDxzyxDyDxDDyDxDDDayxxdyxfaFayxydyxfFayxxdyxfFFFFFaaMzxoydyxxIydyxyIxdyxdyxyMMydyxdyxxMMxdxdyyzxzAyxfzrdrdrrfdxdyyxf23222232222322222D22)(),()(),()(),(,)0(),0,0(),(,),(),(),(,),(),(1),()sin,cos(),(，其中：的引力：轴

17、上质点平面）对平面薄片（位于轴对于轴对于平面薄片的转动惯量：平面薄片的重心：的面积曲面柱面坐标和球面坐标：dvyxIdvzxIdvzyIdvxMdvzMzdvyMydvxMxdrrrFddddrdrrFdxdydzzyxfddrdrdrdrrddvrzryrxzrrfzrFdzrdrdzrFdxdydzzyxfzzryrxzyxr)()()(1,1,1sin),(sin),(),(sinsincossinsincossin),sin,cos(),(,),(),(,sincos222222200),(0222，转动惯量：，其中重心：，球面坐标：其中：柱面坐标：曲线积分：)()()()()(),(

18、),(),(,)()(),(22tytxdtttttfdsyxfttytxLLyxfL特殊情况：则：的参数方程为：上连续，在设长的曲线积分）：第一类曲线积分（对弧名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 18 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载。，通常设的全微分，其中：才是二元函数时，在：二元函数的全微分求积注意方向相反！减去对此奇点的积分，应。注意奇点，如，且内具有一阶连续偏导数在，、是一个单连通区域；、无关的条件：平面上曲线积分与路径的面

19、积：时，得到，即：当格林公式：格林公式：的方向角。上积分起止点处切向量分别为和，其中系：两类曲线积分之间的关，则：的参数方程为设标的曲线积分）：第二类曲线积分（对坐0),(),(),(),()0 ,0(),(),(21212,)()()coscos()()(),()()(),(),(),()()(00),(),(00yxdyyxQdxyxPyxuyxuQdyPdxyPxQyPxQGyxQyxPGydxxdydxdyADyPxQxQyPQdyPdxdxdyyPxQQdyPdxdxdyyPxQLdsQPQdyPdxdttttQtttPdyyxQdxyxPtytxLyxyxDLDLDLLLL曲面积分

20、：dsRQPRdxdyQdzdxPdydzdzdxzxzyxQdzdxzyxQdydzzyzyxPdydzzyxPdxdyyxzyxRdxdyzyxRdxdyzyxRdzdxzyxQdydzzyxPdxdyyxzyxzyxzyxfdszyxfzxyzxyxyDDDDyx)coscoscos(),(,),(,),(),(),(,),(),(),(),(),(),(1),(,),(22系：两类曲面积分之间的关号。，取曲面的右侧时取正号；，取曲面的前侧时取正号；，取曲面的上侧时取正，其中：对坐标的曲面积分：对面积的曲面积分：高斯公式：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - -

21、- - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 18 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载dsAdvAdsRQPdsAdsnAzRyQxPdsRQPRdxdyQdzdxPdydzdvzRyQxPnndiv)coscoscos(.,0div,div)coscoscos()(成：因此，高斯公式又可写，通量：则为消失的流体质量，若即：单位体积内所产生散度：通量与散度：高斯公式的物理意义斯托克斯公式曲线积分与曲面积分的关系：dstARdzQdyPdxARQPzyxAyPxQxRzPzQyRRQPzyxRQPzyxdxdyd

22、zdxdydzRdzQdyPdxdxdyyPxQdzdxxRzPdydzzQyR的环流量：沿有向闭曲线向量场旋度：，关的条件：空间曲线积分与路径无上式左端又可写成：kjirotcoscoscos)()()(常数项级数：是发散的调和级数：等差数列：等比数列：nnnnqqqqqnn1312112) 1(32111112级数审敛法：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 18 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载散。存在，则收敛；否则发、定义法：

23、时，不确定时，级数发散时，级数收敛，则设：、比值审敛法：时，不确定时，级数发散时，级数收敛，则设：别法）：根植审敛法（柯西判、正项级数的审敛法nnnnnnnnnnsuuusUUulim;3111lim2111lim1211。的绝对值其余项，那么级数收敛且其和如果交错级数满足莱布尼兹定理：的审敛法或交错级数1113214321,0lim)0,(nnnnnnnnurrusuuuuuuuuuuu绝对收敛与条件收敛：时收敛时发散级数：收敛；级数：收敛；发散，而调和级数：为条件收敛级数。收敛，则称发散，而如果收敛级数；肯定收敛，且称为绝对收敛，则如果为任意实数；，其中111)1(1) 1()1 ()2(

24、)1()2()2()1(232121pnpnnnuuuuuuuupnnnn幂级数：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 18 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载0010)3(lim)3(1111111221032RRRaaaaRRxRxRxRxaxaxaaxxxxxxxnnnnnnnn时，时，时，的系数，则是，其中求收敛半径的方法：设称为收敛半径。，其中时不定时发散时收敛，使在数轴上都收敛，则必存收敛，也不是在全，如果它不是仅在原点对于

25、级数时，发散时，收敛于函数展开成幂级数：nnnnnnnnnxnfxfxffxfxRxfxxnfRxxnxfxxxfxxxfxf!)0(! 2)0()0()0()(00lim)(,)()!1()()(!)()(! 2)()()()(2010)1(00)(20000时即为麦克劳林公式：充要条件是：可以展开成泰勒级数的余项：函数展开成泰勒级数：一些函数展开成幂级数：)()!12() 1(! 5! 3sin)11(!) 1() 1(! 2) 1(1)1(121532xnxxxxxxxnnmmmxmmmxxnnnm欧拉公式：2sin2cossincosixixixixixeexeexxixe或三角级数：

26、。上的积分在任意两个不同项的乘积正交性：。，其中，0,cos,sin2cos,2sin,cos,sin, 1cossin)sincos(2)sin()(001010nxnxxxxxxtAbAaaAanxbnxaatnAAtfnnnnnnnnnnnn傅立叶级数：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 18 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载是偶函数，余弦级数：是奇函数，正弦级数：（相减）（相加）其中，周期nxaaxfnnxdxxfabnxb

27、xfnxdxxfbannxdxxfbnnxdxxfanxbnxaaxfnnnnnnnnnnncos2)(2, 1 ,0cos)(20sin)(3, 2, 1nsin)(201241312116413121124614121851311)3 , 2, 1(sin)(1)2, 1 ,0(cos)(12)sincos(2)(00022222222222222210周期为l 2的周期函数的傅立叶级数：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 18 页 - - - - -

28、- - - - 学习好资料欢迎下载llnllnnnnndxlxnxflbndxlxnxflallxnblxnaaxf)3 ,2 , 1(sin)(1)2, 1 ,0(cos)(12)sincos(2)(10其中，周期微分方程的相关概念：即得齐次方程通解。，代替分离变量，积分后将，则设的函数，解法：，即写成程可以写成齐次方程：一阶微分方称为隐式通解。得：的形式，解法：为：一阶微分方程可以化可分离变量的微分方程或一阶微分方程：uxyuuduxdxudxduudxduxudxdyxyuxyyxyxfdxdyCxFyGdxxfdyygdxxfdyygdyyxQdxyxPyxfy)()(),(),()(

29、)()()()()(0),(),(),(一阶线性微分方程：)1 ,0()()(2)(0)(,0)()()(1)()()(nyxQyxPdxdyeCdxexQyxQCeyxQxQyxPdxdyndxxPdxxPdxxP，、贝努力方程：时，为非齐次方程，当为齐次方程，时当、一阶线性微分方程：全微分方程：通解。应该是该全微分方程的，其中：分方程，即：中左端是某函数的全微如果CyxuyxQyuyxPxudyyxQdxyxPyxdudyyxQdxyxP),(),(),(0),(),(),(0),(),(二阶微分方程：时为非齐次时为齐次，0)(0)()()()(22xfxfxfyxQdxdyxPdxyd二

30、阶常系数齐次线性微分方程及其解法：2122,)(2,(*)0)(1,0(*)rryyyrrqprrqpqyypy式的两个根、求出的系数；式中的系数及常数项恰好是，其中、写出特征方程：求解步骤：为常数；，其中名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 18 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载式的通解：出的不同情况，按下表写、根据(*),321rr的形式，21rr(*) 式的通解两个不相等实根)04(2qpxrxrececy2121两个相等实根)

31、04(2qpxrexccy1)(21一对共轭复根)04(2qp242221pqpirir，)sincos(21xcxceyx二阶常系数非齐次线性微分方程型为常数；型，为常数，sin)(cos)()()()(,)(xxPxxPexfxPexfqpxfqyypynlxmx名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 15 页，共 18 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载五类基本初等函数及图形- (1) 幂函数 -xy，是常数；- (2) 指数函数-xay (a是

32、常数且01aa，)，),(x；- (3) 对数函数 -xyalog(a是常数且01aa，)，(0,)x；1.当 u 为正整数时， 函数的定义域为区间),(x，他们的图形都经过原点，并当u1 时在原点处与X轴相切。且 u 为奇数时，图形关于原点对称；u 为偶数时图形关于Y轴对称；2.当 u 为负整数时。函数的定义域为除去x=0 的所有实数。3.当 u 为正有理数m/n 时， n 为偶数时函数的定义域为（0, +）， n为奇数时函数的定义域为（-+）。函数的图形均经过原点和（1 ,1 ）. 如果 mn图形于 x 轴相切 , 如果 m1 时函数为单调增, 当 a1 时在区间 (0,1),y的值为负

33、. 图形位于 x 的下方 ,在区间 (1, +),y值为正 , 图形位于x 轴上方 . 在定义域是单调增函数.a1 在实用中很少用到. 反余弦xyarccos, 1 ,1x, ,0y,名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 17 页，共 18 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载反正切xyarctan,),(x,)2,2(y反余切xycotarc,),(x,),0(y名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 18 页，共 18 页 - - - - - - - - -