2022年二项式定理常见题型 .pdf

《2022年二项式定理常见题型 .pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年二项式定理常见题型 .pdf（11页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、学习好资料欢迎下载二项式定理常见题型题型一：求二项展开式1求4)13(xx的展开式；2求4)13(xx的展开式；3计算12313927.( 1) 3nnnnnnnCCCC；题型二：求二项展开式的特定项4 （03 全国）92)21(xx展开式中9x的系数是；5(2x1)6的展开式中x2的系数为 ( ) A15 B60 C120 D240 6 （02 全国）72)2)(1 xx（的展开式中，3x项的系数是7 （ 04安 徽 改 编 ）3)21(xx的 展 开式 中 ， 常 数 项是；8.求62)321(xx的展开式里x5的系数 .9. 求（ 1+x+x2+x3） （ 1x）7的展开式中x4的系数；

2、10. 求（1+x）3+（1+x）4+（1+x）50的展开式中x3的系数 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 11 页学习好资料欢迎下载11. (x22x)8的展开式中x4的系数是 ( ) A16 B70 C560 D1 120 12在 (1 x)3(1 x)3(13x)3的展开式中，x的系数为 _( 用数字作答 ) 13若621xax的二项展开式中x3的系数为52，则a_( 用数字作答 ) 14. 求式子312|xx的展开式中的常数项. 15.103)1(xx展开式中的常数项是；161231()xx的展开式中的常数项为

3、 ( ) A 1320 B1320 C 220 D220 17. 求7)11(xx的展开式中的常数项. 18. 求（x+x44）4的展开式中的常数项；2. 求中间项19 （00 京改编）求（103)1xx的展开式的中间项；20. 在5311nxx的展开式中，所有奇数项的系数之和为1024，则中间项系数是( ) A330 B 462 C682 D792 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 11 页学习好资料欢迎下载3. 求有理项21求103)1(xx的展开式中有理项共有项；4. 求系数最大或最小项22 （00 上海）在二项式1

4、1)1(x的展开式中，系数最小的项的系数是；23求84)21(xx展开式中系数最大的项；24在7()xy的展开式中， 系数绝对值最大项是；25. 在312nxx的展开式中，只有第5 项的二项式系数最大，则展开式的常数项为( ) A 7 B7 C 28 D28 2633nxx的展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则(1x)n的展开式中系数最小的项的系数等于 _27二项式(1sin )nx的展开式中，末尾两项的二项式系数之和为7，且二项式系数最大的一项的值为52，则x在(0,2 ) 内的值为 _题型三：利用“赋值法”及二项式性质求部分项系数，二项式系数和28若443322104

5、)32(xaxaxaxaax，则2312420)()(aaaaa的值为；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 11 页学习好资料欢迎下载29 （04 天津）若2004221020042004.)21(xxaxaax，则)(.)()(200402010aaaaaa；30 设0155666.) 12(axaxaxax， 则6210. . . aaaa；题型四：利用二项式定理求近似值31求6998.0的近似值，使误差小于001.0；题型五：利用二项式定理证明整除问题32 （02 潍坊模拟）求证：15151能被 7 整除。33. 若

6、Cn1xCn2x2 Cnnxn能被 7 整除，则x，n的值可能为 ( ) Ax4，n3 Bx4，n4 Cx5，n4 Dx6，n5 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 11 页学习好资料欢迎下载二项式定理常见题型题型一：求二项展开式1 “nba)(”型的展开式1求4)13(xx的展开式；解：原式 =4)13(xx=24) 13(xx=)3()3()3()3(144342243144042CCCCCxxxxx=)112548481(12342xxxxx=54112848122xxxx小结：这类题目一般为容易题目，高考一般不会考到

7、，但是题目解决过程中的这种“先化简在展开” 的思想在高考题目中会有体现的。2 “nba)(”型的展开式2求4)13(xx的展开式；分 析 ： 解 决 此 题 ， 只 需 要 把4)13(xx改 写 成4)1(3xx的形式然后按照二项展开式的格式展开即可。本题主要考察了学生的“问题转化”能力。3二项式展开式的“逆用”3计算12313927.( 1) 3nnnnnnnCCCC；解：原式01233123( 3)( 3)( 3).( 3)nnnnnnCCCCC(13)( 2)nn小结：公式的变形应用， 正逆应用， 有利于深刻理解数学公式，把握公式本质。题型二：求二项展开式的特定项1. 求指定幂的系数或

8、二项式系数4 （03 全国）92)21(xx展开式中9x的系数是；解：rrrrxxTC)21()(9291=rrrrxxC)1()21(2189=xrrxC3189)21(令,9318x则3r，从而可以得到9x的系数为：221)21(339C，填2215(2x1)6的展开式中x2的系数为 ( ) A15 B60 C120 D240 解析： (2x1)6( 12x)6?T3C62( 1)4(2x)260 x2. 选 B. 6 （02 全国）72)2)(1 xx（的展开式中，3x项的系数是解：在展开式中，3x的来源有：第一个因式中取出2x，则第二个因式必出x，其系数为667)2(C；第一个因式中取

9、出1，则第二个因式中必出3x，其系数为447)2(C3x的系数应为,1008)2()2(447667CC填1008。7 （04 安徽改编）3)21(xx的展开式中，常数项是；解：36323)1() 1()21(xxxxxx上述式子展开后常数项只有一项33336)1(xxC，即20本小题主要考查把 “三项式” 的问题通过转化变型后，用二项式定理的知识解决，考查了变型与转化的数学思想。8. 求62)321(xx的展开式里x5的系数 . 解：因为6662)1()31()321(xxxx122661223366666666613(3 )(3 ) 1C x CxCxC x C xC xC x所 以62)

10、321(xx的 展开 式 里x5的 系 数 为51422333244166666666661 ()33()33()31168.CCCCCCCCCC评述：本题也可将62)321(xx化为62)32(1xx用例 1 的作法可求得 . 9. 求（ 1+x+x2+x3） （ 1x）7的展开式中x4的系数；解： （1）原式 =xx114（1x）7=（1x4） （1x）6，展开式中x4的系数为（ 1）4C461=14. 10. 求（1+x）3+（1+x）4+（1+x）50的展开式中x3的系数 . 解：方法一：原式=1)1( 1)1()1(483xxx=xxx351)1()1(. 展开式中x3的系数为 C4

11、51. 方法二：原展开式中x3的系数为C33+C34+C35+C350=C44+C34+C350=C45+C35+C350=C451. 11.(2009 重庆高考)(x22x)8的展开式中x4的系数是( ) A16 B70 C560 D1 120 解析：由二项展开式通项公式得Tr18Cr (x2)8r(2x)r2r8Cr163rx. 由 163r4，r4，则x4的10032005C系数为 2448C1 120. 答案： D 12(2009湖南高考 ) 在(1x)3(1 x)3(1 3x)3的展开式中，x的系数为 _( 用数字作答 ) 解析：13C23C33C2317. 答案： 7 13若621

12、xax的二项展开式中x3的系数为52，则a精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 11 页学习好资料欢迎下载_( 用数字作答 ) 解析：通项Tr16Cr123rrax，当 123r3 时，r3，所以系数为36Ca352，得a2. 答案： 2 14. 求式子312|xx的展开式中的常数项. 解法一： （x+|1x2）3=（x+|1x2） （x+|1x2） （x+|1x2）得到常数项的情况有：三个括号中全取2，得（ 2）3；一个括号取x，一个括号取|1x，一个括号取2，得 C13C12（ 2）=12，常数项为（ 2）3+（12）=2

13、0. 解法二：（|x|+|1x2）3=（| x|1x）6. 设第r+1 项为常数项，则T1r=Cr6 （ 1）r （|1x）r|x|r6=（ 1）6Cr6|x|r26，得 62r=0，r=3. T3+1=（ 1）3C36=20. 15.103)1(xx展开式中的常数项是；解：rrrrrrrxCxxCT65510310101) 1()1()(令0655r，即6r。所以常数项是210)1(6106C161231()xx的展开式中的常数项为 ( ) A 1320 B1320 C 220 D220 解析：展开式的通项是Tr112Crx12r( 13x)r12Cr( 1)rx412-3r，令 124r3

14、0，得r9，故展开式的常数项是T10912C( 1)9 220. 答案： C 17. 求7)11(xx的展开式中的常数项. 解：由二项式定理得77)1(1)11(xxxx77772271707)1()1()1()1(xxCxxCxxCxxCCrr其中第)70( 1rr项为rrrxxCT)1(71在rxx)1(的展开式中， 设第 k+1 项为常数项， 记为, 1kT则)0( ,)1(2, 1rkxCxxCTkrkrkkrkrk由得 r 2k=0，即 r=2k ，r 为偶数，再根据、知所求常数项为.39336672747172707CCCCCCC评述：求某一项时用二项展开式的通项. 18. 求（x

15、+x44）4的展开式中的常数项；解： （x+x44）4=442)44(xxx=48)2(xx，展开式中的常数项为C4482 （ 1）4=1120. 2. 求中间项19 （00 京改编）求（103)1xx的展开式的中间项；解 ：,)1()(310101rrrrxxTC展 开 式的 中间 项 为535510)1()(xxC，即：65252x。当n为 奇 数 时 ，nba)(的 展 开 式 的 中 间 项 是212121nnnnbaC和212121nnnnbaC；当n为偶数时，nba)(的展开式的中间项是222nnnnbaC。20. 在5311nxx的展开式中， 所有奇数项的系数之和为 1024，则

16、中间项系数是( ) A330 B 462 C682 D792 解析：二项式的展开式的所有项的二项式系数和为2n，而所有偶数项的二项式系数和与所有奇数项的二项式系数和相等由题意得，21n1 024 ，n11，展开式共有 12 项，中间项为第六项、第七项，系数为511C611C462. 答案： B 3. 求有理项16求103)1(xx的展开式中有理项共有项；解：341010310101) 1()1()(rrrrrrrxxrTCC当9 ,6 , 3, 0r时，所对应的项是有理项。故展开式中有理项有 4 项。当一个代数式各个字母的指数都是整数时，那么这个代数精选学习资料 - - - - - - - -

17、 - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 11 页学习好资料欢迎下载式是有理式；当一个代数式中各个字母的指数不都是整数（或说是不可约分数）时，那么这个代数式是无理式。4. 求系数最大或最小项17 （00 上海）在二项式11)1(x的展开式中，系数最小的项的系数是；解：rrrrxTC)1(11111要使项的系数最小，则r必为奇数，且使Cr11为最大，由 此 得5r， 从 而 可 知 最 小 项 的 系 数 为4 6 2) 1(5511C18求84)21(xx展开式中系数最大的项；解 ： 记 第r项 系 数 为rT， 设 第k项 系 数 最 大 ， 则 有11kkkkTTTT又

18、1182 .rrrCT， 那 么 有kkkkkkkkCCCC2 .2.2 .2.8118228118即)!8( ! 82)!9)!.(1(! 82)!10)!.(2(! 8)!9)!.(1(! 8KKKKKKKkKKKK1922211解 得43k，系 数 最 大 的 项 为 第3项2537xT和第 4 项2747xT。19在7()xy的展开式中， 系数绝对值最大项是；解：求系数绝对最大问题都可以将“nba)(”型转化为)(nba型来处理，故此答案为第4 项4347yxC，和第 5 项5257yxC。20. 在312nxx的展开式中，只有第5 项的二项式系数最大，则展开式的常数项为( ) A 7

19、 B7 C 28 D28 解析：依题意，n215，n8. 二项式为312nxx8，易得常数项为7. 答案： B 2133nxx的展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则 (1x)n的展开式中系数最小的项的系数等于 _解析：展开式中， 各项系数的和为4n，各项二项式系数的和为 2n，由已知得 2n64，所以n6，(1 x)6的展开式中，第四项的系数最小，为36C 20. 答案： 20 22二项式(1sin )nx的展开式中，末尾两项的二项式系数之和为7，且二项式系数最大的一项的值为52，则x在(0,2 ) 内的值为 _解析：由已知可得C1nnCnnn17，即得n6，二项式系数最

20、大的一项为36Csin3x20sin3x52，解得 sinx12，又x(0,2 ) ，x6或56. 答案：6或56题型三：利用“赋值法”及二项式性质求部分项系数，二项式系数和23若443322104)32(xaxaxaxaax，则2312420)()(aaaaa的值为；解：443322104)32(xaxaxaxaax令1x，有432104)32(aaaaa，令1x，有)()()32(314204aaaaa故原式 =)().(3142043210aaaaaaaaaa=44)32.()32(=1)1(424 （04 天津）若2004221020042004.)21 (xxaxaax，则)(.)(

21、)(200402010aaaaaa；解：2004221020042004.)21 (xxaxaax，令1x，有1.)21(20042102004aaaa令0 x，有1)01(02004a故原式01220040(.)2003120032004aaaaa在用“赋值法”求值时，要找准待求代数式与已知条件的联系，一般而言：0, 1, 1特殊值在解题过程中考虑的比较多。25 设0155666.) 12(axaxaxax， 则6210. . . aaaa；分析：解题过程分两步走；第一步确定所给绝对值符号内的数的符号； 第二步是用赋值法求的化简后的代数式的值。解：rrrrxTC)1()2(661654321

22、06210.aaaaaaaaaaa=)()(5316420aaaaaaa=0 题型四：利用二项式定理求近似值26求6998.0的近似值，使误差小于001.0；分析：因为6998.0=6)002.01(，故可以用二项式定理展开计算。解：6998.0=6)002. 01 (=621)002.0(.)002.0.(15)002.0.(61001.000006. 0)002.0(15)002.0.(22263CT，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 11 页学习好资料欢迎下载且第 3 项以后的绝对值都小于001. 0，从第 3 项起

23、，以后的项都可以忽略不计。6998. 0=6)002.01 ()002.0(61=988. 0012.01小结：由nnnnnnxxxxCCC.1)1(221，当x的绝对值与 1 相比很小且n很大时，nxxx,.,32等项的绝对值都很小， 因此在精确度允许的范围内可以忽略不计，因此可以用近似计算公式：nxxn1)1 (，在使用这个公式时，要注意按问题对精确度的要求，来确定对展开式中各项的取舍，若精确度要求较高，则可以使用更精确的公式：22)1(1)1(xnnnxxn。利用二项式定理求近似值在近几年的高考没有出现题目，但是按照新课标要求，对高中学生的计算能力是有一定的要求，其中比较重要的一个能力就

24、是估算能力。所以有必要掌握利用二项式定理来求近似值。题型五：利用二项式定理证明整除问题27 （02 潍坊模拟）求证：15151能被 7 整除。证明：15151=1)249(51=12.2.49.2.49.2.49.495151515050512492515015151051CCCCC=49P+1251（NP）又1)2(1217351=（7+1）171=17.7.7.7.17171617152171611717017CCCCC=7Q （QN）)(77715151QPQP15151能被 7 整除。在利用二项式定理处理整除问题时，要巧妙地将非标准的二项式问题化归到二项式定理的情境上来，变形要有一定的

25、目的性，要凑出相关的因数。二项式定理高考试题的难度一般处于中挡，掌握好上述常规的二项式定理题目的解题方法，无疑对我们后续知识的学习，以及将来的高考吃了一颗制胜的定心丸。28. 若 Cn1xCn2x2 Cnnxn能被 7 整除，则x，n的值可能为 ( ) Ax4，n3 Bx4，n4 Cx5，n4 Dx6，n5 解析：选C.由 Cn1xCn2x2 Cnnxn(1 x)n1，分别将选项 A、B、C、D代入检验知，仅有C 适合第十一章第三节二项式定理精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 11 页学习好资料欢迎下载题组一求展开式中的指定

26、项和特定项1. (x22x)8的展开式中x4的系数是 ( ) A16 B70 C560 D1120 解析：由二项展开式通项公式得Tr 18Cr (x2)8r(2x)r2r8Cr163rx. 由 163r4，r4，则x4的10032005C系数为 2448C1 120. 答案： D 2(x13x)12的展开式中的常数项为 ( ) A 132 0 B1 320 C 220 D220 解析：展开式的通项是Tr112Crx12r( 13x)r12Cr( 1)rx412-3r，令 124r30，得r9，故展开式的常数项是T10912C( 1)9 220. 答案： C 3(2009湖南高考) 在(1 x)

27、3 (1 x)3 (1 3x)3的展开式中，x的系数为 _( 用数字作答)解析：13C23C33C2317. 答案： 7 4若x21ax6的二项展开式中x3的系数为52，则a_( 用数字作答 ) 解析：通项Tr16Cr123rrax，当 123r3 时，r3，所以系数为36Ca352，得a2. 答案： 2 题组二求展开式中各项系数的和5. 在1x51x3n的展开式中， 所有奇数项的系数之和为 1 024 ，则中间项系数是( ) A 330 B 462 C 682 D792 解析：二项式的展开式的所有项的二项式系数和为2n，而所有偶数项的二项式系数和与所有奇数项的二项式系数和相等由题意得，21n

28、 1 024，n11，展开式共有12 项，中间项为第六项、第七项，系数为511C611C462. 答案： B 6(2009陕西高考) 若 (1 2x)2009a0a1xa2009x2009(xR)，则a12a222a200922009的值为 ( ) A 2 B 0 C 1 D 2 解析：令x0，则a01，令x12，则a0a12a222a2 00922 0090，a12a222a2 00922 009 1. 答案： C 7(2010黄石模拟 )(1 axby)n展开式中不含x的项的系数绝对值的和为243， 不含y的项的系数绝对值 的 和 为32 ， 则a，b，n的 值 可 能 为( ) Aa2，

29、b 1，n5 Ba 2，b 1，n6 Ca 1，b2，n6 Da1，b2，n5 解析：不含x的项的系数的绝对值为(1 |b|)n 24335， 不含y的项的系数的绝对值为(1 |a|)n 3225，n5，1|b| 3，1|a| 2.答案： D 8若 (x2)5a5x5a4x4a3x3a2x2a1xa0，则a1a2a3a4a5_.( 用数字作答 ) 解析：由题设令x0 得a0( 2)5 32，令x1 得a5a4a3a2a1a0(1 2)5 1，故a1a2a3a4a5 1( 32) 31. 答案： 31 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第

30、9 页，共 11 页学习好资料欢迎下载题组三求展开式中系数最大项问题9. 在x213xn的展开式中，只有第5 项的二项式系数最大，则展开式的常数项为( ) A 7 B 7 C 28 D 28 解析：依题意，n215，n8. 二项式为x213x8，易得常数项为68Cx2213x67. 答案： B 10(2010贵阳模拟)(x33x)n的展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则 (1x)n的 展 开 式 中 系 数 最 小 的 项 的 系 数 等 于_解析：展开式中，各项系数的和为4n，各项二项式系数的和为2n，由已知得2n64，所以n6，(1x)6的展开式中，第四项的系数最小，

31、为36C 20. 答案： 20 11二项式 (1 sinx)n的展开式中，末尾两项的二项式系数之和为7， 且二项式系数最大的一项的值为52，则x在(0,2) 内的值为 _解析：由已知可得C1nnCnnn17，即得n6，二项式系数最大的一项为36Csin3x20sin3x52，解得 sinx12，又x(0,2)，x6或56. 答案：6或56题组四二项式定理的综合应用12. 若(3x132x)n的展开式中含有非零常数项，则这样的正整数n的最小值是 ( ) A 3 B 4 C 10 D12 解析：Tr1 Crn(3x)nr( 132x)rCrn(3)nr( 1)r(132)rxnrxr3Crn(3)

32、nr( 132)rxn4r3，令n43r0，得n43r. n取最小值为4. 答案： B 13令an为(1 x)1n的展开式中含x1n项的系数，则数列 1an 的前n项和为 ( ) A.n(n3)2B.n(n1)2C.nn1 D.2nn1解析：Tr1Crn 1xr，an11CnnC2n 1n(n1)2，1an2n(n1)，i 1n1an2 11212131n1n12 11n12nn1. 答案： D 14已知 (xcos1)5的展开式中x2的系数与 (x54)4的展开式中x3的系数相等，则cos_. 解析： (xcos1)5(1xcos)5，展开式中x2的系数为25Ccos2. (x54)4(54

33、x)4，展开式中x3的系数为5434C，由题意可知25Ccos25434C， cos212，cos22. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 11 页学习好资料欢迎下载答案：2215关于二项式 (x1)2 005，有下列命题：该二项展开式中非常数项的系数之和是1；该二项展开式中第六项为62005Cx1 999；该二项展开式中系数最大的项是第1 002 项；当x2 006 时， (x1)2 005除以 2 006 的余数是 2 005. 其中正确命题的序号是_( 注：把你认为正确的命题序号都填上) 解析：二项式 (x1)2

34、005所有项的系数和为0，其常数项为 1，非常数项的系数和是1，即得正确；二项展开式的第六项为52005Cx2 000，即得错 误 ； 二 项 展 开 式 中 系 数 绝 对 值 最 大 的 项 为C2 005 122 005x1 00310022005Cx1 003， C2 005 122 005x1 00210032005Cx1 002，得系数最大的项是第1 003项10022005Cx1 003，即错误；当x2 006 时， (x1)2 005除以 2 006 的余数是2 00612 005 ，即正确答案：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 11 页