数字电子技术基础2(第二版)ppt课件.ppt

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1、第2章 逻辑代数基础 “雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。第第2章章 逻辑代数基础逻辑代数基础 2.1 逻辑代数的基本运算逻辑代数的基本运算 2.2 逻辑代数的基本定律和运算规则逻辑代数的基本定律和运算规则 2.3 复合逻辑和常用逻辑门复合逻辑和常用逻辑门 2.4 逻辑函数的两种标准形式逻辑函数的两种标准形式 2.5 逻辑函数的化简方法逻辑函数的化简方法第2章 逻辑代数基础 “雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网

2、格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。2.1.1逻辑函数的基本概念逻辑函数的基本概念逻辑是指事物因果之间所遵循的规律。为了避免用冗繁的文字来描述逻辑问题，逻辑代数将事物发生的原因（条件）和结果分别用逻辑变量和逻辑函数来描述。 2.1逻辑代数的基本运算逻辑代数的基本运算 第2章 逻辑代数基础 “雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。逻辑变量与普通代数的变量相似，可以用A、B、C和x、y、z等字母来表示。所不同的是，普通代数中变量的取值可

3、以是任意的，而逻辑代数的变量和常量取值只有两种，即逻辑0和逻辑1，因而称为二值逻辑。必须指出，这里的逻辑0和逻辑1并不表示数量的大小，而是代表事物矛盾双方的两种状态，即两种对立的逻辑状态。例如，它们可以代表事件的真、伪，对、错，型号的有、无，开关的通、断，电平的高、低等。 第2章 逻辑代数基础 “雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。逻辑函数与普通代数中的函数相似，它是随着自变量的变化而变化的因变量。因此，如果用自变量和因变量分别表示某一事件发生的条件和结果，那么该事件

4、的因果关系就可以用逻辑函数来描述。数字电路响应输入的方式称为电路的逻辑，任何一个数字电路的输出与输入变量之间都存在一定的逻辑关系，并可以用逻辑函数来描述。例如，对于某电路，若输入逻辑变量A、B、C、的取值确定后，其输出逻辑变量F的值也被唯一确定了，则可以称F是A、B、C、的逻辑函数，并记为F=f（A,B,C,）。 第2章 逻辑代数基础 “雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。2.1.2三种基本逻辑运算三种基本逻辑运算逻辑代数的基本运算有与（AND）、或（OR）、非（NO

5、T）三种，它们可以由相应的逻辑门来实现。1.与运算（逻辑乘）与运算（逻辑乘）与运算（逻辑乘）表示这样一种逻辑关系：只有当决定一事件结果的所有条件同时具备时，结果才发生。例如在图2.1.1所示的串联开关电路中，只有在开关A和B都闭合的条件下，灯F才亮，这种灯亮与开关闭合的关系就称为与逻辑。如果设开关A、B闭合为1，断开为0，设灯F亮为1，灭为0，则F与A、B的与逻辑关系可以用表2.1.1所示的真值表来描述。所谓真值表,就是将输入逻辑变量的所有取值组合与其对应的输出函数值列成表格的表示形式。 第2章 逻辑代数基础 “雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支

6、撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。图 2 -1 与逻辑实例 第2章 逻辑代数基础 “雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。表2.1.1与逻辑真值表 A BF0 00 11 01 10001与逻辑可以用逻辑表达式表示为F=AB 第2章 逻辑代数基础 “雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。 在逻辑代数

7、中，将与逻辑称为与运算或逻辑乘。符号“”表示逻辑乘，在不致混淆的情况下，常省去符号“”。在有些文献中，也采用、 及&等符号来表示逻辑乘。 实现与逻辑的单元电路称为与门，其逻辑符号如图2.1.2所示。其中,图（a）为特定外形符号，图（b）为矩形轮廓符号。这两种符号都是IEEE/ANSI（电气与电子工程师协会/美国国家标准协会）认定的图形符号，且与IEC（国际电工协会）标准相兼容。其中,图（a）表示的特定外形符号目前在国外教材和EDA软件中已被普遍使用，因此本书均采用这种特定外形符号。 第2章 逻辑代数基础 “雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以

8、网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。图2.1.2与门的逻辑符号 第2章 逻辑代数基础 “雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。2.或运算（逻辑加）或运算（逻辑加）或运算（逻辑加）表示的逻辑关系是：决定事件结果的所有条件中，只要有一个满足，结果就会发生。例如，图2.1.3所示的并联开关电路中，只要开关A、B中有一个闭合，灯F就亮，这种灯亮与开关闭合的关系称为或逻辑。F与A、B的或逻辑关系可以用表2.1.2所示的真值表来描述。 第2章

9、 逻辑代数基础 “雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。图2.1.3或逻辑实例 第2章 逻辑代数基础 “雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。表表2.1.2或逻辑真值表或逻辑真值表 A BF0 00 11 01 1011或逻辑可以用逻辑表达式表示为F=A+B 或逻辑也称为或运算或逻辑加。符号“+”表示逻辑加。有些文献中也采用、等符号来表示逻辑加。

10、 第2章 逻辑代数基础 “雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。 实现或逻辑的单元电路称为或门，其逻辑符号如图2-5所示，其中图(a)为我国常用的传统符号，图(b)为国外流行的符号， 图(c)为国标符号(见附录一)。 图2-6是一个 2 输入的二极管或门电路。图中输入端A、 B的电位可以取两种值： 高电位+3V或低电位0 V。 设二极管为理想开关，并规定高电位为逻辑1，低电位为逻辑0，则F与A、B之间逻辑关系的真值表与表2-2相同， 因此实现了F=A+B的功能。 第2章

11、 逻辑代数基础 “雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。图2.1.4或门的逻辑符号 第2章 逻辑代数基础 “雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。 3. 非运算非运算(逻辑反逻辑反) 非运算(逻辑反)是逻辑的否定：当条件具备时，结果不会发生；而条件不具备时，结果一定会发生。例如，在图2-7所示的开关电路中，只有当开关A断开时，灯F才亮，当开关A闭

12、合时，灯F反而熄灭。灯F的状态总是与开关A的状态相反。这种结果总是同条件相反的逻辑关系称为非逻辑。非逻辑的真值表如表2-3所示，其逻辑表达式为 AF 通常称A为原变量，A为反变量。 第2章 逻辑代数基础 “雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。 图2.1.5 非逻辑实例 AF0110表 2.1.3 非逻辑运算真值表 第2章 逻辑代数基础 “雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用

13、为重点的“群众性治安防控工程”。图2.1.6 非门逻辑符号 第2章 逻辑代数基础 “雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。 2.2逻辑代数的基本定律和运算规则逻辑代数的基本定律和运算规则2.2.1基本定律基本定律逻辑代数的基本定律如表2.2.1所示。 第2章 逻辑代数基础 “雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。表 2.2.1 逻辑代数的基本定律

14、 名称 公式 1 公式 2 0-1 A+1=1 A0=0 自等律 A+0=A A1= A 重叠律 A+A=A AA=A 互补律 A+A=1 A A=0 交换律 A+B=B+A AB=BA 结合律 (A+B)+C=A+(B+C) (AB)C=A(BC) 分配律 A+BC=(A+B)(B+C) A(B+C)=AB+AC 反演律 （摩根定理） BA=BA BA=BA 还原律 A=A 第2章 逻辑代数基础 “雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。1.变量和常量的关系变量和常量的

15、关系0-1律、自等律、重叠律和互补律都是属于变量和常量的关系式。由于逻辑常量只有0、1两种取值，因此逻辑变量与常量的运算结果可直接根据三种基本逻辑运算的定义推出。这些定律也称为公理，可以用来证明其他公式。 第2章 逻辑代数基础 “雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。 2.与普通代数相似的定律与普通代数相似的定律交换律、结合律、分配律的运算法则与普通代数相似，但是分配律中A+BC=(A+B)(A+C)在普通代数中是不成立的。该定律称为加对乘的分配律，可以采用公式法证明。

16、 证： (A+B)(A+C) =AA+AB+AC+BC =A+AB+AC+BC =A(1+B+C)+BC=A+BC因此有 A+BC=(A+B)(A+C) 第2章 逻辑代数基础 “雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。表2.2.2反演律证明 AB0 00 11 01 11110111010001000ABBABABA3.逻辑代数中的特殊定律逻辑代数中的特殊定律反演律和还原律是逻辑代数中的特殊定律。反演律又称为德摩根（DeMorgan）定理，在逻辑代数中具有特殊重要的作用,

17、它提供了一种变换逻辑表达式的方法，即可以将与运算之非变成或运算，将或运算之非变成与运算。反演律的正确性可以通过表2.2.2所示的真值表证明。 第2章 逻辑代数基础 “雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。2.2.2 三个重要规则三个重要规则 1. 代入规则代入规则 任何一个逻辑等式，如果将等式两边所出现的某一变量都代之以同一逻辑函数，则等式仍然成立，这个规则称为代入规则。 由于逻辑函数与逻辑变量一样，只有0、1两种取值， 所以代入规则的正确性不难理解。运用代入规则可以扩

18、大基本定律的运用范围。 例如，已知A+B=AB(反演律)，若用F=B+C代替等式中的B，则可以得到适用于多变量的反演律， 即 CBA=FAFACBA=CBA 第2章 逻辑代数基础 “雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。 2. 反演规则反演规则 对于任意一个逻辑函数式F，如果将其表达式中所有的算符“”换成“+”， “+”换成“”，常量“0”换成“1”，“1”换成“0”，原变量换成反变量，反变量换成原变量，则所得到的结果就是 。 称为原函数F的反函数，或称为补函数。 反演

19、规则是反演律的推广，运用它可以简便地求出一个函数的反函数。 例如： FF,ACDCABF);()(CADCBAF若 则 ,EDCBAF。EDCBAF若 则 运用反演规则时应注意两点： 不能破坏原式的运算顺序先算括号里的，然后按“先与后或”的原则运算。 不属于单变量上的非号应保留不变。 第2章 逻辑代数基础 “雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。 3. 对偶规则对偶规则 对于任何一个逻辑函数，如果将其表达式F中所有的算符“”换成“+”, “+”换成“”，常量“0”换成“

20、1”，“1”换成“0”， 而变量保持不变，则得出的逻辑函数式就是F的对偶式，记为F(或F*)。 例如： AFAFCBAFCBAFCABAFCABAF,;,);1()(),0(则若则若则若以上各例中F是F的对偶式。不难证明F也是F对偶式。 即F与F互为对偶式。 第2章 逻辑代数基础 “雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。 任何逻辑函数式都存在着对偶式。 若原等式成立， 则对偶式也一定成立。即，如果F=G,则F=G。这种逻辑推理叫做对偶原理，或对偶规则。 必须注意，由原式

21、求对偶式时，运算的优先顺序不能改变， 且式中的非号也保持不变。 观察前面逻辑代数基本定律和公式，不难看出它们都是成对出现的， 而且都是互为对偶的对偶式。 例如，已知乘对加的分配律成立，即A(B+C)=AB+AC，根据对偶规则有，A+BC=(A+B)(A+C)，即加对乘的分配律也成立。 第2章 逻辑代数基础 “雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。2.2.3 若干常用公式若干常用公式 1. 合并律合并律 ABAAB 在逻辑代数中，如果两个乘积项分别包含了互补的两个因子(如

22、B和B)， 而其它因子都相同，那么这两个乘积项称为相邻项。 合并律说明，两个相邻项可以合并为一项， 消去互补量。 证：证：第2章 逻辑代数基础 “雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。表 2.2.3 若干常用公式 名称 公式 1 公式 2 合并律 AB+AB=A (A+B)(A+B)=A 吸收律 1 A+AB=A A(A+B)=A 吸收律 2 BABAA A(A+B)=AB 吸收律 3 AB+AC+BC=AB+AC (A+B)( A+C)(B+C)=(A+B)( A+C

23、) 第2章 逻辑代数基础 “雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。 2. 吸收律吸收律 A+AB=A 证： A+AB=A(1+B)=A1=A 吸收律说明，两个乘积项相加时，如果一个乘积项的部分因子（如AB项中的A）恰好等于另一乘积项（如A）的全部，则该乘积项（AB）是多余的，可以消去。 BABABAAABAABABAA)(1)( 证： 第2章 逻辑代数基础 “雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共

24、安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。 该公式说明，在一个与或表达式中，如果一个乘积项(如A)取反后是另一个乘积项(如 的因子，则此因子 是多余的。 BAACAABBCAABCCAABBCAACAABBCCAABCAABBCCAAB)( 证： 推论： CAABBCDCAAB 该公式及推论说明，在一个与或表达式中，如果两个乘积项中的部分因子互补(如AB项和AC项中的A和A)，而这两个乘积项中的其余因子(如B和C)都是第三个乘积项中的因子， 则这个第三项是多余的。 第2章 逻辑代数基础 “雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管

25、理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。2.3复合逻辑和常用逻辑门复合逻辑和常用逻辑门 2.3.1 复合逻辑运算和复合门复合逻辑运算和复合门 1. 与非、与非、 或非、或非、 与或非逻辑运算与或非逻辑运算与非逻辑运算是与运算和非运算的组合， 即 BAF或非逻辑运算是或运算和非运算的组合， 即 BAF 与或非逻辑运算是与、或、非三种运算的组合，即 CDABF第2章 逻辑代数基础 “雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。图图2.3.1与非门、或非

26、门和与或非门的逻辑符号与非门、或非门和与或非门的逻辑符号 第2章 逻辑代数基础 “雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。BABABAFA BF0 00 11 01 10110表表2.3.1异或逻辑真值表异或逻辑真值表 2. 异或和同或逻辑运算异或和同或逻辑运算 异或逻辑的含义是：当两个输入变量相异时，输出为1； 相同时输出为0。 是异或运算的符号。 异或运算也称模2加运算。 异或逻辑的真值表如表2-5所示， 其逻辑表达式为 第2章 逻辑代数基础 “雪亮工程是以区（县）、

27、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。表表2.3.2 同或逻辑真值表同或逻辑真值表 A B F 0 0 0 1 1 0 1 1 1 0 0 1 第2章 逻辑代数基础 “雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。实现异或逻辑的单元电路称为异或门，其逻辑符号如图2.3.2（a）所示。实现同或逻辑的单元电路称为同或门，其逻辑符号如图2.3.2（b）所示。图中第一行均为特定外形符

28、号，第二行均为矩形轮廓符号。 第2章 逻辑代数基础 “雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。图2.3.2异或门和同或门的逻辑符号 第2章 逻辑代数基础 “雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。ABBABAFA BF0 00 11 01 11001表2.3.3异或、同或运算的常用公式 由定义和真值表可见，异或逻辑与同或逻辑互为反函数，即 第2章 逻

29、辑代数基础 “雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。由定义和真值表可见，异或逻辑与同或逻辑互为反函数，即 BABABABA, 不仅如此，它们还互为对偶式。如果 ，G=A B， 不难证明F=G, G=F。 因此可以将“ ”作为“ ”的对偶符号，反之亦然。由以上分析可以看出， 两变量的异或函数和同或函数既互补又对偶，这是一对特殊函数。 BAF第2章 逻辑代数基础 “雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公

30、共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。3异或、同或运算的常用公式异或、同或运算的常用公式异或和同或运算的常用公式如表2.3.3所示。表中的公式可以利用真值表或前面的公式证明。 第2章 逻辑代数基础 “雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。表2.3.3异或、同或运算的常用公式 名称 异或公式 同或公式 变量与 常量的 关系 A0=A A1=A AA=1 A1=A A0=A AA=0 交换律 AB=BA AB=BA 结合律 ABC=A(BC) A (BC)=

31、(AB) C 分配律 A(BC)=ABAC A+( BC)=(A+B) (A+C) 反演律 BA=AB BABA 调换律 AB=AB=BA AB=AB=BA 奇偶律 AA=0 ， AAA=A AA=1， AAA=A 第2章 逻辑代数基础 “雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。异或门和同或门在实际应用中十分有用，例如，可以将异或门用作可控反相器，其电路如图 2.3.3 所示。图中当 x=0 时，F=Ax=A0=A；当 x=1 时，F= Ax=A1=A，即利用一个输入端的

32、信号去控制另一端输入的信号同相或反相输出。又如，利用异或运算的奇偶律就可以判断输入信息中“1”的个数是奇数还是偶数，所以常用若干个异或门实现奇偶校验电路。此外，再进行逻辑函数表达式化简时，当提取公因子后，可能会遇到异或运算或同或运算，这时采用异或门或着同或门实现电路也比较方便。 第2章 逻辑代数基础 “雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。图2.3.3用异或门控制同相、反相输出 第2章 逻辑代数基础 “雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以

33、综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。2.3.2常用逻辑门及逻辑函数表达式的常用形式常用逻辑门及逻辑函数表达式的常用形式1逻辑运算符的完备性逻辑运算符的完备性在逻辑代数中，与、或、非是三种最基本的逻辑运算，用与、或、非三种运算符和逻辑变量可以构成任何逻辑函数，因此称与、或、非逻辑运算符是一组完备集。但是与、或、非三种运算符并不是最好的完备集，因为用它实现一个函数要使用三种不同规格的逻辑门。实际上由德摩根定理可见，有了“与”和“非”便可得到“或”，有了“或”和“非”便可得到“与”，因此用“与非”、“或非”、“与或非”运算中的任何一种都能单

34、独实现“与、或、非”运算，这三种复合运算每种都是完备集，而且实现函数只需一种规格的逻辑门，这就给设计带来了许多方便。 第2章 逻辑代数基础 “雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。2逻辑函数表达式的常用形式逻辑函数表达式的常用形式几种常用逻辑门的实际器件及引脚图如图2.3.4所示。从图中可以看出，每个集成芯片都包含了若干个相同的逻辑门，如7400为四2输入与非门，7402为四2输入或非门，7404为6反相器等。当用逻辑门实现某一逻辑函数时，如果选择实际器件的功能、型号不

35、同，则逻辑函数表达式的形式也不相同，因此必须将逻辑函数式变换成相应的形式。 第2章 逻辑代数基础 “雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。图2.3.4几种常用逻辑门的实际器件及引脚图 第2章 逻辑代数基础 “雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。任何一个逻辑函数可以有多种逻辑函数表达式，最常用的形式有五种：与或式、或与式、与非-与非式、或非-或非

36、式、与或非式。与或式和或与式是函数表达式的两种基本形式。单个逻辑变量（或反变量）进行与运算构成的项称为“与项”或“乘积项”，由“与项”相“或”构成的表达式称为“与或”表达式或“积之和”表达式。单个逻辑变量（或反变量）进行或运算构成的项称为“或项”或“和项”，由“或项”相“与”构成的表达式称为“或与”表达式或“和之积”表达式。 第2章 逻辑代数基础 “雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。与或式和或与式的互换可以通过两次求反或两次求对偶得到。将与或式两次求反，借助反演律可

37、得到与非-与非式；将或与式两次求反，借助反演律可得到或非-或非式，并进一步转换为与或非式。例如，某逻辑函数通过上述变换可得到以下五种形式： 第2章 逻辑代数基础 “雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。CABACABACAABCABACAABF)()()(与或式 或与式 与非与非式 或非或非式 与或非式 第2章 逻辑代数基础 “雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群

38、众性治安防控工程”。以上逻辑函数表达式可用图2.3.5所示的五种逻辑电路实现，其中图(c)全部用与非门实现,只需用一片7400就够了;图(d)全部用或非门实现,只需用一片7402就够了;图(e)只需用一片7451中的一个与或非门实现。显然，采用复合门实现电路更加经济。第2章 逻辑代数基础 “雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。图2.3.5逻辑函数的五种电路形式 第2章 逻辑代数基础 “雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑

39、、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。2.3.3常用逻辑门的等效符号及有效电平常用逻辑门的等效符号及有效电平1德德摩根（摩根（DeMorgan）定理与逻辑门的等效符号）定理与逻辑门的等效符号德摩根定理提供了一种变换逻辑运算符号的方法，利用该定理可以将任何与(AND)形式的逻辑门和或（OR）形式的逻辑门互换。例如一个2输入与非门的逻辑符号如图2.3.6（a）所示，根据德摩根定理 可画出图（b）所示的等效电路，它意味着每个输入端接有反相器的或门等效于一个与非门。将图（b）中的非门用小圆圈表示，则可画出与非门的等效符号，如图(c)所示，其输入端的小圆圈表示非

40、运算。 BABAF第2章 逻辑代数基础 “雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。图2.3.6与非门及其等效符号 第2章 逻辑代数基础 “雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。同理，在其他逻辑门标准符号的基础上，只要利用德摩根定理改变其运算符号（或变与，与变或，反相器除外），并用小圆圈表示非运算，就可得到相应的等效符号。图2.3.7列出了各种逻辑门

41、的标准符号和等效符号。逻辑门的等效符号可以用来对逻辑电路进行变换或化简。必须指出，上述逻辑门的标准符号和等效符号都是在正逻辑体制下，用不同的符号形式描述同一逻辑功能的函数。这里的等效符号并不是负逻辑表示方法。 第2章 逻辑代数基础 “雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。图2.3.7各种逻辑门的标准符号和等效符号第2章 逻辑代数基础 “雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重

42、点的“群众性治安防控工程”。对于正逻辑体制，高电平用逻辑1表示，低电平用逻辑0表示；负逻辑体制正好相反，高电平用逻辑0表示，低电平用逻辑1表示。同一电路的输入、输出关系既可以用正逻辑描述，也可以用负逻辑描述。选择逻辑体制不同，则同一电路的逻辑功能也不同。通常两种逻辑体制的互换如下：正与非=负或非，正或非=负与非，正与=负或，正或=负与由于实际应用中很少采用负逻辑，所以本书均采用正逻辑体制。 第2章 逻辑代数基础 “雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。2有效电平的概念有

43、效电平的概念有效电平规定：当逻辑符号的输入或输出引脚上没有小圆圈时，表示该引脚是高电平有效；当逻辑符号的输入或输出引脚上有小圆圈时，表示该引脚是低电平有效。例如，与非门的标准符号如图2.3.8（a）所示，其输入端没有小圆圈而输出端有小圆圈，因此它是输入高电平有效，输出低电平有效。该符号的逻辑功能可描述为：仅当全部输入为高电平时，输出才为低电平。与非门的等效符号如图2.3.8（b）所示，它是输入低电平有效，输出高电平有效。其逻辑功能可描述为：当任何一个输入为低电平时，输出为高电平。可见这两种符号的描述方式不同，但逻辑功能是相同的。 第2章 逻辑代数基础 “雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区

44、）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。图2.3.8与非门及等效符号的逻辑功能描述 第2章 逻辑代数基础 “雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。有效电平的概念对于分析电路的工作状态十分重要，特别是后面章节所讲述的中、大规模集成芯片，其输入、输出引脚都有可能是高电平有效或低电平有效，即信号为高电平或低电平时芯片（或电路）才能完成规定的功能。因此输入信号的电平必须与芯片（或电路）所要求的有

45、效电平相匹配才能正常工作。 第2章 逻辑代数基础 “雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。2.4逻辑函数的两种标准形式逻辑函数的两种标准形式 2.4.1 最小项和标准与或式最小项和标准与或式 1.最小项最小项 n 个变量的最小项是 n 个变量的“与项” ，其中每个变量都以原变量或反变量的形式出现一次。 两个变量 A、B 可以构成四个最小项：A B、AB 、AB、AB，三个变量A、B、C 可以构成八个最小项：A B C、A BC、ABC、ABC 、AB C、ABC 、AB

46、C、ABC，可见 n 个变量的最小项共有n2个。 第2章 逻辑代数基础 “雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。表 2.4.1 列出了三变量全部最小项的真值表。从表中可见，每一个最小项仅和一组变量取值相对应，只有该组取值使其值为 1，在其余取值下它皆为 0。最小项通常用符号im表示，下标 i 是最小项的编号， 它对应变量取值的等效十进制数。 如 ABC仅和取值 110相对应，因此 ABC是 110对应的最小项，可以用符号6m来表示。 第2章 逻辑代数基础 “雪亮工程是以

47、区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。表 2.4.1 三变量逻辑函数的最小项 序号 ABC CBAm0 CBAm1 CBAm2 BCAm3 CBAm4 CBAm5 CABm6 ABCm7 0 000 1 0 0 0 0 0 0 0 1 001 0 1 0 0 0 0 0 0 2 010 0 0 1 0 0 0 0 0 3 011 0 0 0 1 0 0 0 0 4 100 0 0 0 0 1 0 0 0 5 101 0 0 0 0 0 1 0 0 6 110 0 0 0 0 0 0

48、 1 0 7 111 0 0 0 0 0 0 0 1 第2章 逻辑代数基础 “雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。最小项具有以下性质： n变量的全部最小项的逻辑和恒为1，即 1120niim 任意两个不同的最小项的逻辑乘恒为0， 即 )(0jimmji n变量的每一个最小项有n个相邻项。例如，三变量的某一最小项 有三个相邻项： 。这种相邻关系对于逻辑函数化简十分重要。 CBACBABCACBA、第2章 逻辑代数基础 “雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治

49、中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。 2. 最小项表达式最小项表达式标准与或式标准与或式 如果在一个与或表达式中，所有与项均为最小项， 则称这种表达式为最小项表达式，或称为标准与或式、标准积之和式。 例如： CABCBACBACBAF),(是一个三变量的最小项表达式， 它也可以简写为 546( , ,)(4,5,6)F A B Cmmmm第2章 逻辑代数基础 “雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工

50、程”。 任何一个逻辑函数都可以表示为最小项之和的形式： 只要将真值表中使函数值为1的各个最小项相或，便可得出该函数的最小项表达式。 由于任何一个函数的真值表是惟一的，因此其最小项表达式也是惟一的。 表2.4.2真值表 A B CF0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 101101011第2章 逻辑代数基础 “雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。2.4.2最大项和标准或与式最大项和标准或与式1.最大项最大项n个变量的最大项是n个变