2022年二阶常微分方程 .pdf

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1、第七节二阶常系数线性微分方程在上节我们已经讨论了二阶线性微分方程解的结构，二阶线性微分方程的求解问题，关键在于如何求二阶齐次方程的通解和非齐次方程的一个特解。本节讨论二阶线性方程的一个特殊类型，即二阶常系数线性微分方程及其求解方法。先讨论二阶常系数线性齐7.1 二阶常系数线性齐次方程及其22dxydpdxdyqy0 (7.1)其中 p、 q 是常数，由上节定理二知，要求方程 (7.1)的通解，只要求出其任意两个线性无关的特解y1,y我们先分析方程 (7.1) 可能具有什么形式的特解，从方程的形式上来看，它的特点是22dxyd，dxdy，y 各乘以常数因子后相加等于零，如果能找到一个函数y，名师

2、资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 25 页 - - - - - - - - - 其22dxyd，dxdy，y 之间只相差一个常数因子，这样的函数有可能是方程 (7.1) 的特解，在初等函数中， 指数函数 erx y erx( 其中 r 为待定常数 )将 yerx，dxdyrerx，22dxydr2erx代入方程 (7.1)得 r2erxprerxqerx0或 erx（r2prq）0因为 erx0 r2prq0由此可见，若 r r2prq0 (7.2)的根， 那么

3、 erx就是方程 (7.1) 的特解， 于是方程 (7.1)的求解问题， 就转化为求代数方程 (7.2) 的根问题。称(7.2) 式为微分方程 (7.1)特征方程 (7.2) 是一个以 r 为未知函数的一元二次代数方程。特征方程的两个根r，r2，称为特征根，由代数知识，特征根r1，r2有三种可能的情况，下面(1) 若特证方程 (7.2) 有两个不相等的实根r，r2，此时 er x，er2x是方程 (7.1)名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 25 页 - -

4、- - - - - - - 因为xrxr21eeex)rr(21所以 er1x， er2x为线性无关函数， 由解的结构定理知，方程(7.1)yC1er1xC2er2x(2) 若特征方程 (7.2) 有两个相等的实根r1r2，此时 p24q0，即有 r1r22p，这样只能得到方程 (7.1) 的一个特解 yer x， 因此， 我们还要设法找出另一个满足12yy常数，的特解 y2，故12yy应是 x 的某个函数， 设12yyu，其中 uu(x) y2uy1uerx对 y2dxdy2dxduer1xruer1x(dxdur1u)er1x222dxyd(r2u2r1dxdu22dxud)er1x将它们

5、代入方程 (7.1) (r21ur1dxdu22dxud)er1xp(dxdur1u)er1xquer1x0名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 25 页 - - - - - - - - - 22dxud(2r1p) dxdu(rpr1q)u er1x0因为 er1x0，且因 r1是特征方程的根，故有rprq0，又因 r12p故有 2r1p0，于是上式22dxud0显然满足22dxud0 的函数很多，我们取其中最简单 u(x)x则 y2xerx是方程 (7.1)

6、 的另一个特解，且y1，y2是两个线性无关的函数，所以方程(7.1) yC1er1xC2xer1x(C1C2x)er1x (3)若特征方程 (7.2) 有一对共轭复根 r1i ，r2i 此时方程 (7.1) y1e(i)x y2e（i）x yC1e（i）xC2e（i）x其中 C1，C2为任意常数，但是这种复数形式的解，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 25 页 - - - - - - - - - 在应用上不方便。在实际问题中，常常需要实数形式 eixcosx

7、isinx ，eixcosxisinx有21 (eixeix) cosxi21 (eixeix)sinx21 (y1y)21ex(eixeix)excosxi21 (y1y2)i21ex(eixeix) exsin x由上节定理一知，21 (y1y2)，i21 (y1y2)是方程(7.1) 的两个特解， 也即 excosx，exsin x 是方程(7.1) 的两个特解：且它们线性无关，由上节定理二知，方程(7.1) yC1excosxC2exsin x或 yex(C1cosxC2sin x)其中 C1，C2为任意常数，至此我们已找到了实数形式的通解，其中，分别是特征方程 (7.2) 复数根的综

8、上所述，求二阶常系数线性齐次方程(7.1) 的通解，只须先求出其特征方程 (7.2) 的根，再根据他的三名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 25 页 - - - - - - - - - 特征方程 r2prq0 的根微分方程22dxydpdxdyqy0 的通解有二个不相等的实根r1，r2 yC1er1xC2er2x有二重根 r1r2 y(C1C2x)er1x有一对共轭复根irir21yex(C1cosxC2sinx) 例 1. (1) 22dxyd3dxdy y

9、0(2) 22dxyd4dxdy4y0(3) 22dxyd4dxdy7y0解 (1)特征方程 r23r100 有两个不相等的 r15，r22所求方程的通解 y C1e 5rC2e2x(2) 特征方程 r24r40 r1r22所求方程的通解 y(C1C2x)e2x(3) 特征方程 r24r70 r123i r223i名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 25 页 - - - - - - - - - 所求方程的通解 y e2x(C1cos3xC2sin3x)7.2

10、二阶常系数线性非齐次方程的由上节线性微分方程的结构定理可知，求二阶常系22dxydpdxdyqyf(x) (7.3)的通解，只要先求出其对应的齐次方程的通解，再求出其一个特解，而后相加就得到非齐次方程的通解，而且对应的齐次方程的通解的解法，前面已经解决，因此下面要解决的问题是求方程(7.3) 的一个特方程(7.3) 的特解形式，与方程右边的f(x) 有关，这里只就 f(x)一、f(x) pn(x)expn(x) 是 n 次多项式，我们先讨论当 0f(x) pn（x22dxydpdxdyqypn(x) (7.4)(1) 如果 q0，我们总可以求得一n 次多项式满足名师资料总结 - - -精品资料

11、欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 25 页 - - - - - - - - - yQn(x) a0 xna1xn 1 ana0，a1，an是待定常数，将y及其导数代入方程 (7.4) ，得方程左右两边都是n 次多项式， 比较两边 x 的同次幂系数，就可确定常数 a0， a1， an例 1. 求22dxyddxdy2yx23解自由项 f(x) x23 是一个二次多项式，又q20ya0 x2a1xa2求导数y2a0 xa1y2a0代入方程有 2a0 x2(2a02a1)x （2a0a12a）x

12、233a2aa20a2a21a2210100解得47a21a21a210所以特解y21x221x47名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 25 页 - - - - - - - - - (2) 如果 q0，而 p0，由于多项式求导一次，其次数要降低一次，此时yQn(x) 不能满足方程，但它可以被一个 (n1)yxQn(x) a0 xn1a1xn anx代入方程 (7.4) ，比较两边系数，就可确定常数a0，a1，an例 2. 求方程22dxyd4dxdy3x22解

13、自由项 f(x)3x22 是一个二次多项式， 又q0，p 0，故设特解ya0 x3a1x2a2x求导数y3a0 x22a1xa2y6a0 x2a112a0 x2（8a16a0）x（ a14a2）3x22，比较两边同次幂的系数名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 25 页 - - - - - - - - - 2a4a20a6a83a1221010解得3219a163a41a210所求方程的特解y41x3163x23219x(3) 如果 p0，q0，则方程变为22d

14、xydpn(x) ，此时特解是一个 (n2)yx2Qn(x) ，代入方程求得，也可直接通过两次积下面讨论当 0 时，即当 f(x) pn(x)ex时方程22dxydpdxdyqypn(x)ex (7.5)的一个特解的求法，方程(7.5) 与方程 (7.4) 相比，只是其自由项中多了一个指数函数因子ex， 如果能通过变量代换将因子ex去掉，使得 (7.5) 化成(7.4) 式的形式，问题即可解决，为此设 yuex， 其中 uu(x)是待定函数，对yuexdxdyexdxduuex名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师

15、精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 25 页 - - - - - - - - - 求二阶导数22dxydex22dxud2exdxdu2uex代入方程 (7.5) ex22dxud2dxdu2upexdxduuquexpn(x)ex消去 ex22dxud(2p) dxdu(2pq)upn（x）(7.6)由于(7.6) 式与(7.4) 形式一致，于是按 (7.4) 的结(1) 如果2pq0， 即不是特征方程 r2prq0 的根，则可设 (7.6) 的特解 un(x) ，从而可设(7.5)yQn(x)ex (2)如果2pq0，而p0，即是特征方程 r2prq0 的单根，则可设(

16、7.6) 的特解 uxQn(x) ，从而可设 (7.5)yxQn(x)ex (3)如果 r2pq0，且 p0，此时 是特征方程 r2prq0 的重根，则可设 (7.6) 的特名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 25 页 - - - - - - - - - 解 ux2Qn(x) ，从而可设 (7.5)yx2Qn(x)ex例 3. (1)22dxyd5dxdy6ye3x(2) 22dxyd5dxdy6y3xe2x(3) 22dxyddxdyy(3x21)ex解

17、(1)因3 不是特征方程 r25r60 的根，故方程具有形如ya0e3x (2)因2 是特征方程 r25r60 的单根，yx(a0 xa1)e2x (3)因1 是特征方程 r22r10 的二重yx2(a0 x2a1xa)ex例 4. 求方程22dxydy(x 2)e3x解特征方程 r10名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 25 页 - - - - - - - - - 特征根 r i 得，对应的齐次方程22dxydy0 YC1cosxCsinx由于3 不是特征

18、方程的根， 又 pn(x) x2 为一次y(a0 xa1)e3x此时 ua0 xa1，3，p0，q1，求 u 关于 x的导数dxdua0，22dxud022dxud( p) dxdu(2pq)u(x 2) 10a0 x10a16a0 x2比较两边 x2a6a101a10010解得 a0101，a15013y(101x5013)e3x所以原方程的通解是 yYyC1cosxC2sinx （101x5013）e3x名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 25 页 -

19、- - - - - - - - 例 5. 求方程22dxyd2dxdy3y(x1)ex的通解特征方程 r22r30特征根 r11，r23所以原方程对应的齐次方程22dxyd2dxdy3y0 的通解 YC1exC2e3x, 由于1是特征方程的单根，又 pn(x) x21yx(a0 x2a1xa2)ex此时 ua0 x3a1x2a2x，1，p2，q3对 u 关于 xdxdu3a0 x22a1xa222dxud6a0 x2a1代入22dxud(2p) dxdu( 2prq)ux21，12a0 x2(6a08a)x 2a14ax21 比较 x 的名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - -

20、 - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 25 页 - - - - - - - - - 0a8a6121a1a121000解得329a0a4a2161a2011y4x (3x24x89)ex二、f(x) pn(x)excosx 或 pn（x）exsin x，即求形如22dxydpdxdyqypn(x)excosx (7.7)22dxydpdxdyqypn(x)exsin x (7.8)由欧拉公式知道， pn（x）excosx，pn(x)exsinx 分别是函数 pn(x)e（i）x22dxydpdxdyqypn（x）e

21、（i）x(7.9)方程(7.9) 与方程 (7.5) 类型相同，而方程 (7.5) 的特解的求法已在前面讨论。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 15 页，共 25 页 - - - - - - - - - 由上节定理五知道，方程(7.9) 的特解的实部就是方程(7.7) 的特解，方程 (7.9) 的特解的虚部就是方程(7.8) 的特解。因此，只要先求出方程(7.9) 的一个特解，然而取其实部或虚部即可得方程(7.7) 或(7.8) 的注意到方程 (7.9) 的指数函数 e

22、（i）x中的i (0)是复数，而特征方程是实系数的二次方程，所以i 最多只能是它的单根。因此方程(7.9) 的特解形为 Qn(x)e（i）xxn(x)e（i）x例 6. 求方程22dxydyexcos2x解特征方程 r210特征根 r11，r21 YC1exC2ex为求原方程的一个特解y先求方程22dxydye（ 2i ）x12i 不是特征方程的根，且pn(x) 为零次多项式，故可设 ua0，此时(12i) ，p0，q1 代入方22dxud(2p) dxdu( 2pq)u1名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心

23、整理 - - - - - - - 第 16 页，共 25 页 - - - - - - - - - 得 （2i ）21a01 ，即(4i 4)a01，得 a0)1i (4181 (i 1)这样得到22dxydye（ 2i ）x y81 (i 1)e（ 2i ）xy 81 (i 1)e（ 2i ）x81 (i 1)ex(cos xisin2x)81ex （cos2xsin2x ）i(cos2x sin2x) 取其实部得原方程的一个特解y81ex(cos xsin2x)故原方程的通解为 yYyC1exC2ex81ex(cos2x sin2x)例 7. 求方程22dxydy(x 2)e3xxsinx

24、的通解由上节定理三，定理四，本题的通解只要分别名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 17 页，共 25 页 - - - - - - - - - 求22dxydy0 的特解 Y22dxydy(x 2)e3x1y22dxydyxsinx2y然而相加即可得原方程的通解，由本节例4 有 YC1cosxC2sinx1y(101x5013)e3x2y2y先求方程22dxydyxeix由于 i 是特征方程的单根， 且 pn（x) x 为一次式，故可设 ux(a0 xa1) a0 x2a1

25、x，i ， p0，q1，对 udxdu2a0 xa1，22dxud2a0代入方程22dxud(2p) dxdu(2pq)ux得 2a2i(2a0 xa1) 0 x即 4ia0 x2ia12a0 x比较 x 的同次幂的系数有：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 18 页，共 25 页 - - - - - - - - - 0a2ia21ia4010得41a41i41a10即方程22dxydyxeix的一个特解y(4ix241x)eix(4ix241)(cosx isinx)(

26、41x2sinx 41xcosx) i( 41x2cosx41xsinx)取其虚部，得2y41x2cosx41xsinx所以，所求方程的通解y Y1y2yC1cosxC2sinx (101513)ex41xcosx41xsinx综上所述，对于二阶常系数线性非齐次方程22dxydpdxdyqyf(x)当自由项 f(x) 为上述所列三种特殊形式时， 其特解y名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 19 页，共 25 页 - - - - - - - - - 自由项 f(x) 形式特

27、解形式f(x) pn(x) 当 q0 时yQn(x)当 q0,p 0 时yQn(x)当 q0,p 0 时yx2Qn(x) f(x) pn（x）ex当不是特征方程根时yQn(x)ex当是特征方程单根时yxQn(x)ex当是特征方程重根时yx2Qn(x)exf(x) pn(x)excosx或f(x) pn(x)exsin x 利用欧拉公式 eixcosxisin x，化为 f(x) pn(x)e（i）x特解，再分别取其实部或虚部以上求二阶常系数线性非齐次方程的特解的方法，当然可以用于一阶，也可以推广到高阶的情况。例 8. 求 y3y3yyex解 r33r23r10 r1r2r31所求齐次方程的通解

28、Y(C1C2xC3x2)ex由于1名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 20 页，共 25 页 - - - - - - - - - 因此方程的特解ya0ex代入方程可解得 a081故所求方程的通解为yYy(C1C2xC3x2)ex81ex7.3 下述 n a0 xnnnaxyda1xn11n1ndxyd an1xdxdyanyf(x)称为欧拉方程，其中a0，a1，an都是常数， f(x)是已知函数。欧拉方程可通过变量替换化为常系数线 a0 x222dxyda1xdxdya2

29、yf(x) (7.10)作变量替换令 xet，即 tlnx引入新变量 tdxdydtdydxdtdtdyx1x1dtdy名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 21 页，共 25 页 - - - - - - - - - 22dxyddxd (x1dtdy) x1dxd (dtdy)dtdydxd (x1)x122dtyddxdt2x1dtdy2x122dtyd2x1dtdy代入方程 (7.10) a0(22dtyddtdy)a2dtdya1yf(et)即22dtyd002aa

30、adtdy01aay0a1f(et)它是 y 关于 t例 9. 求 x222dxydxdxdy6lnx x1解作变换替换，令 xetdxdyx1dxdy22dxyd2x122dtyd2x1dtdy22dtyd6t et yC1C2t t3et名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 22 页，共 25 页 - - - - - - - - - yC1C2lnx (lnx)3x1第八节前面讨论的微分方程所含的未知函数及方程的个数都只有一个，但在实际问题中常遇到含有一个自变量的两个或

31、多个未知函数的常微分方程组。本节只讨论常系数线性方程组，并且用代数的方法将其化为常例 1. )2(0y3x4dtdy)1(ey2xdtdxt解与解二元线性代数方程组中的消元法相类似，我们设法消去一个未知函数，由(1) y21 (dtdxxet) (3)将其代入 (2)21 (22dtxddtdxet)4x23 (dtdxxet)022dtxd4dtdx5x2et名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 23 页，共 25 页 - - - - - - - - - 它的通解为 xC

32、1e5tC2et41et代入(3) 得 y2C1e5tC2et21ettt2t51tt2t51e21eCeC2ye41eCeCx例 2. )2(t2yxdtdydtdx)1(ytdtdydtdx2解为消去 y，先消去dtdy，为此将 (1) (2)dtdxx2yt 0即有 y21 (dtdxxt) (3)代入(2)dtdx21dtd (dtdxxt) x21 (dtdxxt) 2t 0即22dtxd2dtdxx3t 1名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 24 页，共 25 页 - - - - - - - - - xCetC2tet3t 7代入(3) 得 y C1etC(21t)ett5te) t21(CeCy7t3teCeCxt2t1t2t1名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 25 页，共 25 页 - - - - - - - - -