2022年高考数学一轮复习专题集训数系的扩充与复数的引入含解析 .pdf

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1、数系的扩充与复数的引入一、选择题 ( 每小题 6 分，共 36 分) 1. 互为共轭复数的两复数之差是( ) (A) 实数(B) 纯虚数(C)0 (D) 零或纯虚数2.(2011 福建高考)i 是虚数单位，若集合S1,0,1 ，则 ( ) (A)i S (B)i2S (C)i3S (D)2iS3.(2011 大纲版全国卷) 复数 z1i ， z 为 z 的共轭复数，则z z z1( ) (A) 2i (B)i (C)i (D)2i 4.(2011 辽宁高考)a 为正实数， i 为虚数单位， |aii| 2，则 a( ) (A)2 (B)3 (C)2 (D)1 5.(2013 大连模拟 ) 定义

2、运算 (a，b)(c ， d) acbd，则符合条件 (z,1 2i) (1 i ，1i) 0 的复数 z 所对应的点在 ( ) (A) 第一象限 (B)第二象限(C) 第三象限 (D)第四象限6. 复数 zm 2i12i(mR， i 为虚数单位 ) 在复平面上对应的点不可能位于( ) (A) 第一象限 (B)第二象限(C) 第三象限 (D)第四象限二、填空题 ( 每小题 6 分，共 18 分) 7.i为虚数单位，1i1i31i51i7. 8. (预测题 ) 已知m1i1ni ，其中 m ，n 是实数， i 是虚数单位，则m ni . 9. 定义一种运算如下：x1y1x2y2x1y2x2y1，

3、则复数 z3i 13i i(i是虚数单位 ) 的共轭复数是. 三、解答题 ( 每小题 15 分，共 30 分) 10.(2011 上海高考) 已知复数 z1满足 (z12)(1 i) 1i(i为虚数单位 ) ，复数 z2的虚部名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 6 页 - - - - - - - - - 为 2，且 z1z2是实数，求z2. 11.( 易错题 ) 复数 z112i ，z2 2i ，z3 12i ，它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个顶点，求

4、这个正方形的第四个顶点对应的复数. 【探究创新】 (16分) 已知 A(1,2) ， B(a,1) ， C(2,3) ， D(1，b)(a ，bR)是复平面上的四点，且向量ABuuu r，CDu uu r对应的复数分别为z1，z2. (1) 若 z1z21i ，求1iz11iz2. (2) 若 z1z2为纯虚数， z1z2为实数，求a、b. 答案解析1. 【解析】 选 D. 设互为共轭复数的两个复数分别为zabi ， z abi(a 、bR)，则 z z 2bi 或 z z 2bi. bR，当 b0 时，z z ， z z 为纯虚数；当 b0 时， z z z z0. 故选 D. 【误区警示】

5、 混淆了复数和虚数概念，误认为共轭复数就是共轭虚数，当得到z z 2bi时，就认为是纯虚数，错误地选B. 2. 【解析】 选 B. i21，而集合 S1,0,1 ， i2S. 3. 【解题指南】先求出 z 的共轭复数，然后利用复数的运算法则计算即可. 【解析】 选 B. z 1i ，z z z1(1i)(1i) (1 i) 1 i. 4.【解析】 选 B.因为 |aii| 2，故可化为 |1 ai| 2，又由于 a 为正实数， 所以 1a24，得 a3，故选 B. 5. 【解析】 选 D. (a，b) (c ，d) acbd，(z,1 2i) (1 i ，1i) z(1 i) (1 2i)(1

6、 i) 0，z3i1i 2i ，复数 z 所对应的点在第四象限，故选D. 6. 【解题指南】先把 z 化成 abi 的形式，再进行判断. 【解析】 选 A.z m 2i12i(m2i)(1 2i)5m 45(2m2)5i ，显然m 450 与2m 250名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 6 页 - - - - - - - - - 不可能同时成立，则zm 2i12i对应的点不可能位于第一象限. 【一题多解】 选 A.z m 2i12im 45(2m2)5i ，

7、设 xm 45，y(2m2)5，则 2xy20. 又直线 2xy20 不过第一象限，则zm 2i12i对应的点不可能位于第一象限. 【方法技巧】 复数问题的解题技巧(1) 根据复数的代数形式，通过其实部和虚部可判断一个复数是实数，还是虚数. (2) 复数 zabi ，aR，bR与复平面上的点Z(a，b) 是一一对应的，通过复数z 的实部和虚部可判断出其对应点在复平面上的位置. 7. 【解析】1i1i31i51i7i i i i 0. 答案： 0 【变式备选】 (1) 已知复数 z3i(1 3i)2， z 是 z 的共轭复数，则z z . 【解析】 方法一： |z| |3i|(1 3i)2|12

8、，z z |z|214. 方法二： z3i2(13i)34i4，z z ( 34i4)( 34i4) 14. 答案：14(2) 已知复数z1i ，则z22zz1. 【解析】z22zz1(1 i)22(1 i)(1 i) 1 2i 22ii2ii i 2i. 答案： 2i 8. 【解析】 由m1i1ni 得m2m2i 1ni ，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 6 页 - - - - - - - - - m21m2 n，m 2n1，m ni 2i. 答案： 2

9、i 9.【解析】 由定义知， z(3i)i(3i) ( 1) 31(31)i ，故 z 31(31)i. 答案：31(31)i 10. 【解析】 设 z2a2i(a R)，由已知复数z1满足(z12)(1 i) 1i ，得 z12i ，又已知 z1z2(2 i)(a2i) (2a2) (4 a)i是实数，则虚部4a0，即 a4，则复数 z242i. 【变式备选】 复数 z13a5(10 a2)i ，z221a(2a 5)i ，若 z1z2是实数，求实数a 的值 . 【解析】z1z23a5(a210)i 21a(2a5)i (3a521a) (a210) (2a5)i a13(a 5)(a 1)

10、(a22a15)i. z1z2是实数，a22a150，解得 a 5 或 a3. 又(a 5)(a 1) 0， a 5 且 a1，故 a3. 11. 【解析】 如图， z1、z2、z3分别对应点A、B 、C. ABuuu rOBu uu rOAuuu r，ABuuu r所对应的复数为z2z1( 2i) (1 2i) 3i ，在正方形ABCD 中，DCuuu rABu uu r，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 6 页 - - - - - - - - - DCu

11、uu r所对应的复数为3i ，又DCuuu rOCu uu rODuuu r，ODuuu rOCuuu rDCuu u r所对应的复数为z3( 3i) ( 12i) (3i) 2i ，第四个顶点对应的复数为2i. 【变式备选】 已知复数z 满足 |z| 1，求|z (1 i)|的最大值与最小值. 【解题指南】 |z| 1? 复数 z 对应的点是以原点为圆心，1 为半径的圆上的点? 所求即为圆上的点到点 (1,1)的距离的最大值、最小值. 【解析】 因为 |z| 1，所以 z 对应的点是单位圆x2y21 上的点， 而|z (1i)|表示单位圆上的点到 (1,1)点的距离 . 所以最大值为(01)

12、2(0 1)2121，最小值为(0 1)2(0 1)2121. 【探究创新】【解析】 (1) ABuuu r(a,1) (1,2) (a 1，1) ，CDu uu r( 1，b) (2,3) ( 3，b3)，z1(a 1)i ，z23(b 3)i ，z1z2(a 4) (b 4)i ，又 z1z21i ，a41b41，a5b5，z14i ，z2 32i ，1iz11 iz21i4i1i32i(1 i)(4i)4212(1i)(32i)( 3)22235i17 5i134622182221i. (2) 由(1) 得 z1z2(a 4) (b 4)i ，z1z2(a 2)(2 b)i ，z1z2为纯虚数， z1z2为实数，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 6 页 - - - - - - - - - a4 0b4 02b 0，a4b2. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 6 页 - - - - - - - - -