2022年高考数学一轮复习教案：第九篇解析几何第讲直线与圆锥曲线的位置关系 .pdf

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1、第 8 讲直线与圆锥曲线的位置关系【20XX 年高考会这样考】1考查圆锥曲线中的弦长问题、直线与圆锥曲线方程的联立、根与系数的关系、整体代入和设而不求的思想2高考对圆锥曲线的综合考查主要是在解答题中进行，考查函数、方程、不等式、平面向量等在解决问题中的综合运用【复习指导】本讲复习时，应从“数”与“形”两个方面把握直线与圆锥曲线的位置关系会判断已知直线与曲线的位置关系 (或交点个数 )，会求直线与曲线相交的弦长、中点、最值、定值、点的轨迹、参数问题及相关的不等式与等式的证明问题基础梳理1直线与圆锥曲线的位置关系判断直线l 与圆锥曲线C 的位置关系时，通常将直线l 的方程 AxByC0(A、B 不

2、同时为 0)代入圆锥曲线 C 的方程 F(x， y)0，消去 y(也可以消去x)得到一个关于变量x(或变量 y)的一元方程即AxByC0，F x，y 0，消去 y 后得 ax2bxc0. (1)当 a0 时，设一元二次方程ax2bxc0 的判别式为 ，则 0? 直线与圆锥曲线C 相交； 0? 直线与圆锥曲线C 相切； 0? 直线与圆锥曲线C 无公共点(2)当 a0，b0 时，即得到一个一次方程，则直线l 与圆锥曲线C 相交，且只有一个交点，此时，若C为双曲线，则直线l 与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若C 为抛物线，则直线l 与抛物线的对称轴的位置关系是平行2圆锥曲线的弦长(1)圆锥曲线的弦

3、长直线与圆锥曲线相交有两个交点时，这条直线上以这两个交点为端点的线段叫做圆锥曲线的弦(就是连接圆锥曲线上任意两点所得的线段)，线段的长就是弦长(2)圆锥曲线的弦长的计算设斜率为k(k0)的直线 l 与圆锥曲线C 相交于 A， B 两点，A(x1， y1)， B(x2， y2)， 则|AB|x2x12 y2 y121k2|x1 x2|11k2 |y1y2|.(抛物线的焦点弦长|AB|x1x2p2psin2，为弦 AB 所在直线的倾斜角)一种方法点差法：在求解圆锥曲线并且题目中交代直线与圆锥曲线相交和被截的线段的中点坐标时，设出直线和圆名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - -

4、- - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 12 页 - - - - - - - - - 锥曲线的两个交点坐标，代入圆锥曲线的方程并作差，从而求出直线的斜率，然后利用中点求出直线方程 “点差法 ”的常见题型有：求中点弦方程、求(过定点、平行弦)弦中点轨迹、垂直平分线问题必须提醒的是 “点差法 ”具有不等价性，即要考虑判别式是否为正数一条规律“联立方程求交点，根与系数的关系求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘”双基自测1(人教 A 版教材习题改编)直线 ykxk1 与椭圆x29y241 的位置关系为()A相交B相切C相离D不确定

5、解析直线 ykx k1k(x1) 1 恒过定点 (1,1)，而点 (1,1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交答案A 2(2012 泉州质检 )“直线与双曲线相切”是“直线与双曲线只有一个公共点”的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析与渐近线平行的直线也与双曲线有一个公共点答案A 3已知以F1(2,0)，F2(2,0)为焦点的椭圆与直线x3y40 有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为()A 3 2 B2 6 C27 D4 2 解析根据题意设椭圆方程为x2b24y2b2 1(b0)， 则将 x3y4 代入椭圆方程， 得 4(b21)y28 3b2yb412b20，

6、椭圆与直线 x3y40 有且仅有一个交点， (83b2)244(b21) (b412b2)0，即 (b24)(b2 3)0， b23，长轴长为2b2427. 答案C 4(2012 成都月考 )已知双曲线E 的中心为原点， F(3,0)是 E 的焦点， 过 F 的直线 l 与 E 相交于 A，B 两点，且 AB 的中点为 N(12，15)，则 E的方程为 ()A.x23y261 B.x24y251 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 12 页 - - - - -

7、 - - - - C.x26y231 D.x25y241 解析设双曲线的标准方程为x2a2y2b21(a0，b0)，由题意知 c3，a2b29，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有：x21a2y21b21，x22a2y22b21，两式作差得：y1y2x1x2b2x1x2a2y1y212b215a24b25a2，又 AB 的斜率是1501231，所以将 4b25a2代入 a2b29 得 a24，b2 5，所以双曲线的标准方程是x24y251. 答案B 5(2011 泉州模拟 )ykx2 与 y2 8x 有且仅有一个公共点，则k 的取值为 _解析由y kx2，y28x，得 ky2 8y16

8、0，若 k0，则 y 2；若 k0，则 0，即 6464k 0，解得 k1.故 k0 或 k1. 答案0 或 1考向一直线与圆锥曲线的位置关系【例 1】?(2011 合肥模拟 )设抛物线 y28x 的准线与 x 轴交于点 Q，若过点 Q 的直线 l 与抛物线有公共点，则直线 l 的斜率的取值范围是()A.12，12B 2,2 C 1,1 D4,4 审题视点 设直线 l 的方程，将其与抛物线方程联立，利用 0 解得解析由题意得Q(2,0)设 l 的方程为 y k(x2)，代入 y2 8x 得 k2x24(k22)x4k2 0，当k0 时，直线 l 与抛物线恒有一个交点；当k 0时， 16(k22

9、)2 16k40，即 k21，1k1，且 k0，综上 1k1. 答案C 研究直线和圆锥曲线的位置关系，一般转化为研究其直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组解的个数，但对于选择题、填空题，常充分利用几何条件，利用数形结合的方法求解【训练 1】 若直线 mxny4 与 O：x2y24 没有交点，则过点P(m，n)的直线与椭圆x29y241 的交点个数是 ()A至多为1 B2 C1 D0 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 12 页 - - - - - - - - -

10、 解析由题意知：4m2n2 2，即m2n22，点P(m，n)在椭圆x29y241 的内部，故所求交点个数是2 个答案B 考向二弦长及中点弦问题【例 2】?若直线 l 与椭圆 C：x23y21 交于 A、B 两点，坐标原点O 到直线 l 的距离为32，求AOB 面积的最大值审题视点 联立直线和椭圆方程，利用根与系数关系后代入弦长公式，利用基本不等式求出弦长的最大值即可解设 A(x1， y1)，B(x2，y2)(1)当 ABx 轴时， |AB|3；(2)当 AB 与 x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为 ykxm.由已知，得|m|1k232，即 m234(k21)把 ykxm 代入椭圆方程，整理，

11、得(3k21)x26kmx3m230. x1x26km3k21，x1x23 m213k21. |AB|2(1k2)(x2x1)2(1k2) 36k2m23k21212 m213k2112 k2 1 3k2 1m23k2123 k21 9k213k2 12312k29k46k21. 当 k0 时，上式 3129k21k2631223 64，当且仅当9k21k2，即 k33时等号成立此时|AB|2；当 k0 时， |AB|3，综上所述 |AB|max2. 当 |AB|最大时， AOB 面积取最大值Smax12|AB|max3232. 当直线 (斜率为 k)与圆锥曲线交于点A(x1，y1)，B(x2

12、，y2)时，则|AB|1k2 |x1x2|11k2|y1y2|，而|x1x2|x1x224x1x2，可根据直线方程与圆锥曲线方程联立消元后得到的一元二次方程，利用根与系数的关系得到两根之和、两根之积的代数式，然后再进行整体代入求解【训练 2】 椭圆 ax2by21 与直线 xy10 相交于 A，B 两点， C 是 AB 的中点，若AB 2 2，OC的斜率为22，求椭圆的方程解法一设 A(x1，y1)、B(x2，y2)，代入椭圆方程并作差得名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第

13、 4 页，共 12 页 - - - - - - - - - a(x1x2)(x1x2)b(y1y2)(y1y2)0. 而y1y2x1x2 1，y1y2x1x2koc22，代入上式可得b2a. 再由 |AB|1k2|x2x1|2|x2x1|2 2，其中 x1、x2是方程 (ab)x22bxb10 的两根，故2bab2 4b1ab4，将 b2a 代入得 a13，b23. 所求椭圆的方程是x232y231. 法二由ax2by21，xy1，得(ab)x22bxb10. 设 A(x1，y1)、B(x2，y2)，则|AB|k21 x1 x2224b2 4 ab b1ab2. |AB|22，ababab1.

14、设 C(x，y)，则 xx1x22bab， y1xaab，OC 的斜率为22，ab22. 代入，得a13，b23. 椭圆方程为x2323y21. 考向三圆锥曲线中的最值(或取值范围 )问题【例 3】?(2011 湘潭模拟 )已知椭圆x22y21 的左焦点为F，O 为坐标原点(1)求过点 O、F，并且与直线l：x 2 相切的圆的方程；(2)设过点 F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A，B 两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点 G，求点G 横坐标的取值范围审题视点 (1)求出圆心和半径，得出圆的标准方程；(2)设直线 AB 的点斜式方程，由已知得出线段AB 的垂直平分线方程，利用求值域的方法

15、求解解(1)a2 2，b21， c1，F(1,0)，圆过点 O， F，圆心 M 在直线 x12上名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 12 页 - - - - - - - - - 设 M 12，t ，则圆半径r12 232，由|OM|r，得122t232，解得 t 2，所求圆的方程为x122 (y 2)294. (2)设直线 AB 的方程为yk(x1)(k0)，代入x22y21，整理得 (12k2)x24k2x2k22 0. 直线 AB 过椭圆的左焦点F 且不垂

16、直于x 轴，方程有两个不等实根如图，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， AB 中点 N(x0，y0)，则 x1x24k22k21，x012(x1x2)2k22k21，y0k(x0 1)k2k21，AB 的垂直平分线NG 的方程为 yy01k(xx0)令 y0，得 xGx0ky02k22k21k22k21k22k2 11214k22，k0，12xG0，点 G 横坐标的取值范围为12，0 . 直线与圆锥曲线位置关系的判断、有关圆锥曲线弦的问题等能很好地渗透对函数方程思想和数形结合思想的考查，一直是高考考查的重点，特别是焦点弦和中点弦等问题，涉及中点公式、根与系数的关系以及设而不求、整体代入的

17、技巧和方法，也是考查数学思想方法的热点题型【训练 3】 (2012 金华模拟 )已知过点 A( 4,0)的动直线 l 与抛物线 G：x22py(p0)相交于 B、C 两点 当直线 l 的斜率是12时， AC4AB. (1)求抛物线G 的方程；(2)设线段 BC 的中垂线在y 轴上的截距为b，求 b的取值范围解(1)设 B(x1，y1)，C(x2，y2)，当直线 l 的斜率是12时， l 的方程为 y12(x4)，即 x 2y4. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页

18、，共 12 页 - - - - - - - - - 由x22py，x2y4得 2y2(8p)y80，y1y24，y1y28p2，又 AC 4AB， y24y1，由及p0 得： y11，y24，p2，得抛物线 G 的方程为x24y. (2)设 l：yk(x4)，BC 的中点坐标为 (x0，y0)，由x24y，yk x 4得 x24kx 16k0，x0 xCxB22k，y0k(x04)2k24k. 线段 BC 的中垂线方程为y2k24k1k(x2k)，线段 BC 的中垂线在y 轴上的截距为：b2k24k22(k 1)2，对于方程，由 16k264k0 得 k0 或 k 4. b (2， )考向四定

19、值 (定点 )问题【例 4】?(2011 四川 )椭圆有两顶点A( 1,0)、B(1,0)，过其焦点F(0,1)的直线 l 与椭圆交于C、D 两点，并与 x 轴交于点P.直线 AC 与直线 BD 交于点 Q. (1)当|CD|322时，求直线l 的方程(2)当点 P 异于 A、B 两点时，求证：O P OQ为定值审题视点 (1)设出直线方程与椭圆方程联立利用根与系数的关系和弦长公式可求出斜率从而求出直线方程； (2)关键是求出Q 点坐标及其与P 点坐标的关系，从而证得OP OQ为定值证明过程中要充分利用已知条件进行等价转化(1)解因椭圆焦点在y 轴上，设椭圆的标准方程为y2a2x2b21(ab

20、0)，由已知得b1，c 1，所以 a2，椭圆方程为y22x21. 直线 l 垂直于 x 轴时与题意不符设直线 l 的方程为y kx1，将其代入椭圆方程化简得名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 12 页 - - - - - - - - - (k22)x22kx1 0. 设 C(x1，y1)，D(x2，y2)，则 x1x22kk22，x1 x21k2 2，|CD |k21 x1x224x1x222 k21k22. 由已知得22 k2 1k2 2322，解得 k 2

21、. 所以直线l 的方程为y2x1 或 y2x1. (2)证明直线 l 与 x 轴垂直时与题意不符设直线 l 的方程为y kx1(k0 且 k 1)，所以 P 点坐标为1k，0 . 设 C(x1，y1)，D(x2，y2)，由 (1)知 x1x22kk2 2，x1 x21k22，直线 AC 的方程为yy1x11(x1)，直线 BD 的方程为yy2x21(x1)，将两直线方程联立，消去y 得x1x1y2x11y1x21. 因为 1x1，x21，所以x 1x 1与y2y1异号x1x12y22x112y21x2122 2x222 2x21x112x2121x11x21x11x212kk2 21k2212

22、kk2 21k22k1k12. 又 y1y2k2x1x2k(x1x2)1 2 1k1kk222 1k2k22k 1k 1，k1k1与 y1y2异号，x 1x 1与k1k1同号，x1x1k1k1，解得 xk. 因此 Q 点坐标为 (k，y0)O P O Q 1k， 0 () k，y01. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 12 页 - - - - - - - - - 故 O P OQ为定值解决圆锥曲线中的定值问题的基本思路很明确：即定值问题必然是在变化中所表现

23、出来的不变的量，那么就可以用变化的量表示问题中的直线方程、数量积等，其不受变化的量所影响的一个值即为定值，化解这类问题的关键是引进参数表示直线方程、数量积等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量，解题过程中要注意讨论直线斜率的存在情况，计算要准确【训练 4】 (2011 山东 )在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆 C：x23y21.如图所示， 斜率为 k(k0)且不过原点的直线l 交椭圆 C 于 A，B 两点，线段AB 的中点为 E，射线 OE 交椭圆 C 于点 G，交直线 x 3 于点 D(3，m)(1)求 m2k2的最小值；(2)若|OG|2|OD| |OE|，求证：直线l

24、过定点(1)解设直线 l 的方程为 ykxt(k0)，由题意， t0. 由方程组y kxt，x23y21，得(3k21)x26ktx3t230. 由题意 0，所以 3k21t2. 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系得x1x26kt3k21，所以 y1y22t3k21. 由于 E 为线段 AB 的中点，因此xE3kt3k21，yEt3k21，此时 kOEyExE13k.所以 OE 所在直线方程为y13kx，又由题设知D(3，m)，令 x 3，得 m1k，即mk1，所以 m2 k22mk2，当且仅当mk1 时上式等号成立，此时由 0 得 0t2，因此当 mk1 且 0t2 时

25、， m2k2取最小值 2. (2)证明由 (1)知 OD 所在直线的方程为y13kx，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 12 页 - - - - - - - - - 将其代入椭圆C 的方程，并由k0，解得 G3k3k21，13k21. 又 E 3kt3k21，t3k21，D 3，1k，由距离公式及t0 得|OG|23k3k21213k2129k213k21，|OD| 321k29k21k，|OE|3kt3k212t3k212t9k213k21，由|OG|2|

26、OD| |OE|得 tk，因此直线l 的方程为yk(x1)，所以直线l 恒过定点 (1,0)规范解答 17怎样求解析几何中的探索性问题【问题研究】解析几何中探索性问题的结论往往不明确，需要根据已知条件通过推理论证或是计算对结论作出明确的肯定或是否定，因此解决起来具有较大的难度【解决方案】明确这类问题的解题思想：即假设其结论成立、存在等，在这个假设下进行推理论证，如果得到了一个合情合理的推理结果，就肯定假设，对问题作出正面回答，如果得到一个矛盾的结果，就否定假设，对问题作出反面回答【示例 】?(本题满分12 分)(2011 辽宁 ) 如图，已知椭圆C1的中心在原点O，长轴左、右端点M、N 在 x

27、 轴上，椭圆C2的短轴为 MN，且 C1，C2的离心率都为e.直线 lMN， l 与 C1交于两点，与C2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A，B，C， D. (1)设 e12，求 |BC|与|AD|的比值；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 12 页 - - - - - - - - - (2)当 e 变化时，是否存在直线l，使得 BOAN，并说明理由第(1)问，设 C1的方程， C2的方程同样由C1的系数 a，b 来表示，再分别求点A、B 的坐标，进而

28、可求 |BC| |AD|；第 (2)问利用 kBO kAN，得 t 与 e、a 的关系式，再由|t|a，求 e 的范围解答示范 (1)因为 C1，C2的离心率相同，故依题意可设C1：x2a2y2b2 1，C2：b2y2a4x2a2 1，(a b0)设直线 l：x t(|t|a)，分别与 C1，C2的方程联立，求得 A(t，aba2t2)， B t，baa2t2.(4 分) 当 e12时， b32a，分别用 yA，yB表示 A，B 的纵坐标，可知|BC|AD|2|yB|2|yA|b2a234.(6 分) (2)t0 时的 l 不符合题意 t0 时， BOAN 当且仅当 BO 的斜率 kBO与 A

29、N 的斜率 kAN相等，即baa2t2taba2t2ta， (8 分) 解得 tab2a2b21e2e2 a. 因为 |t|a，又 0e1，所以1e2e21，解得22e1.(10 分) 所以当 0e22时，不存在直线l，使得 BOAN；当22e1 时，存在直线l，使得 BOAN.(12 分) 本题探索的是离心率e 的变化范围，化解这个难点的方法首先假设存在直线l，使得 BO AN，根据 kBOkAN，再由 |t|a 构建关于 e的不等式，解出e的范围，最后作出肯定回答【试一试】已知一条曲线C 在 y 轴右边， C 上每一点到点F(1,0)的距离减去它到y 轴距离的差都是1. (1)求曲线 C

30、的方程；(2)是否存在正数m，对于过点M(m,0)且与曲线 C 有两个交点A，B 的任一直线，都有FA FB 0？若存在，求出 m 的取值范围；若不存在，请说明理由尝试解答 (1)设 P(x，y)是曲线 C 上任意一点，那么点P(x，y)满足：x 12y2x1(x0)化简得 y24x(x 0)(2)设过点 M(m,0)(m0)的直线 l 与曲线 C 的交点为 A(x1， y1)，B(x2，y2)设 l 的方程为xtym，由xtym，y24x，得 y24ty4m0，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 -

31、- - - - - - 第 11 页，共 12 页 - - - - - - - - - 16(t2m)0，于是y1y24t，y1y2 4m.又FA(x1 1，y1)，FB(x21，y2)FA FB0? (x11)(x21)y1y2x1x2(x1x2)1y1y20.又 xy24，于是不等式等价于y214y224y1y2y214y22410?y1y2216y1y214(y1y2)22y1y210，由式，不等式等价于m26m14t2，对任意实数t,4t2的最小值为0，所以不等式对于一切t 成立等价于m26m10，即 3 2 2m322. 由此可知，存在正数m，对于过点M(m,0)且与曲线 C 有两个交点A，B 的任一直线，都有FA FB0，且 m 的取值范围是 (322，32 2)名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 12 页 - - - - - - - - -