2022年高考数学一轮复习教案：第六篇数列第讲数列求和 .pdf

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1、第 4 讲 数列求和【20XX 年高考会这样考】1考查非等差、等比数列求和的几种常见方法2通过数列求和考查学生的观察能力、分析问题与解决问题的能力以及计算能力【复习指导】1熟练掌握和应用等差、等比数列的前n 项和公式2熟练掌握常考的错位相减法，裂项相消以及分组求和这些基本方法，注意计算的准确性和方法选择的灵活性基础梳理数列求和的常用方法1公式法直接利用等差数列、等比数列的前n 项和公式求和(1)等差数列的前n 项和公式：Snn a1an2na1n n12d；(2)等比数列的前n 项和公式：Snna1，q1，a1anq1qa11qn1q，q1.2倒序相加法如果一个数列 an的前 n 项中首末两端

2、等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前 n 项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n 项和公式即是用此法推导的3错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可用此法来求，如等比数列的前n 项和公式就是用此法推导的4裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和5分组转化求和法一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和而后相加减6并项求和法一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和形如an(1)nf(n)类型，可

3、采用两项合并求解例如， Sn1002992982972, 2212(10099)(9897), (2 1)5 050. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 9 页 - - - - - - - - - 一种思路一般数列求和，应从通项入手，若无通项，先求通项，然后通过对通项变形，转化为与特殊数列有关或具备某种方法适用特点的形式，从而选择合适的方法求和两个提醒在利用裂项相消法求和时应注意：(1)在把通项裂开后，是否恰好等于相应的两项之差；(2)在正负项抵消后，是否只

4、剩下了第一项和最后一项，或有时前面剩下两项，后面也剩下两项三个公式(1)1n n11n1n1；(2)12n1 2n11212n112n1；(3)1nn1n 1n. 双基自测1(人教 A 版教材习题改编)等比数列 an 的公比 q12，a81，则 S8( )A254 B255 C256 D257 解析由 a81，q12得 a127，S8a11q81 q271128112281255. 答案B 2(2011 潍坊模拟 )设 an 是公差不为0 的等差数列， a1 2 且 a1，a3，a6成等比数列，则 an的前 n 项和Sn( )A.n247n4B.n235n3C.n223n4Dn2n解析由题意设

5、等差数列公差为d，则 a12，a322d，a625d.又 a1，a3，a6成等比数列， a23a1a6，即(22d)22(2 5d)，整理得2d2d0.d0，d12， Snna1n n12dn2474n. 答案A 3(2011 北京海淀模拟 )等差数列 an的通项公式为an2n1，其前 n 项的和为 Sn，则数列Snn的前 10 项的和为 ( )A 120 B70 C 75 D100 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 9 页 - - - - - - - -

6、- 解析Snn 32n12n(n 2)，Snnn 2. 数列Snn前 10 项的和为： (12,10)2075. 答案C 4(2011 沈阳六校模考 )设数列 ( 1)n的前 n项和为 Sn，则对任意正整数n，Sn( )A.n 1n12B.1n112C.1n12D.1n12解析因为数列 ( 1)n是首项与公比均为1 的等比数列，所以Sn1 1n 11 11n12. 答案D 5若 Sn1234, ( 1)n1 n，S50 _. 解析S501234, 49 50 (1)25 25. 答案25 考向一公式法求和【例 1】?已知数列 an是首项 a14，公比 q1 的等比数列， Sn是其前 n项和，且

7、 4a1，a5， 2a3成等差数列(1)求公比 q 的值；(2)求 Tn a2a4a6, a2n的值审题视点 求出公比，用等比数列求和公式直接求解解 (1)由题意得2a54a12a3. an 是等比数列且a14，公比 q1，2a1q44a12a1q2， q4q220，解得 q2 2(舍去 )或 q21， q 1. (2)a2，a4，a6，, ，a2n是首项为 a24(1) 4，公比为 q21 的等比数列，Tnna2 4n. 应用公式法求和时，要保证公式使用的正确性，尤其要区分好等差数列、等比数列的通项公式及前 n 项和公式【训练 1】 在等比数列 an中， a39，a6243，求数列 an 的

8、通项公式an及前 n 项和公式 Sn，并求 a9和S8的值解 在等比数列 an中，设首项为a1，公比为 q，由 a39，a6243，得 q3a6a32439 27， q3. 由 a1q2a3，得 9a19， a11. 于是，数列 an的通项公式为an13n1 3n1，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 9 页 - - - - - - - - - 前 n 项和公式为Sn1 13n133n12. 由此得 a9 391 6 561，S838 123 280. 考向二

9、分组转化求和【例 2】?(2012 包头模拟 )已知数列 xn的首项 x13，通项 xn2npnq(nN*， p，q 为常数 )，且 x1， x4，x5成等差数列求：(1)p，q 的值； (2)数列 xn 前 n 项和 Sn的公式审题视点 第(1)问由已知条件列出关于p、 q的方程组求解；第(2)问分组后用等差、等比数列的求和公式求解解 (1)由 x13，得 2pq 3，又因为x424p4q，x525p5q，且 x1x52x4，得 325p5q 25p8q，解得 p1，q1. (2)由(1)，知 xn2nn，所以 Sn(222, 2n) (12 , n)2n12n n12. 对于不能由等差数列

10、、等比数列的前n 项和公式直接求和的问题，一般需要将数列通项的结构进行合理的拆分，转化成若干个等差数列、等比数列的求和【训练 2】 求和 Sn111211214, 11214, 12n1. 解 和式中第 k 项为ak11214, 12k1112k1122 112k. Sn2112 1122, 112n211 , 1n个12122 , 12n2 n12112n11212n12n2. 考向三裂项相消法求和【例 3】?在数列 an 中， a11，当 n2 时，其前 n 项和 Sn满足 S2nanSn12. (1)求 Sn的表达式；(2)设 bnSn2n1，求 bn 的前 n 项和 Tn. 审题视点

11、第(1)问利用 anSnSn1(n2)后，再同除Sn1 Sn转化为1Sn的等差数列即可求Sn. 第(2)问求出 bn的通项公式，用裂项相消求和名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 9 页 - - - - - - - - - 解 (1)S2nanSn12，anSnSn1(n2)，S2n(SnSn1) Sn12，即 2Sn1SnSn1Sn，由题意 Sn1 Sn0，式两边同除以Sn1 Sn，得1Sn1Sn12，数列1Sn是首项为1S11a11，公差为 2 的等差数列1

12、Sn1 2(n1)2n1， Sn12n1. (2)又 bnSn2n112n12n11212n112n1，Tnb1b2, bn121131315, 12n112n112112n1n2n1. 使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的【训练 3】 在数列 an中，an1n12n1, nn1，又 bn2an an1，求数列 bn的前 n 项和 Sn. 解 an1n12n 1, nn11 2 , nn 1n n12 n1n2. bn2an an12n2n128n n181n1n1. Sn81

13、121213, 1n1n18 11n18nn1. 考向四错位相减法求和【例 4】?(2011 辽宁 )已知等差数列 an满足 a20，a6a8 10. (1)求数列 an的通项公式；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 9 页 - - - - - - - - - (2)求数列an2n1的前 n 项和审题视点 第(1)问列出关于首项a1与公差 d 的方程组可求解； 第(2)问观察数列an2n1的通项采用错位相减法解 (1)设等差数列 an 的公差为 d，由已知条件

14、可得a1d0，2a112d 10，解得a11，d 1.故数列 an的通项公式为an2n. (2)设数列an2n1的前 n 项和为 Sn，an2n12n2n112n2n2n1，Sn 2112122 , 12n2122322 , n2n1. 记 Tn122322 , n2n1，则12Tn12222323 , n2n，得：12Tn112122 , 12n1n2n，12Tn112n112n2n. 即 Tn4 112nn2n1. Sn2 112n1124 112nn2n14 112n4 112nn2n1n2n1. 用错位相减法求和时，应注意(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)

15、在写出 “ Sn” 与 “ qSn” 的表达式时应特别注意将两式“ 错项对齐 ”以便下一步准确写出“SnqSn”的表达式【训练 4】 设数列 an满足 a13a2 32a3, 3n1ann3，nN*. (1)求数列 an的通项公式；(2)设 bnnan，求数列 bn的前 n 项和 Sn. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 9 页 - - - - - - - - - 解 (1)a13a232a3, 3n1ann3，当 n2 时，a13a232a3, 3n2an

16、1n 13，得： 3n1ann3n1313， an13n. 当 n1 时， a113也适合上式，an13n. (2)bnnann 3n，Sn1 3232333, n 3n，则 3Sn322 33334, n 3n1，得：2Sn33233, 3nn 3n13 13n13n 3n132(1 3n)n 3n1. Sn34(1 3n)n 3n12342n1 3n14. 阅卷报告 7未对 q1 或 q1讨论出错【问题诊断】错位相减法适合于一个由等差数列an及一个等比数列 bn对应项之积组成的数列考生在解决这类问题时，都知道利用错位相减法求解，也都能写出此题的解题过程，但由于步骤繁琐、计算量大导致了漏项或

17、添项以及符号出错等【防范措施】两边乘公比后，对应项的幂指数会发生变化，应将相同幂指数的项对齐，这样有一个式子前面空出一项，另外一个式子后面就会多了一项，两项相减，除第一项和最后一项外，剩下的n1 项是一个等比数列【示例 】?(2010 四川 )已知等差数列 an的前 3 项和为 6，前 8 项和为 4. (1)求数列 an的通项公式；(2)设 bn (4an)qn1(q0，nN*)，求数列 bn 的前 n 项和 Sn. 错因未对 q1 或 q1 分别讨论，相减后项数、符号均出现了错误实录(1)由已知得名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - -

18、- - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 9 页 - - - - - - - - - a1a2a36，a1a2, a8 4，即3a13d6，8a128d 4，解得 a13，d 1，an4 n. (2)由(1)知 bnn qn1，Sn1 2 q13 q2, n qn1，qSn1 q2 q23 q3, n qn，两式相减得： (1 q)Sn1qq2, qn1 n qn1 qn1q n qn.Sn1qn1q2n qn1q. 正解(1)设 an的公差为 d，则由已知得a1a2a36，a1a2, a8 4，即3a13d6，8a128d 4，解得 a13，d 1，故 a

19、n3(n1)4n. (2)由(1)知， bnn qn1，于是 Sn1 q02 q13 q2, n qn1，若 q1，上式两边同乘以q. qSn1 q12 q2, (n1) qn1n qn，两式相减得：(1 q)Sn1q1 q2, qn1n qn1 qn1q n qn. Sn1qn1q2n qn1qn qn1 n1 qn11q2. 若 q1，则 Sn123, nn n12，Snn n12q1 ，nqn1 n 1 qn11q2q1 .【试一试】(2011 齐齐哈尔模拟)已知数列 an 是首项为 a114，公比 q14的等比数列， 设 bn23log14an(nN*)，数列 cn 满足 cnan b

20、n. (1)求数列 bn的通项公式；(2)求数列 cn的前 n 项和 Sn. 尝试解答 (1)由题意，知an14n(nN*)，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 9 页 - - - - - - - - - 又 bn3log14an2，故 bn3n2(nN*)(2)由(1)，知 an14n，bn3n2(nN*)，cn(3n 2)14n(nN*)Sn11441427143, (3n5)14n1(3n2)14n，于是14Sn 114241437144, (3n5)14n(3n2)14n1，两式相减，得34Sn143142143, 14n(3n2)14n112(3n 2)14n1，Sn233n2314n(nN*)名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 9 页 - - - - - - - - -