2022年人教版九年级圆的性质知识点 .pdf

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1、名师推荐精心整理学习必备学生姓名：就读年级：九年级任课教师：教导处签名：日期： 2017 年 10 月 21 日圆的有关性质名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 18 页 - - - - - - - - - 名师推荐精心整理学习必备课题圆的有关性质教学目标1、在探索的过程中，能从两种不同的角度理解圆的概念2、了解弦、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等于圆有关的概念，理解概念之间的区别与联系。3、能够通过图形直观地认识弦、弧等概念，能够从具体图形中识别出与圆有关的

2、一些元素。知识要点及重难点重点：圆的概念的解析与应用难点：圆的有关概念的解析作业评价 好 很好 一般 差备注：作业布置学生课后评价（学生填写）学生对本次课的评价：1、学习心情：愉悦 紧张 沉闷2、学习收获：很大 一般 没有3、教学流程：清晰 一般 混乱4、其它：。家长反馈签名：日期：年月日一、课前复习名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 18 页 - - - - - - - - - 名师推荐精心整理学习必备1、旋转2、中心对称3、中心对称图形4、求关于原点对称的

3、点的坐标二、新课导入初中阶段我们有几种几何是必须掌握的：三角形，四边形，圆。关于前两个已经在前期的学习中接触过了，那么本章我们将重点学习圆的相关性质以及相关的知识点，本章也是中考内容中的重点部分，所以需要打起精神，认真将知识点掌握并灵活应用起来。三、新课讲授圆的有关性质知识点 1 圆的定义以及表示方法（重点；理解）1、描述性定义在一个平面内，线段OA绕它固定一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆，其中固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。2、集合性定义圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；3、圆的表示方法以点 O为圆心的圆，记作“O”，读作“圆O”命题 1 圆的定义的理解例

4、 1：下列条件中，能确定圆的是（）A. 以已知点O 为圆心B. 以 1cm 长为半径C. 经过已知点A，且半径为2cm D. 以点 O 为圆心， 1cm 为半径针对练习：1、与已知点A 的距离为3cm 的点所组成的平面图形是_. 命题点 2 判断四点共圆的问题例 2：矩形的四个顶点能否在同一个圆上?如果不在 ,说明理由 ;如果在 ,指出这个圆的圆心和半径. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 18 页 - - - - - - - - - 名师推荐精心整理学习必

5、备已知 ,四边形 ABCD 是矩形 ,判断 A、B、C、D 这四个点能否在同一个圆上?如果不在 ,说明理由 ;如果在 ,指出这个圆的圆心和半径。证明：连接AC,BD 四边形 ABCD 是矩形对角线 AC 与 BD 交于点O AO=CO=12 ACBO=DO=12BD 四边形 ABCD 是矩形 AC=BD ( 矩形的对角线相等) AO=CO=12 ACBO=DO=12BD AC=BD AO=BO=CO=DO AO=BO=CO=DO A、B、C、D 这四个点在以点O 为圆心 ,OA 为半径的同一个圆上针对练习：1、如图，四边形ABCD 的一组对角 ABC 、 ADC 都是直角。求证： A. B.

6、C. D 四点在同一个圆上。知识点 2 圆的有关概念（重点；理解）（1）弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦（2）直径：经过圆心的弦叫做直径，并且直径是同一圆中最长的弦，直径等于半径的2 倍（3）弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，以为端点的弧记作，读作弧AB 。（4）半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆。（5）等圆：能够重合的两个圆叫做等圆。（6）等弧：在同圆或等圆中，能够重合的弧叫做等弧。命题 3：圆的有关概念的应用例 3：下列说法正确的是（）A 长度相等的弧叫做等弧B 半圆不是弧名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - -

7、 - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 18 页 - - - - - - - - - 名师推荐精心整理学习必备C 直径是弦D 过圆心的线段是直径解析：主要考查对先、弧、等弧以及直径的概念的理解。类型题圆的半径的应用考查角度1：利用同圆的半径相等求角度例 1：如图 ,AB 是 O 的直径 ,C 是 O 上一点 ,BOC=44 ，则 A 的度数为 _度。解析：利用同圆半径相等，所对的角也相等。针对练习：1、如图， AB 是 O 的直径， D. C 在 O 上，AD OC， DAB=60 ，连接 AC ，则DAC 等于（）A. 15 B. 30C.

8、 45D. 60考查角度2：利用同圆的半径相等比较线段大小2、如图 ,正方形 ABCD 的边长为 1,其中 DE?,EF?,FG? 的圆心依次是点A，B，C. 连接 GB和 FD，则 GB 与 FD 的关系是 _. 解析：根据同圆的半径相等可以得BC=DC ，CG=CF，又 FCD=GCB=90 由此可以得到则 FCD GCB， 由此推出 GB=FD ， G=F， G+CDF= F+CDF=90，由此即 GB 与 FD 的关系针对练习：2、如图所示：点M、G、D 在半圆 O 上，四边形OEDF、HMNO 均为矩形， EF=b，NH=c，则 b 与 c 之间的大小关系是（）A. bc B. b=

9、c C. cb D. b 与 c 的大小不能确定考查角度3：利用同源半径向更解决实际问题名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 18 页 - - - - - - - - - 名师推荐精心整理学习必备例 3：如图，某部队在灯塔A 的周围进行爆破作业，A 的周围 3km 内的水域为危险区域，有一渔船误入离A 处 2km 的 B 处，为了尽快驶离危险区域，该船应沿哪条航线方向航行 ?为什么 ? 解析：该船应沿航线AB 方向航行离开危险区域理由如下：如图，设航线AB 交

10、A 于点 C，在 A 上任取一点D(不包括 C 关于 A 的对称点 ) 连接 AD 、BD ；在ABD 中，AB+BDAD ，AD=AC=AB+BC，AB+BDAB+BC，BDBC. 答：应沿AB 的方向航行。针对练习：3、由于过度采伐森林和破坏植被，我国部分地区频频遭受沙尘暴的侵袭.近日， A 城气象局测得沙尘暴中心在A城的正西方向240km 的 B 处，以每小时12km 的速度向北偏东60 的方向移动，距沙尘暴中心150km 的范围为受影响区域 . （1）A 城是否受到这次沙尘暴影响？为什么? （2）若 A 城受到这次沙尘暴影响，那么遭受影响的时间有多长? 名师资料总结 - - -精品资料

11、欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 18 页 - - - - - - - - - 名师推荐精心整理学习必备垂直于弦的直径知识点 1：圆的对称性（了解）圆既是中心对称图形，又是轴对称图形，也是旋转对称图形。知识点 2：垂径定理及其推论（重点，难点；掌握）垂径定理 ：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。命题点 1：利用垂径定理判定结论例 1：在 O 上作

12、一条弦AB,再作一条与弦AB 垂直的直径CD,CD 与 AB 交于点 E,则下列结论中不一定正确是( ) A. AE=BE B. AC ?=BC?C. CE=EO D. AD?=BD?解析：据垂径定理，垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两段弧得出结论针对练习：1、如图 ,已知直径MN 弦 AB, 垂足为 C,下列结论： AC=BC; AN ?=BN?;AM?=BM?; AM=BM. 其中正确的个数为 () A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 命题点 2：利用垂径定理求弦长或半径例 2：如图， AB 为 O 的弦， O 的半径为 5，OCAB 于点 D，交 O 于点 C，且 CD

13、=1 ，则弦 AB 的长是 _. 解析：连接AO ，得到直角三角形，再求出OD 的长，就可以利用勾股定理求解针对练习：2、(2014? 毕节地区 )如图，已知的半径为13，弦 AB 长为 24，则点 O 到 AB 的距离是（）A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 18 页 - - - - - - - - - 名师推荐精心整理学习必备类型题 1：应用垂径定理解决最值问题考查角度1：利用垂径定理和垂线最短解决问题例 1：如图，

14、 O 的直径是 10 ，弦 AB 8 ， P 是弦上的一个动点，那么 OP 长的取值范围是 _解析：找到最短与最长的点所在的位置，根据勾股定理可求出长度针对练习1、如图， O 的半径为 5，弦 AB 的长为 6，M 是 AB 上的动点，则线段OM 长的最小值为（）A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 考查角度2：利用垂径定理解决线段和最短问题例 2：如图， AB 、CD 是半径为 5 的O 的两条弦， AB=8 ，CD=6，MN 是直径，AB MN 于点 E，CDMN 于点 F，P为 EF 上的任意一点，则PA+PC 的最小值为_. 解析： A、 B 两点关于 MN 对称，因而PA+PC=P

15、B+PC，即当 B、C、P 在一条直线上时， PA+PC 的最小，即BC 的值就是 PA+PC 的最小值解：连接 OA，OB，OC，作 CH 垂直于 AB 于 H. 根据垂径定理,得到 BE=12AB=4,CF=12CD=3 ，OE=OB2- BE2-=52-42-=3，OF=OC2- CF2-=52-32-=4，CH=OE+OF=3+4=7 ，BH=BE+EH=BE+CF=4+3=7，在直角 BCH 中根据勾股定理得到BC=72，则 PA+PC 的最小值为72名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - -

16、 - - - - - 第 8 页，共 18 页 - - - - - - - - - 名师推荐精心整理学习必备故答案为： 72针对练习：2、 在 O 中,AB 是 O 的直径 ,AB=8cm,AC ?=CD?=BD?， M 是 AB 上一动点，CM+DM的最小值是 _cm. 类型题 2：利用垂径定理解决实际问题例 2、把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图，已知圆心为O，EF=CD=16 厘米，则 O 的半径为多少厘米? 解析：如图，过点 O 作 OM AD 于点 M，连接 OF，设 OF=x，则 OM 是 16-x，MF=8 ，然后在直角三角形MOF 中利用勾股定理求得OF 的长

17、即可针对练习：2、温州是著名水乡,河流遍布整个城市。某河流上建有一座美丽的石拱桥(如图 ).已知桥拱半径OC 为 5m,水面宽AB 为 4 6m,则石拱桥的桥顶到水面的距离CD 为 （）A. 4 6m B. 7m C. 5+ 6m D. 6m 类型题 3：垂径定理与平面直角坐标系的综合应用例 3：如图 ,在平面直角坐标系中,点 O 为坐标原点 ,点 P在第一象限 ,P 与 x 轴交于 O,A 两点 ,点 A 的坐标为 (6,0),P 的半径为 13，则点 P 的坐标为 _. 解析： 过点 P 作 PDx 轴于点 D，连接 OP，先由垂径定理求出OD 的长，再根据名师资料总结 - - -精品资料

18、欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 18 页 - - - - - - - - - 名师推荐精心整理学习必备勾股定理求出PD 的长，故可得出答案针对练习：3、半径为6 的 E 在直角坐标系中,与 x 轴交于 A,B 两点 ,与 y 轴交于 C,D 两点 ,已知 C(0,3）,D（0,-7）,求圆心 E的坐标类型题 4：利用分类讨论解圆中的计算问题例 4：已知 AB，CD 为 O 的两条平行弦，O 的半径为 5cm，AB=8cm ，CD=6cm，求弦 AB，CD 间的距离 . 解析：本题考查了两

19、条平行弦之间的间距问题，解题的关键是进行分组讨论；第一种情况是两弦位于圆心同侧时，两弦的间距是弦心距的差的绝对值，过圆心作弦的垂线，再连结圆心与弦的一个端点，应用垂径定理和勾股定理进行计算即可；第二种情况是两弦位于圆心的两侧时，两弦的间距是弦心距的和，同理即可得出结果. 解：当弦A 和 CD 在圆心同侧时，如图，过点 O 作 OFCD，垂足为F，交 AB 于点 E，连接 OA ，OC. AB CD，OEAB，AB=8cm ， CD=6cm ，AE=4cm，CF=3cm，OA=OC=5cm ，EO=3cm，OF=4cm，EF=OF-OE=1cm. 当弦 A 和 CD 在圆心异侧时，如图，过点 O

20、 作 OEAB 于点 E，反向延长OE 交 AD 于点 F，连接 OA ，OC，AB CD，OFCD，AB=8cm ， CD=6cm ，AE=4cm ，CF=3cm，OA=OC=5cm ，EO=3cm，OF=4cm，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 18 页 - - - - - - - - - 名师推荐精心整理学习必备EF=OF+OE=7cm 所以 AB，CD 之间的距离是1cm 或 7cm. 弧、弦、圆心角知识点弧、弦、圆心角之间的关系圆心角：我们把顶点

21、在圆心的角叫做圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。推论 1：在同圆或等圆中，如果两条弧想等，那么它们所对的圆心角也相对，所对的弦也相等。推论 2：在同圆或等圆中，如果两条弦想到呢过，那么它们所对的圆心角也相对，所对的弧也相等。命题 1：根据圆心角、弦、弧之间关系求角的度数例 1：2014? 贵港 )如图， AB 是 O 的直径， BC?=CD?=DE?，COD=34 ，则 AEO 的度数是（）A. 51 B. 56C. 68D. 78解析：圆心角、弧、弦的关系针对练习：1、如图， AB 是 O 的直径， BC、CD、DA 是 O 的弦，且 BC=CD=DA ，则

22、 BCD= （）A. 105 B. 120 C. 135 D. 150 命题 2：根据圆心角、弦、弧之间关系证明线段相等类型题 1：利用根据圆心角、弦、弧之间关系证明弧相等1、已知：如图，OA、OB、OC 是 O 的三条半径， AOC= BOC，M、N 分别是 OA、OB 的中点。 求证：MC=NC. 证明： =OB,(2 分) M 是 OA 中点， N 是 OB 中点，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 18 页 - - - - - - - - - 名师推

23、荐精心整理学习必备OM=ON,(4 分) AOC= BOC，OC=OC ， MOC NOC MC=NC 针对练习2、 如图 ,AB 、 CD 是 O 的两条弦 ,且 AD=BC,AB与 CD 的大小有什么关系?为什么 ? 类型题 2：弧、弦、圆心角与四边形的综合应用例2： 如 图 所 示 ， 已 知 AB 为 O 的 直 径 ， M 、 N 分 别 为 OA 、 OB 的 中点， CM AB ， DN AB ，垂足分别为 M 、 N 求证：证明：连结OC、OD，如图，AB 是 O 的直径， M，N 分别是 AO ，BO 的中点，OM=ON ，CM AB ，DN AB， OMC= OND=90

24、，在 RtOMC 和 RtOND 中，RtOMC RtOND （HL ）， COM= DON ，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 18 页 - - - - - - - - - 名师推荐精心整理学习必备针对练习：2、 如图，AB 是 O 的弦，C， D 为弦 AB 上的两点，且 OC=OD ， 延长 OC， OD 分别交 O 于点 E， F.求证：AE? =BF?.圆周角知识点 1：圆周角的定义和圆周角的定理（重点，难点；理解）1、圆周角的定义顶点在圆上，并

25、且两边都与圆相交的角叫做圆周角。2、圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。命题点 1：应用圆周角定理求角的度数例 1：如图 ,在 O 中,AB?=AC?,AOB=50 ,则 ADC 的度数是 () A. 50B. 40C. 30D. 25解析：先求出AOC= AOB=50 ，再由圆周角定理即可得出结论针对练习：1、(2014? 南昌 )如图 ,A、B. C. D 四个点均在O 上,AOD=70 ,AODC,则 B 的度数为（）A. 40 B. 45C. 50D. 55知识点 2：圆周角定理的推论（难点；灵活应用）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - -

26、- - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 18 页 - - - - - - - - - 名师推荐精心整理学习必备同弧或等弧所对的圆周角相等。半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90 读的圆周角所对的弦是直径。命题 2 直径所对的圆周角是直角的应用例 2：如图,若 AB 是 0的直径 ,CD 是 O 的弦 ,ABD=58 ,则BCD=( ) A. 116B. 32C. 58D. 64解析：根据圆周角定理求得、：AOD=2 ABD=116 （同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半）、BOD=2 BCD （同弧所对的圆周角是所对的圆心角的

27、一半）；根据平角是180知 BOD=180 -AOD ， BCD=32 针对练习：2、如图， AB 是 O 的直径，若 BAC=35 ，则 ADC= （）A. 35 B. 55 C. 70 D. 110 知识点 3：圆内接多边形的概念及圆内接四边形的性质（重点；理解）1、圆内接多边形的概念如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆。2、圆内接四边形的性质圆内接四边形的对角互补命题 3：圆内接四边形性质的应用3、如图 ,四边形ABCD内接于 O,若四边形ABCO 是平行四边形 ,则 ADC 的大小为( ) A. 45 B. 50C. 60D.

28、 75解析：设 ADC 的度数 =， ABC 的度数 =，由题意可得名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 18 页 - - - - - - - - - 名师推荐精心整理学习必备O C B A +=180针对练习：3、 如图 ,四边形 ABCD 是 O 的内接四边形 ,若C=130,则 BOD=_ _. 四、当堂小结1、圆的定义以及表示方法（重点；理解）2、圆的有关概念（重点；理解）3、圆的对称性（了解）4、圆周角的定义和圆周角的定理（重点，难点；理解）5、圆周

29、角定理的推论（难点；灵活应用）6、圆内接多边形的概念及圆内接四边形的性质（重点；理解）五、课后作业一、选择题：1、如图 1，点ABC， ，都在圆 O上，若34C，则AOB的度数为（）A、34 B、56 C、60 D、682、如图 2， O的直径 CD过弦 EF的中点 G，EOD=40 , 则 DCF等于（）A、80 B、50 C、40 D、20（1）（2）3 O 中， M 为的中点，则下列结论正确的是( )AAB2AMBAB=2AMCAB2AMDAB 与 2AM 的大小不能确定4在 O 中，若圆心角AOB=100， C 是上一点，则 ACB 等于 ( )A80B100C130D1405、在同圆

30、中，下列四个命题:(1)圆心角是顶点在圆心的角；(2) 两个圆心角相等，它们所对的弦也相等；(3) 两条弦相等，它们所对的弧也相等；(4) 等弧所对的圆心角相等. 其中真命题有（）OCFGDE名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 15 页，共 18 页 - - - - - - - - - 名师推荐精心整理学习必备BACODA O B D C A、4 个 B、3 个 C、2 个 D、1 个6、如图 3，将半径为4cm的圆折叠后，圆弧恰好经过圆心，则折痕的长为（）A、4 3cm

31、 B、2 3cm C、3cm D、2cm（3）（4）二、填空题：7、如图 4，ABC内接于圆 O，AE是圆 O的直径，30ABC，则CAD_. 8、如图 5，AB是圆 O的直径，点CD，是圆上两点，100AOC，则D_. （5）（6）（7）9、如图 6， 某居民小区一处圆形下水管道破裂，维修人员准备更换一段新管道，如图所示， 污水水面宽度为60cm ，水面到管道顶部距离为10cm ，则修理人员应准备_cm内径的管道（内径指内部直径）10、如图 7，梯形ABCD中，ABDC，ABBC，AB2cm，CD4cm以BC上一点O为圆心的圆经过A、D两点，且AOD90，圆心O到弦AD的距离是11、一点和

32、O上的最近点距离为4cm，最远距离为9cm，则这圆的半径是 cm12、半径为5 的 O内有一点 P，且 OP=4 ，则过点 P的最短的弦长是，最长的弦长是13、已知：如图，A、B、C、D在O上，AB=CD求证：AOC=DOB14、如图所示，以平行四边形ABCD 的顶点 A为圆心， AB为半径作圆，作AD，BC于 E，F，?延长 BA交 O于 G ，求证： GE=EF A D B O C ABO名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 16 页，共 18 页 - - - - -

33、- - - - 名师推荐精心整理学习必备ODCBABAEDO15、如图， AB 为 O 的直径， CD 是O 的弦， AB 、CD?的延长线交于点E，已知 AB=2DE ， E=18，求AOC= 度数。16、如图 AB是 O的直径， AC是弦， OD AB于 O，交 AC于 D，OD=2 ， A=30, 求 CD 。17、如图 8, ?ABC内接于 O,BAC=120 ,AB=AC,BD为 O的直径 ,AB=6, 求 BC的长 . 18、如图 9， O直径 AB和弦 CD相交于点 E，AE=2 ，EB=6 ， DEB=30 ，求弦CD长B A C D O 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下

34、载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 17 页，共 18 页 - - - - - - - - - 名师推荐精心整理学习必备19、如图，圆柱形水管内原有积水的水平面宽CD=20cm，水深GF=2cm.若水面上升2cm （EG=2cm ），20、则此时水面宽AB为多少？20已知：如图，ABC 内接于 O，AM 平分 BAC 交 O 于点 M，ADBC 于 D求证： MAO=MAD 21 、 (2009 ， 宁 夏 ) 如 图 ，AB为O的 直 径 ，ABACBC，交O于 点D，AC交O于 点45EBAC，（ 1）求EBC的度数；（ 2）求证：BDCDEDCFOBAG名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 18 页，共 18 页 - - - - - - - - -