2022年高考一轮复习教案-函数的单调性与最值 .pdf

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1、第二节函数的单调性与最值1函数的单调性理解函数的单调性及其几何意义2函数的最值理解函数的最大值、最小值及其几何意义知识点一函数的单调性1单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I.如果对于定义域I 内某个区间A 上的任意两个自变量的值x1，x2当 x1x2时，都有 f(x1)f(x2)，那么就说函数 f(x)在区间 A上是增加的当 x1f(x2)，那么就说函数f(x)在区间 A 上是减少的图象描述自左向右看图象是逐渐上升的自左向右看图象是逐渐下降的2.单调区间的定义如果函数 yf(x)在区间 A 上是增加的或是减少的，那么称A 为单调区间易误提醒求函数单调区间的两个注意点

2、：(1)单调区间是定义域的子集，故求单调区间应树立“定义域优先 ”的原则(2)单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“ ”联结，也不能用“或”联结必记结论1单调函数的定义有以下若干等价形式：设 x1，x2 a，b，那么名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 16 页 - - - - - - - - - f x1f x2x1x20? f(x)在a，b上是增函数；f x1f x2x1x20? f(x)在a，b上是增函数

3、；(x1x2)f(x1)f(x2)1在 R 上为增函数， 则 a 的取值范围是()A3,0) B3， 2 C(， 2 D(， 0)知识点二函数的最值前提设函数 yf(x)的定义域为I，如果存在实数M 满足条件对于任意 xI，都有 f(x)M存在 x0I，使得 f(x0)M对于任意xI，都有 f(x)M存在 x0I，使得 f(x0)M结论M 为最大值M 为最小值易误提醒在求函数的值域或最值时，易忽视定义域的限制性必备方法求函数最值的五个常用方法(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值(3)换元法：对比较复杂的函数可通过换

4、元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值(4)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值(5)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 16 页 - - - - - - - - - 自测练习 4函数 f(x)11x2(xR)的值域是 ()A(0,1) B(0,1C0,1) D0,1 5已知函数f(x)x22x( 2x1 且 xZ)，则 f(x)的值域是 ()

5、A0,3B1,3 C0,1,3 D1,0,3考点一函数单调性的判断|1下列四个函数中，在(0， )上为增函数的是()Af(x)3xBf(x)x23xCf(x)1x1Df(x) |x|给出解析式函数单调性的两种判定方法1定义法 (基本步骤为取值、作差或作商、变形、判断)2导数法 (基本步骤为求定义域、求导、变形、判断)考点二函数的单调区间的求法|求下列函数的单调区间：(1)y x22|x|1；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 16 页 - - - - - -

6、- - - (2)y log12(x23x2)函数单调区间的四种求法(1)利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，求单调区间(2)定义法：先求定义域，再利用单调性定义(3)图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，可由图象的直观性写出它的单调区间(4)导数法：利用导数取值的正负确定函数的单调区间函数 y|x|(1x)在区间 A上是增函数，那么区间A 是()A(， 0)B.0，12C0， ) D.12，考点三函数单调性的应用|函数单调性的应用比较广泛，是每年高考的重点和热点内容归纳起来， 常见的命题探究角度有：1求函数的值域或最值2比较两个函数值或两个自

7、变量的大小3解函数不等式4求参数的取值范围或值探究一求函数的值域或最值1(2015 高考浙江卷 )已知函数f(x)x2x3，x1，lg x21 ，x1，则 f(f(3)_，f(x)名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 16 页 - - - - - - - - - 的最小值是 _探究二比较两个函数值或两自变量的大小2已知函数f(x)log2x11x，若 x1(1,2)，x2(2， )，则 ()Af(x1)0，f(x2)0 Bf(x1)0Cf(x1)0，f(x2)0

8、，f(x2)0探究三解函数不等式3(2015 西安一模 )已知函数f(x)x3，x0，ln x1 ，x0，若 f(2x2)f(x)，则实数 x 的取值范围是 ()A(， 1)(2， )B(， 2)(1， )C(1,2)D(2,1)探究四利用单调性求参数的取值范围4(2015 江西新余期末质检)已知f(x)2a x1 x0 成立，那么a 的取值范围是 ()A.32，2B. 1，32C(1,2) D(1， )函数单调性应用问题的四种类型及解题策略(1)比较大小比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决(2)解不等式在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单

9、调性将“ f” 符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解此时应特别注意函数的定义域(3)利用单调性求参数视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数；需注意若函数在区间a，b上是单调的， 则该函数在此区间的任意子集上也是单调的名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 16 页 - - - - - - - - - (4)利用单调性求最值应先确定函数的单调性，然后再由单调性求出最值1.确定抽象函数的单调性以及解含“ f” 的不等式

10、【典例】(12 分)函数 f(x)对任意 a，bR，都有 f(ab) f(a)f(b)1，且当 x0 时，有 f(x)1.(1)求证： f(x)是 R 上的增函数；(2)若 f(4)5，解不等式f(2t1)f(1t)2.思路点拨 (1)用单调性的定义证明抽象函数的单调性；(2)结合题意，将含“ f” 的不等式 f(2t1) f(1t)2 转化为 f(m)0 .其中值域为R 的函数有 ()A1 个B2 个C3 个D4 个3若函数f(x)x22ax 与函数 g(x)ax1在区间 1,2 上都是减函数，则实数a 的取值范围为 ()A(0,1)(0,1) B(0,1)(0,1C(0,1) D(0,14

11、已知函数f(x)x24x3，x0，x22x3，x0，则不等式 f(a24)f(3a)的解集为 ()A(2,6) B(1,4)C(1,4) D(3,5)5 (2016 浦东一模 )如果函数yf(x)在区间 I 上是增函数， 且函数 yf xx在区间 I 上是减函数，那么称函数yf(x)是区间 I 上的“缓增函数”，区间I 叫作“缓增区间”若函数 f(x)12x2x32是区间 I 上的“缓增函数”，则“缓增区间” I 为()A1， ) B0，3C0,1D1，36 已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数， 若对任意的x1， x20， )(x1x2)， 有f x2f x1x2x10，0，x0，1，x0

12、 且 f(x)在(1， )上单调递减，求a 的取值范围10已知函数g(x)x1，h(x)1x3，x(3，a，其中 a 为常数且a0，令函数 f(x)g(x) h(x)(1)求函数 f(x)的表达式，并求其定义域；(2)当 a14时，求函数f(x)的值域名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 16 页 - - - - - - - - - B 组高考题型专练1(2014 高考北京卷 )下列函数中，在区间(0， )上为增函数的是()Ayx1 By(x1)2Cy2xDyl

13、og0.5(x1)2(2013 高考安徽卷 )“a0”是“函数f(x)|(ax1)x|在区间 (0， )内单调递增”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件3 (2015 高考福建卷 )若函数 f(x)x6，x2，3logax，x2(a0， 且 a1)的值域是 4， )，则实数 a 的取值范围是 _4(2015 高考湖北卷 )a 为实数，函数f(x)|x2ax|在区间 0,1上的最大值记为g(a)当a_时， g(a)的值最小名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - -

14、 - - - - 第 9 页，共 16 页 - - - - - - - - - 1.解析： 根据函数的图象知，函数f(x)1x在(0， )上单调递减，故选A. 答案： A2.解析： 要使 ylog5(2x1)有意义，则2x10，即 x12，而 ylog5u 为(0， )上的增函数，当 x12时， u2x1也为 R 上的增函数，故原函数的单调增区间是12， .答案：12，3.解析： 要使函数在R 上是增函数，则有a21，a0，1a5a，解得 3a2，即 a 的取值范围是 3， 2答案： B4.解析： 因为 1x21,00 时， f(x)3x 为减函数；当 x0，32时， f(x) x23x 为减

15、函数，当 x32， 时， f(x)x23x 为增函数；当 x (0，)时， f(x)1x1为增函数；当 x (0，)时， f(x)|x|为减函数故选C.答案： C2判断函数g(x)2xx1在(1， )上的单调性2.解： 法一：定义法任取 x1，x2 (1，)，且 x1x2，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 16 页 - - - - - - - - - 则 g(x1)g(x2)2x1x112x2x212 x1x2x11 x21，因为 1x1x2，所以 x1x

16、20，因此 g(x1) g(x2)0，即 g(x1)0， g(x)在(1， )上是增函数1.解(1)由于yx22x1，x0，x22x1，x0，即 y x122，x0， x122，x0，则 x2.函数ylog12(x23x2)的定义域为 (，1) (2， )又 ux23x2 的对称轴 x32，且开口向上 ux23x2 在(，1)上是单调减函数，在(2， )上是单调增函数而 ylog12u 在(0， )上是单调减函数， ylog12(x23x2)的单调递减区间为(2，)，单调递增区间为(，1)名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - -

17、- - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 16 页 - - - - - - - - - 解析： y|x|(1x)x 1x x0 ， x 1x x0 x2x x0 ，x2x x0 x12214x0 ，x12214x0 .画出函数的草图，如图由图易知原函数在0，12上单调递增答案： B1.解析： 由题知， f(3)1，f(1)0，即 f(f(3)0.又 f(x)在(，0)上单调递减，在(0,1)上单调递增， 在(1， 2)上单调递减， 在(2，)上单调递增， 所以 f(x)minmin f(0)，f(2) 223.答案： 02 232.解析： 函数f(x)log2x11x

18、在(1，)上为增函数，且f(2)0，当x1 (1,2)时， f(x1)f(2)0，即 f(x1)0.答案： B3.解析： 当x0 时，两个表达式对应的函数值都为零，函数的图象是一条连续的曲线当x0 时，函数 f(x)x3为增函数， 当 x0 时，f(x)ln( x1)也是增函数， 且当 x10 时， f(x1)f(x)等价于 2x2x，即 x2x20，解得 2x0，a1，2a 11a1.解得32a2，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 16 页 - - -

19、- - - - - - 故选 A.答案： A规范解答 (1)证明： 设 x1，x2R 且 x10，f(x2x1)1.(2 分)根据条件等式有f(x2)f(x1)f(x2x1x1)f(x1)f(x2x1)f(x1)1f(x1)f(x2x1)10，f(x1)f(x2)， f(x)是 R 上的增函数 (6 分)(2)由 f(ab)f(a)f(b)1，得 f(ab)f(a)f(b)1，f(2t1)f(1t)f(t2)1，(8 分)f(2t1)f(1t)2，即 f(t2)12，f(t2)3.又 f(22)f(2)f(2)15，f(2)3，f(t2)3f(2)(10 分)f(x)是 R 上的增函数 ，t2

20、2，t0的值域均是R，函数 y1x21的值域是 (0,1，函数 yx22x10(x1)211 的值域是 11， )，因此选 B.答案： B3.解析： 注意到 f(x) (xa)2a2；依题意得a1，a0，即 0f(3a)，可得a243a，整理得a23a40，即 (a1)(a4)0，解得 1a4，所以不等式的解集为 (1,4)答案： B5.解析： 因为函数f(x)12x2x32的对称轴为x1，所以函数yf(x)在区间 1， )上是增函数，又当x1 时，f xx12x132x，令 g(x)12x132x(x1)，则 g(x)1232x2x232x2，由 g(x)0 得 1x3，即函数f xx12x

21、132x在区间 1，3上单调递减，故“缓增区间 ”I 为1，3答案： D6.解析： 由 x1，x2 (0，)时，f x2 x1x2x10， f(x)在(0，)上为减函数又 f(2)f(2)，12f(2)f(3)即 f(1)f(2)f(3)答案： f(1)f(2)f(3)7.解析：g(x)x2，x1，0，x1，x2，x1.如图所示， 其递减区间是 0,1)答案： 0,1)8.解析： 因为函数 f(x)在 (， a)上是单调函数，所以a1，解得 a1.答案： (， 19.解： (1)证明：任设x1x20，x1x20，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - -

22、- - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 16 页 - - - - - - - - - f(x1)0 时， f(x)在(，a)，(a， )上是减函数，又 f(x)在(1，)上单调递减， 00)(2)函数 f(x)的定义域为0，14，令x1t，则 x(t1)2，t1，32，f(x)F(t)tt22t41t4t2. t4t时， t2 ? 1，32，又 t1，32时， t4t单调递减， F(t)单调递增， F(t)13，613.即函数 f(x)的值域为13，613.1.解析：y(x1)2仅在 1，)上为增函数， 排除 B；y2x12x为减函数， 排除

23、 C；因为 ylog0.5t 为减函数， tx1 为增函数，所以ylog0.5(x1)为减函数，排除D；yt和 tx1 均为增函数，所以yx1为增函数，故选A.答案： A2.解析： 由二次函数的图象和性质知f(x)|(ax1)x|在(0， )内单调递增，只需f(x)的图象在 (0，)上与 x 轴无交点，即a0 或1a2，所以当 x2 时，f(x)4； 又函数 f(x)的值域为 4，)，所以a1，3loga24.解得 1a2，所以实数a 的取值范围为(1,2答案： (1,24.解析： f(x)xa22a24，其在区间 0,1 上的最大值必在x0，x1，xa2处产生，即 g(a)max f 0 ，f 1 ，fa2max 0，|1a|，a24max |1a|，a24，在同一坐标系中分别画出 y|1a|，ya24的图象可知 (图略 )，在两图象的交点处，g(a)取得最小值，此时1aa24，则 a2 22(22 2舍去 )答案： 2 22名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 16 页，共 16 页 - - - - - - - - -