2022年人教版高中数学选修-课后习题参考答案 .pdf

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1、新课程标准数学选修22 第一章课后习题解答第一章导数及其应用31 变化率与导数练习（P6）在第 3 h 和 5 h时，原油温度的瞬时变化率分别为1和 3. 它说明在第 3 h 附近，原油温度大约以1 h 的速度下降；在第5 h 时，原油温度大约以3 h 的速率上升. 练习（P8）函数( )h t 在3tt 附近单调递增，在4tt 附近单调递增 . 并且，函数( )h t 在4t 附近比在3t 附近增加得慢 . 说明：体会“以直代曲”1 的思想 . 练习（P9）函数33( )4Vr V(05)V的图象为根据图象，估算出(0.6)0.3r，(1.2)0.2r. 说明：如果没有信息技术，教师可以将此

2、图直接提供给学生，然后让学生根据导数的几何意义估算两点处的导数. 习题 1.1 A 组（P10）1、在0t 处，虽然1020( )( )W tWt，然而10102020( )()()()W tW ttW tW tttt. 所以，企业甲比企业乙治理的效率高. 说明：平均变化率的应用，体会平均变化率的内涵. 2、(1)(1)4.93.3hhthttt，所以，(1)3.3h. 这说明运动员在1ts 附近以 3.3 ms 的速度下降 . 3、物体在第 5 s的瞬时速度就是函数( )s t 在5t时的导数 . (5)(5)10sststtt，所以，(5)10s. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载

3、 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 39 页 - - - - - - - - - 因 此 ， 物 体 在 第5 s 时 的 瞬 时 速 度 为10 m s， 它 在 第5 s 的 动 能213 101502kEJ. 4、设车轮转动的角度为，时间为t，则2(0)ktt. 由题意可知，当0.8t时，2. 所以258k，于是2258t. 车轮转动开始后第3.2 s时的瞬时角速度就是函数( ) t 在3.2t时的导数 . (3.2)(3.2)25208tttt，所以(3.2)20. 因此，车轮在开始转动后第

4、3.2 s时的瞬时角速度为201s . 说明：第 2,3,4题是对了解导数定义及熟悉其符号表示的巩固. 5、由图可知，函数( )f x 在5x处切线的斜率大于零，所以函数在5x附近单调递增 . 同理可得，函数( )fx 在4x，2，0，2 附近分别单调递增，几乎没有变化，单调递减，单调递减. 说明： “以直代曲”思想的应用. 6、第一个函数的图象是一条直线，其斜率是一个小于零的常数，因此，其导数( )fx的图象如图（1）所示；第二个函数的导数( )fx 恒大于零，并且随着 x 的增加，( )fx的值也在增加； 对于第三个函数， 当 x 小于零时，( )fx 小于零，当 x 大于零时，( )fx

5、大于零，并且随着x的增加，( )fx 的值也在增加 . 以下给出了满足上述条件的导函数图象中的一种 . 说明：本题意在让学生将导数与曲线的切线斜率相联系. 习题 3.1 B 组（P11）1、高度关于时间的导数刻画的是运动变化的快慢，即速度； 速度关于时间的导数刻画的是速度变化的快慢，根据物理知识，这个量就是加速度. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 39 页 - - - - - - - - - 2、说明：由给出的( )v t 的信息获得( )s t 的相关信

6、息， 并据此画出( )s t 的图象的大致形状 . 这个过程基于对导数内涵的了解，以及数与形之间的相互转换. 3、由（1）的题意可知，函数( )f x 的图象在点 (1, 5)处的切线斜率为1，所以此点附近曲线呈下降趋势. 首先画出切线的图象， 然后再画出此点附近函数的图象. 同理可得（ 2） （3）某点处函数图象的大致形状. 下面是一种参考答案. 说明：这是一个综合性问题，包含了对导数内涵、导数几何意义的了解，以及对以直代曲思想的领悟 . 本题的答案不唯一 . 12 导数的计算练习（P18）1、( )27fxx，所以，(2)3f，(6)5f. 2、 （1）1ln 2yx；（2）2xye ；（

7、3）4106yxx；（4）3sin4cosyxx ；（5）1sin33xy；（6）121yx. 习题 1.2 A 组（P18）1、()( )2SS rrS rrrrr，所以，0( )lim(2)2rS rrrr. 2、( )9.86.5h tt. 3、3213()34r VV. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 39 页 - - - - - - - - - 4、 （1）213ln 2yxx；（2）1nxnxynxex e ；（3）2323sincoscoss

8、inxxxxxyx；（4）9899(1)yx；（5）2xye；（6）2sin(25)4 cos(25)yxxx. 5、( )822fxx . 由0()4fx有0482 2x，解得03 2x. 6、 （1）ln1yx；（2）1yx. 7、1xy. 8、 （1）氨气的散发速度( )500ln 0.8340.834tA t. （2）(7)25.5A，它表示氨气在第7 天左右时，以25.5 克天的速率减少 . 习题 1.2 B 组（P19）1、 （1）（2）当h越来越小时，sin()sinxhxyh就越来越逼近函数cosyx. （3）sinyx的导数为cosyx. 2、当0y时，0 x. 所以函数图象

9、与x 轴交于点(0,0)P. xye ，所以01xy. 所以，曲线在点P处的切线的方程为yx. 2、( )4sind tt . 所以，上午 6:00 时潮水的速度为0.42mh；上午 9:00 时潮水的速度为0.63mh；中午 12:00 时潮水的速度为0.83mh；下午 6:00 时潮水的速度为1.24mh. 13 导数在研究函数中的应用练习（P26）1、 （1）因为2( )24f xxx，所以( )22fxx. 当( )0fx，即1x时，函数2( )24f xxx单调递增；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师

10、精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 39 页 - - - - - - - - - 当( )0fx，即1x时，函数2( )24f xxx单调递减 . （2）因为( )xf xex，所以( )1xfxe. 当( )0fx，即0 x时，函数( )xf xex 单调递增；当( )0fx，即0 x时，函数( )xf xex 单调递减 . （3）因为3( )3f xxx ，所以2( )33fxx . 当( )0fx，即11x时，函数3( )3f xxx 单调递增；当( )0fx，即1x或1x时，函数3( )3f xxx 单调递减 . （4）因为32( )f xxxx ，所以2( )321

11、fxxx. 当( )0fx，即13x或1x时，函数32( )f xxxx 单调递增；当( )0fx，即113x时，函数32( )f xxxx 单调递减 . 2、3、因为2( )(0)f xaxbxc a，所以( )2fxaxb . （1）当0a时，( )0fx，即2bxa时，函数2( )(0)fxaxbxc a单调递增；( )0fx，即2bxa时，函数2( )(0)f xaxbxc a单调递减 . （2）当0a时，( )0fx，即2bxa时，函数2( )(0)f xaxbxc a单调递增；( )0fx，即2bxa时，函数2( )(0)fxaxbxc a单调递减 . 4、证明：因为32( )26

12、7f xxx，所以2( )612fxxx . 当(0,2)x时，2( )6120fxxx，因此函数32( )267fxxx在 (0, 2)内是减函数 . 练习（P29）1、24,xx 是函数( )yf x 的极值点，注：图象形状不唯一. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 39 页 - - - - - - - - - 其中2xx 是函数( )yf x 的极大值点，4xx 是函数( )yf x 的极小值点 . 2、 （1）因为2( )62f xxx，所以( )1

13、21fxx. 令( )1210fxx，得112x. 当112x时，( )0fx，( )f x 单调递增；当112x时，( )0fx，( )f x 单调递减 . 所 以 ， 当112x时 ，( )f x有 极 小 值 ， 并且 极 小 值 为211149()6()212121224f. （2）因为3( )27f xxx ，所以2( )327fxx. 令2( )3270fxx，得3x. 下面分两种情况讨论：当( )0fx，即3x或3x时；当( )0fx，即33x时. 当 x 变化时，( )fx ，( )f x 变化情况如下表：x(, 3)3( 3,3)3 (3,)( )fx0 0 ( )f x单调

14、递增54 单调递减54单调递增因此，当3x时，( )f x 有极大值，并且极大值为54；当3x时，( )fx 有极小值，并且极小值为54. （3）因为3( )612f xxx ，所以2( )123fxx . 令2( )1230fxx，得2x. 下面分两种情况讨论：当( )0fx，即22x时；当( )0fx，即2x或2x时. 当 x 变化时，( )fx ，( )f x 变化情况如下表：x(, 2)2( 2,2)2 (2,)名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 39

15、 页 - - - - - - - - - ( )fx0 0 ( )f x单调递减10单调递增22 单调递减因此，当2x时，( )f x 有极小值，并且极小值为10；当2x时，( )f x 有极大值，并且极大值为22 （4）因为3( )3f xxx ，所以2( )33fxx . 令2( )330fxx，得1x. 下面分两种情况讨论：当( )0fx，即11x时；当( )0fx，即1x或1x时. 当 x 变化时，( )fx ，( )f x 变化情况如下表：x(, 1)1( 1,1)1 (1,)( )fx0 0 ( )f x单调递减2单调递增2 单调递减因此，当1x时，( )f x 有极小值，并且极小

16、值为2；当1x时，( )f x 有极大值，并且极大值为2 练习（P31）（ 1） 在 0, 2 上 ， 当112x时 ，2( )62f xxx有 极 小 值 ， 并 且 极 小 值 为149()1224f. 又由于(0)2f，(2)20f. 因此，函数2( )62f xxx在0, 2 上的最大值是 20、最小值是4924. （2） 在 4,4 上， 当3x时，3( )27fxxx 有极大值，并且极大值为( 3)54f；当3x时，3( )27f xxx 有极小值，并且极小值为(3)54f；又由于( 4)44f，(4)44f. 因此，函数3( )27f xxx 在 4,4 上的最大值是54、最小值

17、是54. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 39 页 - - - - - - - - - （3） 在1,33上， 当2x时，3( )612f xxx 有极大值，并且极大值为(2)22f. 又由于155()327f，(3)15f. 因此，函数3( )612f xxx 在1,33上的最大值是22、最小值是5527. （4）在 2,3 上，函数3( )3f xxx 无极值 . 因为(2)2f，(3)18f. 因此，函数3( )3f xxx 在2,3 上的最大值是2

18、、最小值是18. 习题 1.3 A 组（P31）1、 （1）因为( )21f xx，所以( )20fx. 因此，函数( )21fxx是单调递减函数 . （2）因为( )cosf xxx ，(0,)2x，所以( )1sin0fxx，(0,)2x. 因此，函数( )cosfxxx 在(0,)2上是单调递增函数 . （3）因为( )24f xx，所以( )20fx. 因此，函数( )24fxx是单调递减函数 . （4）因为3( )24f xxx ，所以2( )640fxx. 因此，函数3( )24fxxx 是单调递增函数 . 2、 （1）因为2( )24f xxx，所以( )22fxx. 当( )0

19、fx，即1x时，函数2( )24f xxx单调递增 . 当( )0fx，即1x时，函数2( )24f xxx单调递减 . （2）因为2( )233fxxx，所以( )43fxx. 当( )0fx，即34x时，函数2( )233f xxx单调递增 . 当( )0fx，即34x时，函数2( )233f xxx单调递减 . （3）因为3( )3fxxx ，所以2( )330fxx. 因此，函数3( )3fxxx 是单调递增函数 . 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共

20、 39 页 - - - - - - - - - （4）因为32( )fxxxx ，所以2( )321fxxx. 当( )0fx，即1x或13x时，函数32( )f xxxx 单调递增 . 当( )0fx，即113x时，函数32( )f xxxx 单调递减 . 3、 （1）图略 . （2）加速度等于0. 4、 （1）在2xx 处，导函数( )yfx 有极大值；（2）在1xx 和4xx 处，导函数( )yfx 有极小值；（3）在3xx 处，函数( )yf x 有极大值；（4）在5xx 处，函数( )yf x 有极小值 . 5、 （1）因为2( )62f xxx，所以( )121fxx. 令( )1

21、210fxx，得112x. 当112x时，( )0fx，( )f x 单调递增；当112x时，( )0fx，( )f x 单调递减 . 所 以 ，112x时 ，( )f x有 极 小 值 ，并 且 极 小 值 为211149()6 ()212121224f. （2）因为3( )12f xxx ，所以2( )312fxx. 令2( )3120fxx，得2x. 下面分两种情况讨论：当( )0fx，即2x或2x时；当( )0fx，即22x时. 当 x 变化时，( )fx ，( )f x 变化情况如下表：x(, 2)2( 2,2)2 (2,)( )fx0 0 ( )f x单调递增16 单调递减16单调

22、递增因此，当2x时，( )f x 有极大值，并且极大值为16；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 39 页 - - - - - - - - - 当2x时，( )f x 有极小值，并且极小值为16. （3）因为3( )612f xxx ，所以2( )123fxx . 令2( )1230fxx，得2x. 下面分两种情况讨论：当( )0fx，即2x或2x时；当( )0fx，即22x时. 当 x 变化时，( )fx ，( )f x 变化情况如下表：x(, 2)2( 2

23、,2)2 (2,)( )fx0 0 ( )f x单调递增22 单调递减10单调递增因此，当2x时，( )f x 有极大值，并且极大值为22；当2x时，( )f x 有极小值，并且极小值为10. （4）因为3( )48f xxx ，所以2( )483fxx . 令2( )4830fxx，得4x. 下面分两种情况讨论：当( )0fx，即2x或2x时；当( )0fx，即22x时. 当 x 变化时，( )fx ，( )f x 变化情况如下表：x(, 4)4( 4,4)4 (4,)( )fx0 0 ( )f x单调递减128单调递增128 单调递减因此，当4x时，( )f x 有极小值，并且极小值为12

24、8；当4x时，( )f x 有极大值，并且极大值为128. 6、 （1）在 1,1上，当112x时，函数2( )62fxxx有极小值，并且极小值为4724. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 39 页 - - - - - - - - - 由于( 1)7f，(1)9f，所以，函数2( )62fxxx在 1,1上的最大值和最小值分别为9，4724. （2）在 3,3 上，当2x时，函数3( )12f xxx 有极大值， 并且极大值为16；当2x时，函数3( )

25、12f xxx 有极小值，并且极小值为16. 由于( 3)9f，(3)9f，所以，函数3( )12fxxx在 3,3 上的最大值和最小值分别为16，16. （3）在1,13上，函数3( )612f xxx 在1,13上无极值 . 由于1269()327f，(1)5f，所以，函数3( )612f xxx 在1,13上的最大值和最小值分别为26927，5. （4）当4x时，( )f x 有极大值，并且极大值为128. 由于( 3)117f，(5)115f，所以，函数3( )48f xxx 在 3,5 上的最大值和最小值分别为128，117. 习题 3.3 B 组（P32）1、 （1）证明：设( )

26、sinf xxx ，(0,)x. 因为( )cos10fxx，(0,)x所以( )sinf xxx 在 (0,) 内单调递减因此( )sin(0)0f xxxf，(0,)x， 即sin xx，(0,)x. 图略（2）证明：设2( )f xxx ，(0,1)x. 因为( )12fxx ，(0,1)x所以，当1(0,)2x时，( )120fxx，( )f x 单调递增，2( )(0)0f xxxf；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 39 页 - - - - -

27、 - - - - 当1(,1)2x时，( )120fxx，( )f x 单调递减，2( )(1)0f xxxf；又11( )024f. 因此，20 xx，(0,1)x. 图略（3）证明：设( )1xf xex ，0 x. 因为( )1xfxe，0 x所以，当0 x时，( )10 xfxe，( )f x 单调递增，( )1(0)0 xf xexf；当0 x时，( )10 xfxe，( )f x 单调递减，( )1(0)0 xf xexf；综上，1xex ，0 x. 图略（4）证明：设( )lnf xxx ，0 x. 因为1( )1fxx，0 x所以，当01x时，1( )10fxx，( )f x

28、单调递增，( )ln(1)10f xxxf；当1x时，1( )10fxx，( )f x 单调递减，( )ln(1)10f xxxf；当1x时，显然ln11. 因此，ln xx. 由（3）可知，1xexx ，0 x. . 综上， lnxxxe ，0 x图略2、 （1）函数32( )f xaxbxcxd 的图象大致是个“双峰”图象，类似“”或“”的形状 . 若有极值，则在整个定义域上有且仅有一个极大值和一个极小值，从图象上能大致估计它的单调区间. （2）因为32( )f xaxbxcxd ，所以2( )32fxaxbxc . 下面分类讨论：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - -

29、- - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 39 页 - - - - - - - - - 当0a时，分0a和0a两种情形：当0a，且230bac时，设方程2( )320fxaxbxc的两根分别为12,x x ，且12xx ，当2( )320fxaxbxc，即1xx 或2xx 时，函数32( )f xaxbxcxd 单调递增；当2( )320fxaxbxc，即12xxx 时，函数32( )f xaxbxcxd 单调递减. 当0a，且230bac时，此时2( )320fxaxbxc，函数32( )f xaxbxcxd 单调递增

30、 . 当0a，且230bac时，设方程2( )320fxaxbxc的两根分别为12,x x ，且12xx ，当2( )320fxaxbxc，即12xxx 时，函数32( )f xaxbxcxd 单调递增；当2( )320fxaxbxc，即1xx 或2xx 时，函数32( )f xaxbxcxd 单调递减 . 当0a，且230bac时，此时2( )320fxaxbxc，函数32( )f xaxbxcxd 单调递减14 生活中的优化问题举例习题 1.4 A 组（P37）1、设两段铁丝的长度分别为x ，lx，则这两个正方形的边长分别为4x，4lx，两个正方形的面积和为22221( )( )()(22

31、)4416xlxSf xxlxl，0 xl. 令( )0fx，即420 xl，2lx. 当(0, )2lx时，( )0fx；当(, )2lxl时，( )0fx. 因此，2lx是函数( )fx 的极小值点，也是最小值点. 所以，当两段铁丝的长度分别是2l时，两个正方形的面积和最小. 2、如图所示，由于在边长为a 的正方形铁片的四角截去xa名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 39 页 - - - - - - - - - 四个边长为 x 的小正方形，做成一个无盖方

32、盒，所以无盖方盒的底面为正方形，且边长为2ax，高为 x . （1）无盖方盒的容积2( )(2 )V xaxx ，02ax. （2）因为322( )44V xxaxa x ，所以22( )128Vxxaxa . 令( )0Vx，得2ax（舍去） ，或6ax. 当(0,)6ax时，( )0Vx；当(,)6 2a ax时，( )0Vx. 因此，6ax是函数( )V x 的极大值点，也是最大值点. 所以，当6ax时，无盖方盒的容积最大. 3、如图，设圆柱的高为h，底半径为R，则表面积222SRhR由2VR h ，得2VhR. 因此，2222( )222VVS RRRRRR，0R. 令2()40VS

33、RRR，解得32VR. 当3(0,)2VR时，()0S R；当3(,)2VR时，( )0S R. 因 此 ，32VR是 函 数( )S R的 极 小 值 点 ， 也 是 最 小 值 点 . 此 时 ，32222VVhRR. 所以，当罐高与底面直径相等时，所用材料最省. 4、证明：由于211( )()niif xxan，所以12( )()niifxxan. 令( )0fx，得11niixan，Rh（第 3 题）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 39 页 -

34、- - - - - - - - 可以得到，11niixan是函数( )fx 的极小值点，也是最小值点. 这个结果说明，用n 个数据的平均值11niian表示这个物体的长度是合理的，这就是最小二乘法的基本原理. 5、设矩形的底宽为x m，则半圆的半径为2xm，半圆的面积为28x2m，矩形的面积为28xa2m，矩形的另一边长为()8axxm 因此铁丝的长为22( )(1)244xaxal xxxxx，80ax令22( )104alxx，得84ax（负值舍去） . 当8(0,)4ax时，( )0lx；当88(,)4aax时，( )0lx. 因此，84ax是函数( )l x 的极小值点，也是最小值点.

35、 所以，当底宽为84am 时，所用材料最省 . 6、利润L等于收入R减去成本C，而收入R等于产量乘单价 . 由此可得出利润L与产量q的函数关系式，再用导数求最大利润. 收入211(25)2588Rq pqqqq，利润2211(25)(100 4 )2110088LRCqqqqq， 0200q. 求导得1214Lq令0L，即12104q，84q. 当(0,84)q时，0L；当(84,200)q时，0L；因此，84q是函数L的极大值点，也是最大值点. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - -

36、- - 第 15 页，共 39 页 - - - - - - - - - 所以，产量为84 时，利润L最大 ,习题 1.4 B 组（P37）1、设每个房间每天的定价为x 元，那么宾馆利润21801( )(50)(20)7013601010 xL xxxx，180680 x. 令1( )7005L xx，解得350 x. 当(180,350)x时，( )0L x；当(350,680)x时，( )0Lx. 因此，350 x是函数( )L x 的极大值点，也是最大值点. 所以，当每个房间每天的定价为350 元时，宾馆利润最大. 2、设销售价为 x 元件时，利润4( )()(4)()(5)bxL xxa

37、 ccc xaxbb，54bax. 令845( )0cacbcL xxbb，解得458abx. 当45( ,)8abxa时，( )0L x；当455(,)84abbx时，( )0L x. 当458abx是函数( )L x 的极大值点，也是最大值点. 所以，销售价为458ab元件时，可获得最大利润. 15 定积分的概念练习（P42）83. 说明：进一步熟悉求曲边梯形面积的方法和步骤，体会“以直代曲”和“逼近”的思想. 练习（P45）1、22112( ) ( )2( )iiiiissvtnnnnnn，1,2,inL. 于是111()nnniiiiiisssvtn2112 ()niinnn22211

38、111( )()( )2nnnnnnnnL2231122nnL31(1)(21)26n nnn名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 16 页，共 39 页 - - - - - - - - - 111(1)(1)232nn取极值，得1111115lim( )lim(1)(1)2323nnnniiisvnnnn说明：进一步体会“以不变代变”和“逼近”的思想. 2、223km. 说明：进一步体会“以不变代变”和“逼近”的思想，熟悉求变速直线运动物体路程的方法和步骤 . 练习（P4

39、8）2304x dx. 说明：进一步熟悉定积分的定义和几何意义. 从几何上看，表示由曲线3yx 与直线0 x，2x，0y所围成的曲边梯形的面积4S. 习题 1.5 A 组（P50）1、 （1）10021111(1)(1)10.495100100iixdx；（2）50021111(1)(1)10.499500500iixdx；（3）100021111(1)(1)10.499510001000iixdx. 说明：体会通过分割、近似替换、求和得到定积分的近似值的方法. 2、距离的不足近似值为：18 1 12 1 7 13 10 140（m） ；距离的过剩近似值为：27 1 18 1 12 17 13

40、 167（m）. 3、证明：令( )1f x. 用分点011iinaxxxxxbLL将区 间 , a b 等 分成n个小 区间 ，在 每个小 区间1,iixx上任 取一 点(1,2, )iinL作和式11()nniiibafxban，从而11limnbanibadxban，说明：进一步熟悉定积分的概念. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 17 页，共 39 页 - - - - - - - - - 4、根据定积分的几何意义，1201x dx 表示由直线0 x，1x，0y以

41、及曲线21yx所 围 成 的 曲 边 梯 形 的 面 积 ， 即 四 分 之 一 单 位 圆 的 面 积 ， 因 此12014x dx. 5、 （1）03114x dx. 由于在区间 1,0 上30 x，所以定积分031x dx表示由直线0 x，1x，0y和曲线3yx 所围成的曲边梯形的面积的相反数. （2）根据定积分的性质，得10133311011044x dxx dxx dx. 由于在区间 1,0 上30 x， 在区间 0,1 上30 x， 所以定积分131x dx等于位于 x轴上方的曲边梯形面积减去位于x 轴下方的曲边梯形面积. （3）根据定积分的性质，得202333110115444x

42、 dxx dxx dx由于在区间 1,0 上30 x， 在区间 0, 2 上30 x， 所以定积分231x dx等于位于 x 轴上方的曲边梯形面积减去位于x 轴下方的曲边梯形面积. 说明：在（ 3）中，由于3x 在区间 1,0 上是非正的，在区间0, 2 上是非负的，如果直接利用定义把区间 1,2 分成 n 等份来求这个定积分，那么和式中既有正项又有负项，而且无法抵挡一些项， 求和会非常麻烦 . 利用性质 3 可以将定积分231x dx化为023310 x dxx dx，这样，3x 在区间 1,0 和区间 0, 2 上的符号都是不变的，再利用定积分的定义， 容易求出031x dx，230 x

43、dx，进而得到定积分231x dx的值. 由此可见，利用定积分的性质可以化简运算. 在（2） （3）中，被积函数在积分区间上的函数值有正有负，通过练习进一步体会定积分的几何意义 . 习题 1.5 B 组（P50）1、该物体在0t到6t（单位： s）之间走过的路程大约为145 m. 说明：根据定积分的几何意义，通过估算曲边梯形内包含单位正方形的个数来估计物体走过的路程 . 2、 （1）9.81vt. （2）过剩近似值：8111899.819.8188.292242ii（m） ；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精

44、心整理 - - - - - - - 第 18 页，共 39 页 - - - - - - - - - 不足近似值：81111879.819.8168.672242ii（m）（3）409.81tdt；409.81 d78.48t t（m）. 3、 （1）分割在区间 0, l 上等间隔地插入1n个分点，将它分成n 个小区间：0,ln，2,llnn，(2), nlln，记第i个区间为(1),il ilnn（1,2,inL） ，其长度为(1)ilillxnnn. 把细棒在小段 0,ln，2,llnn，(2), nlln上质量分别记作：12,nmmmL，则细棒的质量1niimm . （2）近似代替当 n

45、很大，即x很小时，在小区间(1),il ilnn上，可以认为线密度2( )xx的 值 变 化 很 小 ， 近 似 地 等 于 一 个 常 数 ， 不 妨 认 为 它 近 似 地 等 于 任 意 一 点(1),iil ilnn处 的 函 数 值2()ii. 于 是， 细 棒 在 小 段(1),ililnn上 质 量2()iiilmxn（1,2,inL）. （3）求和得细棒的质量2111()nnniiiiiilmmxn. （4）取极限细棒的质量21limninilmn，所以20lmx dx . 16 微积分基本定理练习（P55）（1）50；（2）503；（3）42533；（4）24；（5）3ln

46、22；（6）12；（7）0；（8）2. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 19 页，共 39 页 - - - - - - - - - 说明：本题利用微积分基本定理和定积分的性质计算定积分. 习题 1.6 A 组（P55）1、 （1）403；（2）13ln 22；（3）9ln 3ln 22；（4）176；（5）2318；（6）22ln 2ee. 说明：本题利用微积分基本定理和定积分的性质计算定积分. 2、3300sincos 2xdxx. 它表示位于 x 轴上方的两个曲边

47、梯形的面积与x 轴下方的曲边梯形的面积之差. 或表述为：位于x 轴上方的两个曲边梯形的面积（取正值）与x 轴下方的曲边梯形的面积（取负值）的代数和. 习题 1.6 B 组（P55）1、 （1）原式221011222xee；（2）原式46113sin2 224x；（3）原式3126ln 2ln 2x. 2、 （1）cos1sincoscos()0mxmxdxmmmm；（2）sin1cossinsin()0mxmxdxmmmm；（3）21 cos2sin2sin224mxxmxmxdxdxm；（4）21cos2sin2cos224mxxmxmxdxdxm. 3、（1）0.202220( )(1)4

48、9245245tktkttkttggggggs tedttetetekkkkkk. （2）由题意得0.2492452455000tte. 这是一个超越方程，为了解这个方程，我们首先估计t的取值范围 . 根据指数函数的性质，当0t时，0.201te，从而5000495245t，因此，500052454949t. 因此50000.27492453.36 10e，52450.27492451.24 10e，所以，70.271.24102453.3610te. 从而，在解方程0.2492452455000tte时，0.2245te可以忽略不计 . 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - -

49、- - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 20 页，共 39 页 - - - - - - - - - 因此， .492455000t，解之得524549t（s）. 说明： B 组中的习题涉及到被积函数是简单的复合函数的定积分，可视学生的具体情况选做，不要求掌握. 17 定积分的简单应用练习（P58）（1）323；（2）1. 说明：进一步熟悉应用定积分求平面图形的面积的方法与求解过程. 练习（P59）1、52533(23)3 22stdttt（m）. 2、424003(34)4 402Wxdxxx（J）. 习题 1.7 A 组（P6

50、0）1、 （1）2；（2）92. 2、2bbaaqqqqWkdrkkkrrab. 3、令( )0v t，即40100t. 解得4t. 即第 4s时物体达到最大高度. 最大高度为42400(4010 )40580ht dttt（m）. 4、设ts 后两物体相遇，则200(31)105tttdttdt，解之得5t. 即,A B 两物体 5s后相遇 . 此时，物体A离出发地的距离为523500(31)130tdttt（m）. 5、由Fkl，得100.01k. 解之得1000k. 所做的功为0.120.10010005005Wldll（J）. 6、 （1）令55( )501v ttt，解之得10t.